第42期 6.1 平行四边形的性质及判定（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（北师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理招 本版责任编辑：任小娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 (上接第3版) 2.(12分)如图2，已知AC=AE,BC=BE, 所以m的取值范围是m≥-子且m≠2，m 19 报纸发行质量反馈电话： ∠AEB=∠CAD,CD⊥CE. 0351-5271248 附加题⊙ 18.(1)设该商店第一次购进这款书签x个，则第 (1)求证：四边形ABCD是平行四边形： 次购进这款书签2x个。 (上接4版参考答案) （以下试题供各地根据实际情况选用) (2)若AD=CD=3,AC=4,求CE的长 根据题意，得00-1600 2x =1.解得x=200. (2)方程两边同乘 1.(8分)如图1，在平行四边形ABCD中，将 经检验，x=200是原分式方程的根，且符合题意 (x+1)(x-2),得2x+2 △ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上 所以2x=400. +mx=3x-6. 的点E处.若∠ACB=30°，AB=4,求△ADE的 答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进 整理，得(m-1)x 周长. 这款书签400个. -8. (2)设第一次销售时每个书签的售价为m元. 由分式方程无解，得 4 m-1=0或(x+1)(x 根据题意，得200m+400×亏m+400×(1-5)m 2)=0. ×0.5≥1880+1000+1600.解得m≥8. 解得m=1,x=-1 答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元 或x=2. 附加题1.(1)x=6. 当x=-1时，m-1 2)+746=44+3 1 1 1 =8,解得m=9; 当x=2时，2(m- 8)答案不准，如2 1 1)=-8,解得m=-3. 综上所述，m的值 x-n-1x-n-2,这个方程的根为x=n 1 是1或9或-3. 2.(1)①×：②V:③×. 23.(1)设95号汽 (2)因为数对[n2-3,-n2]是关于x的分式方程 油的单价为x元/升. a +1=6的“关联数对”，所以3+1=-r的根为 由题意，得200+10 1 1 280 x=2-3-=- 解得x=8. 解得n=±5. 经检验，x=8是原 (3)因为数对[m-k,k]是关于x的分式方程“+1 分式方程的根，且符合 数理报社试题研究中心 题意. (参考答案见下期) =b的“关联数对”，所以m二上+1=k的根为x 答：95号汽油的单 1 所以m(m-k)+1=k所以k=m+ 价为8元/升. 第40期2版参考答案 根据题意，得30_100 =5.解得x=2 m-k+k=m m+1 27.50 5.3分式方程 第41期综合测评卷参考答案 5.3.1分式方程的定义及解法 经检验，x=2是原分式方程的根，且符合题意 题号12345678910 (3)金额理由敏如下： 基础训练1.B:2.D:3.C;4.0或12 所以5x=10. 甲、乙两人同时去 答：甲数据中心每小时迁移10TB数据，乙数据中心 答案DB A D A B D A D B 同一家加油站加两次95 5(1)x=1;(2)x=-4:(3)x=9;(4)无解 每小时迁移2TB数据 二、1.3；12.答案不惟一，如 号汽油，两次的汽油价 能力提高6.B. (2)设甲数据中心工作y小时，则乙数据中心工作 a+213.m2 格有变化，第一次x元/ 14.5:15.2或6或8. 7六=3-严两边同乘(x-1),得x=3(x- (8-y)小时. 升，第二次y元/升，且 根据题意，得10y+2(8-y)≥56.解得y≥5. 三、16.(1bc；(2)+2 ≠y.两人的加油方式也 1)+mx.整理，得(m+2)x=3.因为原分式方程有解， 答：甲数据中心至少需要工作5小时 17.(1)x=3;(2)无解. 不同，其中甲每次总是 加汽油a升，乙每次总是 所以x-1≠0，x= m十2所以x≠1.因为原分式方程 3 第40期3版参考答案 题号12345678 18.(1)A=-x+2y 加汽油b元 的很为正整数，所以n2=3所以m+2=1.解得m (2)因为x2-2x+y2+4y+5=x2-2x+1+y2+ 所以甲两次加油的 答案C D BA C B C A 4y+4=(x-1)2+(y+2)2=0,所以x-1=0,y+2 =-1 平均单价为：w+ay。 3 2a 5.3.2分式方程的应用 =9.a=2;10.3y-2y-1=0; =0.解得x=1,y=-2.所以原式=- 基础训练1.B;2.B;3.600. 1.；12168;13.号；14方案三 四、9.设该工程队原计划每天完成x米，则在完成 (元/升)： 4.设斗容1.0立方米的装载机每小时装车x立方米， 600米的施工任务后每天完成1.5x米 乙两次加油的平均 则斗容0.5立方米的装载机每小时装车(x-180)立方米 三、15.(1)x=11;(2)x=0;(3)无解 6+b 根据题，得2x170-20阅解得=40 16.设乙组同学平均每小时包x个棕子，则甲组同学 根据题意，得300-600-3000-600 =4 1.5x 单价为：b+b x 平均每小时包(x+20)个粽子 解得x=200. 经检验，x=440是原分式方程的根，且符合题意， 根据题宽得，0-四解得=80 经检验，x=200是原分式方程的根，且符合题意 2y(元/升). x+y 所以x-180=260. 答：该工程队原计划每天完成200米. 答：斗容1.0立方米的装载机每小时装车440立方 经检验，x=80是原分式方程的根，且符合题意 米，斗容0.5立方米的装载机每小时装车260立方米. 所以x+20=100. 20(1)因为1+2 a+方=1，所以2a+6=a6. 因为字-2 x Y 5.(1)设A款套装的单价是x元，则B款套装的单 答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平 所以b-g=b+2a-Q=。+b (x+y)2-4xy 2(x+y） 价是(2x-30)元. 均每小时包80个棕子. C a +b a+b a+b =1. (x-y)2 根据题意，得0=2×2500解得=60 17.(1)A=-4 x-1 (2因为=m,所以)-m所以一 2(x+x*y,且x> 0,y>0,所以(x-y)2 经检验，x=60是原分式方程的根，且符合题意 =1 y =-my.所以2x-3y-2-2(x-)-3y >0,2(x+y)>0.所以 X十Xy-Y 所以2.x-30=90. x-1 x-y+xy (x-y)2 答：A款套装的单价是60元，B款套装的单价是90元 根据分式有意义的条件，得x≠1，x≠-1，x≠4. =2y3--2m-3=-2m-3- -mxy xy (-m+1)xy m+i=3 2(x+分>0.所以 (2)设学校可以购买m个B款套装，则购买(100 2m-4x=1两边同乘(x-1),得2m-4x=x-1. X-1 解得m=16. m)个A款套装 21.(1)③2，④3. ->0，即甲 x+v 根据题意，得90m+60(100-m)≤8000， 解得x=1+2m (2)6名=片-1的根是×=4 两次加油的平均单价比 5 乙两次加油的平均单价 解得m≤66号 因为A+B=1的根是非负数，所以x≥0，即2 2n 高，故建议按相同金额 因为m是正整数，所以m的最大值为66. （3)第n个方程为，中=+1-1，它的根是 ≥0且+2m≠1,1+2m≠4 加油更合算 答：学校最多可以购买66个B款套装 5 n-1. (全文完) 6.(1)设乙数据中心每小时迁移xTB数据，则甲数 据中心每小时迁移5xTB数据 解得m且m≠2，m≠号 五、22.(1)当m=3时，该方程的根为x=-4. (下转1,4版中缝) 数评极 2026年4月15日·星期三 初中数学 42期总第1186期 北师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-204 品味法 证明：因为AB∥CD,所以∠B+∠C= ★★★★★★★★★★★★★★★★★★ 180°，∠A+∠D=180°.因为∠B=∠D,所以 平行四边形的判定来“ ∠A=∠C.所以四边形ABCD为平行四边形. 方法四、对角线互相平分的四边形是平行 四边形 ◎江西肖建勇 例4如图5，在 平行四边形的判定方法较多，综合性较强，点P作这条直线的平行线”，一位同学设计出自 涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平已的尺规作图方案： 口ABCD中，E,F两点在对 角线BD上，且BE=DF,A 行四边形的性质联系.判定一个四边形是否为 在直线l上取A,B两点（点B在点A的右 图 平行四边形是利用平行四边形的性质解决其他侧)，分别以点P为圆心，AB长为半径；再以点B 连接AE,EC,CF,FA.求 问题的基础，所以平行四边形的判定定理是本为圆心，P4长为半径画弧，两弧相交于点Q(点 证：四边形AECF是平行四边形 节的重点， 证明：如图5，连接AC交BD于点O.因为四 Q和，点A在直线PB的两侧)，如图3，PQ所在的 方法一、两组对边分别平行的四边形是平 边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC,OB= 直线即为所求.通过所学知识判断这个方案是 行四边形 的（填“正确”或“错误”） OD.因为BE=DF,所以OB-BE=OD-DF, 例1如图1，在口ABCD 即OE=OF.所以四边形AECF是平行四边形 中，AB=8,点E是AB上一点， 方法五、一组对边平行且相等的四边形是 AE=3,连接DE,过点C作CF 平行四边形 ∥DE,交AB的延长线于点F, 例5如图6，在四边形 则BF的长为 ABCD中，AC与BD交于点 图2 A.5 B.4 C.3 D.2 O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足 解：因为四边形ABCD是平行四边形，AB= 解：根据作图，得PA=BQ,PQ=AB.所以分别为点E,F,且BE=DF, 8,所以DC=AB=8,AB∥CD.因为AE=3,所 四边形ABQP是平行四边形.所以PQ∥直线L.∠BAC=∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四 以BE=AB-AE=5.因为CF∥DE,所以四边 故填正确， 边形 形DEFC是平行四边形.所以EF=DC=8.所 方法三、两组对角分别相等的四边形是平 证明：因为∠BAC=∠DCA,所以AB∥ 以BF=EF-BE=3. 行四边形 CD.因为BE⊥AC,DF⊥AC,所以∠AEB= 故选C. 例3如图4，在四边形 ∠CFD=90°.在△ABE和△CDF中，因为 方法二、两组对边分别相等的四边形是平ABCD中，AB∥CD,∠B= ∠BAE=∠DCF,∠AEB=∠CFD,BE=DF, 行四边形 ∠D.求证：四边形ABCD为平 所以△ABE兰△CDF(AAS).所以AB=CD.所 例2 如图2，对于几何作图“过直线外一 行四边形 以四边形ABCD是平行四边形 专题辅导 点G,设ME与ND相交于点O.因为BC= 三角形中位线应用宝典 10cm,M,N分别是AB,AC的中点，所以MN= BC=5cm因为AB=AC,AG1BC,所以BG ○河北李妍 三角形中位线定理在一个题设下，有两个AB的中点.若AB=6,BC=8,则四边形BDEF =2BC=5cm.由勾股定理，得AG= 结论：一个是线段之间的位置关系，另一个是线的周长是 ) √AB2-BG2=12cm.所以图中阴影部分的面 段之间的数量关系.这个定理在证明、计算、作 A.28 B.14 图中都有广泛的应用，是三角形的重要性质之 C.10 D.7 积为：S△4+S△oMN+S△E= ×5×12= 一.当三角形中有中点时，往往借助三角形中位 解：因为D,E,F分别是BC,AC,AB的中点， 30(cm2). 线定理来解决相关问题， 故选C 一、求角度 所以DE=BF=2AB=3,FE=BD=2BC 例1如图1，在 4.所以四边形BDEF的周长是：2(DE+FE) Rt△ABC中，∠A=30°，点 本周生研 =14. D,E分别是直角边AC,BC的 故选B. 6.1平行四边形的性质及判定 中点，连接DE,则∠CED的 三、求面积 6.2三角形的中位线 图 度数是 ( ) 例3如图3，在△ABC中 学习目标：1理解并掌握平行四边形的概 A.70° B.60° AB=AC,M,N分别是AB,AC的 念和平行四边形对边、对角和对角线的性质。 C.30° D.20° 中点，D,E为BC边上的点，连接 2.理解并掌握用边和对角线来判定平行 解：在Rt△ABC中，∠A=30°，所以∠B= ND,ME.若AB=13cm,BC= 四边形的方法。 90°-∠A=60°.因为D,E分别是AC,BC的中 10cm,DE=5cm,则图中阴影B 3.掌握三角形中位线定理的应用 点，所以DE∥AB.所以∠CED=∠B=60° 部分的面积为 ( 认知重点：1.能综合运用平行四边形的性质 故选B. 解决有关计算问题和简单的证明题 二、求周长 A.25 cm2 B.35 cm2 2.掌握平行四边形的判定定理 例2如图2，在△ABC C.30 cm2 D.42 cm2 与性质定理的综合应用 中，D,E,F分别是BC,AC, 解：如图3，连接MN,过点A作AG1BC 素养专练 数理极 6.1.2平行四边形的判定 6.2三角形的中位线 跟踪训练 堡础训练 堡础训练 GENZONGXUNLIAN 1.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平 1.如图1，CD是△ABC的中线，E,F分别是 6.1平行四边形的性质及判定 行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相 AC,DC的中点，EF=1,则BD的长为() 6.1.1平行四边形的性质 等就可以了，依据是：两条铁轨和夹在铁轨之间的 A.1 B.2 C.3 D.4 两根枕木构成一个平行四边形，即可得到两条铁 垦础训练 轨平行.判定铁轨和枕木构成平行四边形的依据 1.在口ABCD中，∠B=50°，则∠D的度数是 X 是 ( A.平行线之间的距离处处相等 A.65°B.55° C.50° D.40° B.一组对边平行且相等的四边形是平行四 图1 图2 2.如图1，若口ABC0的顶点O,A,C的坐标分 边形 2.如图2，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC 别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则点B的坐标是 C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 的中点.若∠B=40°，则∠BDE的度数是 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 A.(3,7) B.(5,3) 2.如图1是由4个全等的正三角形拼成的，则 A.50° B.40° C.150° D.140° C.(7,3) D.(8,2) 图中平行四边形有 ( 3.如图3，在△ABC中，AB=BC=10,BD平 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 分∠ABC交AC于点D,点F在BC上，且BF=4, 连接AF,点E是AF的中点，连接DE,则DE的长 是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 B H 图1 3.如图2，在口ABCD中，对角线AC,BD相交 图1 图2 于点O,线段EF经过点0O,AH⊥BC于点H.若AH 3.如图2，在口ABCD中，点E,F分别在CD, =2,BC=3,则图中阴影部分的面积是BC的延长线上，AE∥BD,EF⊥BF,CF=5,EF =3,则AB的长是 ( 图3 图4 4.如图3，在口ABCD中，∠BCD=120°，分别 B.1 3 D.5 4.如图4，在四边形ABCD中，∠ADC=140° 以BC和CD为边作等边△BCE和等边△CDF,连 C. E,F分别是AB,AD的中点，且∠AFE=50°.若 接AE,AF.求证：AE=AF. 4.在四边形ABCD中，∠A=∠C=60°，∠B BC=10,CD=6,则EF= =∠D=120°，则四边形ABCD 平行四 5.如图5，在△ABC中，AB=AC=2,延长BC 边形（填“是”或“不是”） 至点D,使CD=BC,连接AD,E,F分别为AC,AD 5.已知四边形ABCD的四条边顺次为a,b,c, 的中点，连接EF,若∠ACD=120°，求线段EF的 d,且a2+b2+c2+=2ac+2bd.求证：四边形 长和∠AEF的度数. ABCD是平行四边形 5.如图4，在□ABCD中，∠B=60°，AE1 BC,AF⊥CD,垂足分别为点E,F (1)求∠EAF的度数； (2)若BC=6,求线段AF的长 6.如图6，CD是△ABC的中线，E是CD上的 6.如图3，在四边形ABCD中，AC与BD相交 一点，连接AE并延长至点F,使得EF=AE,连接 于点O,且A0=CO,点E在BD上，满足∠EA0= BF,CF.若CF∥AB,求证：四边形DBFC是平行 ∠DCO.求证：四边形AECD是平行四边形 四边形. 能刀提高 6.如图5，AB∥DC,ED∥ BC,AE∥BD,那么图中和 △ABD面积相等的三角形（不 包括△ABD)有 ( A.1个 B.2个 数理报社试题研究中心 图 C.3个 D.4个 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 16.(10分)如图15，在口ABCD中，E为BC边 同步检测 上一点，且AB=AE.求证：△ABC≌△EAD, TONGBUJIANCE 【检测范围：6.1~6.2】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 8.如图7，四边形ABCD中， 图15 题号 1 2 45 6 7 AD∥BC,BC=3,AB=5,AD =6.若点M是线段BD的中点， 答案 则CM的长是 图7 1.如图1，直线a∥b,则直线a,b之间的距离 B.2 c D.3 是 ( A.线段AB B.线段AB的长度 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 9.如图8，当x= 时，四边形ABCD是 C.线段CD D.线段CD的长度 平行四边形 17.(12分)如图16，BD是△ABC的角平分 线，点E,F分别在AB,BC上，BE=CF,ED∥BC D 图1 图2 (1)求证：四边形EFCD是平行四边形； 图8 网0 2.如图2，A,B两点被一座山隔开，M,N分别 10.如图9，将口ABCD的一边BC延长至点E. (2)若∠ABC=60°，∠ADB=100°，求 是AC,BC的中点，测量MN的长度为30m,那么AB若∠DCE=62°，则∠A= ∠AEF的度数 的长度为 ( 11.如图10，四边形ABCD的对角线相交于点 A.30m B.60m O,∠ABD=∠CDB,请添加一个条件，使 C.120m D.160m 四边形ABCD是平行四边形（只填一种情况即 3.如图3，在平行四边形ABCD中，∠A= 可) 140°，则∠D的度数为 ( A.40° B.709 C.110° D.140° H 图10 图11 12.如图11，在口ABCD的AB,CD边上截取线 B 段AF,CE,使AF=CE,连接EF,点M,N是线段 图3 图 EF上的两点，且EN=FM,连接AW,CM.若 4.已知四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的 ∠CMF=100°，∠CEM=70°，则∠NAF= 度数之比，能判定四边形ABCD是平行四边形的是 13.如图12，在口ABCD中，∠ABC的平分线 A.1:2:3:4 B.1:2:2:1 BE与AD交于点E,F为CD的中点，且EF平分 18.(14分)如图17，平行四边形ABCD中，点 ∠BED.若AB=4,DE=1,则BE= C.2:2:3:4 D.2:3:2:3 E是AB边上一点，CE=AB,DF⊥BC,交CE于点 5.如图4，口ABCD纸片中，∠A=120°，AB= A之P G,连接DE,EF 4,BC=5,剪掉两个角后，得到图形AEFCGH.已知 (I)求证：∠ABD=90-∠DCE: ∠EFC=∠AHG=120°，且EF=1,HG=2,则这 0 图12 ☒13 (2)若点E是AB边的中点，∠EFB=45°，求 个图形AEFCGH的周长为 ( 14.如图13，在平行四边形ABCD中，AB= 证：DE⊥EF A.12B.15 C.16 D.18 6cm,AD=10cm,点P在AD边上，以每秒1cm的 6.某街区街道如图5所示，其中CE垂直平分速度从点A向点D运动，点Q在CB边上，以每秒 AF,BD∥CF,BC∥DF.从B站到E站有两条公交 2cm的速度从点C出发，在CB之间做往返运动， 线路：线路1是B→D→A→E,线路2是B→C→ 两个动点同时出发，当点P到达点D时，两点同时 F一→E,则两条线路的长度关系为 ( ) 停止运动，设运动时间为t(s)(t>0).在点P,Q的 运动过程中，当t= s时，四边形APQB为 A.线路1较短 B.线路2较短 平行四边形 C.相等 D.无法确定 三、耐心解一解（共44分） 15.(8分)如图14，在口ABCD中，对角线AC BD相交于点O,点E在CA的延长线上，点F在AC 的延长线上，且AE=CF,点G,H均在线段BD上， 且BG=DH.求证：四边形EGFH是平行四边形 7.如图6，在平行四边形ABCD中，对角线AC BD相交于O,过点O作OE⊥AC交AD于点E.若 AE=2,DE=1,AB=5,则AC的长为() 图14 A.22 B.52 2 C.42 D.32 (下转第4版)