第十一章 不等式与不等式组（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

该初中数学单元复习讲义通过表格梳理教学目标与重难点，分考点系统构建不等式与不等式组知识体系，涵盖概念、解与解集、性质、解法及实际应用，呈现从基础到综合的递进脉络，突出重点与内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础判断到含参数问题、实际应用（如采购相纸利润计算），培养推理意识与模型意识，帮助学生用数学语言表达现实问题，基础生掌握方法，优秀生深入探究，助力教师精准分层教学。

第十一章 不等式与不等式组 教学目标 1. 熟练掌握有理数全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）不等式、一元一次不等式（组）的相关概念； （2）不等式（组）的解及其解集的表示方法及其求法； （3）不等式的性质； （4）不等式（组）的实际应用。 2. 难点 （1）利用不等式的性质求一些代数式的取值范围； （2）解决含有参数的不等式； （3）不等式（组）的实际应用。 考点01 不等式 1. 不等式的定义： 用不等号不等关系的式子叫做不等式。表示的不等关系必须成立。 2. 常见的不等号与实际意义： ①小于：＜；实际意义为小于，不足等。 ②大于：＞；实际意义为大于，超过等。 ③小于或等于：≤；实际意义为不大于，不超过，至多等。 ④大于或等于：≥；实际意义为不小于，不低于，至少等。 ⑤不等于：符号表示为≠；实际意义为不相等。 3. 列不等式： 审清题意，弄清关键词的含义，找出已知量与未知量以及他们之间存在的关系，然后用不等式将不等关系表示出来。 4. 常见的不等式基本语言与符号表示： 若是正数表示为；若是负数表示为；若是非正数表示为；若是非负数表示为；若是同号表示为；若是异号表示为； 【题型1】判断不等式 1．下列式子：①﹣3＜0；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2＞x+1．其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式， 所以①﹣3＜0；②4x+5＞0；⑤x≠﹣4，⑥x+2＞x+1共有4个． 故选：C． 【题型2】利用不等式表示不等关系 2．2024年12月21日是我国二十四节气中的冬至，某地当天最高气温是14℃，我最低气温5℃，则该地这一天气温t（℃）的变化范围是（　　） A．5≤t≤14 B．t≤14 C．t＜14 D．t≥5 【答案】A 【解答】解：2024年12月21日是我国二十四节气中的冬至，某地当天最高气温是14℃，我最低气温5℃，则该地这一天气温t（℃）的变化范围是5≤t≤14， 故选：A． 3．“x的2倍与5的差是非负数”用不等式表示为 　2x﹣5≥0　 ． 【答案】2x﹣5≥0． 【解答】解：根据题意得：2x﹣5≥0． 故答案为：2x﹣5≥0． 考点02 不等式的解与解集及其表示方法 1. 不等式的解的定义： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。不等式的解是一个具体的数值，有无数个。 2. 不等式的解集： 一般地，一个含有未知数的不等式的所有解组成了这个不等式的解集。它是一个集合，包含了不等式所有的解。 3. 不等式解集的表示方法： (1) 简单不等式表示方法： 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是一个范围。 一般用来表示。 (2) 数轴表示法： （1）中的简单不等式表示的解集可以在数轴上表示出来。 具体步骤： 第一步：确定边界以及是否包含。含等于则包含，用实心圆来表示，不含等于则不包含，用空心圈来表示。 第二步：确定方向。大于向右，小于向左。 第三步：画图。 ①可以表示为： ②可以表示为： ③可以表示为： ④可以表示为： 4. 解不等式： 求不等式的解集的过程叫做解不等式。 【题型1】判断不等式的解 4．下列数是不等式5x﹣3＜7的一个解的是（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解答】解：由题可知， 5x﹣3＜7， 5x＜10， x＜2． 则只有A符合题意； 故选：A． 【题型2】将不等式的解集在数轴上表示出来 5．在数轴上表示不等式x≥2的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：在数轴上表示不等式x≥2的解集为， 故选：D． 6．在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵﹣1≤x＜3， ∴在数轴上表示为： 故选：D． 【题型3】判断数轴上表示的解集 7．如图，数轴上表示的不等式的解集是（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1 【答案】C 【解答】解：依题意得：数轴表示的解集是：x≥﹣1， 故选：C． 8．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（　　） A．﹣3≤x＜8 B．x＜﹣3 C．x≤8 D．﹣3＜x≤8 【答案】D 【解答】解：根据题意得： 这个不等式组的解集是﹣3＜x≤8． 故选：D． 考点03 不等式的性质及其应用 1. 不等式的性质1： 不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 即若，则（）。 2. 不等式的性质2： 不等式的两边同时乘上（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若，则或。 3. 不等式的性质3： 不等式的两边同时乘上（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 若，则或。 4. 不等式的累加性： 若则； 【题型1】根据不等式的性质判断不等式的变形 9．若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 【答案】C 【解答】解：A．∵a＞b， ∴a+4＞b+4，故本选项不符合题意； B．∵a＞b， ∴2a＞2b，故本选项不符合题意； C．当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项符合题意； D．∵a＞b，c2+1≠0， ∴，故本选项不符合题意． 故选：C． 10．下列不等式变形正确的是（　　） A．由a＞b，得am＞bm B．由a＞b，得a﹣2024＜b﹣2024 C．由ab＞ac，得b＜c D．由，得b＞c 【答案】D 【解答】解：根据不等式的基本性质逐项分析判断如下： A．由a＞b，若m＞0，则可得am＞bm，故本选项变形错误，不符合题意； B．由a＞b，得a﹣2024＞b﹣2024，故本选项变形错误，不符合题意； C．由ab＞ac，若a＜0，则可得b＜c，故本选项变形错误，不符合题意； D． ，因为a2+1＞0，所以可得b＞c，故本选项变形正确，符合题意． 故选：D． 【题型2】根据不等式的变形求字母的取值范围 11．若（m﹣1）x＞m﹣1的解集是x＜1，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≤﹣1 C．m＜1 D．m≥1 【答案】C 【解答】解：∵（m﹣1）x＞m﹣1的解集为x＜1， ∴m﹣1＜0， 解得：m＜1， 故选：C． 12．不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a C．a D．a 【答案】B 【解答】解：∵不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2， ∴不等式变号， ∴2a﹣1＜0， ∴a． 故选：B． 13．若x＞y，且（m﹣1）x＞（m﹣1）y，则m的取值范围是 m＞1　 ． 【答案】m＞1． 【解答】解：∵x＞y，且（m﹣1）x＞（m﹣1）y， ∴m﹣1＞0， ∴m＞1． 故答案为：m＞1． 14．若不等式（m﹣2024）x＞m﹣2024两边同时除以（m﹣2024），得x＜1，则m的取值范围是 m＜2024　 ． 【答案】m＜2024 【解答】解：由题意得：m﹣2024＜0， 解得：m＜2024， 故答案为：m＜2024． 【题型3】利用不等式的性质求代数式的取值范围 15．已知2x﹣y＝a2﹣4a+8，x+y＝2a2﹣2a+1，若x≤y，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得，， 解得， ∵x≤y， ∴a2﹣2a+3≤a2﹣2， 解得， 故选：C． 16．若6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为 　﹣2≤t≤﹣1　 ． 【答案】﹣2≤t≤﹣1 【解答】解：∵6a＝3b+12＝2c， ∴3a＝c，2a＝b+4． ∴b＝2a﹣4． ∴t＝2a+b﹣c＝2a+2a﹣4﹣3a＝a﹣4． ∵b≥0，c≤9， ∴3b+12≥12，2c≤18． ∴6a≥12，6a≤18． ∴2≤a≤3． ∴﹣2≤a﹣4≤﹣1． ∴﹣2≤t≤﹣1． 故答案为：﹣2≤t≤﹣1． 17．已知a，b，c为三个非负数，且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1． （1）求c的取值范围； （2）设S＝3a+b﹣7c，求S的最大值和最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意可得方程组， 解得， 因为a，b，c为三个非负数， 故a≥0，b≥0，c≥0， 即可得不等式组， 解得； （2）将代入到S＝3a+b﹣7c中，得 S＝3（7c﹣3）+7﹣11c﹣7c＝3c﹣2， 因为， 故， 即， 故S最大值为，最小值为． 【题型4】利用不等式的性质求简单不等式 18．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）； （2）﹣3x+2＜2x+3． 【答案】（1）x＜﹣75； （2）； 【解答】解：（1）， 不等式两边同时乘以，可得，x＜﹣75， （2）﹣3x+2＜2x+3， 不等式两边同时减2x，可得，﹣3x+2﹣2x＜3， 不等式两边同时减2，可得，﹣5x＜1， 系数化为1，可得，， 考点04 一元一次不等式的定义与解法 1. 一元一次不等式的定义： 只含有1个未知数，且未知数的次数是1的整式不等式，叫做一元一次不等式。整个不等式中分母不含有字母。 2. 一元一次不等式的解法： 具体步骤： ①去分母：在不等式两边同时乘上分母的最小公倍数。（根据等式的性质2） ②去括号：利用去括号的法则去括号。 ③移项：把含有未知数的移到等号的左边，常数移到等号的右边。（根据等式的性质1） ④合并：利用合并同类项法则进行合并。 ⑤系数化为1：不等式两边除以系数或乘上系数的倒数。当系数为负数时，不等号方向一定要改变。（根据不等式的性质2或3） 【题型1】判断一元一次不等式 19．下列各式中，是一元一次不等式的有（　　） ①x＜5；②x（x﹣5）＜5；③；④2x+y＜5+y；⑤a﹣2＜5，⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：①x＜5满足“未知数的次数是1”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意； ②x（x﹣5）＜5不是一元一次不等式，故B选项不符合题意； ③不满足“不等号左右两边为整式”的条件，所以不是一元一次不等式，故C选项不符合题意； ④2x+y＜5+y化简后2x＜5满足“只含有一个未知数”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意． ⑤a﹣2＜5满足“未知数的次数是1”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意； ⑥x不满足“只含有一个未知数”的条件，所以不是一元一次不等式，故选项不符合题意． 故选：B． 【题型2】根据一元一次不等式的定义求值 20．已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：∵（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式， ∴|k|﹣2＝1且k+3≠0， 解得：k＝3， 故选：A． 21．若不等式（k﹣2）x|k|﹣1+3＜5是关于x的一元一次不等式，则k的值是　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：由题意得，|k|﹣1＝1且k﹣2≠0， 解得k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【题型3】解一元一次不等式 22．解下列不等式． （1）2x+1＞3（2﹣x）； （2）． 【答案】（1）x＞1； （2）x≥﹣2． 【解答】解：（1）2x+1＞3（2﹣x）， 去括号得：2x+1＞6﹣3x， 移项得：2x+3x＞6﹣1， 合并同类项得：5x＞5， 系数化为1得：x＞1； （2）， 去分母得：3（x+2）﹣4（x﹣1）≤12， 去括号得：3x+6﹣4x+4≤12， 移项得：3x﹣4x≤12﹣6﹣4， 合并同类项得：﹣x≤2， 系数化为1得：x≥﹣2． 23．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3 （2） 【答案】（1）x≤﹣1，数轴见解析过程； （2）x＞2，数轴见解析过程． 【解答】解：（1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3， 2x﹣11≥4x﹣12+3， 2x﹣4x≥﹣12+3+11， ﹣2x≥2， x≤﹣1． 数轴如下： （2）， 2（2x﹣1）＜3（3x﹣2）﹣6， 4x﹣2＜9x﹣6﹣6， 4x﹣9x＜﹣6﹣6+2， ﹣5x＜﹣10， x＞2． 数轴如下： 【题型4】求一元一次不等式的整数解 24．满足不等式3x﹣5＞﹣1的最小整数是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：解不等式3x﹣5＞﹣1， 移项得：3x＞﹣1+5， 则3x＞4， ∴x， 则最小的整数是2， 故选：C． 25．关于x的不等式x﹣1≤2的正整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【解答】解：解不等式x﹣1≤2得， x≤3， 所以此不等式的正整数解有：1，2，3． 故选：B． 【题型5】根据一元一次不等式的整数解求未知字母 26．若关于x的不等式5x+m≥7x的正整数解是1、2、3、4．则m的取值范围为（　　） A．m＜10 B．m≥8 C．8≤m≤10 D．8≤m＜10 【答案】D 【解答】解：解5x+m≥7x得， ∵该不等式的正整数解为1、2、3、4， ∴， 解得8≤m＜10． 故选：D． 27．已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解答】解：解不等式3x﹣2a＜4﹣5x得：x， ∵关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，是1，2，3， ∴34， 解得：10＜a≤14， ∴整数a可以是11，12，13，14，共4个， 故选：B． 【题型6】不等式中的同解问题 28．若不等式与不等式﹣5x＜m的解集相同，则实数m的值为（　　） A．20 B．24 C．﹣20 D．﹣24 【答案】A 【解答】解： x+5＞﹣2x﹣7 3x＞﹣12 x＞﹣4； 又﹣5x＜m， 解得， ∵不等式与不等式﹣5x＜m的解集相同， ∴， 解得m＝20． 故选：A． 29．我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc，如2×5﹣3×4＝﹣2． （1）求不等式0的解集． （2）若关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值． （3）若关于x的不等式0的解都是（1）中的不等式的解，求n的取值范围． 【答案】（1）x＞1；（2）m；（3）n≥2． 【解答】解：（1）根据题意得式2x﹣1×（3﹣x）＞0， 解不等式得：x＞1； （2）∵0，即3m﹣4x＜0， ∴x， ∵解集与（1）中的不等式解集相同， ∴， ∴m； （3）∵0，即n﹣2x＜0， ∴x， ∵关于x的不等式0的解都是（1）中的不等式的解， ∴1， ∴n≥2． 【题型7】二元一次方程组与一元一次不等式 30．若关于x、y的方程组的解满足x+2y＞﹣1，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：， ①+②得3x+6y＝3k+1，即x+2y， ∵x+2y＞﹣1， ∴1， 解得k， 故选：A． 31．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＜0． （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式（2k+1）x﹣2k＜1的解为x＞1，请写出符合条件的k的整数值． 【答案】（1）k＞﹣3； （2）﹣2，﹣1． 【解答】解：（1）由题意可得， ①﹣②得， x﹣y＝﹣k﹣3， ∵x﹣y＜0， ∴﹣k﹣3＜0， 解得k＞﹣3； （2）不等式移项可得，（2k+1）x＜2k+1， 当2k+1＞0时，x＜1，不符合题意舍去； 2k+1＜0时，x＞1， 解得， 由（1）得k＞﹣3， ∴符合的k值有﹣2，﹣1． 考点05 一元一次不等式组的定义及其解法 1. 一元一次不等式组的定义： 把含有相同未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 2. 一元一次不等式组的解集： 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。 3. 一元一次不等式组的解集的求法： 先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的公共部分。 4. 不等式组的解的情况与图示： ①同大取大：，图示：，解集为。 ②同小取小：，图示：，解集为。 ③大小小大中间找：，图示：，解集为。 ④大大小小无解答：，图示，解集为无解。 【题型1】判断一元一次不等式组 32．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） ①②③④⑤ ⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①②⑥是一元一次不等式，③④⑤不是一元一次不等式组， 故选：C． 【题型2】根据不等式组的解集的情况求未知字母的取值范围 33．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（　　） A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5 【答案】D 【解答】解：由得，x＞5， 因为所给不等式组无解， 所以a≤5． 故选：D． 34．若不等式组的解集为1＜x＜2，则（m+n）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：， 解不等式①得：x＞2﹣m， 解不等式②得：x＜n+4， ∴原不等式组的解集为：2﹣m＜x＜n+4， 由条件可知2﹣m＝1，n+4＝2， ∴m＝1，n＝﹣2， ∴原式＝（﹣1）2025＝﹣1， 故选：A． 35．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥﹣1 B．a＜﹣1 C．a≤1 D．a≤﹣1 【答案】D 【解答】解：∵， ∴解第一个不等式得到x≥﹣a， 解第二个不等式得到x＜1， ∵原不等式组无解， ∴﹣a≥1， 解得a≤﹣1， 故选：D． 36．如果不等式组的解集是x＜2，那么m的取值范围是 m≥2　 ． 【答案】m≥2． 【解答】解：∵3x＜2x+2的解集为x＜2；x＜m的解集为x＜m；且不等式组的解集是x＜2， ∴m≥2， 故答案为：m≥2． 【题型3】解一元一次不等式组 37．解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】﹣3≤x＜1． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＜1， 解不等式②，得：x≥﹣3， 则不等式组的解集为﹣3≤x＜1， 将解集表示在数轴上如下： ． 38．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：， 解①式，得x≥﹣1， 解②式，得＜2， ∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2， 将解集表示在数轴上为：． 【题型4】求一元一次不等式组的整数解 39．解不等式组：，并求它的整数解的和． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：， 由①得x＞﹣2 由②得x≤1 ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1 ∴不等式组的整数解的和为﹣1+0+1＝0． 40．解不等式组：，并指出它的所有的非负整数解． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：， 由①得：x＜2， 由②得：x≥﹣2， ∴不等式的解集为﹣2≤x＜2， 非负整数解为：0，1． 【题型5】根据一元一次不等式组的整数解求未知字母 41．如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a≤1 C．0＜a≤1 D．0≤a＜1 【答案】D 【解答】解：解不等式组得：a＜x＜3， ∵恰好有2个整数解， ∴整数解是2，1， ∴0≤a＜1． 故选：D． 42．若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（　　） A．6＜m＜7 B．6＜m≤7 C．6≤m＜7 D．3≤m＜4 【答案】B 【解答】解：， 解不等式①得：x＜m， 解不等式②得：x≥3， ∴不等式组的解集为：3≤x＜m， ∵不等式组有4个整数解， ∴不等式组的整数解是3，4，5，6， ∴6＜m≤7． 故选：B． 【题型6】方程（组）与一元一次不等式组 43．若关于x，y的方程组的解满足不等式组，则满足条件的m的整数值是（　　） A．2，3 B．2，﹣3 C．﹣2，﹣3 D．﹣2，3 【答案】C 【解答】解：， ②﹣①×2，得7y＝4， 解得y， 把y代入①，得x＝m， 将代入不等式组，得， 即， 解得﹣4＜m， 则m的整数值为﹣3或﹣2． 故选：C． 44．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m﹣5|﹣|m+2|； （3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得﹣2＜m≤3； （2）∵﹣2＜m≤3， ∴m﹣5＜0，m+2＞0， 则原式＝5﹣m﹣m﹣2＝3﹣2m （3）由不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1，知2m+1＜0； 所以， 又因为﹣2＜m≤3， 所以， 因为m为整数， 所以m＝﹣1． 考点06 一元一次不等式（组）的实际应用 1. 列一元一次不等式（组）解决实际问题的基本步骤： ①审题：认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，要抓住题设的关键字，如大于、小于、不大于、不小于等，并要准确理解他们的含义。 ②设：设出适当的未知数。 ③列：根据题目中的不等量关系，列出不等式（组）。 ④解：解出所列的不等式（组）的解集。 ⑤答：检验结果是否符合题意，并写出答案。 【题型1】从实际问题中抽象出不等式（组） 45．某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（　　） A．10x﹣5（20﹣x）＞80 B．10x﹣5（20﹣x）≤80 C．10x﹣5x≥80 D．10x﹣5（20﹣x）≥80 【答案】D 【解答】解：由题意可列出的不等式为10x﹣5（20﹣x）≥80， 故选：D． 46．小明要从天府广场到武侯祠，两地相距2.5千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A．200x+70（40﹣x）≥2500 B．200x+70（40﹣x）≤2500 C．200x+70（40﹣x）≥2.5 D．200x+70（40﹣x）≤2.5 【答案】A 【解答】解：设他跑步的时间为x分钟，则他步行时间为（40﹣x）分钟， 根据题意，得：200x+70（40﹣x）≥2500， 故选：A． 47．老师将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数．设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵每人分4本，则还剩77本书， ∴书的总本数为（4x+77）， ∵每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， ∴4x+77﹣6（x﹣1）＞0且4x+77﹣6（x﹣1）＜5， ∴， 故选：C． 48．某中学计划采购A，B两种型号的黑板共60块，经洽谈，一块A型黑板需要100元，一块B型黑板需要80元．根据实际需求，B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍，且学校此次划拨采购黑板的总费用为5240元．学校应该采购A，B两种型号黑板各多少块？设采购A型黑板x块，则根据题意可以列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵采购A型黑板x块，计划采购A，B两种型号的黑板共60块， ∴采购B型黑板（60﹣x）块， ∵B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍， ∴60﹣x≤2x； ∵学校此次划拨采购黑板的总费用为5240元， ∴100x+80（60﹣x）≤5240； 即． 故选：D． 【题型2】利用不等式（组）解决实际问题 49．重庆江滩公园夜景引来众多游客观赏，拍照留念．小渝计划网购A、B两种类型的拍立得相纸前往公园摆摊拍照，已知购进1盒A型号和2盒B型号相纸共需161元，购进2盒A型号和3盒B型号相纸共需264元． （1）求购进A型号相纸和B型号相纸每盒的单价分别是多少元？ （2）若小渝计划购进A，B两种型号的相纸共50盒，每盒均包含10张相纸．并将A，B两种型号的相纸分别以8元/张，10元/张拍照售出，为了保证全部售完后的总利润不低于1890元，最多购进A型号的相纸多少盒？ 【答案】（1）购进A型号相纸每盒的单价是45元，购进B型号相纸每盒的单价是58元； （2）最多购进A型号的相纸30盒． 【解答】解：（1）设购进A型号相纸每盒的单价是x元，购进B型号相纸每盒的单价是y元，根据题意，得， 解得：， 答：购进A型号相纸每盒的单价是45元，购进B型号相纸每盒的单价是58元． （2）设购进A型号的相纸m盒，则购进B型号相纸（50﹣m）盒，根据题意，得（10×8﹣45）m+（10×10﹣58）（50﹣m）≥1890， 解得：m≤30， 答：最多购进A型号的相纸30盒． 50．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）购进1个甲型头盔需要30元，1个乙型头盔需要65元； （2）最多可购进乙型头盔30个； （3）能实现利润不少于1540元的目标，该商场共有3种采购方案： 方案1：购进甲型头盔22个，乙型头盔28个； 方案2：购进甲型头盔21个，乙型头盔29个； 方案3：购进甲型头盔20个，乙型头盔30个． 【解答】解：（1）设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进1个甲型头盔需要30元，1个乙型头盔需要65元； （2）设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔（50﹣m）个， 根据题意得：30（50﹣m）+65m≤2550， 解得：m≤30， ∴m的最大值为30． 答：最多可购进乙型头盔30个； （3）根据题意得：（98﹣65）m+（58﹣30）（50﹣m）≥1540， 解得：m≥28， 又∵m≤30，且m为正整数， ∴m可取28，29，30， ∴能实现利润不少于1540元的目标，该商场共有3种采购方案： 方案1：购进甲型头盔22个，乙型头盔28个； 方案2：购进甲型头盔21个，乙型头盔29个； 方案3：购进甲型头盔20个，乙型头盔30个． 51．为了更好地保护环境，某市污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知2台A型污水处理设备和1台B型污水处理设备每周可以处理污水680吨，4台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1560吨． （1）求A、B两型污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？ （2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请求出共有几种购买方案？哪种购买方案的费用是最少？ 【答案】（1）A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨； （2）有三种购买方案；选择购买A型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台所需资金最少． 【解答】解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨， 由题意，得， 解得， 答：A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨； （2）解购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水处理设备（20﹣a）台， 则 解得，12.5≤a≤15， ∵a为整数 ∴a取13，14，15 ∴共有三种购买方案， 方案一：购买A型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台； 方案二：购买A型污水处理设备14台，购买B型污水处理设备6台； 方案三：购买A型污水处理设备15台，购买B型污水处理设备5台； 方案一所需资金：13×12+7×10＝226（万元）； 方案二所需资金：14×12+6×10＝228（万元）； 方案三所需资金：15×12+5×10＝230（万元）； ∵226＜228＜230， ∴选择方案一所需资金最少． 52．某校服生产厂家计划在年底推出两款新校服A和B共80套，预计前期投入资金不少于20600元，但不超过20660元，且所投入资金全部用于两种校服的研制，其成本和售价如表： A B 成本价（元/套） 250 280 售价（元/套） 300 340 （1）该厂家有几种生产新校服的方案可供选择？ （2）该厂家要想获得最大的利润，最大利润为多少？ （3）经市场调查，年底前每套B款校服售价不会改变，而每套A款校服的售价将会提高m元（m＞0），且所生产的两种校服都可以售完，该厂家又该如何安排生产校服才能获得最大利润呢？ 【答案】（1）厂家共有三种方案可供选择，分别是：方案一、生产A校服58套，生产B校服22套；方案二、生产A校服59套，生产B校服21套；方案三、生产A校服60套，生产B校服20套； （2）该厂家采用生产方案一可以获得最大的利润，最大利润为4220元； （3）①当0＜m＜10时，安排生产A校服58套，可获得最大利润，②当m＝10时，怎么安排生产利润总是定值4800元，③当m＞10时，安排生产A校服60套，可获得最大利润． 【解答】解：（1）设生产A校服x套，则生产B校服（80﹣x）套，根据题意得： ， 解得：58≤x≤60， ∵x为整数， ∴x只能取58、59、60， ∴厂家共有三种方案可供选择，分别是： 方案一、生产A校服58套，生产B校服22套； 方案二、生产A校服59套，生产B校服21套； 方案三、生产A校服60套，生产B校服20套； 答：厂家共有三种方案可供选择，分别是：方案一、生产A校服58套，生产B校服22套；方案二、生产A校服59套，生产B校服21套；方案三、生产A校服60套，生产B校服20套； （2）设总利润为y，则y＝（300﹣250）x+（340﹣280）（80﹣x）＝50x+60（80﹣x）＝4800﹣10x， ∵﹣10＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x取最小值时，y最大， ∴当x取58时，y取得最大值为4800﹣10×58＝4220（元）， 答：该厂家采用生产方案一可以获得最大的利润，最大利润为4220元； （3）∵总利润y′＝（300﹣250+m）x+（340﹣280）（80﹣x）＝（50+m）x+60（80﹣x）＝（m﹣10）x+4800， ∴分为三种情况：①当0＜m＜10时，安排生产A校服58套，可获得最大利润， ②当m＝10时，生产利润总是定值4800元， ③当m＞10时，安排生产A校服60套，可获得最大利润． 答：①当0＜m＜10时，安排生产A校服58套，可获得最大利润，②当m＝10时，怎么安排生产利润总是定值4800元，③当m＞10时，安排生产A校服60套，可获得最大利润． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 不等式与不等式组 教学目标 1. 熟练掌握有理数全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）不等式、一元一次不等式（组）的相关概念； （2）不等式（组）的解及其解集的表示方法及其求法； （3）不等式的性质； （4）不等式（组）的实际应用。 2. 难点 （1）利用不等式的性质求一些代数式的取值范围； （2）解决含有参数的不等式； （3）不等式（组）的实际应用。 考点01 不等式 1. 不等式的定义： 用不等号不等关系的式子叫做不等式。表示的不等关系必须成立。 2. 常见的不等号与实际意义： ①小于：＜；实际意义为小于，不足等。 ②大于：＞；实际意义为大于，超过等。 ③小于或等于：≤；实际意义为不大于，不超过，至多等。 ④大于或等于：≥；实际意义为不小于，不低于，至少等。 ⑤不等于：符号表示为≠；实际意义为不相等。 3. 列不等式： 审清题意，弄清关键词的含义，找出已知量与未知量以及他们之间存在的关系，然后用不等式将不等关系表示出来。 4. 常见的不等式基本语言与符号表示： 若是正数表示为；若是负数表示为；若是非正数表示为；若是非负数表示为；若是同号表示为；若是异号表示为； 【题型1】判断不等式 1．下列式子：①﹣3＜0；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2＞x+1．其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2】利用不等式表示不等关系 2．2024年12月21日是我国二十四节气中的冬至，某地当天最高气温是14℃，我最低气温5℃，则该地这一天气温t（℃）的变化范围是（　　） A．5≤t≤14 B．t≤14 C．t＜14 D．t≥5 3．“x的2倍与5的差是非负数”用不等式表示为 　 　 ． 考点02 不等式的解与解集及其表示方法 1. 不等式的解的定义： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。不等式的解是一个具体的数值，有无数个。 2. 不等式的解集： 一般地，一个含有未知数的不等式的所有解组成了这个不等式的解集。它是一个集合，包含了不等式所有的解。 3. 不等式解集的表示方法： (1) 简单不等式表示方法： 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是一个范围。 一般用来表示。 (2) 数轴表示法： （1）中的简单不等式表示的解集可以在数轴上表示出来。 具体步骤： 第一步：确定边界以及是否包含。含等于则包含，用实心圆来表示，不含等于则不包含，用空心圈来表示。 第二步：确定方向。大于向右，小于向左。 第三步：画图。 ①可以表示为： ②可以表示为： ③可以表示为： ④可以表示为： 4. 解不等式： 求不等式的解集的过程叫做解不等式。 【题型1】判断不等式的解 4．下列数是不等式5x﹣3＜7的一个解的是（　　） A． B．2 C． D．3 【题型2】将不等式的解集在数轴上表示出来 5．在数轴上表示不等式x≥2的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型3】判断数轴上表示的解集 7．如图，数轴上表示的不等式的解集是（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1 8．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（　　） A．﹣3≤x＜8 B．x＜﹣3 C．x≤8 D．﹣3＜x≤8 考点03 不等式的性质及其应用 1. 不等式的性质1： 不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 即若，则（）。 2. 不等式的性质2： 不等式的两边同时乘上（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若，则或。 3. 不等式的性质3： 不等式的两边同时乘上（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 若，则或。 4. 不等式的累加性： 若则； 【题型1】根据不等式的性质判断不等式的变形 9．若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 10．下列不等式变形正确的是（　　） A．由a＞b，得am＞bm B．由a＞b，得a﹣2024＜b﹣2024 C．由ab＞ac，得b＜c D．由，得b＞c 【题型2】根据不等式的变形求字母的取值范围 11．若（m﹣1）x＞m﹣1的解集是x＜1，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≤﹣1 C．m＜1 D．m≥1 12．不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a C．a D．a 13．若x＞y，且（m﹣1）x＞（m﹣1）y，则m的取值范围是 　 ． 14．若不等式（m﹣2024）x＞m﹣2024两边同时除以（m﹣2024），得x＜1，则m的取值范围是 　 ． 【题型3】利用不等式的性质求代数式的取值范围 15．已知2x﹣y＝a2﹣4a+8，x+y＝2a2﹣2a+1，若x≤y，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 16．若6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为 　 　 ． 17．已知a，b，c为三个非负数，且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1． （1）求c的取值范围； （2）设S＝3a+b﹣7c，求S的最大值和最小值． 【题型4】利用不等式的性质求简单不等式 18．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）； （2）﹣3x+2＜2x+3． 考点04 一元一次不等式的定义与解法 1. 一元一次不等式的定义： 只含有1个未知数，且未知数的次数是1的整式不等式，叫做一元一次不等式。整个不等式中分母不含有字母。 2. 一元一次不等式的解法： 具体步骤： ①去分母：在不等式两边同时乘上分母的最小公倍数。（根据等式的性质2） ②去括号：利用去括号的法则去括号。 ③移项：把含有未知数的移到等号的左边，常数移到等号的右边。（根据等式的性质1） ④合并：利用合并同类项法则进行合并。 ⑤系数化为1：不等式两边除以系数或乘上系数的倒数。当系数为负数时，不等号方向一定要改变。（根据不等式的性质2或3） 【题型1】判断一元一次不等式 19．下列各式中，是一元一次不等式的有（　　） ①x＜5；②x（x﹣5）＜5；③；④2x+y＜5+y；⑤a﹣2＜5，⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2】根据一元一次不等式的定义求值 20．已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．无法确定 21．若不等式（k﹣2）x|k|﹣1+3＜5是关于x的一元一次不等式，则k的值是　 　 ． 【题型3】解一元一次不等式 22．解下列不等式． （1）2x+1＞3（2﹣x）； （2）． 23．解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （1）2x﹣11≥4（x﹣3）+3 （2） 【题型4】求一元一次不等式的整数解 24．满足不等式3x﹣5＞﹣1的最小整数是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 25．关于x的不等式x﹣1≤2的正整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【题型5】根据一元一次不等式的整数解求未知字母 26．若关于x的不等式5x+m≥7x的正整数解是1、2、3、4．则m的取值范围为（　　） A．m＜10 B．m≥8 C．8≤m≤10 D．8≤m＜10 27．已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型6】不等式中的同解问题 28．若不等式与不等式﹣5x＜m的解集相同，则实数m的值为（　　） A．20 B．24 C．﹣20 D．﹣24 29．我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc，如2×5﹣3×4＝﹣2． （1）求不等式0的解集． （2）若关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值． （3）若关于x的不等式0的解都是（1）中的不等式的解，求n的取值范围． 【题型7】二元一次方程组与一元一次不等式 30．若关于x、y的方程组的解满足x+2y＞﹣1，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 31．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＜0． （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式（2k+1）x﹣2k＜1的解为x＞1，请写出符合条件的k的整数值． 考点05 一元一次不等式组的定义及其解法 1. 一元一次不等式组的定义： 把含有相同未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 2. 一元一次不等式组的解集： 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由他们组成的一元一次不等式组的解集。 3. 一元一次不等式组的解集的求法： 先分别求出不等式组中的每一个不等式，然后找出他们解集的公共部分。 4. 不等式组的解的情况与图示： ①同大取大：，图示：，解集为。 ②同小取小：，图示：，解集为。 ③大小小大中间找：，图示：，解集为。 ④大大小小无解答：，图示，解集为无解。 【题型1】判断一元一次不等式组 32．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） ①②③④⑤ ⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】根据不等式组的解集的情况求未知字母的取值范围 33．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（　　） A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5 34．若不等式组的解集为1＜x＜2，则（m+n）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 35．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥﹣1 B．a＜﹣1 C．a≤1 D．a≤﹣1 36．如果不等式组的解集是x＜2，那么m的取值范围是 　 ． 【题型3】解一元一次不等式组 37．解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 38．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【题型4】求一元一次不等式组的整数解 39．解不等式组：，并求它的整数解的和． 40．解不等式组：，并指出它的所有的非负整数解． 【题型5】根据一元一次不等式组的整数解求未知字母 41．如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a≤1 C．0＜a≤1 D．0≤a＜1 42．若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（　　） A．6＜m＜7 B．6＜m≤7 C．6≤m＜7 D．3≤m＜4 【题型6】方程（组）与一元一次不等式组 43．若关于x，y的方程组的解满足不等式组，则满足条件的m的整数值是（　　） A．2，3 B．2，﹣3 C．﹣2，﹣3 D．﹣2，3 44．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m﹣5|﹣|m+2|； （3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1． 考点06 一元一次不等式（组）的实际应用 1. 列一元一次不等式（组）解决实际问题的基本步骤： ①审题：认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，要抓住题设的关键字，如大于、小于、不大于、不小于等，并要准确理解他们的含义。 ②设：设出适当的未知数。 ③列：根据题目中的不等量关系，列出不等式（组）。 ④解：解出所列的不等式（组）的解集。 ⑤答：检验结果是否符合题意，并写出答案。 【题型1】从实际问题中抽象出不等式（组） 45．某次知识竞赛共有20道选择题，每题答对得10分，答错或不答都扣5分，若要使总得分不低于80分，则至少应答对多少道题？若设应答对x道题，则根据题意可列出不等式为（　　） A．10x﹣5（20﹣x）＞80 B．10x﹣5（20﹣x）≤80 C．10x﹣5x≥80 D．10x﹣5（20﹣x）≥80 46．小明要从天府广场到武侯祠，两地相距2.5千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A．200x+70（40﹣x）≥2500 B．200x+70（40﹣x）≤2500 C．200x+70（40﹣x）≥2.5 D．200x+70（40﹣x）≤2.5 47．老师将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数．设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（　　） A． B． C． D． 48．某中学计划采购A，B两种型号的黑板共60块，经洽谈，一块A型黑板需要100元，一块B型黑板需要80元．根据实际需求，B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的2倍，且学校此次划拨采购黑板的总费用为5240元．学校应该采购A，B两种型号黑板各多少块？设采购A型黑板x块，则根据题意可以列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【题型2】利用不等式（组）解决实际问题 49．重庆江滩公园夜景引来众多游客观赏，拍照留念．小渝计划网购A、B两种类型的拍立得相纸前往公园摆摊拍照，已知购进1盒A型号和2盒B型号相纸共需161元，购进2盒A型号和3盒B型号相纸共需264元． （1）求购进A型号相纸和B型号相纸每盒的单价分别是多少元？ （2）若小渝计划购进A，B两种型号的相纸共50盒，每盒均包含10张相纸．并将A，B两种型号的相纸分别以8元/张，10元/张拍照售出，为了保证全部售完后的总利润不低于1890元，最多购进A型号的相纸多少盒？ 50．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 51．为了更好地保护环境，某市污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知2台A型污水处理设备和1台B型污水处理设备每周可以处理污水680吨，4台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1560吨． （1）求A、B两型污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？ （2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请求出共有几种购买方案？哪种购买方案的费用是最少？ 52．某校服生产厂家计划在年底推出两款新校服A和B共80套，预计前期投入资金不少于20600元，但不超过20660元，且所投入资金全部用于两种校服的研制，其成本和售价如表： A B 成本价（元/套） 250 280 售价（元/套） 300 340 （1）该厂家有几种生产新校服的方案可供选择？ （2）该厂家要想获得最大的利润，最大利润为多少？ （3）经市场调查，年底前每套B款校服售价不会改变，而每套A款校服的售价将会提高m元（m＞0），且所生产的两种校服都可以售完，该厂家又该如何安排生产校服才能获得最大利润呢？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $