专题01 二次根式（期末真题汇编）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 二次根式专题汇编，覆盖4大高频考点，精选安徽、吉林等多地区期末真题，基础题与规律探究、阅读材料等综合题梯度分布，适配八年级下期末复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|26题|二次根式有意义条件、最简二次根式、同类二次根式等|结合数轴化简（如山东日照题）、取值范围分析（如山东威海题）| |填空|20题|性质应用、化简计算、取值范围|含字母化简（如四川南充题）、整数最小值探究（如浙江杭州题）| |解答|20题|混合运算、规律探究、实际应用|规律探究（如湖南长沙题等式规律）、阅读材料（如河南许昌题隐含条件化简）、几何应用（如河北邯郸题长方体体积计算）|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 二次根式 ☆4大高频考点概览 考点01二次根式及其性质 考点02二次根式的乘除法 考点03二次根式的咖加减法 考点04二次根式的混合运算 目目 考点01 二次根式及其性质 一、单选题 1.(24-25八年级下·安徽合肥期末)使式子√x-4有意义的条件是() A.x24 B.x=4 C.x≤4 D.x≠4 2.（24-25八年级下.吉林长春·期末)下列各式一定是二次根式的是() A.2 B.V-3 C.5 D.-2 32454级下云商论月》下列试子中，@传②S.2.巴A,@写，@ 1-a,⑦√a2-2a+1,其中二次根式有() A.3 B.4 C.5 D.6 4.(24-25八年级下·安徽合肥期末)化简：(-7)2=() A.7 B.-7 C.7 D.7 5.(24-25八年级下·河北唐山期末)化简：√4×9=（) A.2+3 B.2×3 C.4+3 D.2×9 6.(24-25八年级下·安徽准南期末)下列计算正确的是() A.√9=±3 B.V-2y=-2C.(-v6=6 D.（2=-2 7.(24-25八年级下山东日照期末)实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简√云-√b-a的结果 是() A.-b B.b C.2a-b D.b-2a 1/9 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 8.(24-25八年级下·山东威海期末)若等式 3-x-3-区成立，则x的取值范围是（） Vx+2 x+2 A.x≠-2 B.x≥3 C.x≥3且x≠-2 D.-2<x≤3 二、填空题 9.(24-25八年级下天津阶段检测)若Vx+3有意义，则x的取值范围是 x-1 10.(24-25八年级下山东淄博期末)代数式3有意义，则x的取值范围是 4-x 11.(24-25八年级下·四川南充月考) 元-3.142=；若m<n,则Vm2-2mn+n2 12.(24-25八年级下.四川南充月考)已知y=√2-x+√x-2+1,则x'=. 13.（24-25八年级下·浙江杭州月考)二次根式√24a是一个整数，那么正整数a的最小值是 14.（24-25八年级下.青海海东·期末)若√x+2+V4-y=0,则y的值为 三、解答题 15.(24-25八年级下·湖南长沙期末)若V4x+2+y-3=0,求√(2x-y)2的值 16.(24-25八年级下.安徽安庆期末)观察下列等式： 第1个等式： 11 ,11 1+ ,=1+ 12 第2个等式： 11 V2+3=1 11 1+ 23: 第3个等式： 11 11 V1+3+=1+34 341 第4个等式： 1.1 11 V++1+4 45 按照以上规律，解决下列问题： (I)写出第6个等式： (2)写出第n个等式： （用含的等式表示) (3)根据上面的结论计算： ,1,1 ,.11 1 17.(24-25八年级下·河南许昌·期末)阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：（-2x-1-x1, 2/9 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 解：隐含条件1-2≥0，解得：≤分 1-x>0, 原式=(1-2x-1-x=1-2x-1+x=-x. 【启发应用】 (1)按照上面的解法，V(x-2)2-(-x)2隐含的条件是：x (2)按照上面的解法，试化简V(x-2)2-(1-x)2。 【类比迁移】 (3)已知a,b,c为ABC的三边长.化简：V(a-b-c)2+V(b+a-c)2. 目目 考点02 二次根式乘除法 一、单选题 1.(24-25八年级下·云南昆明期末)下列各式中是最简二次根式的是() A.V0.5 C.√12 D.2 2.(24-25八年级下·黑龙江绥化期末)矩形的宽为√5，面积为2√6，则矩形的长为() A.2√2 B.6 C.1 D.6N2 3.(24-25八年级下·江苏徐州期末)下列选项中，正确的是() A.(25)2=10 B.√8是最简二次根式 C.2√48÷√6=⑧ D.V52=5 4.(24-25八年级下山东德州期末)若某矩形的长为√5、宽为√5，则这个矩形面积的值在() A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.(24-25八年级下山东烟台·期末)下列各式化成最简二次根式正确的是() 93 D.V0.3=30 10 6.(24-25八年级下·福建厦门期末)已知实数a=2√3，则a所在的范围是() A.1<a<2 B.2<a<3 C.3<a<4 D.4<a<5 3/9 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 7.(24-25八年级下·黑龙江鸡西期末)把 2 化简为最简二次根式，结果是 8.(24-25八年级下，河北承德期末)若√3m-6是最简二次根式，则整数m的最小值为 9.(24-25八年级下·广东肇庆期末)计算：、 10.(24-25八年级下·江苏宿迁·期末)计算√8×6的结果是 2425八年级下山东东营期末)计算：V16÷V2×,得 12.(24-25八年级下·山东淄博期末)计算√√27÷√18的结果是 三、解答题 13.(2025八年级下湖北襄阳·专题练习)计算： 1.2.3 与*24 (m>0) 14.(24-25八年级下广东韶关期末)计算：√5x√12-√⑧+（√2）2. 15.(24-25八年级下河北邯郸期末)如图，甲和乙均是体积为V且高为h的长方体容器，甲盒子底面是 边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b,宽为cc≠b)的长方形. h a b 甲 乙 (1)若b=4,c=√2，h=√5.求乙容器的体积V: (2)若bc=24,h=√5，求甲盒子的侧面积 目目 考点03 二次根式的加减法 一、单选题 4/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25八年级下，山东临沂·期末)下列计算正确的是() A.V2-3=9B.2xV6=2W5C.25-5=2 9 D. 2=3 V21 2 2.(24-25八年级下·广东广州期末)下列运算结果等于√2的是() A.2+2 B.32-√2 c.( D.6 5 3.(24-25八年级下·广西梧州期末)下列二次根式中，与√5是同类二次根式的是() A,V25 B.V20 C.10 D.5 4.(24-25八年级下·全国·月考)若等腰三角形的两边长分别为√2和√50，则这个三角形的周长为() A.2√5+10W2 B.45+52 C.4V5+10W2 D.45+52或25+10W2 5.(24-25八年级下·广东汕头·期末)下列关于二次根式的说法不正确的是() A.√2是2的算术平方根 B.5x2=6 C.√⑧与√18是同类二次根式 D.(5-2=1 6.(24-25八年级下山东烟台期末)若最简二次根式√2m-8与√m+5可以合并，则√3m+6的值是(). A.3V5 B.3√5 C.45 D.45 二、填空题 7.(24-25八年级下·安徽马鞍山期末)计算：√18+√⑧= 8.(2425七年级下河南省直辖县级单位期末)计算：35-(25+2V2)=。 9.(24-25八年级下.安微六安期末)若2√5与最简二次根式5√a+1是同类二次根式，则a的值为 三、解答题 10.(24-25八年级下·云南德宏期末)计算： 5/9 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (1)27-2√12+5； 2)2√5x32÷√2. 11.(24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)计算： ()33-√8+V2-V27 12245八年级下广因肩宁期未)时第：4-+6÷5： 1 (2)先化简，再求值：(2a-1)-4aa-2),其中a= 2 目目 考点04 二次根式的混合运算 一、单选题 1.(24-25八年级下，湖北宜昌期末)下列计算正确的是() A.2V5+3√2=5V5 B.4N万-√7=4 C.(3+25)3-25=3 D.(42-V6)÷V2=4-5 2.(24-25八年级下广东广州期末)下列计算中，正确的是() A.2 2 6 B.V-3)=-3 C.3√2-√2=3 D.(5-25+2=1 32425八年级下石南红期未)若5-a=1,别。品。的值为() 4 A.√2 B.V2+2 C.-√2-2 D.5 4.(24-25八年级下.陕西安康期末)已知a=√5+2，b=√5-2，则a2-b=() A.1 B.45 C.9 D.85 二、填空题 5Q425八华袋下肤累山期末)s-侣周 6.(24-25八年级下天津期末)计算(5-25)5+2V5的结果为 6/9 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 7.(24-25八年级下·广东汕头期末)已知a=3-√7，b=3+√7，则ab-ab2的值是 8.(2425八年级下山东菏泽期末)已知a=6+5,6:6-5,则的值为 a b 三、解答题 9.(24-25八年级下·广西百色期末)计算： (1)2-V⑧x√2+√27÷5： 2V-2y2-(2025-7°+h-. 10.(24-25八年级下·河南郑州期末)计算 四-图i-6i: (2(2+5)2-5)+(5- 11.(24-25七年级下·湖南邵阳·期末)根据材料，解答下列问题：大家知道√2是无理数，而无理数是无限 不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用√2-1来表示√2的小数部分，你同 意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的.因为√2的整数部分是1，将一个数减去其整 数部分，差就是小数部分 (1)已知10+V3=x+y,其中x是整数，且0<y<1,求(x-y(x+y)的值； (2)已知6+√10的小数部分为a,6-√10的小数部分为b,求a+b的立方根 12.(24-25八年级下河北邯郸期末)学习了a=a后，数学老师出了一道化简题：a+V1-a2(a>1).下 面是小亮和小芳的解答过程， 小亮：解：原式=a+1-a=1; 小芳：解：原式=a+1-a,a>1,:原式=a+a-1=2a-1, (1) 的解法是正确的： Vab-、 b (2)化简： Vab,其中a<0,b<0. 13.(24-25八年级下山东烟台期末)阅读下列材料： 7/9 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :√4<√万<5，即2<√万<3， :√万的整数部分为2，小数部分为√万-2. 根据材料提示，进行解答： (1)√28的整数部分是 25的小数部分是 (2)如果√15的小数部分为m,√18的整数部分为n,求2m+n-√15的值. 14.（24-25八年级下山东聊城期末)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写 成另一个式子的平方，如：3+22=(1+√2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+bW2=(m+n2(其中a,b,m,n均为整数)， 则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2.∴.a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子 化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a,bm,n均为正整数时，若a+b3=(m+nW,用含m,n的式子分别表示a,b,得a=-,b=- (②)利用结论，填写合适的正整数a与n,填空：-+85=(2+V5: (3)若a+4V5=(m+n5,且a、m、n均为正整数，求a的值. 15.(24-25八年级下·江苏宿迁期末)阅读下面材料： 将边长分别为a,a+Vb,a+2b,a+3Vb,的正方形面积分别记为S,S2,S,S4, 则s,-S=(a+v万-a2=[a+b)+a][(a+vb-a] =(2a+bV6=b+2av6: s,-s,=(a+2b-(a+6-[a+26)+(a+b)][a+26)-(a+6j】 =(2a+3vb)万=3b+2avb, 根据以上材料解答下列问题： (①)根据材料中的规律可得面积记为S的正方形边长是： (②)猜想Sn+1-Sn的结果，并证明你的猜想； (3)当a=1,b=3时，令4=S2-S1,43=S3-S2,43=S4-S3,,n=S1-Sn,且T=4+i3+4+…+ts0, 8/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求T的值. 9/9 专题01 二次根式 4大高频考点概览 考点01二次根式及其性质 考点02二次根式的乘除法 考点03二次根式的加减法 考点04 二次根式的混合运算 地 城 考点01 二次根式及其性质 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）使式子有意义的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围． 本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 【详解】解：由题意可知：， ． 故选：A 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的识别，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键． 根据二次根式的概念逐一判断即可． 【详解】解：A：，为二次根式，故A正确； B：，二次根式被开方数为非负数，为负数，故B不符合题意； C：为5的立方根，故C不符合题意； D：为的立方根，故D不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·云南临沧·月考）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）化简：（   ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据可得答案． 【详解】解：， 故选：D． 5．（24-25八年级下·河北唐山·期末）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，根据化简即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B 6．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了实数的运算，算术平方根，二次根式的化简．根据算术平方根，二次根式的化简以及实数的平方的计算方法，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、二次根式被开方数应该为非负数，无意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 7．（24-25八年级下·山东日照·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B．b C． D． 【答案】A 【分析】此题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简．先根据数轴求得，，再根据二次根式的性质化简解答即可． 【详解】解：由图可知：，且， ∴， ∴， 故选：A． 8．（24-25八年级下·山东威海·期末）若等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键，根据题意可得且，解得即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：， 故选：D． 二、填空题 9．（24-25八年级下·天津·阶段检测）若有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，且， 故答案为：且． 10．（24-25八年级下·山东淄博·期末）代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【详解】解：依题意有且， 解得. 故答案为： 11．（24-25八年级下·四川南充·月考）________；若m＜n，则=________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，根据化简即可得解． 【详解】解：； ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 12．（24-25八年级下·四川南充·月考）已知，则________． 【答案】2 【分析】根据已知和二次根式的性质求出x、y的值，把x、y的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查的是二次根式的化简求值，二次根式有意义的条件，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 故答案为：2． 13．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）二次根式是一个整数，那么正整数的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质化简后判断是个平方数，即可求解． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数的最小值是， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·青海海东·期末）若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式结果的非负性求出的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， 16．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则，得出规律是解此题的关键． （1）结合第1至第4个等式，即可得出答案； （2）根据题目中所给式子呈现的规律，即可得出答案； （3）根据（2）中得出的规律，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，可得； 故答案为：； （2）根据题意，可得第个等式：； 故答案为：； （3）原式 ． 17．（24-25八年级下·河南许昌·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）1；（3）． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及绝对值的化简，三角形的三边关系的应用，解题的关键在于根据二次根式的有意义的条件，利用绝对值化简二次根式． （1）根据二次根式被开方数非负的性质回答即可； （2）根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，根据二次根式的性质进行化简计算； （3）根据三角形三边关系确定和的正负性，再对二次根式进行化简计算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3），b，c为的三边长， ，， ，， ． 地 城 考点02 二次根式乘除法 一、单选题 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列各式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式满足的条件是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②分母不含根号．逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．，故选项不是最简二次根式； B．，故选项不是最简二次根式； C．，被开方数含平方因数4，需化简，故选项不是最简二次根式； D．，被开方数2为质数，无法分解，且分母无根号，是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）矩形的宽为，面积为，则矩形的长为（   ） A． B．6 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式除法，根据矩形面积公式，长等于面积除以宽． 【详解】∵矩形的宽为，面积为，则长为： ， 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）下列选项中，正确的是（  ） A． B．是最简二次根式 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质及运算，熟练运用二次根式的性质及运算是解题的关键，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A、，故错误，不符合题意； B、，不是最简二次根式，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，平方与开平方互为逆运算，结果正确，故正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·山东德州·期末）若某矩形的长为、宽为，则这个矩形面积的值在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小．先利用二次根式的乘法法则求矩形的面积，然后利用夹逼法估算无理数的大小，即可得出矩形面积的取值范围． 【详解】解：矩形的面积， ， ， 矩形面积的值在3与4之间， 故选：B． 5．（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 最简二次根式需满足：①被开方数不含分母；②分母不含根号；③被开方数不含能开方的因数．需逐项验证化简过程是否符合要求．根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】选项A：原式化简应为，错误； 选项B：正确化简为，而选项B结果为，数值明显不符，错误； 选项C：分母含根号，未有理化，正确形式应为，错误； 选项D：将化为分数，再有理化分母：，符合最简二次根式要求，正确； 故选：D． 6．（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知实数，则a所在的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，把化为，再估算出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 即． 故选：C 二、填空题 7．（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）把化简为最简二次根式，结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题的关键．直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·河北承德·期末）若是最简二次根式，则整数的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是最简二次根式，且为整数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故答案为：3． 9．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）计算： =_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，再计算二次根式的乘法，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 故答案为：x 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·山东东营·期末）计算：______． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法法则计算，得到答案． 【详解】解： 故答案为：2． 12．（24-25八年级下·山东淄博·期末）计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 13．（2025八年级下·湖北襄阳·专题练习）计算： (1) (2)（） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，对系数与根号内的部分分别运算，最后通过有理化分母化简得到结果； （2）先将系数和根号内的部分分别进行乘除运算，再对根号内的分式进行化简，最后整理得到最简二次根式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．（24-25八年级下·广东韶关·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的乘法，乘方运算，解题的关键是正确运用法则对二次根式进行化简．先根据二次根式的乘法，积的算术平方根的性质，二次根式的乘方法则化简二次根式，最后合并同即可． 【详解】解：， ， ， ． 15．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，，．求乙容器的体积； (2)若，，求甲盒子的侧面积 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式乘法运算的应用，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）利用长方体的体积公式计算即可求解； （2）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得乙容器的体积； （2）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴， ∴， ∴甲盒子的侧面积为：． 地 城 考点03 二次根式的加减法 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘法及减法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 逐一验证各选项的二次根式运算是否正确，依据二次根式的化简及运算法则进行判断． 【详解】解：选项A：， 化简得，则左边为，右边，显然，故选项A错误，不符合题意； 选项B：， 根据二次根式乘法法则，，与右边相等，故选项B正确，符合题意； 选项C：， 合并同类项得，而右边为2，显然，故选项C错误，不符合题意； 选项D：， 化简，则左边为，右边为，显然，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·广东广州·期末）下列运算结果等于的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二次根式的运算．解题关键在于熟练掌握合并同类二次根式，运用二次根式性质化简，二次根式的除法运算． 根据合并同类二次根式，二次根式性质，二次根式的除法，逐一计算各选项的结果，判断是否等于． 【详解】解：A：，结果不等于． B：，结果不等于． C：，结果为2，不等于． D：，结果等于． 故选：D． 3．（24-25八年级下·广西梧州·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．同类二次根式需满足化简后被开方数相同．将各选项化简后，判断被开方数是否与相同即可． 【详解】解：选项A：，结果为整数，不是二次根式，排除； 选项B：，被开方数为5，与同类； 选项C：已是最简形式，被开方数为10，与5不同，排除； 选项D：已是最简形式，被开方数为15，与5不同，排除； 故选B． 4．（24-25八年级下·全国·月考）若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】本题主要考查二次根式的应用和等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三边关系进行验证． 分腰长为和两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求得其周长． 【解答】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，， 由于， 所以不满足三角形的三边关系； 当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，， 由于 所以满足三角形的三边关系，此时周长为 综上可知，三角形的周长为． 故选：A． 5．（24-25八年级下·广东汕头·期末）下列关于二次根式的说法不正确的是（   ） A．是2的算术平方根 B． C．与是同类二次根式 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质、运算及同类二次根式的判断．需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A．根据算术平方根的定义，非负数平方根中非负的根即为算术平方根．满足且，故A正确． B．根据二次根式乘法法则（），，故B正确． C．化简，，两者均含，是同类二次根式，故C正确． D．展开：，故D错误． 故选：D． 6．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 二、填空题 7．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先化简二次根式，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）计算：_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减运算． 先去括号，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·安徽六安·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，同类二次根式的被开方数相等，据此列出方程求解． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：2． 三、解答题 10．（24-25八年级下·云南德宏·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算； （1）先化简各项，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）先化简二次根式，进而合并同类二次根式，即可求解； （2）先计算乘除法，再计算加减法，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 12．（24-25八年级下·广西南宁·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与化简和整式的乘法，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）本题先计算乘除，再计算加减，然后即可求解； （2）本题先根据整式的乘法知识进行化简得到，然后把代入，即可求解； 【详解】解：（1） ； （2） ， 把代入， 地 城 考点04 二次根式的混合运算 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减乘除及乘法公式的应用．需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：中，与不是同类二次根式，无法合并，结果应为，故错误． 选项B：，而非，故错误． 选项C：利用平方差公式，，结果应为，故错误． 选项D：将除法分配至每一项：结果与选项一致，故正确． 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东广州·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．分别计算各项即可求解． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确 ； 故选：D． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 当即时， 原式=， 故选：C． 4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知，则（    ） A．1 B．4 C．9 D．8 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，先计算，，再代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：D 二、填空题 5．（24-25八年级下·重庆巫山·期末）___________． 【答案】/ 【分析】这道题目是一个包含根式、负指数和零指数的混合运算题．需要分别计算每一项的值，然后进行加减运算，需要掌握根式的化简、负指数和零指数的性质．本题主要考查了根式的化简、负指数和零指数的性质，熟练掌握这些基本性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·天津·期末）计算 的结果为________． 【答案】13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式的运用，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：13． 7．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知，，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，二次根式的运算，运用平方差公式简化运算是解题的关键． 首先求出和的值，然后提公因式因式分解，然后代入求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）已知，则 的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的运算，二次根式的运算，先求出，，，再根据进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 则 ， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级下·广西百色·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的计算、零指数幂以及绝对值： （1）先乘除后加减即可； （2）先化简再计算． 【详解】（1） ． （2） ． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，根据运算顺序和相关公式进行计算即可； （1）根据二次根式的性质进行化简，再进行合并同类二次根式即可得到答案； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行化简，再进行同类二次根式合并即可得到答案. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 11．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）根据材料，解答下列问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分． (1)已知，其中是整数，且，求的值； (2)已知的小数部分为，的小数部分为，求的立方根． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的运算，立方根，代数式求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先通过估算的大小，从而估算出的大小，进而求出x、y值，再代入，然后根据二次根式的运算法则计算即可； （2）先通过估算的大小，从而估算出和的大小，进而求出a、b值，再代入，然后根据二次根式的运算法则计算，最后再求其立方根即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的整数部分是11，小数部分为， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴． ∴的立方根． 12．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程． 小亮：解：原式； 小芳：解：原式，，原式， (1)________的解法是正确的； (2)化简：，其中，． 【答案】(1)小芳 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）利用二次根式的性质得到，然后根据a的范围去绝对值后合并得到原式，从而可判断小芳的解法正确； （2）先根据二次根式的乘法法则运算，再根据二次根式的性质计算，然后根据a、b的取值范围去绝对值即可． 【详解】（1）解：当时，,则， 所以小芳的解法正确， 故答案为：小芳； （2）解： ， ∵，， ∴，, ∴原式． 13．（24-25八年级下·山东烟台·期末）阅读下列材料： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是__________，的小数部分是__________； (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是正确估计出无理数的大小． （1）估算出，，即可求解； （2）估算出，，可得m，n的值，再代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是5； ∵，， ∴， ∴， ∴的整数部分是3 ∴的小数部分是； 故答案为：5； （2）解：∵， ∴，， ∴的整数部分为3，的整数部分为4， ∵的小数部分为m，的整数部分为n， ∴，， ∴． 14．（24-25八年级下·山东聊城·期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数）， 则有．∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得 ， ； (2)利用结论，填写合适的正整数与，填空： ； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值． 【答案】(1)，； (2)16 ，2 (3)a的值是21或9 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用完全平方公式，再进行列式计算，即可作答． （2）利用（1）的结论进列式计算，即可作答． （3）因为，得，，则或，再分别算出a的值，即可作答． 【详解】（1）解：模仿题干， ∵ ∴ ∴ ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（1）得中的，． 依题意，得， ∴， ∴ ∴， 故答案为：16，2 （3）解：∵， ∴， ∴ ∵a、m、n均为正整数， ∴或 当时，则； 当时，则； 综上：a的值为21或9． 15．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是_______； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，，，且，求T的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到： （1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是； 故答案为： （2）解：猜想：， 证明： ； （3）解：当，时， 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $