浙江省余姚中学2025-2026学年第二学期学期期中考试高一数学试卷

余姚中学2025学年第二学期期中考试高一数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数，则的虚部是（ ） A．-1 B．-2 C． D． 2．直线的一个方向向量是（ ） A． B． C． D． 3．在中，，点平分线段．设，，则（ ） A． B． C． D． 4．若在中，，则等于（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（ ） A．12 B． C．24 D． 6．正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知向量，，满足，，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D．4 8．已知，，是长方体表面上任意三点，且，，，则的最小值为（ ） A．-14 B．-13 C．-10 D．-5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于复数，下列说法正确的是（ ） A． B．是方程的一个根 C．若复数满足，则 D．若，则 10．动直线与动直线相交于点，则下列说法正确的是（ ） A．直线过的定点是 B．点C的轨迹是一个完整的圆 C．的最小值为2 D．的取值范围为 11．已知四棱锥的高为2，底面是边长为2的正方形，，则（ ） A．的面积为定值 B． C．四棱锥表面积的最小值为 D．若四棱锥存在内切球，则该球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，角，，所对的边为，，．若，，则外接圆的面积为__________． 13．已知在所在的平面内有一点，满足，则与的面积之比是__________． 14．正方体的棱长为4，是侧面（包括边界）上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的9倍，则三棱锥体积的最大值是_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知向量，． （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值． 16．（15分） 已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求A的坐标； （2）求点A到直线的距离． 17．（15分） 如图，在平面四边形中，，，，且． （1）若，求； （2）求四边形面积的最大值． 18．（17分） 经过原点的直线与圆：相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为． （1）当点B的坐标为时，求直线的方程； （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上的一个定点； （3）求四边形的面积的取值范围． 19．（17分）（本题用向量法（坐标法）一律不给分） 如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）用，表示三棱锥的体积； （3）设在三棱锥内有一个半径为的球，，且，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚中学2025学年第二学期期中考试高一数学学科试卷答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】ABD 10．【答案】ACD 11．【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案解析】（1）已知，，则， 又，所以，即，解得． 所以，则，所以． （2）因为，所以，解得，所以，则． 则，，， 设与夹角为，则．所以与夹角的余弦值为． 16．（15分） （1）求A的坐标 ，， 2分 由得直线： 4分 又在中线：上， 联立，解得 6分 （2）求点到直线的距离 在直线：上，设 8分 是中点，， 10分 在直线：上， ，解得 12分 由、，得直线： 点到直线的距离： 15分 17．（15分） 【答案解析】 （1）在中， 2分 故，即， 4分 因为，故 6分 （2）在中，． 又的面积为， 8分 的面积为， 10分 所以四边形的面积为，其中．故四边形面积的最大值为 15分 18．（17分） 【答案解析】 解：（1）为，，的斜率为，又， 的斜率为，又，∴直线的方程，即； （2）根据题意可得直线的斜率存在且不为0，又过原点， ∴设直线方程为，联立圆：， 可得，设，， 则，又，∴直线为， 令，可得， 直线恒过轴上定点； （3）设圆心到直线的距离平方为，则，即，设圆心到直线的距离平方为， 根据圆的几何性质及平面几何知识易得，， 又，， 四边形的面积，又， ，即， 四边形的面积的取值范围为． （3）法2： 当直线斜率不存在时，，，． 当直线斜率存在时，可设直线的方程为， 所以，圆心到直线的距离为， 所以，． 直线的方程可设为整理得， 圆心到直线的距离为，所以， ． 所以，， 令，所以，上式可化为：，， 所以，．综上，的取值范围是． 19．（17分）【答案解析】 （1）取中点，连接，，又，分别为，的中点， 则，，因为， 所以，，又，，平面， 所以平面，又平面，所以． （2）用，表示三棱锥的体积 由（1）知平面，又平面， ∴平面平面，交线为． 过作于， 平面，由面面垂直的性质定理得平面，即为三棱锥的高． 、分别为、中点，，． 由二面角的定义，，． 为中点，． （3）作于，由（2）知，，过作交于， ，又平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 平面，所以，， 设的高，所以， 又，，所以， 即， 所以三棱锥的表面积， ， 所以三棱锥的内切球半径， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue..com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 余姚中学2025学年第二学期 期中考试高一数学学科答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考号 [0] [0] [0] [0] 0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] ] 缺考标记 [1] [1] [1] 1] 1] [1] [1] [1] [1] [1] [1 口 [2] [2] [2] 「21 2] [2] [2] [2] [2] [2] [2 2] [3] [3] [31 37 [3] 「3] [31 「31 「31 [3 [3 [4] [4 47 4 「47 [41 [41 [4] [4] [4] [4] 可阁回 [5] [5] 5] 5] 5 [51 [5 [5] [5] [5] [5] [5] [6 [6] 61 61 6 [6 [6] [6] 6 [6 [6 [6] [7] [7] 71 7 [7] [7 [7 [71 [7 [7] [8] [8] 8] 8 8] L8] [8 [8 [8] [9] [9] 9] 9 9 [9] [9] 97 T91 [9] [9] 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分。 9[A][B][C][D] I0[A][B][C][D] I1[A][B][C][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 13. 14 ㄖㄖ■ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15.(13分) 囚囚■ ■ 16.(15分) ■ ■ 17.(15分) I I I ■ ㄖ■ㄖ 18.(17分) 囚■ㄖ 口 19.(17分) M∥ B D ■