4.3　公式法 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“因式分解公式法”，系统梳理平方差公式和完全平方公式的逆向应用，通过回顾乘法公式建立新旧知识联系，分两课时递进讲解，构建“提公因式—套公式—查彻底”的学习支架。 其亮点在于“课堂延伸”设综合实践活动，如用图形面积验证公式培养几何直观，“课堂精练”含密码编译、卡牌游戏等情境题发展模型意识与运算能力。学生能深化公式理解，教师可依托分层设计提升教学效率。

第四章　因式分解 3 公式法 第四章　因式分解 公式法(第1课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．把乘法公式(a＋b)(a－b)＝　　　　反过来，就得到 　　 　　　　　　　。利用它可以把某些多项式因式分解，其中a，b可以是单项式，也可以是　　　　。  2．当多项式的各项含有公因式时，通常先　　　　　　　　，然后再进一步因式分解。因式分解一定要分解到　　　　为止。  a2－b2　 a2－b2＝(a＋b)(a－b)　 多项式 提出这个公因式　 不能分解 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．多项式x2－4因式分解的结果是(　　)。 A．(x＋4)(x－4) B．(x－2)2 C．(x＋2)(x－2) D．x(x－4) C　 2．下列多项式能用平方差公式因式分解的是(　　)。 A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9 D　 3．下列因式分解正确的是(　　)。 A．a2－b2＝(a－b)2 B．x2＋4y2＝(x＋2y)2 C．2－8a2＝2(1＋2a)(1－2a) D．x2－4y2＝(x＋4y)(x－4y) C　 4．因式分解(x－1)2－9的结果是(　　)。 A．(x＋8)(x＋10) B．(x＋2)(x－4) C．(x－2)(x＋4) D．(x－10)(x＋8) B　 5．因式分解：m2－16＝　　 　　。   6．请在二项式x2－□y2中的“□”内添加一个式子，使其能因式分解，你在“□”内添加的式子是___________________。(写出一个即可) (m＋4)(m－4) 4(答案不唯一) 7．把下列多项式因式分解： (1)16－m2； (2)(x＋p)2－(x＋q)2； (3)x2y－y3； (4)16(x－1)2－(x＋2)2。 (1) (2)(2x＋p＋q)(p－q) (3)y(x＋y)(x－y) (4)3(5x－2)(x－2) 强化提高 8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x－y，a－b，2，x2－y2，a，x＋y分别对应下列六个字：国、爱、我、 美、游、中，现将2a(x2－y2)－2b(x2－y2)因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　)。 A．我爱美 B．中国游 C．我爱中国 D．美我中国 C　 9． 【数学应用】图①为防爆照明灯，小宇为了研究其灯头横截面的面积，找来了一块直径和照明灯外围一样的圆形纸片，打开探照灯，纸片上映出4个直径为d的小圆(如图②)，测量得圆形纸片的直径D＝3.6 cm，d＝1.5 cm。利用因式分解计算出灯头的横截面面积(阴影部分)为 　　　　 cm2。(结果保留π)  0.99π　 10.432－1可以被10~20内的两个数整除，则这两个数分别为 　　　　和 　　。  11．把下列多项式因式分解： (1)(x－8)(x＋2)＋6x； (2)16x4－81。 15　 17 解：(1)(x－8)(x＋2)＋6x＝x2＋2x－8x－16＋6x＝(x＋4)(x－4)。 (2)16x4－81＝(4x2＋9)(4x2－9)＝(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)。 12． 【数学应用】将一条长100 cm的彩带剪成两段，恰好可以用来镶嵌两幅大小不同的画(不计算接头处，画都为正方形)。已知两幅画的面积相差50 cm2，应将这条彩带剪成多长的两段？ 解：设两幅画的边长分别为x cm，y cm(x>y)，由题意得 由①得4(x＋y)＝100，即x＋y＝25。③ 由②得(x＋y)(x－y)＝50， 把③代入②，得x－y＝2。④ 联立③④，解得x＝13.5，y＝11.5，则4x＝54，4y＝46。 所以应将这条彩带剪成长分别为54 cm，46 cm的两段。 课堂延伸·提升素养 13． 【综合与实践】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形。 (1)用图①、图②可以验证因式分解中的哪个公式？ 解：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)。 (2)若图①中阴影部分的面积是20，a－b＝4，求a＋b的值。 (2)依题意可得a2－b2＝20， ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝20。 ∵a－b＝4，∴a＋b＝5。 (3)试利用(1)所用到的公式计算： ×…×。 (3)原式＝× ×…×＝ ×…×。 第四章　因式分解 公式法(第2课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．形如　　 　　的式子称为完全平方式。  2．把乘法公式(a＋b)2＝　　　　 　　，(a－b)2＝　　　　 　反过来，就得到 　　　　 　，　　　 　　。利用它们可以把某些多项式因式分解，其中a，b可以是单项式，也可以是多项式。  3．利用乘法公式把某些多项式因式分解的方法叫作　　　　。  4．因式分解的一般步骤：一“提”：若有公因式，则　　 　　　。 二“套”：用公式法，当多项式为两项时，考虑用　　 　　　；当多项式为三项时，考虑用　　　　　　　　。三“查”：检查因式分解　　 　　　。 a2±2ab＋b2 a2＋2ab＋b2　 a2－2ab＋b2 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 公式法 提取公因式　 平方差公式　 完全平方公式 是否彻底 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)。 A．x2－1 B．x2＋2x－1 C．x2＋x＋1 D．4x2＋4x＋1 2．把多项式x2－8x＋16因式分解，所得结果正确的是(　　)。 A．(x－4)2 B．(x＋4)2 C．x(x－8)＋16 D．(x＋4)(x－4) D　 A　 3．把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是(　　)。 A．(x－y)2 B．(－x－y)2 C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2 4．多项式x2－1与多项式x2－2x＋1的公因式是(　　)。 A．x－1 B．x＋1 C．x2－1 D．(x－1)2 C　 A　 5．下列因式分解正确的是(　　)。 A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2 B．a2－4b2＝(a－4b)(a＋b) C．a2－2a－1＝(a－1)2 D．(a－b)(a＋b)＝a2－b2 A 6．因式分解a3－2a2＋a的结果是　　　　。  7．因式分解(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是　　　　。  8．已知正方形的面积是4a2＋4ab＋b2(a＞0，b＞0)，利用因式分解写出表示该正方形的边长的代数式是　　　　。  a(a－1)2　 (x－2)2　 2a＋b 强化提高 9．把下列各式因式分解： (1)x3－2x2y＋xy2； (2)(2x＋y)2－8xy； (3)(x2－1)2－6(x2－1)＋9。 解：(1)x3－2x2y＋xy2＝x＝x。 (2)(2x＋y)2－8xy＝4x2＋4xy＋y2－8xy＝4x2－4xy＋y2＝。 (3)原式＝(x2－1－3)2＝(x2－4)2＝(x＋2)2(x－2)2。 10． 【数学游戏】数学兴趣小组做卡牌游戏，现有5张写着不同单项式的卡牌，如图所示。 多项式4x2＋1加一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加的单项式可以从卡牌中选取(　　)。 A．① B．③ C．②③⑤ D．①②③④⑤ C　 11．若a＋b＋1＝0，则3a2＋3b2＋6ab的值是　　　　。   12．当x＝　　　　时，多项式x2－10x＋25取得最小值。 3　 5 13．利用因式分解计算： (1)2002－400×199＋1992； (2)5×1012－5×202＋5。 解：(1)2002－400×199＋1992＝＝12＝1。 (2)5×1012－5×202＋5＝5×(1012－202＋1)＝5×＝5×1002＝50 000。 14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋c2＝2b(a－b＋c)，试判断△ABC的形状，并说明理由。 解：△ABC是等边三角形。理由如下： ∵a2＋c2＝2b(a－b＋c)， ∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， ∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形。 课堂延伸·提升素养 15． 【综合与实践】【操作探究】 (1)如图①，利用1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形和2个长为 a、宽为b的长方形可拼成一个正方形，从而可得到因式分解的公式： 　　 　　　　　。  图① a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 【类比探究】 (2)如图②，将一个大正方形分成9个部分，通过计算大正方形的面积，我们可以得到一个有关多项式因式分解的恒等式：________________ _____________________________________。   图② a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2 【解决问题】 (3)已知长方形的周长为14 cm，它的两邻边长分别为x cm，y cm，且满足(x－y)2－2x＋2y＋1＝0，求该长方形的面积。 解：∵长方形的周长为14 cm，它的两邻边长分别为x cm，y cm， ∴2(x＋y)＝14，∴x＋y＝7。① ∵(x－y)2－2x＋2y＋1＝0， ∴(x－y)2－2(x－y)＋1＝0，∴(x－y－1)2＝0， ∴x－y＝1。② 联立①②，得解得 ∴该长方形的面积为4×3＝12(cm2)。 谢谢观看! $