山东省德州市庆云县2025-2026学年九年级二模数学试题

九年级数学试题 2026年5月 一，选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1.中国传统经典纹样，广泛应用于器物、建筑与服饰、千古流传，影响深远，下列纹样示意图中既是轴 对称图形又是中心对称图形的是( 风车纹 纹 B 冰裂纹 2.在下列四个数中，其中是无理数的是（)》 A号 2 B./ C.-3.1416 D.v49 3.某几何体的三视图如图所示，该几何体为()】 A B D 4.如图，点A,B分别在平面直角坐标系x轴和y轴上，连接AB,已知AO=2,∠AB0=30°，将△ AOB绕点B顺时针旋转60°得到△DCB,则点D的坐标为( D G B 4题图 6题图 A.4 B.2 C.(4,2V3) D.(23,4) 5某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多25%，结果提前2 天完成任务.设原计划每天生产x个零件，可列方程为( 300 300 300 300 =2 B. =2 X (1+25%)x (1+25%)xx 第1页（共8项） c.30_300 300 ×X+25%=2 D. x+25% 300=2 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 M8、AC于点从M再分别以MN为圆心，大灯于MN的长为半轻酒。两孤在LBMC内交于点 G;作射线AG,交BD于点H若AB=7,OH=2,则S。ABH=( A.7 B.14 C.10 D 7.如图，在△ABC,LACB=90°，乙B=30°，AC=3,P为AB上-点，AP=了AB,动点M,N 分别在边AC和射线BC上（点M不与点A,C重合)，∠MPN=60°，令AH2=x,△BPN的面积 为y则y关于x的函数图象是() M B y◆ y年 4W3 43 83 8v3 5 02 5 y y个 4W3 4W3 8w3 8w3 5 5 5 C. 02 D 02 8.如图，口ABCD中，点E,F分别是AD,AB边上的中点，连接EF、,CE,CF若△CEF是等腰直角三 角形，∠CEF=90°，AB=2,则CF的长是() E A.3 B.2W5 c.22 D.3.5 第2页（共8页） 9.如图，以AB为直径画半圆，点C为半圆的中点，连接AC,BC,点E在弦BC上，∠EAB=号∠CAB. 过点B作AB的垂线交AE的延长线于点D,则D万的值为( c2-3 D.2+3 2 2 10.对某一个函数给出如下定义：对于函数y,若当a≤x≤b,函数值y满足m≤y≤n,且满足n-m=k (b-a),则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①-次函数y=2x-1(1≤x≤5)是“2型闭函数”； ②若一次函数y=ar+2(3≤x≤8)是“1型闭函数”，则a=1; ③反比例函数=炎(k>0.a≤≤6且0<a<b)是"k型闭函数，且：V2026,则2+8=2024： ④二次函数y=-3x2+6a++2a(-1≤x≤1)是“k型闭函数".则k的取值范围是k≥1.5. 其中正确的是() A.①④ B.②④ C.①②③ D.①3④ 二.填空题（本大题共5小题每小题4分，共20分） 1.武③ 一在实数范围内有意义，则x的取值范围是 12.如图.一束光线AB沿着平行于主光轴MN的方向射向凸透镜，经过凸透镜折射后，其折射光线BC 恰与一束经过光心O的光线DE相交于点F(D,O,E共线)若∠ABC=155°，∠DOM=20°，则 ∠EFC的度数为 Q H 12题图 14题图 15题图 第3页（共8页） L 13.设a,b为一元二次方程X2-x-2025=0的两个实数根，则2-+#2026b的值为 14。如图，在平面直角坐标系xO中，A、B为反比例函数y=女化+0)图象上的两点，点A的横坐标 为3，直线AB与x轴交于点C,与y轴交于点D,已知S。4Oc=2,3D0c=4,则k的值为一 I5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E在DC边上，且CE=2DE,连接AE 交BD于点G,过点D作DF⊥AE,连接OF并延长，交DC于点P,过点O作0QL OP分别交AE AD于点N、H,交BA的延长线于点Q,现给出下列结论：①∠AFO=45°；②OG=DG:③DP2= 印O压④sinLAQ0=号：其中正确的结论有 三.大题（本大题共8小题，共90分) 16.计算： (1)计算：-2+(-2)2+2026-)0+2-31： (2) 2a+1 ,a+1 a--a2-2a+1÷a-i 17.【项目背景】 为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球。 长跑等。该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计. 【数据收集与整理】 (一)现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组(x表示成绩，单位：米)进行整理。 A组：5.25≤x<6.25;B组：6.25≤x<7.25:C组：725≤x<8.25;D组：8.25≤x<925:E组925≤ x<10.25,并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整1.规定x≥6.25为合格，x≥9.25为优秀 15叶领数（学生人数） E 10% A 10---- B C 30% 09 5.256.257.258.259.2510.25成绩（米） (二)该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个分钟）进行统计， 成绩统计表如下 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 第4页（共8页） 成绩（个分仲） 60-100 101-130 131-160 161-190 人数 5 8 23 【数据分析与应用】 (1)任务一：掷实心球的女生有 人；掷实心球的女生成绩的中位数落在 组： (2)任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数： (3)任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为A.A2,~A,从中随机抽取两名选手做经验 交流请用树状图或列表法求恰好抽取到选手A1,A2的概率 18.数学课题小组对住房窗户“如何设计遮阳篷”进行了以下探究： 【方案设计】 要求设计的遮阳盛既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射人室 内.该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷CD垂直于墙面AC, AB表示窗户 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC 最大，且最大角∠ADC=5°：冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角LBDC 最小，且最小角∠BDC=35°， 【问题提出】 (1)如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当CD=0.9m时，求AC的长： (2)如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天的阳光，又能最大限度地使冬天的阳光射入 室内.当AB=1.8m时，根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长 (结果精确到0.1m)(参考数据：s1n75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.7，sin35°=0.57，co535 =0.82.tan35°=07) Caeaaaa /D D B 图1 2 图3 第5页（共8顶） 【9。为提升学生动手实践操作能力，开阔学生视野，某枚决定九年级学生到中小学实要基地进行为阴两周 的实训，现需要租用大、小两种型号的客车，若和用9辆大型客车和6辆小恩客车，则一共需要6150 元，若租用8辆大型客车和12辆小型客车，则一共需要7800元 (1)租用每柄大型客车、每两小型客车的价格分别是多少元？ (2)经学校研究决定九年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该枚计划租用大，小两种型号的 客车共25辆，其中租用大型客车辆，且大型客车的数量至少比小型客车的数量乡5辆，又不超过小 型客车的数量的2倍.怎样租车，才能使总费用W最少？并求出最少租车费用 20.如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数n=a+b与反比例函数y2=受的图象交于点A(1.6), B(n.-2 (1)求一次函数及反比例函数的表达式： (2)若P为直线AB上一动点，当AP=2BP时，求点P的坐标： 第6页（共8页） ⊕ 21.如图，AB为OO的直径，点C,D在OO上，∠ABC=2∠BAD,过点D作DE∥AC,交AB的延长 线于点E (1)求证：DE是⊙O的切线： )连接CD交AB于点E若5-君，BE=4,求AF的的 22.已知抛物线y=a2+b+c(a,b,c为常数，a>0,b<0)的顶点为P,与y轴交于点C,O为坐标原 点 (1)当a=2.b=-4,c=-3时，则该抛物线顶点P的坐标为 (2)若2rb=0. ①M是抛物线上第一象限内一点，设M(2,m,∠MOP=90°，且OM=OP,求c的值： ②若抛物线与x轴的一个交点坐标(3,0)，点D在抛物线的对称轴上，当2DC4DP的最小值为1+√3 时，求a的值 第7页（共8项） 23如图，在△ABC中，AC=BC 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠ACB=60°，将AC绕点C顺时针旋转30°得到线段CD,连接AD.BD.求LADB 的度数： (2)如图2，若∠ACB=90°，将AC绕点C顺时针旋转α(0°<a<90°)得到线段CD.连接AD. BD,点E是AD的中点，连接CE交BD于点F,用等式表示线段CF,BF,DF之同的数量关系，并 证明： (3)如图3，若∠ACB=120°，将AC绕点C旋转得到线段CD,连接BD.当BD取最大值时，在直 线BC上取一点M,连接AM,将△MAB沿AM翻折到△ABC所在的平面内，得到△MAN,连接DN当 DN取最小值时，直接写出△CDN的值 S△ABC 第8页（共8页）2026年05月09日李洪蕾的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一.选择题（共10小题） 题号 2 3 4 6 8 9 10 答案 C B B D D 二.填空题（共5小题） 11.x≤3且x≠0. 12.45°. 13.2026. 14.6. 15.①②③. 三.解答题（共8小题） 16.【解答】解：(1)原式=-4+4+1+2-√3 =3-√5： (2)原式-名品器 a+1_.a-1 21 =a-1-a-可 1 =a了 -10分 17.【解答】解：(1)50，-- -1分 C; --2分 5 (2)E组优秀率为50×100%=10%， 所以这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数为200×10%=20（人），- ----6分 (3)由成绩统计表得跳绳个数在161~190的选手共有50-5-8-23=4人，依次记为A1,A2,A, A4,画树状图如下： 第1页（共10页) 开始 A3 A2A3A4 A1A3A4 Al A2A4 A A2A3 -9分 由树状图可知：共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手A1,A2的有两种， ·恰好抽到选手A1,A的概率为P=2= 21 --10分 18.【解答】解：(1)在Rt△ACD中，∠ADC=75°，CD=0.9m, :tanzADC=eS=0S≈3.7. ACAC .AC≈3.7×0.9≈3.3（m), 答：AC的长约为3.3m; -4分 （2)在Rt△BCD中，∠BDC=35°， tan-BDC-8-tan350.7, ∴.BC≈0.7CD 在Rt△ACD中，∠ADC=75°， tan∠ADC=S=3.7 ∴.AC≈3.7CD, ∴.AB=AC-BC≈(3.7-0.7)CD=1.8m, 解得CD≈0.6m, 答：遮阳篷CD的长约为0.6m. -10分 19.【解答】解：（1)由题意，设租用大型客车每辆x元，租用小型客车每辆y元， -8+98y6060o ∴.x=450,y=350. 答：租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元； -------- -4分 (2)由题意，大型a辆，则小型（25-a)辆， a-(25-a)≥5 a≤2(25-a) 15≤s9, 第2页（共10页) 又a为整数， ∴.a=15或16. -6分 又，W=450a+350（25-a)=100+8750,且k=100>0, -8分 ∴.w随a增大而增大， ∴.当a=15时费用最少，此时大型客车为15辆，小型客车：25-15=10（辆）. 9分 ∴.最少费用：W=100×15+8750=10250（元).- --10分 20.【解答】解：(1)一次函数1=ax+b与反比例函数的图象交于点A(1,6),B(n,-2), ∴.m=1×6=-2n, ∴m=6,n=-3, 反比例函数的表达式为n=,B(-3,-2), -2分 把点A,点B的坐标分别代入Ⅵ=ax+b得： ∫a+b=6 -3a+b=-2' 第得份二子 ∴.一次函数的表达式为y=2x+4;- --4分 (2)①若P在线段AB上，如图1，过B点作平行于x轴的直线BM,过P点作PML BM垂直于直 线BM于M点，过A点作AN垂直于直线BM于N点. P 图1 设P(a,2a计4)， ,PM∥AN .∴.△PBM∽△ABN, 第3页（共10页） PM BP AN=BA .AP=2BP, PM BP 1 AN=BA-3 12a+6 “3=8 解得一3 P点的华标为(-子号》： -8分 ②当点P在B点的下方时，如图2，过B点作平行于x轴的直线BE,过A点作AE垂直于直线BE于 E点，过P点作PF垂直于AE的延长线于F点. 2 A 01 B -E P 图2 设P(a,2at4), BE∥PF, ∴.△ABG△APF, BE AB PF=AP AP=2BP, BE AB 1 PF=AP=2 41 1-a=2 第4页（共10页) 解得：a=-7（经检验，是分式方程的解，且符合题意)， ∴.P点的坐标为(-7，-10). 综上所述，P点的坐标为(，或(-7，-10)：宁 -12分 21.【解答】(1)证明：连接OD, E :AB为⊙O的直径， ∴.∠C=90° , .∠CAB叶∠ABC=90°， OA=OD. ∴.∠BAC=∠ODA, .·∠BOD=∠BACH∠ODA, .∴.∠BOD=2∠BAD .'∠ABC=2∠BAD ∴.∠ABC=∠DOE, .AC∥DE, .∠A=∠E, :∠A+∠ABC=90°， ..∠E+∠EOD=90°， ∴.∠ODE=90°， OD是⊙O的半径， ∴.DE是⊙O的切线；-- -6分 2):器-号 ∴.设OF=5k,FB=6k ∴.AO=OD=OB=11k, ,∠BOD=∠ABC, 第5页（共10页) ∴.OD∥BC, ∴.△OFD∽△BFC, OD OF BC-BF 11k5 BC-6' BC-5. .'∠ABC=∠EOD,∠CAB=∠DEO, ∴.△ABCM△EOD, 、ABBC 0E=0D 22k 11k+4=11k 6 k仁 AF=22k-6k=16K= 96 -12分 22.【解答】解：(1)该抛物线顶点P的坐标为（1，-5)； -2分 (2)①如图1，过M点作MNLx轴于点N,过P点作PE⊥x轴于点E. y M 0 EN 图1 ,2a+b=0. ∴.b=-2a, .y=ax2-2ax+c,抛物线的对称轴为直线x=1, .MN⊥ON,PE⊥ON,OM=OP, ∴.∠MNO=∠OEP=90°，∠OM4∠MON=90°，∠MON4EOP=90°， ∴.∠OMN=∠POE, 在△MON和△OPE中， 第6页（共10页) ∠OMN=∠POE ∠MNO=∠OEP, LOM=PO ∴.△MON≌△OPE(AAS), ∴.MN=OE,ON=PE, M(2,m), ∴.MN=OE=m,ON=PE=-2, P点坐标为（m,-2), P点坐标为（1，-2)， .M点坐标为（2,1)， 将P(1,-2),M(2,1)代人y=ax2-2ax+c,得： a-2a+c=-2, 4a-4a+c=1, a=3, 解得： c=1, ∴c的值为1；---------7分 ②由①知b=-2a,抛物线的对称轴为直线x=1, :抛物线与x轴的一个交点坐标为（3,0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1,0)， ∴.抛物线的解析式为y=a(+1)（x-3)=ax2-2ax-3a, ∴C点坐标为(0，-3a),顶点P坐标为(1，-4a), a>0, .-3a<0,-4a<0,OC=3a, 如图2，过点P作直线PG与直线x=1成30°角，与抛物线的交点为G,交y轴于点H,过点D作 DQL PG,垂足为Q. 第7页（共10页) y A x=l B C, D.0 H 图2 在Rt△PDQ中，DQ=PD:sin30°=2PD. 当C,D,Q三点共线，且CQL PG时，2DC+DP取得最小值， 过点C作CF∥PG交x轴于F, ∴.∠OCF=30°， 又.2DC+DP=(1+3), :.2(DC+7DP)=1+3.DC+DQ=CQ=3 在Rt△CHQ中，∠CHQ=∠DPQ=30°， CH=2c0=2x(3)=1+3.即10H-0C1=1+V5. 在Rt△ocF中，tanL0CF=OC,即3OF 13=3a .OF=√3a,即F点坐标为(3a,0), 则直线CF的解析式为y=V3x-3a, PG∥CF, .设直线PG的解析式为y=√3x+m, 把P(1,-4a)代入得：-4a=3+m, 解得：m=-4a-√3， ∴.直线PG的解析式为y=√3x-4a-√3， .0H=4a+V3, 又OC=3a,a>0, ∴H点在C点下方， 第8页（共10页) ..CH=OH-OC=4a+3-3a=a+3, 1+3=a+3, ∴a的值为1. --13分 23.【解答】解：（1)：AC绕点C顺时针旋转30°得到线段CD, ∴.CD=AC=BC,∠ACD=30°， ∴.∠BCD=90°，∠CBD=∠CDB=45°， ∠CDA=∠CAD=180°-ACD=75°. 2 .∴.∠ADB=∠CDA-∠BDC=30°：--- --3分 (2)BF=DF+2CF: 证明：如图2，过C作CG⊥CF交BF于点G,则∠ACE卧∠ACG=90°， F B 图2 .∠ACGt∠BCG=∠ACB=90°， ∴.∠ACE=∠BCG, 由（1)得CD=AC, ,E是AD的中点， .∴.∠ACE=∠DCE, ∴.∠DCE=∠BCG, CD=AC=BC, ∴.∠CDB=∠CBD 在△CDF和△CBG中， (∠CDF=∠CBG CD=CB N∠DCF=∠BCG ∴.△CDF≌△CBG(ASA), ∴.DF=BG,CF=CG, .FG=2CF, 第9页（共10页) ..BF=BG+FG=DF+2CF; ---8分 (3) ACDN的值为3-1.13分 S△ABC 第10页（共10页）