精品解析：山东济宁市金乡县金文实验高级中学2025-2026学年第二学期4月份学情检测高二数学试题

2025——2026学年度第二学期4月份学情检测 高二数学试题 一、单选题 1. 若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【详解】因为展开式的各项系数和为32， 所以令，有，得， 故， 因为展开式中含的项为，含的项为， 则展开式中的系数是. 2. 已知，若，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由函数解析式求导，结合题意建立方程，可得答案. 【详解】由，则， 所以，解得. 故选：A. 3. 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用列举法列出事件，包含的基本事件，再由条件概率的概率公式计算可得； 【详解】解：依题意包括的基本事件为{正，正}、{正，反}，包括的基本事件为{正，反}，∴， 故选：A． 4. 现将1个红球、1个黄球、1个绿球及3个白球（白球之间没有区别）放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为（ ） A. 15 B. 90 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】把6个小球按2个球一组分成3组，再放到3个不同盒子即可. 【详解】把6个小球按2个球一组分成3组，有两类分法： 每个盒子放入一个白球，有1种方法；有2个白球放入一个盒子，剩下1个白球与1个有色球组合，有种方法， 再将分成的3组放入3个盒子有种方法， 所以不同的放法种数为. 5. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列性质计算可得，再由期望值公式计算可得. 【详解】易知，解得； 所以分布列为 0 1 2 因此. 故选：C 6. 若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围. 【详解】函数的导数为， 令，则或， 上单调递减，上单调递增， 所以0或是函数y的极值点， 函数的极值为：， 函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：. 故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大. 7. 已知盒子里有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中4个红球，6个白球甲、乙两人依次不放回地摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分别计算甲先摸到1个红球，乙再从剩下的9个球中摸1个球的种数和甲先摸到1个红球，乙再从剩下的3个红球中摸1个球的种数可得答案. 【详解】甲先摸到1个红球，乙再从剩下的9个球中摸1个球，共有种， 其中甲先摸到1个红球，乙再从剩下的3个红球中摸1个球，共有种， 所以在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为. 故选：A. 8. 若函数有最大值，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过导数确定为临界点，由的符号分类讨论求解即可. 【详解】， 令，得临界点（因，舍去）， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时无最大值， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为， 所以，满足题意， 故选：. 二、多选题 9. 某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中（ ） A. 都是合格品的抽法种数为 B. 恰有件不合格品的抽法种数为 C. 至少有件不合格品的抽法种数为 D. 至多有件不合格品的抽法种数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用组合计算原理逐项判断即可. 【详解】某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中， 对于A选项，都是合格品的抽法种数为，A错； 对于B选项，恰有件不合格品的抽法种数为，B对； 对于C选项，至少有件不合格品即为：件不合格品件合格品、件不合格品件合格品， 抽法种数为，C对； 对于D选项，至多有件不合格品，其反面是件合格品，抽法种数为，D对. 故选：BCD. 10. 已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极小值 B. 在上单调递增 C. 在区间内单调递减 D. 在处取得极大值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导函数的图象可判断的单调性，即可求解AB，根据导函数的图象，结合极值的定义即可求解CD. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 对于A, 是的极小值点，故A正确， 对于B，在上单调递减，B错误， 对于C, 在区间内单调递减,C正确， 对于D, 在处取得极小值，D错误， 故选：AC 11. 甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛，约定比赛规则如下：每局比赛获胜的一方积1分，负者积0分，无平局，积分首先达到3分的一方获得最终胜利，比赛结束．若甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，表示比赛结束时两人的积分之和，则（ ） A. 服从二项分布 B. C. 比赛结束时，甲、乙的积分之比为的概率为 D. 随机变量的数学期望为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二项分布的特征判断A；计算概率判断BC；求出分布列及期望判断D. 【详解】对于A，的可能取值为，而二项分布的随机变量取值是从0开始的连续自然数， 因此不服从二项分布，A错误； 对于B，表示比赛结束时，赛了3局，要么是甲胜3局，要么是乙胜3局， 因此，B正确； 对于C，比赛结束时，甲、乙的积分之比为，则甲乙共赛4局，第4局甲胜，前3局甲输1局， 概率为，C正确； 对于D，，， ，，D正确. 故选：BCD 三、填空題 12. 现有7名同学去听同时进行的4个科普知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分步计数原理直接求解即可. 【详解】7名同学每人有4种选择，所以共有种. 13. 若的二项展开式中的系数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的展开式通项为，求得的二项展开式中的系数，列式求出参数的值即可得解. 【详解】， ∵的展开式通项为， 令得；令得； ∴中的系数为. 所以，即，解得. 故答案为： 14. 在20件产品中，有15件一级品，5件二级品，从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】按照二级品的件数分类：二级品的件数分别为1，2，3，分别求出概率后相加即得． 【详解】任取3件，其中二级品的件数为， ，P P 所以 四．简答题 15. 已知离散型随机变量的分布列如图所示． 0 1 2 0.6 求： （1）常数的值； （2），． 【答案】（1）或 （2）当时，，；当时，， 【解析】 【分析】（1）由概率之和为1，且每个概率都大于等于0列方程求解即可； （2）根据分布列计算期望和方差，结合方差的性质即可. 【小问1详解】 易知，整理得， 解得或. 【小问2详解】 当时， ， ， 则 . 当时， ， ， 则 . 综上，当时，， ；当时，，. 16. 在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球. （1）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； （2）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值. 【答案】（1）分布列见解析 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意，由二项分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由超几何分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 若每次抽取后最放回，则每次取到黑球的概率均为， 取到小球的个数 ∴ ∴的分布列为 0 1 2 3 【小问2详解】若每次抽取后都不放回，取到小球的个数服从超几何分布 ∴的分布列为 0 1 2 3 17. 已知函数． （1）当时，求函数的最大值； （2）当时，求的单调区间． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无减区间． 【解析】 【分析】（1）根据导数与最值的关系求解即可. （2）根据导数与单调性的关系，对进行讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则， 令，则. ，随的变化情况如下： 1 + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 所以当时，取最大值，为． 【小问2详解】 ， 当时，令，解得或， ①当时，由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时， ，则函数在上单调递增． 综上： 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间． 18. 已知（），若所有项的二项式系数和等于1024. （1）求； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和的公式求得，再利用赋值法求得要求式子的值. （2）求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【小问1详解】 由题意可知，故， 令，则， 令，则， 令，则， 两式相加可得 【小问2详解】 二项式展开式的通项公式， 令展开式中系数最大的项是第项，则， 整理得，解得，而，因此， 所以展开式中系数最大的项. 19. 已知函数 （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极小值； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，结合导数的几何意义即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性即可求解； （3）将恒成立问题转化为最值问题，结合单调性即可求解. 【小问1详解】 ，， 所以函数的图象在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ,令得或. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故时取得极小值. 【小问3详解】 由题意得只要， 由（2）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，解得或. 综上,实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年度第二学期4月份学情检测 高二数学试题 一、单选题 1. 若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 2. 已知，若，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 3. 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 4. 现将1个红球、1个黄球、1个绿球及3个白球（白球之间没有区别）放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为（ ） A. 15 B. 90 C. 24 D. 36 5. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知盒子里有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中4个红球，6个白球甲、乙两人依次不放回地摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有最大值，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 二、多选题 9. 某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中（ ） A. 都是合格品的抽法种数为 B. 恰有件不合格品的抽法种数为 C. 至少有件不合格品的抽法种数为 D. 至多有件不合格品的抽法种数为 10. 已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极小值 B. 在上单调递增 C. 在区间内单调递减 D. 在处取得极大值 11. 甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛，约定比赛规则如下：每局比赛获胜的一方积1分，负者积0分，无平局，积分首先达到3分的一方获得最终胜利，比赛结束．若甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，表示比赛结束时两人的积分之和，则（ ） A. 服从二项分布 B. C. 比赛结束时，甲、乙的积分之比为的概率为 D. 随机变量的数学期望为 三、填空題 12. 现有7名同学去听同时进行的4个科普知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是__________. 13. 若的二项展开式中的系数为，则__________. 14. 在20件产品中，有15件一级品，5件二级品，从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率是___________． 四．简答题 15. 已知离散型随机变量的分布列如图所示． 0 1 2 0.6 求： （1）常数的值； （2），． 16. 在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球. （1）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； （2）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值. 17. 已知函数． （1）当时，求函数的最大值； （2）当时，求的单调区间． 18. 已知（），若所有项的二项式系数和等于1024. （1）求； （2）求展开式中系数最大的项. 19. 已知函数 （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极小值； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $