4.2　提公因式法 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件围绕“提公因式法”展开，系统梳理公因式的概念、确定方法及因式分解步骤，从第1课时基础公因式到第2课时多项式公因式与分组分解，构建连贯的知识脉络，为学生搭建从理解到应用的学习支架。 其亮点在于采用“课堂精要-精练-延伸”三层结构，结合数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识），通过蒸笼碗周长计算、多次提公因式综合题等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题。既提升学生因式分解能力与应用意识，也为教师提供分层练习和清晰教学脉络，助力高效教学。

第四章　因式分解 2 提公因式法 第四章　因式分解 提公因式法(第1课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1． 多项式各项都含有的____________，叫作这个多项式各项的公因式。 2．确定公因式的方法：系数取各项系数的　　 　 ，字母(或因式)取各项共有的相同字母(或因式)的　　 　　。  3．如果一个多项式的各项含有__________，那么就可以把这个__________提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫作_______________。 4．提公因式法因式分解的根据是　　 　　 　。 相同因式　 最大公因数　 最低次幂 公因式　 公因式　 提公因式法 逆用乘法对加法的分配律 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．下列多项式能用提公因式法因式分解的是(　　)。 A．x2－y B．x2＋2x C．x2＋y2 D．x2－xy＋y2 B　 2．把多项式6a3b2－3a2b2－18a2b3c因式分解时，应提取的公因式为 (　　)。 A．3a2b B．3ab2c C．3a3b3 D．3a2b2 D　 3．下列各式因式分解正确的是(　　)。 A．xy2－x2y＝x(y2－xy) B．9xyz－6x2y2＝3xyz(3－2xy) C．3a2x－6bx＋3x＝3x(a2－2b) D．xy2＋x2y＝xy(x＋y) D　 4．分解因式：a2－7a＝　　　　。  5． 【数学应用】小宇拿出课堂笔记准备复习老师课上讲的提公因式法因式分解，他发现题目－12mn2＋6m2n－3mn＝－3mn(4n )有一部分被污染了，则被污染的部分为　　　　。 a(a－7)　 －2m＋1　 6．多项式8xmyn－1－12x3myn各项的公因式是　　 　　。   7．计算21×3.14＋79×3.14的结果为____________。 4xmyn－1 314 8．将下列各式因式分解： (1)4m2－36m； (2)6a2b－12ab2－6ab； (3)－4m3＋16m2－26m。 (1)4m(m－9)　 (2)6ab(a－2b－1) (3)－2m(2m2－8m＋13) 9．利用因式分解计算： (1)1 026＋1 0262－1 0272； 解：(1)原式＝1 026×(1＋1 026)－1 0272 ＝1 026×1 027－1 0272 ＝1 027×(1 026－1 027) ＝－1 027。 (2)原式＝31.40×(76＋43－19) ＝31.40×100 ＝3 140。 (2)7.6×314.0＋0.43×3 140－19×31.40。 强化提高 10． 【数学应用】小丽的妈妈正要用如图①所示的蒸笼热饭，小丽发现这个蒸笼一排最多可以摆放3个大小不同的圆形碗(如图②，3个碗口的圆心正好和蒸笼的圆心在一条直线上)，则这3个碗口的周长之和为 　　　　 cm。(结果保留π)  图① 图② 22π　 11．如图，相邻两边长为a，b的长方形的周长为12，面积为8，则a2b＋ab2的值为　　　　。  48　 12．利用因式分解计算：3624＋6×3623－3625＝　　　　。  13．已知2x－y＝，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值。 0 解：2x4y3－x3y4＝x3y3(2x－y)。 当2x－y＝，xy＝2时， 原式＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)＝23×。　 课堂延伸·提升素养 14． 【综合与实践】要把多项式am＋an＋bm＋bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b，从而得到a(m＋n)＋b·(m＋n)。这时，由于a(m＋n)＋b(m＋n)中，两项都有公因式m＋n，于是可提公因式m＋n，从而得到(m＋n)(a＋b)。因此有am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)，这种因式分解的方法叫作分组分解法。如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解了。 请用上面材料中提供的方法因式分解： (1)m2－mn＋mx－nx； (2)xy2－2xy＋2y－4； (3)ab－ac＋bc－b2。 解：(1)m2－mn＋mx－nx＝m(m－n)＋x(m－n)＝(m－n)(m＋x)。 (2)xy2－2xy＋2y－4＝xy(y－2)＋2(y－2)＝(y－2)(xy＋2)。 (3)ab－ac＋bc－b2＝a(b－c)＋b(c－b)＝(b－c)(a－b)。 第四章　因式分解 提公因式法(第2课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．根据多项式的公因式的概念可知，公因式可以是_______、__________或________________。 2．请在下列各等式的右边的括号前填入“＋”或“－”，使等式成立： (1)2－a＝　　　　(a－2)；  (2)y－x＝　　　　(x－y)；  (3)b＋a＝　　　　(a＋b)；  (4)(b－a)2＝　　　　(a－b)2；  (5)－m－n＝　　　　(m＋n)；  (6)－s2＋t2＝　　　　(s2－t2)。 数　 单项式　 多项式 － －　 ＋　 ＋ －　 － 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．整式m2＋m和3m＋3的公因式是(　　)。 A．m＋1 B．m＋2 C．2m－1 D．m A　 2．把多项式(x＋2)(x－2)＋(x－2)提取公因式x－2后，余下的部分是 (　　)。 A．x＋1 B．2x C．x＋2 D．x＋3 3．下面给出的四组整式中，有公因式的一组是(　　)。 A．a＋b和a2＋b2 B．a－b和2(b－a)2 C．a2b2和a2＋b2 D．a2b2和a2－b2 D　 B　 4．下列因式分解正确的是(　　)。 A．ab(a－b)－a(b－a)＝－a(b－a)(b＋1) B．6(m＋n)2－2(m＋n)＝(2m＋n)(3m＋n＋1) C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2) D．3x(x＋y)2－(x＋y)＝(x＋y)2(2x＋y) A　 5．若a与b互为相反数，则a(x－2y)－b(2y－x)的值为　　　　。   0 6．将下列各式因式分解： (1)6(x－2)＋x(2－x)； (2)5a2(x－y)＋10a(y－x)； (3)(a－2b)3－3c(2b－a)2。 解：(1)原式＝6(x－2)－x(x－2)＝(x－2)(6－x)。 (2)原式＝5a2(x－y)－10a(x－y) ＝5a(x－y)(a－2)。 (3)原式＝(a－2b)3－3c(a－2b)2 ＝(a－2b)2(a－2b－3c)。 7．先因式分解，再计算求值： (2m＋1)2－(2m＋1)(－1＋2m)，其中m＝10。 解：原式＝(2m＋1)［2m＋1－(－1＋2m)］＝2(2m＋1)。 当m＝10时，原式＝2(2m＋1)＝2×(2×10＋1)＝42。 强化提高 8．如图，有一张边长为b的正方形纸板，将它的四角各剪去边长为a的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒。用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为(　　)。 A．(b－6a)(b－2a) B．(b－3a)(b－2a) C．(b－5a)(b－a) D．(b－2a)2 A　 9．若一次函数y＝－2x＋3的图象经过点P(a，b)和Q(c，d)，则d(2a＋b)＋2c(2a＋b)的值为(　　)。 A．－9 B．－3 C．3 D．9 10．因式分解：(m－n)(5ax＋ay－1)－(n－m)(3ay＋ax＋1)＝ 　　 　　　 　　　。  D　 2a(m－n)(3x＋2y) 11． 【数学应用】程老师在电子白板上写下一道题目： 先因式分解，再计算求值： x3－x2y－2x2＋2xy，其中x＝2。 小宇看到题目马上说：“没有给出y的值，不能算出最终结果。” 小明反驳道：“不用给出y的值就可以计算出最终结果。” 他们两人谁说得对？请说明你的理由。 解：小明说得对。理由如下： 原式＝x2(x－y)－2x(x－y)＝x(x－y)(x－2)。 ∵x＝2， ∴x－2＝0，∴原式＝x(x－y)(x－2)＝0。 12．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，试判断△ABC的形状，并说明理由。 解：△ABC是等腰三角形。理由如下： ∵a＋2ab＝c＋2bc， ∴a(1＋2b)＝c(1＋2b)， ∴a(1＋2b)－c(1＋2b)＝0， 即(1＋2b)(a－c)＝0， 显然1＋2b≠0，∴a－c＝0，即a＝c。 ∴△ABC是等腰三角形。 课堂延伸·提升素养 13． 【综合与实践】认真阅读下列因式分解的过程，回答所提出的问题： 　1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2 ＝(1＋x)［1＋x＋x(1＋x)］ ＝(1＋x)2(1＋x) ＝(1＋x)3。 (1)上述因式分解的方法是　　　 　　，共应用了　　　　次；  (2)若因式分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 025，则需要应用上述方法 　　　　次，因式分解后的结果是　　　　　　　；  提公因式法　 2 2 025　 (1＋x)2 026 (3)请用上述方法因式分解：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)。 解：原式＝(1＋x)［1＋x＋x(1＋x)＋…＋x(1＋x)n－1］ ＝(1＋x)2［1＋x＋x(1＋x)＋…＋x(1＋x)n－2］ ＝… ＝(1＋x)n＋1。 谢谢观看! $