黑龙江省北安二中2025-2026学年度九年级数学下学期阶段测试（人教版九年级下册第28章）

**基本信息** 针对人教版九年级下第28章锐角三角函数的单元卷，含原创题与实际应用问题，适配单元复习，考查数学眼光、思维与语言，注重基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|7/28|sinA定义、特殊角三角函数值、互余角关系|基础概念辨析，如第1题考查正弦定义| |填空题|5/20|网格三角函数、折叠问题、圆与坐标|原创题（第12题折叠），考查几何直观| |解答题|6/52|三角函数计算、实际应用（遮阳篷）、探究题|实际应用（第17题遮阳篷设计）体现应用意识；探究题（第15题构造辅助线）发展推理能力|

黑龙江省北安二中2025-2026学年度九年级数学下学期阶段测试（人教版九年级下第28章） 一．选择题（共7小题，满分28分，每小题4分） 1．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，下列比值中等于sinA的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）若，则锐角α的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 3．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 4．（4分）下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（　　） A．cos46° B．tan46° C．sin46° D．sin88° 5．（4分）第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽如图1所示，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若，AB＝BC＝1，则sin∠BOC的值为（　　） A． B． C．2 D． 6．（4分）如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC．若AB＝3，AD＝4，则tan∠CAD的值为（　　） A． B． C． D． 7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线CE，DF交于点G，若点C，D，E，F的坐标分别为（0，3），（2，0），（4，0），（0，4），则cos∠DGE的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分20分，） 8．（4分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、D都在格点上，则sin∠DBC的值是　 　 ． 9．（4分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，若AB＝3，BE＝4，则tan∠ACB的值为　 　 ． 10．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第二象限内，⊙A经过坐标原点O，并与两坐标轴分别相交于B，C两点，点D在⊙A上，已知，点C的坐标为（0，4），则圆心A的坐标是　 　 ． 11．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为AD边上一动点（不与A、D重合），连接BP，过C点作CE⊥BP，垂足为点E，点F为CE的中点．线段DF的最小值是　 　 ． （原创题）12．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是AD边中点，连接CE，将△CDE沿CE折叠，使点D落在点F处，＝ 　 ． 三．解答题（共6小题，满分52分） 13．（6分）计算：． 14．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，点D在BC边上，∠CAD＝30°，且． （1）求线段BD的长； （2）求sin∠BAD的值． 15．（8分）（1）【实践探究】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，求的值．小南构造了包含的直角三角形：延长CA到点D，使DA＝AB，连接BD．可得，问题即转化为求∠D的正切值，请按小南的思路求的值． （2）【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，，求tan2∠A的值． 16．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，E是⊙O上一点，连接CE交AB于点D，使AD＝AE，延长CE至点F，连接AF，使∠AFE＝∠BAC． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若，求DF的长度． 17．（10分）数学课题小组对住房窗户“如何设计遮阳篷”进行了以下探究： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷CD垂直于墙面AC，AB表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大，且最大角∠ADC＝75°；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小，且最小角∠BDC＝35°． 【问题提出】 （1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当CD＝0.9m时，求AC的长； （2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天的阳光，又能最大限度地使冬天的阳光射入室内．当AB＝1.8m时，根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长． （结果精确到0.1m）（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.7，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.7） （原创题）18．（12分）如图，矩形ABCD，点E在BC上，点F在CD上，且△AEF是等腰直角三角形，∠AEF=90°，易证△ABE≌△ECF，若AB=b，BE=a，∠BAE=，∠DAF=，则度； ； ； 根据上面结论完成下面问题： （1）若45°，，则 ； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D在AC上，点E在BC上，CD＝3，分别连接BD，AE交于F点．若∠BFE＝45°，则CE的长为　 　 ． （3）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，对称轴为直线x＝1，AB＝4．连接AC、BC，抛物线上是否存在点P，使∠BAP+∠ACO＝∠OCB，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由； 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $黑龙江省北安二中北安二中2025-2026学年度九年级数学下学 题号 难度 知识点 分值 一、选择题 1 易 锐角三角函数的定义 4 2 易 特殊角的三角函数值 4 3 易 互余两角三角函数的关系 4 4 较易 锐角三角函数的增减性 4 5 中档 解直角三角形的应用 4 6 中档 解直角三角形 4 7 较易 解直角三角形 4 二、填空题 8 较易 解直角三角形 4 9 中档 解直角三角形 4 10 中档 解直角三角形 4 11 中档 解直角三角形 4 12 中档 翻折变换（折叠问题） 4 三、解答题 13 易 特殊角的三角函数值 6 14 易 解直角三角形 6 15 中档 解直角三角形 8 16 较易 解直角三角形 10 17 中档 解直角三角形的应用 10 18 难 解直角三角形综合应用 12 $ 黑龙江省北安二中2025-2026学年度九年级数学下学期阶段测试（人教版九年级下第28章） 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题，满分28分，每小题4分） 1．解：∵∠C＝90°，∴sinA．故选：B． 2．解：由题意得， 又∵，且α为锐角， ∴α+10°＝30°， ∴α＝20°． 故选：A． 3．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA， ∴sinA， ∴设BC＝4a，AB＝5a， ∴AC3a， ∴tanB， 故选：D． 4．解：∵cos46°＝sin（90°﹣46°）＝sin44°，44°＜46°＜88°， ∴0＜sin44°＜sin46°＜sin88°＜1， ∵tan45°＝1，而tan46°＞tan45° ∴tan46°＞1， ∴cos46°，tan46°，sin46°，sin88°中，tan46°的值最大， 故选：B． 5．解：Rt△AOB中，∵AB＝1，， ∴OB2， ∵∠A＝90°，BC＝1， ∴， ∴． 故选：B． 6．解：在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，AB＝3，AD＝4， ∴， ∴， 方法一：如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵， ∴△BDA∽△CDE， ∴， ∴CE＝1.5，DE＝2， ∴AE＝AD+DE＝6， 在Rt△AEC中，； 方法二，如图，过点D作DF⊥AD，交AC于点F， ∵∠DAB＝90°， ∴DF∥AB， ∵，BD＝5，AB＝3， ∴BC＝7.5， ∴， ∴DF＝1， ∴． 故选：A． 7．解：∵点C，D，E，F的坐标分别为（0，3），（2，0），（4，0），（0，4）， ∴OD＝2，OE＝OF＝4，OC＝3， ∴， 过点E作EK∥DF交y轴于点K， ∴∠DGE＝∠CEK，，∠K＝∠OFD ∴ ∴OK＝8 ∴CK＝OK﹣OC＝8﹣3＝5＝CE， ∴∠CEK＝∠K， ∴∠DGE＝∠OFD， ∴． 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分20分） 8．解：如图所示，作DH⊥AC交AC于点H，添加字母M， ∵BM∥CD， ∴△ABM∽△ACD， ∴， ∵AM＝3，BM＝1，AD＝4， ∴， ∵∠ADC＝90°， ∴， ∵∠BMD＝90°，BM＝DM＝1， ∴BD， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AC边的垂直平分线交直线BC于点E， 当AC的垂直平分线交线段BC于点E时，如图交AC于点D，连接AE， ∴AD＝DC，且∠ADE＝∠CDE＝90°， ∴在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE， ∴AE＝EC， 又∵∠ABC＝90°，AB＝3，BE＝4， ∴， ∴EC＝5， ∴BC＝BE+EC＝4+5＝9， ∴； 当AC的垂直平分线交CB的延长线于点E时，如图交AC于点D，连接AE， ∴AD＝DC，且∠ADE＝∠CDE＝90°，DE＝DE， ∴△ADE≌△CDE， ∴AE＝EC， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BE＝4， ∴， ∴EC＝5， ∴BC＝EC﹣EB＝5﹣4＝1， ∴， 故答案为：或3． 10．解：连接BC，过点A分别作AM⊥BO，AN⊥CO，点M，N分别是垂足， 根据垂径定理得MO＝0.5BO，NO＝0.5CO， ∵， ∴∠BCO＝∠BDO， ∴tan∠BCO＝tan∠BDO ∵点C的坐标为（0，4），∠BOC＝90°， ∴BC是直径， ∴CO＝4，NO＝2 ∴， ∴3BO＝8， ∴BO， ∴MO， ∴圆心A的坐标是（，2）， 故答案为：（，2）． 11．解：如图，取BC中点G，取CG中点H，连接EG，FH，DH， ∵CE⊥BP， ∴∠BEC＝90°， ∵G是BC的中点， ∴， ∵F、H分别是CE，CG的中点， ∴FH是△CEG的中位线， ∴， ∵DF≥DH﹣FH， ∴当D、F、H三点共线时，DF有最小值，最小值为DH﹣FH的值， 在Rt△CDH中，由矩形的性质可得CD＝AB＝6，∠HCD＝90°， ∴， ∴DF的最小值为， 故答案为：． 12．解：由折叠性质得：AE＝EF＝DE，∠DEC＝∠FEC， ∴∠EFA＝∠EAF， ∴∠DEC＝∠EAF， ∴＝ 三．解答题（共6小题，满分52分） 13．解： ＝0． 14．解：（1）在Rt△ACD中，∠C＝90°， ， CD＝AC•tan30°1， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°， 可得， ． （2）在Rt△ACD中， ， 过点D作 DE⊥AB于点E， 在Rt△BDE中，∠B＝45°， ， 在Rt△ADE中， ． 15．解：（1）在Rt△ABC中， 因为AC＝12，BC＝5， 所以AB， 则AD＝AB＝13， 所以CD＝AD+AC＝13+12＝25． 因为∠D＝∠ABD，∠BAC＝∠D+∠ABD， 所以∠D∠BAC． 在Rt△BCD中， tanD， 所以tan∠BAC； （2）在AC上取一点D，连接DB，使得AD＝DB，如图所示， 则∠A＝∠ABD， 所以∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A， 在Rt△ABC中， tanA， 则， 所以BC＝1． 设AD＝DB＝x， 则CD＝AC﹣AD＝3﹣x． 由BD2＝BC2+CD2得， x2＝12+（3﹣x）2， 解得x， 所以CD＝3． 在Rt△BCD中， tan∠BDC， 所以tan2∠A． 16．（1）证明：∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠ABC＝∠AEC， ∴∠ABC＝∠ADE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∵∠AFE＝∠BAC， ∴∠AFE+∠ADE＝90°， ∴∠DAF＝90°，即AB⊥AF， ∵△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°， ∴AB是直径， ∴AF是⊙O的切线； （2）解：在Rt△ABC中，，BC＝3， ∴， ∴AC＝6， 由（1）可知，∠ADE＝∠ABC， ∵∠ADE＝∠CDB， ∴∠ABC＝∠CDB， ∴CD＝BC＝3， ∵∠BAC＝∠AFE，∠ACD＝∠FCA， ∴△ACD∽△FCA， ∴， ∴， 解得：DF＝9． 17．解：（1）在Rt△ACD中，∠ADC＝75°，CD＝0.9m， ∵， ∴AC≈3.7×0.9≈3.3（m）， 答：AC的长约为3.3m； （2）在Rt△BCD中，∠BDC＝35°， ∵， ∴BC≈0.7CD， 在Rt△ACD中，∠ADC＝75°， ∵， ∴AC≈3.7CD， ∴AB＝AC﹣BC≈（3.7﹣0.7）CD＝1.8m， 解得CD≈0.6m， 答：遮阳篷CD的长约为0.6m． 18．解：因为△AEF是等腰直角三角形，所以∠EAF=45°，45°； 由全等可知，AB=EC=b，BE=FC=a，则AD=a+b，DF=b-a，；； （1）45°，，则； （2）∵∠BFE＝45°， ∴∠FAB+∠FBA＝45°， ∵∠CAB+∠CBA＝90°， ∴∠EAC+∠DBC＝45°， ∵，∴， ∵AC＝5， ∴CE＝3． （3）∵称轴为直线x＝1，AB＝4， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3； 对于y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，得y＝﹣3， ∴C（0，﹣3），即OC＝3， ∵∠BAP+∠ACO＝45°， tan∠ACO=， ∴tan∠BAP=， 第一种情况：当点P在直线BA上方时， AP解析式为yx+， 联立， ∴P（，）； 第二种情况：当点P在直线BA下方时， 同理可得，P（，）； 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $