精品解析：广东普宁市第二中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

普宁二中2025-2026学年度高一第二学期期中考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若是虚数单位，计算复数（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 2. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若， 则 B. 若，则 C. 若， 则 D. 若 则 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量、零向量、平行向量的概念逐一判断即可. 【详解】对A，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对B，向量不能比较大小，错误； 对C，若，则，错误； 对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 故选：D 3. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为等价于，即， 则或， 所以当时，成立， 当时，不一定成立， 如，满足，但不满足， 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知，且，则（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得，然后求得，最后根据两角差的正切公式即可求解. 【详解】由， 得， 所以， 则. 5. 已知函数在区间单调递增，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性结合对数运算、对数函数的性质比较函数值大小即可. 【详解】因为函数满足， 又，所以， 因为，且函数在区间单调递增， 所以. 6. 如图，在正方体中，是的中点，是的中点，是的中点，直线与平面相交于点，则下列结论不正确的是（ ） A. 三点共线 B. 四点共面 C. 四点共面 D. 四点共面 【答案】D 【解析】 【详解】连接 ．因为 平面 ， 所以平面 ．又因为平面， 所以点在平面 与平面的交线上， 即三点共线，故A正确； 因为，所以四点共面，又因为三点共线， 所以四点共面，四点共面，故B，C正确； 因为平面，平面， 所以四点不共面，D错误． 7. 17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图，是一个半圆，圆心为，是半圆的外切矩形.以直线为轴将该平面图形旋转一周，记，阴影部分，半圆所形成的几何体的体积分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式、球的体积公式以及圆柱的体积公式，通过加减，可得答案. 【详解】以直线为轴将该平面图形旋转一周，所形成的几何体为一个圆锥， 底面直径为，（为半圆半径），则，，则， 半圆所形成的几何体为一个半球，设整个球的体积为，则， 以直线为轴将该平面图形旋转一周，长方形形成的几何体为圆柱， 设体积为，阴影部分所形成的几何体体积等于圆柱体积减去半球体积， 则.故，，. 故选：D. 8. 已知，全等的等边三角形，且点，，在同一条直线上，点，分别为线段的三等分点（如图所示），若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，表示出各点坐标后，利用平面向量数量积的坐标运算计算可得结果. 【详解】以为坐标原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系： 设和的边长为， 则，，，， ，，， ，，， . 故选：. 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为平面向量数量积的坐标运算的求解，属于常考题型. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若是方程的两根，则 【答案】AD 【解析】 【分析】设，，应用复数的模的计算公式，复数的乘法运算法则判断A；取，，代入检验判断B；取，判断C；由方程复数根的性质、韦达定理判断D. 【详解】对于A选项，设，， ， 所以 所以，A选项正确； 对于B选项，不妨取，，则， 由，得，显然不成立，故B选项错误； 对于C选项，若，不妨取，， 此时，但不成立，故C选项错误； 对于D选项，若是方程的两根，则根据韦达定理可知，则，故D选项正确． 10. （多选）中，，点满足，设，则（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的内心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的外心，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求出即可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（     ） A. 若B+C=2A，则面积的最大值为 B. 若，且只有一解，则b的取值范围为 C. 若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 为的外心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理可得，根据求出，再由余弦定理、基本不等式和三角形面积公式可判断A；由正弦定理得，利用可判断B；求出，利用为锐角三角形得的范围，由正弦定理得，求出的范围可判断C；做交于点点，则点为的中点，设可得，利用数量积公式计算可判断D. 【详解】对于A，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 若，且，所以， 由余弦定理得， 由，可得，即， 则面积，所以面积的最大值为，故A正确； 对于B，若，且，由正弦定理得， 所以，当时即，所以时有一解，故B错误； 对于C，若C=2A，所以，且为锐角三角形， 所以，解得，所以， 由正弦定理得，故C正确； 对于D，如图做交于点点，则点为的中点，且， 设，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点是__________. 【答案】0 【解析】 【详解】令，即，解得， 所以函数的零点是0. 13. 已知四棱锥的五个顶点在球O的球面上，底面为矩形，且，，侧棱长均为，则球O的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件先确定出球心的位置，然后根据矩形的外接圆半径以及长度，利用勾股定理即可计算出四棱锥外接球的半径，即可求解出球的表面积. 【详解】如图所示，记，设球的半径为，球心为， 因为，，所以，所以， 又因为四棱锥的侧棱均相等，所以底面，所以且球心在直线上， 所以，所以， 所以球的表面积为：. 故答案为：. 【点睛】本题考查空间几何体的外接球的表面积计算，难度一般.求解空间几何的外接球的表面积或体积：第一步先确定球心位置，第二步根据已知长度求解出球的半径，第三步利用公式求解出表面积或体积. 14. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为________． 【答案】74 【解析】 【分析】由题设得，，再应用正弦定理列方程求鹳雀楼的高度. 【详解】由题设及图知：，则， 在中m. 故答案为：74 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，． （1）若，求实数的值； （2）求； （3）若，求的最小值． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行构造方程求解； （2）分别求出及，进而求出； （3）先求出，再利用二次函数的性质求最小值． 【小问1详解】 已知， ，解得． 【小问2详解】 已知，则， ， ． 【小问3详解】 ， 二次函数开口向上，对称轴， ． 16. 已知中，分别为内角的对边，且， （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）利用三角形的面积关系解出即可 【小问1详解】 在中，由正弦定理及得：， 化简可得：， 由余弦定理得， 又，所以 【小问2详解】 是的角平分线，则， 由可得 因为，，即有， 故. 17. 如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱柱的体积为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用线面平行判定定理证明结论； （2）利用三棱柱的几何性质，利用棱柱、棱锥的体积公式，结合已知条件求出底面面积关系，进而求出四棱锥的体积． 【小问1详解】 取棱的中点，连接， 分别是棱的中点，， 是棱的中点，， ， 则四边形是平行四边形，故， 分别是棱的中点，且四边形为平行四边形， ， ， 平面，平面， 平面． 【小问2详解】 设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积， 故四棱锥的体积， 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积为． 18. 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． （1）若，，且，求； （2）若，且，求的最大值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答； （2）连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【小问1详解】 设，依题意，， 则，， 即，而， 所以. 【小问2详解】 连接，中，，， 由余弦定理得， 则，即，设，在中，， 于是，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以AC的最大值是. 19. 已知向量令. （1）求函数的对称轴方程； （2）设，当时，求函数的最小值； （3）在（2）的条件下，若对任意的实数且，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的数量积公式及两角和的余弦公式可得，再由 可得结果； （2）令，因为，所以 则，根据二次函数的性质讨论三种情况，即可得结果； （3）当时，由，结合基本不等式即可得结果. 【小问1详解】 因为向量 所以， 由，得， 所以函数对称轴方程为 【小问2详解】 由（1）得， 因为 所以 令，因为， 所以 ， 则， 对称轴为， 当，即，可得在上单调递增， 所以， 当，即时，， 当，即时，在上单调递减， 所以 所以 【小问3详解】 当时，由（2）可得 所以 而，当且仅当时取等号， ，当且仅当时，取等号， 所以 所以 ， 即实数的取值范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图象与性质，考查向量的数量积运算，考查二次函数的最值的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用三角函数公式将函数进行化简，再换元转化为二次函数求解，考查数学转化思想和分类思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁二中2025-2026学年度高一第二学期期中考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若是虚数单位，计算复数（   ） A. B. C. D. 2. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若， 则 B. 若，则 C. 若， 则 D. 若 则 3. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，且，则（ ） A. B. 7 C. D. 5. 已知函数在区间单调递增，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，是的中点，是的中点，是的中点，直线与平面相交于点，则下列结论不正确的是（ ） A. 三点共线 B. 四点共面 C. 四点共面 D. 四点共面 7. 17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图，是一个半圆，圆心为，是半圆的外切矩形.以直线为轴将该平面图形旋转一周，记，阴影部分，半圆所形成的几何体的体积分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，全等的等边三角形，且点，，在同一条直线上，点，分别为线段的三等分点（如图所示），若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若是方程的两根，则 10. （多选）中，，点满足，设，则（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的内心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的外心，则 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（     ） A. 若B+C=2A，则面积的最大值为 B. 若，且只有一解，则b的取值范围为 C. 若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 为的外心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点是__________. 13. 已知四棱锥的五个顶点在球O的球面上，底面为矩形，且，，侧棱长均为，则球O的表面积为__________. 14. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，． （1）若，求实数的值； （2）求； （3）若，求的最小值． 16. 已知中，分别为内角的对边，且， （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 17. 如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱柱的体积为，求四棱锥的体积． 18. 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． （1）若，，且，求； （2）若，且，求的最大值． 19. 已知向量令. （1）求函数的对称轴方程； （2）设，当时，求函数的最小值； （3）在（2）的条件下，若对任意的实数且，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $