精品解析：山东省桓台第一中学2025-2026学年高二下学期期中数学试卷

2025-2026桓台一中高二下学期期中数学试卷 一、单选题 1. 小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据分类加法计数原理，从武汉到兰州可以乘火车（12种）或飞机（2种），总计种方式． 故选：B 2. 若函数在处可导，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 3. 函数的极小值为（ ） A. B. C. 15 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点与极值的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减； 当时， ，函数单调递增， 所以是极小值点，则函数的极小值为. 故选：B. 4. 在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可． 【详解】因为在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大， 所以仅有最大，则， 的通项公式， 其中，当时， 是有理项，所以， 即的展开式中有理项的项数是5． 故选：A． 5. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【详解】根据的图象可知： 当时，；时，，当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 因此函数在时取得极小值，在取得极大值. 故ABD错误，C正确. 故选：C 6. 已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用解方程组法可得，由单调性可得在内恒成立，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 联立方程，消去可得， 因为为增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以a的取值范围是. 故选：D. 7. 已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案. 【详解】 令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以等价于，即， 所以，即不等式的解集为． 故选：A． 8. 设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的导数，再分别求出的单调递减区间和的单调递增区间，最后根据“缓减区间”的定义判断各选项即可. 【详解】由题意得， 又，由，得，解得，， 即的单调递减区间为，． 设 ， 则 ． 由得，即 ， 又，则，解得，， 即的单调递增区间为，． 由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为，， 而是的子集，是“缓减区间”； 不是的子集，不是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”； 是的子集，是“缓减区间”. 二、多选题 9. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的公式和性质进行计算即可. 【详解】对A选项，，A正确； 对B选项，左边=，B错误； 对C选项，方法一：，方法二：，C正确； 对D选项，，故D错误. 故选：AC. 10. 李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（ ） A. 若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B. 若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C. 若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D. 若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 【答案】AB 【解析】 【分析】考虑在各选项的条件下，3个人分书的本数可能的情况，结合平均分组以及不平均分组问题的解法求解各选项中的分法，即可求得答案. 【详解】若刚好每人分到3本书，则有种不同的分法，故A正确； 若每人至少分到2本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故B正确； 若刚好有1人只分到1本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故C不正确； 若每人至多分到4本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故D不正确． 故选：AB 11. 对于函数，则（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. C. 若方程有6个不等实数根，则 D. 对任意正实数，且，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由结合定义域可得的递减区间；对于B，由题可得在上单调递增，随后利用可判断选项正误；对于C，由AB分析可得大致图像，再由为偶函数及，可得图像，最后由数形结合思想可判断选项正误；对于D，由AB分析，设， 可得，再设，由，可得，随后构造函数，利用其单调性可判断选项正误. 【详解】定义域为，. 对于A，，从而的单调递减区间为：，故A正确； 对于B，，则在上单调递增. 注意到，又，则，故B错误； 对于C，因，，， 结合单调性可画出大致图象.又，，则为偶函数， 轴右侧图像与图像一致，据此可画出大致图像，又， 则为得到图像，需在x轴上方图像不变，在x轴下方图像沿x轴翻折，据此得到图像如下： 为使方程有6个根，则图像与直线有6个交点，从而，故C正确； 对于D，设，由AB分析，若，则.设，因， 则，则. 从而.令，， 再令，则在上递增，则， 从而在上单调递增，从而.则时，，故D正确. 三、填空题 12. 已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则________ 【答案】1 【解析】 【分析】首先根据导数的几何意义求出直线与曲线的交点（切点），然后根据切点在直线上求出，最后求出直线与的交点（切点）即可求出. 【详解】设直线在处的切点坐标为， 在处的切点坐标为，，， 因为直线是曲线和的公切线，所以， 解得，则， 把代入直线中可得，又，解得， 把代入直线中可得， 再把代入中可得，即，所以. 故答案为：1 13. 甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有___________种.（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】利用间接法可求得甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位的分配方法数. 【详解】甲、乙、丙、丁等6名大学生被平均分到三个单位有. 其中甲、乙在同一个单位的分法有种， 丙、丁在同一个单位的分法有种， 甲、乙在同一个单位且丙、丁也在同一个单位的分法有种， 故甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有. 故答案为：. 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】由题意知有两个相异实根，即， 也即与的图象有两个交点. ，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 且，当时，， 所以在处取得极大值也即是最大值为. 画出的图象如下图所示， 由图可知，要使与的图象有两个交点，则需. 故答案为： 四、解答题 15. 已知的展开式的二项式系数和为． （1）求； （2）求的展开式中含的项； （3）若，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和可得出关于的等式，解之即可； （2）利用二项展开式通项可求出展开式中含的项； （3）令可得出的值，令可得出的值，即可得出的值. 【小问1详解】 的展开式的二项式系数和为，解得. 【小问2详解】 展开式的通项公式为, 令，解得，代入通项公式得. 【小问3详解】 因为， 令，得， 令，得， 所以. 16. 已知函数． （1）求的最值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）最小值为，无最大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数并求出单调区间，即可求解其最值. （2）将问题转化为在上恒成立，令，利用导数法求得的最大值，令，利用导数研究其单调性，求出，最后利用单调性求得的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为，求导得． 则当单调递减；当单调递增， 所以，无最大值． 【小问2详解】 因为在上恒成立，即在上恒成立． 令，则． 因为方程中， 故该方程有两个不相等的根，且，故有且仅有一个正根，记为， 所以，即． 故当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以． 令， 则．故当时，单调递减； 当时，单调递增． 令，解得或，所以． 易知在上单调递增，所以． 又，故的取值范围为． 17. 甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． （1）若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ （2）若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ （3）若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先平均分成3组，然后利用全排列和分步计数原理求解即可； （2）先将6名学生分成3组，其中甲、乙、丙在同一组，可分为两种情况：①甲、乙、丙为一组，其余3人分成两组；②甲、乙、丙与另外1人组成一组，其余2人各为一组。计算出两种情况下的安排方法数再相加即可； （3）先将甲、乙、丙分别安排到3个社区，然后剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，进而利用分步乘法计数原理求解即可. 【小问1详解】 将6名学生平均分成3组， 分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； 【小问2详解】 ①甲、乙、丙看作一组，有1种分法． 将剩下的3人分成2组，分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； ②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法． 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； 综上不同的安排方法有（种）； 【小问3详解】 甲、乙、丙分别安排到3个社区，有（种）， 剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）. 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性 （2）若函数的极大值为． ①求实数a的值； ②令，实数.求证：有两个极小值点，且. 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求的定义域，再求导，根据的范围分类讨论即可求解； （2）①根据的极大值即可求； ②由，构造，利用导数研究单调性求在的值域，令，可得，利用导数研究单调性进而得的极小值点，进而得证. 【小问1详解】 因为函数的定义域为， 所以， 当时，恒成立，在递增， 当时，令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减； 【小问2详解】 ①因为函数的极大值为，由（1）知， 此时函数的极大值为， 所以，解得； ②， 则， 可知的定义域为， 构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当趋近于0或时，趋近于， 可知在内值域为， 令，可得，则， 且，令，解得， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 由的单调性和值域可知关于x的方程有2个不同的实数根，不妨设， 因为，则有： 当时，则，可知在内单调递减； 当时，则，可知在内单调递增； 当时，则，可知在内单调递减； 当时，则，可知在内单调递增； 所以有两个极小值点， 又因为， 则，， 所以. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）问题转化为，从而求参数的取值范围. （3）分情况讨论函数的单调性，得到函数极值的存在情况，再用作差法比较极值的大小. 【小问1详解】 由， 得， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以. 由（1）知， 因为，所以，即在上恒成立， 所以，又，所以， 即的取值范围为. 【小问3详解】 ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以不存在极值，不合题意； ②当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以无极大值，不合题意； ③当时，的定义域为， 令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为，且，不合题意； ④当时，的定义域为，且， 令，得，且， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，极小值为，且， ， ， 因为，所以，所以， 即，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026桓台一中高二下学期期中数学试卷 一、单选题 1. 小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 24 2. 若函数在处可导，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的极小值为（ ） A. B. C. 15 D. 17 4. 在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值点 6. 已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间不是的“缓减区间”的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（ ） A. 若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B. 若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C. 若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D. 若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 11. 对于函数，则（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. C. 若方程有6个不等实数根，则 D. 对任意正实数，且，若，则 三、填空题 12. 已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则________ 13. 甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有___________种.（用数字作答） 14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知的展开式的二项式系数和为． （1）求； （2）求的展开式中含的项； （3）若，求． 16. 已知函数． （1）求的最值； （2）若，求的取值范围． 17. 甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． （1）若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ （2）若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ （3）若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性 （2）若函数的极大值为． ①求实数a的值； ②令，实数.求证：有两个极小值点，且. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $