黑龙江哈尔滨市南岗区第四十七中学2025-2026学年九年级下学期三月综合测试数学试题

2025-2026学年九年级下学期三月综合测试数学试题 一．选择题（每小题3分，共计30分） 1．下列各数：﹣5，2.8，0，﹣4，其中比﹣4小的数是（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．0 D．2.8 2．在我国古代文化艺术宝库中，传统图案纹样丰富多彩，璀璨夺目．下面纹样的示意图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．2025年12月26日，世界最长高速公路隧道——天山胜利隧道全线通车，这条隧道全长22130米，将天山穿越时间从3小时减至20分钟，不仅贯通南北疆经济大动脉，更彰显了中国基建的技术实力与民族韧劲．数据22130用科学记数法表示为（　　） A．0.2213×105 B．2.213×104 C．2.213×105 D．22.13×103 4．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　） A． B． C． D． 5．分式方程的解为（　　） A．x＝5 B．x＝10 C．x＝15 D．x＝20 6．要得到二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，需将y＝3x2的图象（　　） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 7．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，小于AD的长为半径作弧，分别交AD，AB于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交CD于点G．若BC＝3，∠B＝120°，则AG的长为（　　） A． B．3 C． D． 9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，作OD⊥BC于点D，连接OC，若∠A＝48°，则∠OCD的度数是（　　） A．42° B．48° C．52° D．60° 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，当三角板EFG的直角顶点F在BC边上移动时（不与点B，点C重合），直角边EF始终经过点A，设三角板的另一直角边FG与CD相交于点H．若BF＝x，CH＝y，那么y与x之间的函数图象大致是（　　） A．B． C．D． 二．填空题（每小题3分，共计30分） 11．函数y中，自变量x的取值范围是　 　 ． 12．因式分解：2a2b﹣12ab+16b＝　 　 ． 13．一个袋子中有3个红球，2个白球，从中摸出一个球，这个球是黄球的概率为　 　 ． 14．不等式组的解集是　 　 ． 15．小亮新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压为220（V）时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗．台灯的电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示，则当电阻为440Ω时，电流为 　 　 A． 16．如图，已知⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．大正方形边长为a，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 17．若三角形表示3abc，方框表示﹣4xywz，则×的值为　 　 ． 18．如图，将图（1）中的正六边形进行分割得到图（2），再将图（2）中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图（3），再将图（3）中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则图（2024）中的正六边形共有　 　 个． 19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝90°，AB＝5，CD＝AD＝3，点E是线段CD的三等分点，且靠近点C，∠FEG的两边与线段AB分别交于点F、G，连接AC分别交EF、EG于点H、K．若，∠FEG＝45°，则HK＝　 　 ． 20．如图，在矩形ABCD中，AB：，点O是对角线BD的中点，点M在AD上且∠DMO＝60°，点D关于OM的对称点为D′，直线MD′交BD于点P，交BC于点Q，则S△PBQ：S四边形PQCD＝ 　 　 ． 三．解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21．（7分）先化简，再求值：，其中a＝tan60°sin60°﹣tan45°． 22．（7分）地球吸引物体的每个部分，由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这个点叫做物体的重心，形状规则、质量分布均匀的物体，它的重心在它的几何中心上．如：三角形匀质薄板的重心在三条中线的交点上（三角形的三条中线交于点），长方形匀质薄板的重心在两条对角线的交点上，圆形匀质薄板的重心在圆心上．球的重心在球心上． （1）如图a，在6×6的网格中，△ABC的顶点都在网格格点上，仅用无刻度直尺在图a中分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． ①作出△ABC的中线AD； ②作出△ABC的重心G． 直接写出AG和DG的数量关系为：　 　 ． （2）根据物理学知识，将匀质薄质悬挂至静止，悬线的延长线一定经过薄片的重心，如图b，图c，分别在△ABC的边AB上M1，M2两点处系一根细线，将薄片悬挂至静止，在薄片上分别画悬线的延长线M1N1，M2N2，则M1N1与M2N2的交点G即为△ABC的重心（图d）． 如图e，若在点A处系一根细线，按照上述方式得到AN3（M3N3），比较BN3与CN3的大小关系：BN3　 　 CN3（填“＞”或“＝”或“＜”）． （3）平面组合图形由简单平面图形组成，小帆同学查阅相关资料后发现：若把一个图形分割成两部分，则该图形的重心G一定在这两部分图形的重心M，N所连直线MN上． 如图f是质地均匀的直角梯形薄板，请你利用小帆查阅的方法，在图f中分别用两种分割方法确定该直角梯形的重心所在直线（保留画图痕迹，所在直线分别记为M1N1，M2N2）． 则M1N1，M2N2的交点即为该直角梯形的重心G（不要求画出重心）． 23．（8分）某校初三年级一共有1200名学生，某一次体育测试后，彭老师为了了解本校初三学生体考成绩的大致情况，随机抽取了男、女各40名考生的体考成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息： 数据分为A，B，C，D四个等级分别是：A：49≤x≤50，B：45≤x＜49，C：40≤x＜45，D：0≤x＜40． 40名男生成绩的条形统计图以及40名女生成绩的扇形统计图如图． 40名男生和40名女生成绩的平均数，中位数，众数如下： 性别 平均数 中位数 众数 男生 48 a 47 女生 48.5 48 47.5 男生成绩在B组的考生的分数为45，45，46，46，46.5，46.5，47，47，47，47，47，47，48，48，48.5； 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空a＝　 　 ，女生成绩为B等对应的扇形的圆心角为 　 　 ，并补全条形统计图； （2）根据以上数据，你认为在此次测试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由； （3）请估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为A等级的考生人数． 24．（8分）在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC． （1）【问题发现】如图1，若α＝90°时，DA与CD的数量关系为　 　 ，依据是　 　 ． （2）【问题解决】如图2，求证：AD＝CD； （3）【问题拓展】如图3，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，利用（2）的结论求证：BD+AD＝BC． 25．（10分）“植树节”期间，某校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元． （1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 26．（10分）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 晴 “婆罗摩笈多定理”的拓展与思考 今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下： 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为P，过点P作PH⊥CD，垂足为H．延长HP与AB交于点G，则AG＝BG． 下面是该定理的证明过程． 证明：∵AC⊥BD，垂足为P．PH⊥CD，垂足为H． ∴∠DPC＝∠PHC＝90°． ∴∠DPH+∠HPC＝90°，∠HCP+∠HPC＝90°． ∴∠DPH＝∠HCP． ∵∠HCP与∠PBA都是所对的圆周角， ∴∠HCP＝∠PBA．（依据1） ∵∠DPH＝∠BPG． ∴∠BPG＝∠PBA． ∴PG＝BG．（依据2） 同理，AG＝PG． ∴AG＝BG． 看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究： 如图2，若弦AC与BD所在直线互相垂直，且相交于⊙O外一点P，过点P作PH⊥CD，垂足为H，与AB相交于点G，则AG与BG仍然相等． … 任务： （1）填空：材料中的依据1是指 　 　 ，依据2是指 　 　 ． （2）小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由． （3）如图3，在图1的基础上，过点P作PM⊥AB，垂足为M．延长MP交CD于点N．连接GN．若AC＝18，BD＝16．请直接写出GN的长． 27．（10分）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C． （1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式； （2）若直线y＝﹣x+b与图象W有两个交点，请结合图象，请求出b的取值范围； （3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△NCM与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B． B B B C A A B 二．填空题 11．x≤1． 12．2b（a﹣2）（a﹣4）． 13．0． 14．2＜x≤3． 15．0.5． 16．． 17．﹣36m6n3． 18．6070． 19．． 20．1：47． 三．解答题 21．解：原式• ， 当a＝tan60°sin60°﹣tan45°11时， 原式4． 22．解：（1）①如图所示，AD为所求； ②如图所示，点G为所求； 由重心的性质得AG＝2DG， 故答案为：AG＝2DG； （2）根据题意，AN3过△ABC的重心， ∴AN3是△ABC的中线， ∴BN3＝CN3， 故答案为：＝； （3）如图所示，M1N1，M2N2为所求． 23．解：（1）男生A组有40﹣15﹣6﹣3＝16（人）， 男生成绩处在第20，21位的数为：47，47， 因此a＝（47+47）÷2＝47， 360°×（1﹣40%﹣10%﹣5%）＝162°， 补全条形统计图如图： 故答案为：47，162°； （2）女生的成绩较好，理由：女生的平均数、众数都比男生好； （3）100%＝40%， 1200×40%＝480（人）， 答：估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为A等级的考生人数为480人． 24．（1）解：DA＝DC， 理由：∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°， ∴AD⊥AB，CD⊥BC， ∴DA＝DC； 故答案为：DA＝DC，角平分线的性质； （2）证明：如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF， ∴DE＝DF， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠C， ∴△DEA≌△DFC（AAS）， ∴DA＝DC； （3）解：如图3，在BC上截取BK＝BD，连接DK， ∵AB＝AC，∠A＝100°， ∴∠ABC＝∠C＝40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBK∠ABC＝20°， ∵BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°， 由（2）的结论得AD＝DK， ∵∠BKD＝∠C+∠KDC， ∴∠KDC＝∠C＝40°， ∴DK＝CK， ∴AD＝DK＝CK， ∴BD+AD＝BK+CK＝BC． 25．解：（1）设购买一棵甲种树苗需要x元，一棵乙种树苗需要y元， 由题意得：， 解得：， 答：购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元； （2）设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗（600﹣m）棵， 由题意得：m≤2（600﹣m）， 解得：m≤400， 设总费用为w元， 由题意得：w＝30m+60×0.9（600﹣m）＝﹣24m+32400， ∵﹣24＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝400时，w有最小值， 此时，600﹣m＝200， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少． 26．解：（1）∵AC⊥BD，垂足为P．PH⊥CD，垂足为H， ∴∠DPC＝∠PHC＝90°， ∴∠DPH+∠HPC＝90°，∠HCP+∠HPC＝90°， ∴∠DPH＝∠HCP， ∵∠HCP与∠PBA都是所对的圆周角， ∴∠HCP＝∠PBA，（同弧所对的圆周角相等） ∵∠DPH＝∠BPG， ∵∠BPG＝∠PBA， ∴PG＝BG，（等角对等边） 同理，AG＝PG， ∴AG＝BG， 故答案为：同弧所对的圆周角相等；等角对等边； （2）小宇在拓展探究中得出的结论正确；理由如下， ∵DP⊥CP，PH⊥CD， ∴∠DPC＝90°，∠PHC＝90°， ∴∠PDC+∠PCD＝90°，∠HPC+∠PCD＝90°， ∴∠PDC＝∠HPC， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BAC+∠BDC＝180°， ∴∠GPA+∠BAC＝180°， 又∵∠BAC+∠GAP＝180°， ∴∠GPA＝∠GAP， ∴AG＝PG， 同理，BG＝PG， ∴AG＝BG； （3）取BC的中点E，连接GE，NE，如图， 则BE＝CE， 根据题意可知，AG＝BG， ∴GE为△ABC中位线， ∴，GE∥AC， 同理，，NE∥BD， ∵AC＝18，BD＝16， ∴，， ∵GE∥AC，AC⊥BD， ∴GE⊥BD， ∵NE∥BD， ∴GE⊥NE， ∴∠GEN＝90°， 在Rt△GEN中，由勾股定理得：． 27．解：（1）由翻折可知：C（0，2）， 令x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝2， ∴A（﹣1，0），B（2，0）， 设图象W的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2）， 代入C（0，2），解得a＝﹣1， ∴对应函数关系式为y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2（﹣1≤x≤2）； （2）联立方程组， 整理，得：x2﹣2x+b﹣2＝0， 由Δ＝4﹣4（b﹣2）＝0， 得：b＝3， 此时方程有两个相等的实数根， 把A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b，得b＝﹣1； 把B（2，0）代入y＝﹣x+b，得b＝2， ∵直线y＝﹣x+b与图象W有两个交点； ∴b的取值范围是﹣1＜b＜2或b＞3； （3）存在．如图，当CN∥OB时，△OBC∽△NMC， 此时，N与C关于直线对称， ∴点N的横坐标为1，P（1，0）； 如图， 当CN∥OB时，△OBC∽△NMC， 此时，N点纵坐标为2， 由x2﹣x﹣2＝2， 解得，（舍）， ∴N的横坐标为， 所以； 如图，当∠NCM＝90°时，△OBC∽△CMN， 此时，直线CN的解析式为y＝x+2， 联立方程组：， 解得，（舍）， ∴N的横坐标为1， 所以P（1，0）， 综上所述：P点坐标为（1，0）或（，0）或（1，0）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/26 22:40:22；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $