2026届全国一卷模拟预测数学试题三

**基本信息** 高2026届高考数学模拟卷，以“设备更新”社会热点和“自公切线函数”创新概念为情境，覆盖函数、几何、概率等核心知识，梯度设计适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、向量、椭圆等|第6题结合招生政策考查排列组合，体现应用意识| |填空题|3题15分|二项式定理、正三棱台体积、数列求和|第13题正三棱台体积考查空间观念与运算能力| |解答题|5题77分|三角函数、立体几何、概率分布、导数、双曲线与数列|17题以设备更新为背景考查概率期望（数据意识），19题双曲线与数列综合（逻辑推理）|

高2026届高考全国一卷模拟预测试题三 数学参考答案 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 0 力 A 0 C B D A 二.选择题 题号9 10 11 答案CD ACD BCD 三.填空题 12.4x-y-8=0 13.75 14.7700 15.解：(1)f(x)=2V3sin2x+2 sinxcosx-√5 -sin2x-3cos2x-2sin2x-) …3分 故最小正周期T=2 2 ……………4分 2m+s2x-s2km+3,k∈Z,… …5分 3 2 改径+assa+晋e7 单调递减区间 12 12 …6分 30 (2)由fA=0,则2sim2A- 所以2Ak红kGZ,即2A3年红ke乙，…8分 由1是三角形内角，且4受故4受 ， 由正弦定理和a sin B sin C=V3sinA,则a× b c b-V3a ………………10分 2R2R 2R 则c=25R=5xg,=5xg=2a sinA √3 ……11分 2 由余弦定理，a2=b2+c2-2bcc0sA=b2+c2+bc≥3bC,·12分 即a≥6，当且仅当b=c=2√3时取等号， 此时面积最小值为S=号esin=35.…13分 16.解(1)过点A作AO⊥平面ABC于点O,BCc平面ABC,所以A,0⊥BC·1分 又AA,⊥BC,AA,∩A,0=A,AA,A,0C平面A,A0·2分 第1页，共2页 BC1平面AAO,又A0C平面AA0,则BC⊥A0,…3分 同理可证AB⊥C0,故0是△4BC的垂心，… 0……4分 又△4BC是正三角形，则0是△BC的中心， …5分 因此三棱锥A-ABC是正三棱锥：…6分 (2)因为三棱柱ABC-A,B,C的体积为6√5， A 因-25，故账面AC的面积为5x25-35。… …7分 所以三棱柱ABC-A,B,C,的高AO=2, 以BC的中点E为坐标原点，以EA,EB为x,y轴的正方向，过E且与OA平行的直线为z轴的正方 向建立空间直角坐标系，则A3,0,0),B0,V3,0,C0,-V3,0,A(1,0,2),·…8分 设平面AA,B,B的法向量为元=（x,y,z, 因为AB=-3,3,0,AA=(-2,0,2）,AC=-3,-V5,0）,…9分 元=-2x+22=0,取=1，则i=5.小…12分 AB.n=-3x+√3y=0 则 又AC=AC+CC=AA+AC=-5,-V5,2,…13分 设直线AC,与平面AAB,B所成角为O, sin0 -cos(,AC)nAC6 3V10 |nAC1V5×4220 ……15分 17.解：(1)依题意，X的可能取值为0,10,30，…1分 则P(X=0)=1-0.6=0.4,… ……2分 P(X=10)=0.6×[1-(0.5+0.10]=0.24,… …3分 P(X=30)=0.6×(0.5+0.1)=0.36,… 0…4分 所以X的分布列为… …6分 X 0 10 30 P 0.4 0.24 0.36 第1页，共2页 (2)当该同学先回答“拯救海洋”类问题时，由(1)，得E(X)=0×0.4+10×0.24+30×0.36=13.2;·7分 当该同学先回答“回收报废电力设备”类问题时，记Y为该同学的累计得分， 则Y的可能取值为0,20,30……………………………8分 P(Y=0)=1-0.5=0.5,P(Y=20)=0.5×[1-(0.6+0.10]=0.15,…10分 P(Y=30)=0.5×(0.6+0.1)=0.35…12分 因此E(Y)=0×0.5+20×0.15+30×0.35=13.5,…14分 因为13.5>13.2，所以E(Y)>E(X), 所以为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题·15分 18.解：(1)a=1,则f(x)=e-sinx,所以f'(x)=e-cosx.…1分 当x>0时，e>1≥cosx,f'(x)=e*-cosx>0,…2分 所以f(x)在区间(0，十00)上单调递增.……3分 (2)g()=mx+acosx,g(x)=I-asinx,0<a.... 1 2 当0<<2时，g=asm>a>0,枚g)在2上单调地增…5分 1 又g白=-1+aos<-1+5<0,g(2=n2+aos2>h2- 1 >0…7分 e 2 2 故g(x)在(0,2)上存在唯一零点，…… ……8分 当r≥2时，g()=nx+acosx>n2->0恒成立. 2 1 综上，若0<07,8)有且仅有1个零点。…9分 (3)h(x)=f(x)-g(x)=e*-Inx-a(sinx+cosx)=e*-Inx-v2asinx+ 4 ①若a=1,令M(x)=e-x-l,M'(x)=e-1,令M'(x)=0,解得x=0. 当x<0时，M'(x)<0;当x>0时，M'(x)>0, 所以M(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增，又M(0)=0, 所以，M(x)≥M(0)=0,即e≥x+1. 同理，令m=nc-x+l,m)=1-1,令m()=0,解得x=1. 当0<x<1时，m'(x)>0;当x>1时，m(x)<0, 所以m(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+o∞)上单调递减，又M(I)=0, 所以，m(x)≤m(I)=0,即lnx≤x-1. 第1页，共2页 )=e-hr-nx-cosx=e-hx-5sn+2x+0-x--5-2-5>0, 所以a=1满足题意.………12分 ②若a=2,令N()=e*-lnx,则N'(x)=e-,记n(x)=N'(x)=e-I 由)=e+>0得故N)在0+o)上单调造增，又N)-。 23 >0, >23 2 所以。x号时，N>N[>0N)在上单调。 3 又名<<1，所以n 34 4=e4-h年-22<e-n1-25=e-2W2<0. 所以a=2不合题意.…15分 ③若a≥3， 当x年引sn+eos=5sm(+到引e. 又经<1k号，所以sml+cosl>Lh0=e-a6nl+os<e-3<0, 所以a之3不合题意.综上，正整数a的值为1，………17分 19.解(1)由双曲线C的两条渐近线为y=士5x,得=V5,即b=5a,…1分 又双幽线C经过点5.5.得1-子是子之-解得8,3分 所以双曲线C的方程为-=1.…4分 3 (2)令，=3，设两条直线的方程分别为y=k(x-,k≠0)和y=x-, y=k(x-t) 设An+1(x,乃)，Bn+1(x2,y2),由 得(3-k2)x2+2k21nx-k2t-3=0, -=1 3 由△>0，得3-k2≠0，k2-3<k2, 2k2t 则x+x=2-3 片+乃=k5+x-2)=6 k2-3 ,……………6分 倍：同理得应龙（证德. 点M2-一3'k2-3 3kt（-2-2k2) 于是直线MNn的斜率kk0-3)-+3可 2k(1+k2)2k k4-1k2-1’ …7分 线以义的方程为y当兰 (xk,…8分7 k2-3 令=0，得x=- ,伏0k3-L=因此…10分 2(k2-3)k2-32k2-3)2 第1页，共2页 由6=3，得4=0，则数列是首项为多公比为的等比数列，…12分 所以%==… ……………13分 Ant TMn+ P. Bn+ (i)设直线QnRn的方程为y=x-tn,由点R,的坐标为(cn,yn),得2，的坐标为(-xn1,yn), 由 +3 专3,3消去得2+21x-3=0,因此x-=,飞C罗 ,…15分 2 1 则x+1+x=(xn+1-xn)2+2xnxn=2t+3=3+18× 又， ……16分 所以Sn=3m+4 =3n+6-6()”<3n+6.… …17分 44 4 第1页，共2页 高2026届高考全国一卷模拟预测试题三 数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．考生必须保持答题卡的整洁。 3.满分150分，时间120分钟 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数，实数a，b满足，则 A．2 B．4 C． D． 3．已知向量，，，若，则 A．18 B．2 C．-2 D．-18 4．设，，，则、、的大小关系为 A． B． C． D． 5．已知为正项等比数列的前项和，，，则 A．2 B．3 C．4 D．6 6．2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是 A．12 B．9 C．6 D．15 7．已知，则 A． B． C． D． 8．设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为 A．16 B．11 C．12 D．13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则下列说法正确的是 A．若，则 B．的图象关于原点对称 C．若，则 D．，都有成立 10．已知抛物线E：的焦点为F，准线交y轴于点P，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线C上的两点，点M是的中点，则下列说法正确的是 A． B．若中点M的横坐标为4，则直线的斜率为2 C．若，则恒过点 D．若直线过点F，则 11．若函数在其图象上两个不同点处的切线完全重合，则称直线为曲线的“自公切线”，为“自公切线函数”，则 A．函数是“自公切线函数” B．函数.是“自公切线函数” C．曲线.的“自公切线”方程为y=1 D．曲线的“自公切线”方程为 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．展开式的第四项为______． 13．已知正三棱台，，，，则该正三棱台的体积为______． 14．数列满足，则的前100项和______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数 (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)在中，角的对边分别为,若且求面积的最小值. 16．（15分） 如图，在三棱柱 中，底面 是正三角形， . (1)求证:三棱锥 是正三棱锥； (2)若三棱柱 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 17．（15分） 目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1. (1)若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列； (2)为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？ 18．（17分） 设，已知函数. (1)若，判断在区间上的单调性； (2)若，判断的零点个数，并给出证明； (3)若，求正整数a的值. 19．（17分） 已知双曲线（，）的两条渐近线为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点……；依此类推得到点列，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）、分别在双曲线的左支和右支上，且直线经过点，当，时满足：①直线 的倾斜角总是；②点和关于轴对称.设点的坐标为，数列的前项和为.证明：. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $