专题01 平行四边形（高效培优期末专项训练）数学新教材沪教教版五四制八年级下册

**基本信息** 以多边形基础为起点，系统构建平行四边形概念-性质-判定的知识链条，通过分层题型实现从概念理解到综合应用的能力进阶，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形基础|3题型（概念辨析/内角和计算/外角和应用）|聚焦n边形对角线数量、内角和公式推导及外角和常数性的理解|从多边形定义出发，通过对角线分割三角形推导内角和，进而得出外角和恒为360°的结论| |平行四边形|2题型（性质应用/判定证明）|突出对边/对角/对角线性质的灵活运用及判定定理的综合证明|以平行四边形定义为核心，衍生性质定理与判定定理，形成“概念-性质-判定”的闭环逻辑|

专题01 平行四边形 知识点01 多边形的内角和 1. 多边形的概念 在平面内，由不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫作多边形.如果一个多边形由n条线段组成，这个多边形叫作“n边形”（n为正整数，n） 组成多边形的各条线段叫作多边形的边，相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点。相邻两边所成的角叫作多边形的内角。连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线。 2. 多边形的对角线 ①从一个顶点出发，n边形可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形； ②n边形每个顶点均可以引出（n-3）条对角线，所以n边形的对角线总条数为; 3. 多边形的内角和 n多边形从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为（n-2）·180 4. 四边形的内角和为360. 知识点02 多边形的外角和 1. 多边形的外角 多边形的内角的一边的延长线与另一边所组成的角叫作多边形的外角，如下图中的∠1、∠2、∠3、∠4都是四边形ABCD的外角。 2. 多边形的外角和 多边形在每一个顶点处有两个外角，但在各个顶点处只各取一个外角，这样得到所有外角的和叫作这个多边形的外角和。 多边形的每一个内角与和它相邻的外角都互补，因此n边形的内角和加外角和等于n×180°，外角和等于n×180°-(n-2)×180°=360°. 多边形的外角和为360°. 3. 四边形的外角和： 多边形的外角和不随着边数的变化而变化，是个常数。所以四边形的外角和也是360°. 知识点03 平行四边形的概念 1. 有一组对边平行的四边形叫作梯形; 2. 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 如图所示，四边形ABCD是平行四边形．记作：▱ABCD； 读作：平行四边形ABCD； 知识点04 平行四边形的性质 定理1 平行四边形的对边相等; 如右图所示，▱ABCD中，AB=CD,AD=BC 定理2 平行四边形的对角相等; 如右图所示，▱ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 如右图所示，▱ABCD中，AO=CO,B0=DO 知识点05 平行四边形的判定 1.平行四边形的定义本身就是平行四边形的一种判定方法； 如右图所示：∵AB//CD,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 2.平行四边形的判定定理 定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB//CD,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 知识点06 平行四边形具有不稳定性和中心对称性 1. 因为四边形具有不稳定性,所以平行四边形也具有不稳定性; 平行四边形是常见的图形.小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等都有平行四边形的形象，就是应用了平行四边形具有不稳定性的特性。 2.平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心; 题型01 多边形相关概念 1．（24-25八年级下·山东·阶段检测）下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查凸多边形的定义，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形．根据凸多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形， 只有B选项不符合凸多边形的定义，不是凸多边形． 故选：B． 2．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将其分成6个三角形，则这是________边形． 【答案】八 【分析】本题考查多边形对角线的性质，掌握从边形的一个顶点出发的所有对角线将多边形分成个三角形的规律是解题关键，根据规律列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形为边形，根据题意得 ， 移项得 ， ∴． 3．（25-26八年级下·四川·期末）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【答案】27 【分析】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式． 根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算． 【详解】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个， 已知分成7个三角形，得， 解得， n边形的对角线条数公式为，代入，得， 故答案为：27． 4．（2025八年级下·上海徐汇·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 【答案】3 【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为； 已知新多边形为五边形，即新边数为5； 因此，，解得；或；或，解得； 所以原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3； 故答案为：3 5．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）在下列叙述中，错误的是（   ） A．任何多边形的内角中最多有三个锐角 B．任何多边形的内角中最多有四个直角 C．对角线总条数等于其边数的多边形是五边形 D．从n边形一个顶点出发可以作条对角线 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和为360度，且多边形的一个外角与其相邻的内角互补，据此可判断A、B；从n边形一个顶点出发可以作条对角线，则边形对角线总条数公式为，据此可判断C、D． 【详解】解：A、∵任意多边形的外角和为360度， ∴任意多边形的外角中，最多有三个钝角， ∴任意多边形的内角中，最多有三个锐角，原说法正确，不符合题意； B、当多边形的一个内角是直角时，与其相邻的外角也是直角，而任意多边形的外角和为360度，故任意多边形的外角中，最多有4个直角，即任何多边形的内角中最多有四个直角，原说法正确，不符合题意； C、边形对角线总条数公式为，当时，解得或（舍去），故对角线总条数等于其边数的多边形是五边形，原说法正确，不符合题意； D、从n边形一个顶点出发可以作条对角线，原说法错误，符合题意； 题型02 多边形的内角和 6．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中一定错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项 ，结果是正整数，符合要求； B选项 ，结果是正整数，符合要求； C选项，结果不是整数，不符合要求； D选项 ，结果是正整数，符合要求． 7．（25-26八年级下·上海闵行·月考）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形”确定的值，再代入内角和公式：（，为正整数）进行计算即可． 【详解】解：∵过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，设该多边形的边数为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和是：． 8．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如果一个边形的内角和为，那么______． 【答案】5 【分析】边形内角和． 【详解】解：依题意得： ， 解得：． 9．（24-25八年级下·上海·期末）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是_______ ． 【答案】54 【分析】本题考查了多边形内角和公式与对角线公式的结合应用，关键在于准确求出边数并代入计算．根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解． 【详解】解：设多边形的边数是n，则 ， 解得， 多边形的对角线条数公式为：， 代入： 故答案为：54． 10．（25-26八年级下·上海·期中）若n边形共有35条对角线，则该多边形内角和为______． 【答案】 【分析】根据n边形共有对角线条，即可列出方程：，求出n的值，再根据多边形的内角和为：，可求出其内角和． 【详解】解：∵n边形共有35条对角线， ∴， 解得或（舍去）， 故这个多边形是十边形，内角和为： ． 故答案为：． 题型03多边形的外角和 11．（25-26八年级下·上海·期中）一个多边形的边数增加1时，其外角和的变化情况为（   ） A．不变 B．增加 C．增加 D．增加 【答案】A 【分析】任意多边形的外角和是固定值，与边数无关，据此即可判断变化情况． 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为，不随边数的改变而改变， ∴当多边形的边数增加1时，其外角和保持不变． 12．（25-26八年级下·上海闵行·期中）一个多边形，它的每一个外角都是，则该多边形的边数是（   ） A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】利用任意多边形外角和为的性质，用外角和除以单个外角的度数即可求出多边形边数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每一个外角都是， ∴该多边形的边数． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多边形外角和定理得到，进而代入已知角度求出的度数． 【详解】解：，，，，． 故选：． 14．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如果每个内角都相等的多边形的内角和等于，那么该多边形的一个外角等于_______． 【答案】 【分析】根据多边形内角和公式求出多边形的边数，再利用多边形外角和为即可求得一个外角的度数． 【详解】解：设该多边形的边数为，则， 解得， ∴该多边形的一个外角为． 15．（25-26八年级下·上海·阶段检测）一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有_______条． 【答案】5 【分析】先根据多边形外角和等于建立方程，解方程求出这个多边形的边数，再根据以边形的一个顶点为端点的对角线有条求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于， ∴， 解得， ∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）． 题型04平行四边形的性质 16．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 故A，B，D正确，不符合题意； ∵与不一定相等，故C错误，符合题意． 故选：C． 17．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可出得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴ 故选：D． 18．（25-26八年级下·上海浦东新·期末）若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为_______． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的性质和二元一次方程组的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形周长求出相邻两边之和，再根据差列出方程组求解． 【详解】解：设较长边为，较短边为， 由平行四边形性质，相邻两边之和为周长的一半， 即， 又相邻两边差为，即， 得方程组， 解得， 故较短边长为， 故答案为：． 19．（25-26八年级下·上海浦东新·期末）已知平行四边形的一边长为，一条对角线长为，则另一条对角线的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，注意掌握数形结合思想的应用． 利用平行四边形的对角线互相平分，构造三角形，应用三角形的三边关系求解． 【详解】解：如图所示： 假设，， ∴， 由三角形三边关系， 可得， ∴， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，在平行四边形中，平分，交边于点平分，交边于点F，如果，那么_______． 【答案】4 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定．根据平行线的性质和角平分线的定义证明，，再根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 21．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在直角坐标平面内，如果的两条对角线的交点正好与坐标原点重合，已知点，那么点C的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点坐标．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由的两条对角线的交点正好与坐标原点重合，点，可得． 【详解】解：∵的两条对角线的交点正好与坐标原点重合，点， ∴是的中点， ∴， 故答案为：． 22．（24-25八年级下·上海普陀·期末）平行四边形两邻边的长分别为20和16，两条长边的距离是10，那么两条短边的距离等于___________． 【答案】// 【分析】本题考查平行四边形的性质，理解两条长边的距离和两条短边的距离即为分别以长边和短边为底时该平行四边形的高是解题关键．根据平行四边形面积的求法列方程求解即可． 【详解】解：设两条短边的距离为h， 以长边为底，该平行四边形的面积为；以短边为底，该平行四边形的面积为， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角__________°． 【答案】40 【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形．由旋转的性质可知，由等腰三角形的性质得出，根据旋转角相等可得． 【详解】解：∵绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：40． 24．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，，点是边的中点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论： ①；②；③；④． 一定成立的是_____．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】② 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由中点的定义可得，再根据平行四边形的性质结合已知条件可得，则；再运用平行线的性质可得，进而得到即可判断①；如图：延长交延长线于运用平行四边形的性质以及已知条件可证(ASA)可得，再说明，即，再结合得到，即可判断②；说明即可判断③；说明即可判断④． 【详解】解析：①是的中点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即；故①错误； ②如图：延长交延长线于 四边形是平行四边形， ， ， 为中点， ， 在和中， )， ， ， ， 又， ， ， ， ∴，故②正确； ，故③错误； ④， ， ， ，故④错误． 综上②正确． 故答案为：②． 25．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在平行四边形中，于点E，平分交于点F，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质．延长到点G使得，可得，再利用平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】解：延长到点G使得，如图： 由题意可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， 在平行四边形中，，，， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 26．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，的延长线与直线交于点． (1)如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)2或 【分析】（1）①过点G作，垂足为N，在上取点M，使，证明是等腰直角三角形，求出，根据含30度的直角三角形性质求出，根据勾股定理求出，得出，最后根据勾股定理求出结果即可； ②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为N，在上取点M，使，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 27．（24-25八年级下·上海嘉定·期末） 如图，在等边三角形中，边长为，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，设运动时间为，试解答下列问题： (1)如果，求对应的的值； (2)当点在线段上时，设四边形的面积为，求与的关系式； (3)如果使得以为顶点的四边形是平行四边形，求出相应的的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由题意得：，，可得，根据角直角三角形的性质得到，即可建立方程求解； （2）利用等边三角形的性质表示出、，再用勾股定理求出、、，求出和，从而可求出； （3）分别对当四边形是平行四边形时及当四边形是平行四边形时进行分类讨论，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵在等边中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：过点P作于M，过点Q作于N，如图1所示： ， 是等边三角形， ， ∴， ，， ，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ∴当点P在线段上时，y与t的关系式为：； （3）解：①当四边形是平行四边形时，如图2所示： 则， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； ②当四边形是平行四边形时，如图3所示： 则， 同①得：是等边三角形， ， ， ， ， ； 综上所述，当t为或时，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了以等边三角形为背景的动点问题，主要运用了等边三角形的性质、角的这直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等，掌握动点问题解决方法：“化动为静”是解题的关键． 题型05平行四边形的判定 28．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知四边形，对角线相交于点O，下列条件中，能判断它是平行四边形的是（   ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐一分析选项，选项D满足对角线互相平分且一组对边平行的条件． 【详解】解：选项A中，，但无法证明另一组对边平行或相等，可能存在等腰梯形的情况，故排除； 选项B中，，仅说明被平分，但未给出被平分的条件，无法确定四边形为平行四边形； 选项C中，且，但这两个角并非对角，无法通过边角关系直接判定为平行四边形； 选项D中，（即被O平分）；由可得（内错角相等），结合，，可证，从而，此时对角线均被O平分，满足对角线互相平分的判定条件，故四边形为平行四边形． 故选：D． 29．（23-24八年级下·上海金山·期末）已知在中，点E、F分别在边上，连结，下列条件能使四边形一定是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键；根据平行四边形的性质及平行四边形的判定逐项判定即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ； ； A、当，则一组对边平行，另一组对边相等，此时无法判断是平行四边形；故选项不符合题意； B、， ； ， ； , 四边形一定是平行四边形； 故选项B符合题意； C、当时，则可得四边形一定是平行四边形； 但当时，四边形不可能是平行四边形， 若四边形是平行四边形，则， 而，则，这与假设矛盾， 故四边形不可能是平行四边形； 故选项不符合题意； D、若， ， ； ； 由于无法知晓与或是否垂直，故无法判断与是否平行， 故选项不符合题意； 故选：B． 30．（23-24八年级下·山东淄博·月考）如图，平行四边形的对角线相交于点O，直线经过点O，分别与的延长线交于点E，F．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形是平行四边形，可证，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 31．（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 由平行四边形得到，，，证明出，得到，同理得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】∵，点为对角线的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴同理可证， ∴ ∴四边形为平行四边形． 32．（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在中，点D、E、F分别为上的点，，且，延长到点 G，使． 求证：互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键；由，，可得四边形是平行四边形，进而可得，由可得，进而可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得证． 【详解】证明：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． 33．（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的判定，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键． （1）证明，推出，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论成立； （2）由平行四边形的性质得到，由等量代换推出，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ． 34．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，点是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若．求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理， （1）如图所示，连接交于O，根据平行四边形的性质得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）利用勾股定理求出，进而求出，则． 【详解】（1）证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 35．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）【阅读材料】 老师提出的问题∶ 同学们的方案∶ 如图，在平行四边形中，，为锐角．在对角线上如何确定点、 方案1∶分别作平分平分，交于点、． 的位置，使四边形为平行四边形？ 方案2∶取的两个三等分点、． 方案3∶在上任意取一点，连接，再以为圆心，长为半径画弧，交于点． 【解决问题】 (1)写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图1中画出图形，并说明理由； (2)除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质； （1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证出，得到，，求出，即可得到结论； （2）在上取点使得，证出，得到，，求出，即可得到结论． 【详解】（1）解：方案1和2正确； 选择方案1证明： 如图所示：   四边形是平行四边形， 平分平分， ∵ ∴， 在和中， ∴，， ∴ ∴ 所以四边形为平行四边形． 方案2证明： 如图：    根据题意得：， 四边形是平行四边形， ∴ ∴， 在和中， ∴，， ∴ ∴ 所以四边形为平行四边形． 方案3证明： 如图：    根据题意得：， 四边形是平行四边形， ∴ ∴， 根据已知得：，，， 无法根据边边角证出和全等， ∴无法得到四边形为平行四边形． （2）解：方案：在   上取点 E 、 �� 使得    ， 如图所示：在上取点使得，    在和中， ∴， 所以四边形为平行四边形． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行四边形 知识点01 多边形的内角和 1. 多边形的概念 在平面内，由不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫作多边形.如果一个多边形由n条线段组成，这个多边形叫作“n边形”（n为正整数，n） 2. 多边形的对角线 ①从一个顶点出发，n边形可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形； ②n边形每个顶点均可以引出（n-3）条对角线，所以n边形的对角线总条数为; 3. 多边形的内角和 n多边形从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为：（n-2）·180 四边形的内角和为：360. 知识点02 多边形的外角和 1. 多边形的外角 多边形的内角的一边的延长线与另一边所组成的角叫作多边形的外角，如下图中的∠1、∠2、∠3、∠4都是四边形ABCD的外角。 2. 多边形的外角和 多边形在每一个顶点处有两个外角，但在各个顶点处只各取一个外角，这样得到所有外角的和叫作这个多边形的外角和。 多边形的每一个内角与和它相邻的外角都互补，因此n边形的内角和加外角和等于n×180°，外角和等于n×180°-(n-2)×180°=360°. 3. 四边形的外角和 多边形的外角和不随着边数的变化而变化，是个常数。所以四边形的外角和也是360°. 知识点03 平行四边形的概念 1. 有一组对边平行的四边形叫作梯形; 2. 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 如图所示，四边形ABCD是平行四边形．记作：▱ABCD； 读作：平行四边形ABCD； 知识点04 平行四边形的性质 定理1 平行四边形的对边相等; 如右图所示，▱ABCD中，AB=CD,AD=BC 定理2 平行四边形的对角相等; 如右图所示，▱ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 如右图所示，▱ABCD中，AO=CO,B0=DO 知识点05 平行四边形的判定 1.平行四边形的定义本身就是平行四边形的一种判定方法； 如右图所示：∵AB//CD,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 2.平行四边形的判定定理 定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AB//CD,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 如右图所示：∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 知识点06 平行四边形具有不稳定性和中心对称性 1. 因为四边形具有不稳定性,所以平行四边形也具有不稳定性; 平行四边形是常见的图形.小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等都有平行四边形的形象，就是应用了平行四边形具有不稳定性的特性。 2.平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心; 题型01 多边形相关概念 1．（24-25八年级下·山东·阶段检测）下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将其分成6个三角形，则这是________边形． 3．（25-26八年级下·四川·期末）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 4．（2025八年级下·上海徐汇·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 5．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）在下列叙述中，错误的是（   ） A．任何多边形的内角中最多有三个锐角 B．任何多边形的内角中最多有四个直角 C．对角线总条数等于其边数的多边形是五边形 D．从n边形一个顶点出发可以作条对角线 题型02 多边形的内角和 6．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中一定错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·上海闵行·月考）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如果一个边形的内角和为，那么______． 9．（24-25八年级下·上海·期末）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是_______ ． 10．（25-26八年级下·上海·期中）若n边形共有35条对角线，则该多边形内角和为______． 题型03多边形的外角和 11．（25-26八年级下·上海·期中）一个多边形的边数增加1时，其外角和的变化情况为（   ） A．不变 B．增加 C．增加 D．增加 12．（25-26八年级下·上海闵行·期中）一个多边形，它的每一个外角都是，则该多边形的边数是（   ） A．六 B．七 C．八 D．九 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如果每个内角都相等的多边形的内角和等于，那么该多边形的一个外角等于_______． 15．（25-26八年级下·上海·阶段检测）一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有_______条． 题型04平行四边形的性质 16．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·上海浦东新·期末）若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为_______． 19．（25-26八年级下·上海浦东新·期末）已知平行四边形的一边长为，一条对角线长为，则另一条对角线的取值范围是______． 20．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，在平行四边形中，平分，交边于点平分，交边于点F，如果，那么_______． 21．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在直角坐标平面内，如果的两条对角线的交点正好与坐标原点重合，已知点，那么点C的坐标是________． 22．（24-25八年级下·上海普陀·期末）平行四边形两邻边的长分别为20和16，两条长边的距离是10，那么两条短边的距离等于___________． 23．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角__________°． 24．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，，点是边的中点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论： ①；②；③；④． 一定成立的是_____．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 25．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在平行四边形中，于点E，平分交于点F，若，，，则的长为______． 26．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，的延长线与直线交于点． (1)如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； (2)如果，，求的长． 27．（24-25八年级下·上海嘉定·期末） 如图，在等边三角形中，边长为，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，设运动时间为，试解答下列问题： (1)如果，求对应的的值； (2)当点在线段上时，设四边形的面积为，求与的关系式； (3)如果使得以为顶点的四边形是平行四边形，求出相应的的值． 题型05平行四边形的判定 28．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知四边形，对角线相交于点O，下列条件中，能判断它是平行四边形的是（   ） A． B． C．， D． 29．（23-24八年级下·上海金山·期末）已知在中，点E、F分别在边上，连结，下列条件能使四边形一定是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24八年级下·山东淄博·月考）如图，平行四边形的对角线相交于点O，直线经过点O，分别与的延长线交于点E，F．求证：四边形是平行四边形． 31．（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 32．（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在中，点D、E、F分别为上的点，，且，延长到点 G，使． 求证：互相平分． 33．（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 34．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，点是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若．求线段的长． 35．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）【阅读材料】 老师提出的问题∶ 同学们的方案∶ 如图，在平行四边形中，，为锐角．在对角线上如何确定点、 方案1∶分别作平分平分，交于点、． 的位置，使四边形为平行四边形？ 方案2∶取的两个三等分点、． 方案3∶在上任意取一点，连接，再以为圆心，长为半径画弧，交于点． 【解决问题】 (1)写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图1中画出图形，并说明理由； (2)除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $