精品解析：广东省茂名市高州市2024-2025学年高一下学期期中数学试题

高州市2024~2025学年第二学期高一阶段性教学质量监测考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册第五章5.5~5.7，必修第二册第六章~第八章8.5. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 复数在复平面内所对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（ ） A. B. 75 C. D. 5. 在中，若满足，则A等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是（ ） A. 相似但不全等的三角形 B. 全等三角形 C. 面积相等的不全等三角形 D. 以上结论都不对 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”）.如图，利用圭表测得南京市在夏至日的早上和中午的太阳高度角约为和.设表高为1米，则影差约为（参考数据：）（ ） A. 2.747米 B. 5.494米 C. 8.241米 D. 10.988米 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，，则的面积为 B. 已知向量，则 C. 在中，若，则是等腰三角形 D. 已知向量与夹角为钝角，则的取值范围是 11. 在正方体中，M，N，Q分别是棱，，BC的中点，，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. A，P，M三点共线 D. 平面平面 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图：已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图即四边形，则四边形的面积为__________. 13. 已知，是与方向相同单位向量，若在上的投影向量为，则_______. 14. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知复数是一元二次方程（，）的根. （1）求的值； （2）若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 16. 记锐角三角形中内角的对边分别为，且. （1）求； （2）求的值； （3）若，且，求的面积. 17. 如图，在正三棱台中，，，，分别是，的中点，为上一点. （1）若是的中点，求证：平面； （2）若平面，求点的位置，并说明理由. 18. 函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为． （1）求函数的解析式； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围． 19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. （1）求； （2）求的坐标； （3）若点在线段上运动，设，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高州市2024~2025学年第二学期高一阶段性教学质量监测考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册第五章5.5~5.7，必修第二册第六章~第八章8.5. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线定理及坐标运算列式计算即可. 【详解】因为，所以，则，解出. 故选：D 2. 复数在复平面内所对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先对复数进行化简，再找到其在复平面对应的点，得到答案. 【详解】由， 可得复数z在复平面内所对应的点为，所在的象限为第一象限. 故选：A． 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量，满足，，，由求解. 【详解】解：因为向量，满足，，， 所以． 故选：A． 4. 某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（ ） A. B. 75 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形弧长求出圆锥底面圆的半径，进而求出圆锥的高，求出体积. 【详解】设底面圆的半径为，则，解得：， 设圆锥的高为，则， 则圆锥的体积为. 故选：D 5. 在中，若满足，则A等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得. 【详解】由正弦定理得， ， 由于，所以. 故选：D 6. 如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是（ ） A. 相似但不全等的三角形 B. 全等三角形 C. 面积相等不全等三角形 D. 以上结论都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的性质定理判断． 【详解】由题意知AA′∥BB′∥CC′，α∥β， 所以平面，面， 由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′， 则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′. 同理BC＝B′C′，AB＝A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. 故选：B． 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数以及正弦和角公式，联立方程，结合正弦差角公式，可得答案. 【详解】由，则，即， 由，则， 联立，解得， 所以. 故选：C. 8. 圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”）.如图，利用圭表测得南京市在夏至日的早上和中午的太阳高度角约为和.设表高为1米，则影差约为（参考数据：）（ ） A. 2.747米 B. 5.494米 C. 8.241米 D. 10.988米 【答案】B 【解析】 【分析】在三角形中，利用正弦定理求值即可. 【详解】在中，. 在中，由正弦定理得，即， 所以. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、和角的正切公式、二倍角公式结合齐次式法逐项求解判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，，则的面积为 B. 已知向量，则 C. 在中，若，则是等腰三角形 D. 已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角形面积公式直接求解可判断A；根据向量坐标运算求解可判断B；记的中点为D，根据向量加法运算结合已知可得中线垂直于，然后可判断C；考虑与反向时不满足条件即可判断D. 【详解】，故A正确； ，故B错误； 记的中点为D，由于， 因此中线垂直于，所以是等腰三角形，故C正确； 与的夹角为钝角， 且，故D错误. 故选：AC. 11. 在正方体中，M，N，Q分别是棱，，BC的中点，，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. A，P，M三点共线 D. 平面平面 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，连接，，则，根据线面平行的判定可判断；对于B，由A知M在平面内，Q不在平面内，即可判断；对于C，由A知，A，P，M三点共线；对于D，由线面平行判定定理得平面和平面，由面面平行判定定理即可证明. 详解】对于A，如图，连接，，则，连接，，设，交于点， 由可得，交于点P，则平面，所以A选项错误； 对于B，由A知M在平面内，Q不在平面内，所以与平面，所以B选项错误； 对于C，由A知，A，P，M三点共线，所以C选项正确； 对于D，连接，， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 即平面，又，平面，平面， 故平面，，平面， 故平面平面，所以D选项正确. 故选：CD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图：已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图即四边形，则四边形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出直观图，结合三角形的面积公式可求出四边形的面积. 【详解】作出直观图如下图所示： 由题意可知，四边形为平行四边形，且，，， . 故答案为：. 13. 已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据投影向量公式求得结果即可. 【详解】在上的投影向量为， 所以4. 故答案为：4. 14. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数单调性，得出极值点，列出等式与不等式，求出，再由图象平移及诱导公式得解. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 解得， 由题意， 因为函数为偶函数，， 所以，解得. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知复数是一元二次方程（，）的根. （1）求的值； （2）若复数（其中）为纯虚数，求复数模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是一元二次方程的两根，并根据韦达定理即可求解； （2）由（1）并结合为纯虚数，得，再代入复数中求模即可. 【小问1详解】 因为是一元二次方程的根， 所以也是一元二次方程的根， 故，解得. 【小问2详解】 因为复数为纯虚数， 所以，且，即. 所以复数， 故. 16. 记锐角三角形中内角的对边分别为，且. （1）求； （2）求的值； （3）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可得，得解； （2）由（1），根据正切的和差角求解； （3）由（1），结合内角和定理求得，根据正弦定理，结合面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 由，所以， 整理得，又，则， 所以，故. 【小问2详解】 因为，则， . 【小问3详解】 由（1），，则，且， 解得，， 由正弦定理，， 又， ， 所以. 17. 如图，在正三棱台中，，，，分别是，的中点，为上一点. （1）若是的中点，求证：平面； （2）若平面，求点的位置，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）M为AC上靠近C的三等分点处，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）取AB中点N，连接，结合中位线利用线面平行判定定理证明平面，平面，进而面面平行判定定理得平面平面，从而利用面面平行的性质定理证明线面平行； （2）根据线面平行的判定定理可得平面，结合平面，根据面面平行的判定定理得平面平面，由面面平行的性质即可得线线平行，即可求解. 【小问1详解】 取AB中点N，连接， 由三棱台中，是的中点，N是的中点可得， 又，所以，平面，平面， 故平面，又，分别是，的中点， 所以，平面，平面，故平面， 又，平面，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面； 【小问2详解】 在等腰梯形中，，，所以， 又平面，平面，故平面， 由平面，，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，在中，，所以， 即M为AC上靠近C的三等分点处. 18. 函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为． （1）求函数的解析式； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积求得，进而求得，利用点求得，从而求得的解析式. （2）先求得在区间的取值范围，根据绝对值不等式的解法化简不等式，根据恒成立问题以及对数不等式等知识求得正确答案. 【小问1详解】 由题意可知：的面积，可得， 所以周期，则， 由，得，又，于是， 所以； 【小问2详解】 由，则，得， 即．由，得， 即在上恒成立， 亦即， 因为， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛：利用函数图象与性质求得三角函数的解析式，其中往往是通过周期，用来进行求解，往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解.求解不等式恒成立问题可转化为函数的最值来进行求解. 19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. （1）求； （2）求的坐标； （3）若点在线段上运动，设，求的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先由题意求出，再由题意结合以及模长公式和数量积运算律即可计算求解； （2）分别设求得和，利用向量共线的推论求出即可求解； （3）先求出，接着设得，将其代入结合一元二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 由题， . 【小问2详解】 设·， 因为三点共线，所以， 所以； 设， 因为三点共线，所以， 所以. 【小问3详解】 由题， 所以， 所以， 所以当时，取得最大值13. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$