精品解析：广东茂名市高州市2025～2026学年度第二学期高一质量监测数学试题

高州市2025～2026学年度第二学期高一质量监测 数学 2026.5.11 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 高州市教育局教研室 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册第五章5.5～必修第二册第八章8.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列条件一定能确定一个平面的是（ ） A. 空间三个点 B. 空间一条直线和一个点 C. 两条相互垂直的直线 D. 两条相交的直线 2. （ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台的母线所在的直线和底面所成的角为，且该圆台的上、下底面的面积分别为和，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. 复数的实部为 B. 复数的共轭复数为 C. D. 为实数 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若直线a，b不共面，则a，b为异面直线 B. 若直线平面，则a与内任何直线都平行 C. 若直线平面，平面平面β，则 D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 已知，，若，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 13. 已知，，则______. 14. 如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 设是实数，复数，（是虚数单位）. （1）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）求的最小值. 16. 已知，． （1）若，且，求，的值； （2）若，且，求的坐标． 17. 已知函数的最小正周期为，最大值为，. （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 18. 如图，在正方体中，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 在中，设、、所对的边分别为、、，已知，且三角形外接圆半径为． （1）求的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）设的外接圆圆心为，且满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高州市2025～2026学年度第二学期高一质量监测 数学 2026.5.11 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 高州市教育局教研室 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册第五章5.5～必修第二册第八章8.5. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列条件一定能确定一个平面的是（ ） A. 空间三个点 B. 空间一条直线和一个点 C. 两条相互垂直的直线 D. 两条相交的直线 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，如果三点共线，则无法确定一个平面，所以A错误； 对于B，如果点在直线上，则无法确定一个平面，所以B错误； 对于C，如果两条直线是异面垂直，则无法确定一个平面，所以C错误； 对于D，由平面的基本性质，两条相交直线可以确定唯一的一个平面，所以D正确. 2. （ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算，及模的计算法则即可求解． 【详解】由，则， 所以． 3. 将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】的图象上的所有点向左平移个单位长度， 得到 ，故B正确. 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：， 由正弦定理可得，. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式把弦化切即可得解. 【详解】. 故选：A. 6. 已知圆台的母线所在的直线和底面所成的角为，且该圆台的上、下底面的面积分别为和，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知上底面积，下底面积， 对上底：；​ 对下底：. 圆台轴截面中，母线与底面所成角为，高与半径差构成直角三角形的两条直角边，满足. 由于，​，因此 . 则圆台体积为. 7. 如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P点的轨迹. 【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接， 则∥，，且∥，， 可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，可知平面∥平面， 又因为P点是正方形内的动点，平面， 所以点在线段上， 由题意可知：，可得， 所以P点的轨迹长度为. 故选：C. 8. 在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立合适的直角坐标系，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】因为三角形中，， 所以是边长为2的等边三角形，则 以为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系如图， 则，设，则， 故， 显然当时，取得最小值， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. 复数的实部为 B. 复数的共轭复数为 C. D. 为实数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的相关概念及复数的基本运算，逐项进行判断即可. 【详解】对于A选项，由复数，根据复数的概念，可得实部为，故A正确； 对于B选项，由复数，根据共轭复数的概念，可得，故B正确； 对于C选项，由B选项可得，所以，故C错误； 对于D选项，由复数，则，故D正确. 综上所述，选项ABD正确. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若直线a，b不共面，则a，b为异面直线 B. 若直线平面，则a与内任何直线都平行 C. 若直线平面，平面平面β，则 D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】由空间中线线，线面，面面间的位置关系对各选项进行判断即可. 【详解】A.直线a，b不共面，即不平行，不相交，则a，b为异面直线，故正确； B. 直线平面，则a与内的直线平行或异面，故错误； C. 直线平面，平面平面β，则或，故错误； D. 空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故错误； 故选：BCD 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 已知，，若，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理解三角形判断A，利用正弦定理结合二倍角公式判断B，利用三角形性质可判断C，利用正弦函数性质结合同角三角函数的基本关系判断D即可. 【详解】对A，若，由正弦定理，得，所以，所以A正确； 对B，因为，由正弦定理，得， 所以，即， 因为，，所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以B正确； 对C，已知，， 当且仅当时，有两解，所以C错误； 对D，因为为锐角三角形，所以，即， 又因为在上为增函数， 且，，所以， 又因为，所以，同理， ，， 即， 所以， 整理得：，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出，依题意根据，根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 13. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，…………① ，…………② 联立以上两式可得：，， 所以. 14. 如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，再作点E关于直线DC的对称点即可求解. 【详解】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，得长宽分别为的矩形， 作点E关于直线DC的对称点，连接交于，连接，如图， ，所以所求最短距离为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 设是实数，复数，（是虚数单位）. （1）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简复数，根据第一象限点的实部、虚部均大于0，列不等式组解得的范围； （2）先求，再计算并求其模，转化为二次函数求最小值. 【小问1详解】 ， 复数在复平面内对应点的坐标为， 第一象限的点满足实部、虚部均大于0，因此，. 解得，即的取值范围是. 【小问2详解】 由得共轭复数，则 ， 根据复数模的计算公式得. 因为为实数，，当时，取最小值20，因此： ，即最小值为. 16. 已知，． （1）若，且，求，的值； （2）若，且，求的坐标． 【答案】（1），； （2）或． 【解析】 【分析】(1)由向量的坐标运算计算与的坐标，根据列出关于，的二元一次方程组求解即可； (2)利用向量共线定理可以将表示为，再根据模长公式计算t即可求解． 【小问1详解】 因为，求解可得：； 故； 故，解得：； 【小问2详解】 因为，故； 因为，故，解得，即； 故或． 17. 已知函数的最小正周期为，最大值为，. （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用最小正周期公式求出，由的最大值为得到的值，由得到 ，结合解出，从而的解析式，利用正弦函数的图像和性质求出的对称中心. （2）利用函数的变换求出的表达式，由解得，由函数在区间上有两个不同的零点，得到这两个函数在上有两个不同的交点，利用在上的单调性和端点值得到实数m的取值范围. 【小问1详解】 的最小正周期为，,， 的最大值为，， ，， ，，， 令，解得， 的对称中心为； 【小问2详解】 ，函数的图象向左平移个单位长度， 得到， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 得到， 则， 设，解得，解得， 因为函数在区间上有两个不同的零点， 则这两个函数在上有两个不同的交点， 在上是单调递增函数，在上是单调递减函数， ，，， 则，解得， 则实数m的取值范围为. 18. 如图，在正方体中，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得，根据线面平行的判定可证得结论； （2）假设存在点，延长交于，连接交于，根据三角形中位线性质可确定，利用线面平行的性质可证得四边形为平行四边形，由此可确定. 【小问1详解】 连接， 分别为中点，， ，，四边形为平行四边形，， ，又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 假设在棱上存在点，使得平面， 延长交于，连接交于， ，为中点，为中点， ，，， 平面，平面，平面平面， ，又，四边形为平行四边形，， ； 当时，平面. 19. 在中，设、、所对的边分别为、、，已知，且三角形外接圆半径为． （1）求的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）设的外接圆圆心为，且满足，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式求得的值，可求得的值，利用两角和与差的余弦公式可得出，求出的值，即可得出结果； （3）推导出，，利用平面向量的数量积结合正弦定理以及三角恒等变换可求得的值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为、，则，，，故； （2），可得，则， ， ， ， 因为， 所以，， 因此，； （3）取的中点，则，如下图所示： ，同理可得， 设的外接圆半径为， 因为，故， 即，即， 则有， 整理可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $