2026届全国1卷新高考数学考前自测卷03

**基本信息** 2026届新高考数学考前自测卷，覆盖集合、导数、圆锥曲线等核心模块，解答题融合实际情境（如汽车模型数据统计）与逻辑推理（如导数证明），适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、向量数量积、二项式系数、函数零点|8单选基础+3多选分层，如概率题结合互斥与独立事件考查逻辑思维| |填空题|3题/15分|三角函数最值、双曲线离心率、导数极值点|含参数极值点问题（第14题），考查抽象能力与数学眼光| |解答题|5题/77分|解三角形、面面角、分布列与期望、导数证明、椭圆探究|概率题用汽车模型数据建表分析，圆锥曲线题设计直线迭代探究，体现数学语言表达与创新意识|

2026届全国1卷新高考数学考前自测卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ，解得 ，即； 由有意义，可得 ，故， 所以. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ ， ∴ 原等式可化为 ， ∴ ， ∴. 3．已知平面向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 即，则. 4．的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知的通项为，， 可知的通项为， 令，，解得，，所以的系数为． 5．已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式和降幂公式进行化简，利用商数关系转化为求值即可，注意“1”可以转化为进行计算． 【详解】 6．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正三棱台的上下底面的中心分别为，证得平面，得到为直线与底面所成的角，求得正三棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】设正三棱台的上下底面等边三角形的中心分别为, 分别连接，过作的垂线，垂足为，则， 因为平面，所以平面， 所以为直线与底面所成的角，所以， 因为正三棱台的上下底面的面积分别为和， 即等边的边长为，等边的边长为， 可得，所以， 因为，可得，所以， 即正三棱台的高， 所以正三棱台的体积为. 7．设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的正负得出的单调性，再结合是偶函数得出的对称轴，由函数图像的对称性即可求解． 【详解】由得，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又是偶函数，所以的对称轴为直线， 因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以． 8．已知函数有三个互不相等的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一，设，，作出函数图象数形结合求解，法二，对分类讨论求解即可. 【详解】法一：， 设，，令，得．作出，的大致图象，如图， 因为有三个互不相等的零点，所以要有两个大于的相异零点，记为，， 由根与系数的关系得，解得或， 所以的取值范围是． 法二：． ①若，只有一个零点，舍去； ②若，当或时，， 则，令， 得； 当时，， 则， 要使有三个互不相等的零点，方程需在内有两个不相等的实数根， 则，解得． ③若，当或时，，则， 令，得． 要使有三个互不相等的零点，要满足，得； 当时，0，则， 要使有三个互不相等的零点，方程需在内有两个不相等的实数根， 则，解得. 综上所述，的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设事件，满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，互斥，则 C．若，独立，则 D．若，则，独立 【答案】BC 【分析】根据对立事件的概率公式即可判断A；由概率的加法公式即可判断B；由独立事件的乘法公式即可判断C；由条件概率公式即可判断D． 【详解】对于A，，， 所以，故A错误； 对于B，若，互斥，则， 所以，故B正确； 对于C，若，独立，则，故C正确； 对于D，， 因为，所以， 因为，所以，不独立，故D错误． 10．若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（    ） A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增 C．， D．， 【答案】BC 【分析】先根据切线斜率条件求导，由得，确定，再分析其零点、导数与单调性，结合函数在各区间的增减性，逐一判断选项． 【详解】，， 因为函数的图象在点处的切线的斜率为， 所以，解得， 所以，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 对于A，由，得，，A错误； 对于B，区间，即是， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，B正确； 对于C，当时，，所以， 因为在区间上单调递减，所以，C正确； 对于D，， ，所以恒成立， 即对所有成立，D错误． 11．已知正项数列满足，则（    ） A． B．存在等差数列满足条件 C． D． 【答案】ACD 【分析】通过分析数列的单调性来判断选项；根据等差数列的定义判断是否存在满足条件的等差数列，即可判断选项；将已知递推数列进行化简变形即可判断选项；利用平方差公式分别表示出和，再结合不等式基本性质即可判断选项. 【详解】解：由，则， 两边同时平方得，化简整理得，选项正确； 由，则，又数列为正项数列，则， 所以，因此数列为递增数列，所以，选项正确； 假设数列为等差数列，公差为，则，即， 代入得，整理得， 两边同时平方得，化简得， 此式对所有均成立，则，即，而此时，矛盾， 所以不存在这样的等差数列，选项错误； 因为， ， 所以， 因为，则，不等式两边同时加上， 则， 所以，选项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】，则， 因为在区间上恰有3个最小值点， 所以结合余弦函数的性质可得，，得， 则实数的取值范围为. 13．已知双曲线E：()的左、右焦点分别为、，点A在E的右支上，若，且直线与E的一条渐近线垂直，则E的离心率为______. 【答案】 【分析】利用双曲线定义设边长，结合斜率关系和正弦定理求边长，再利用余弦定理建立关于方程求解离心率. 【详解】如图所示：点在双曲线右支，由双曲线定义得：， 设，则，. 双曲线渐近线斜率为，直线与一条渐近线垂直，故， 即在中，得. 由，得. 在中，由正弦定理得：， 代入得：，解得，因此. 在中，由余弦定理得：， 代入得：， 化简得：，即，故离心率. 14．若函数有两个极值点，且，，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】将函数的极值点问题转化为方程有两个不同实根的问题，构造函数，结合导数与单调性及最值的关系求出值域即可. 【详解】. 因为函数有两个极值点，，所以，是方程的两个不同实数根， 即函数与的图象有两个交点， 所以，，，且，. 两式相除得，即. 令，则，所以，解得. 令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，又，所以. 又，所以. 由，得，则. 令，则在上恒成立， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以， 故实数a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角、、所对的边长分别为、、，. (1)若，求角； (2)在（1）的条件下，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、二倍角的正弦公式化简得出的值，结合可求得角的值； （2）由（1）可知，利用三角恒等变换化简得出，利用同角三角函数的基本关系可得出的值，再利用两角和的正弦公式可得出的值，即可得出，利用正弦定理结合已知条件可得出、的值，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，， 由结合正弦定理可得， 又因为、，则，所以，即， 因为，则，所以，可得，所以，故. （2）由（1）可知， 故 ，即， 因为，故，所以， 故 ， 所以， 由正弦定理可得，即，整理可得， 解得，故， 因此. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面底面，且， (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角. 【详解】（1）取的中点M，连接，． ∵，．则为正三角形，． 又 ,平面, 平面，又,平面, （2）以为原点，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系, 由题可知．设，则．．   ， ．，， 设平面的法向量是，则， 令，则平面的一个法向量是， 又平面的一个法向量是   ， 所以平面与平面的夹角为． 17．（15分） 下表为某汽车模型公司的产品分类，共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到的模型为红色外观，事件为取到模型有棕色内饰.求； (2)该公司举行了一个回馈客户抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色. 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖.出现某种结果的概率越小，奖金金额越高. 请判断以上三种结果分别对应几等奖.设中奖的奖金数是，写出的分布列，并求的数学期望. 【答案】(1) (2)抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的分布列： 600 300 150 【分析】（1）由古典概率计算公式及条件概率公式即可求解； （2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可. 【详解】（1）由数表知，. （2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色，依题意，；则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：，奖金额的分布列： 600 300 150 奖金额的期望（元）. 18．（17分） 已知函数. (1)若在处取得极值，求和的值（其中为自然对数的底）； (2)已知，记为的导函数，，若存在两个极值点，. (i)证明：； (ii)已知，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2)（i）当时，，求导得. 因有两个极值点，故方程 有两个正实根，因此，解得. 因是方程 的根，故. 由，得 ，因，若 则矛盾， 故，且. 将代入，得. 要证，即证， 即证， 即证， 令 ，，则 ， 在上单调递增， 故 ，即. （ii） 【分析】（1）利用极值点的函数值与导数值为0列方程求参数，再通过导数验证极值点的有效性； （2）先化简，利用导数分析极值点条件，（i）通过参数替换构造辅助函数证明不等式；（ii）引入比例变量，转化为函数单调性问题求解取值范围. 【详解】（1）由题意，函数 的定义域为，求导得 . 因在处取得极值，故且. ，得；代入，得 ，解得. 此时，令， 则 ，故在上单调递增. 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增，故为极小值点，符合题意. 综上，，. （2）（i）略 （ii）令，由，得，，故. . 令 ，，. 令 ，则 ，在上单调递增， 故 ，，在上单调递增. 已知 ，故，即 . 19．（17分） 已知椭圆过点，离心率为. (1)求的方程; (2)按如下规则作直线:在椭圆上任取一点，过点作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点，过作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点，过作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点，以此类推，过点作一条斜率为的直线，与椭圆相交于另一点，过点作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点.(在作这些直线的过程中，若出现新作直线与已有直线重合或者直线与椭圆相切的情况时，则作图结束，不再作直线) (i)对于不同的初始点，求三角形的面积的最大值； (ii)证明：对任意起始点，这样作出的直线的条数是有限的. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用离心率与椭圆上点的坐标，联立求解椭圆方程的参数； （2）（i）通过设点并结合直线与椭圆的位置关系，利用韦达定理得到点的坐标关系，结合直角三角形面积公式与椭圆方程求最值； （ii）推导点列的递推关系，证明其周期性，从而说明直线条数有限. 【详解】（1）由离心率，得，故， 椭圆方程可化为 ，即. 将点代入，得，故，. 因此，椭圆的方程为. （2）（i）设 ，直线的方程为， 代入椭圆方程得 ，整理得 . 由韦达定理，，故. 同理，直线的方程为，代入椭圆方程得 ，由韦达定理，，故. 直线与的斜率为和，故， 三角形为直角三角形，其面积 . ， ， 故 . 因在椭圆上，故 ，即，代入得 . 由 ，当 时，取得最大值. (ii)证明：对任意起始点,若构造直线过程中出现切线,则结论成立； 下面论证不出现切线的情况: 设直线, 联立椭圆方程有:, 设直线, , , 设直线, 同理:, , 于是对任意有:, , 类似的有, 即在构造直线过程中,最多有6条直线则会出现循环,即直线条数有限. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届全国1卷新高考数学考前自测卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，， 则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．的展开式中，的系数为（    ） A．135 B．15 C． D． 5．已知，则（    ） A． B．7 C． D． 6．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 7．设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数有三个互不相等的零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设事件，满足，，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，互斥，则 C．若，独立，则 D．若，则，独立 10．若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（    ） A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增 C．， D．， 11．已知正项数列满足，则（    ） A． B．存在等差数列满足条件 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为________． 13．已知双曲线E：()的左、右焦点分别为、，点A在E的右支上，若，且直线与E的一条渐近线垂直，则E的离心率为______. 14．若函数有两个极值点，且，，则实数a的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角、、所对的边长分别为、、，. (1)若，求角； (2)在（1）的条件下，若，求的面积. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面底面，且， (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 17．（15分） 下表为某汽车模型公司的产品分类，共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到的模型为红色外观，事件为取到模型有棕色内饰.求； (2)该公司举行了一个回馈客户抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色. 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖.出现某种结果的概率越小，奖金金额越高. 请判断以上三种结果分别对应几等奖.设中奖的奖金数是，写出的分布列，并求的数学期望. 18．（17分） 已知函数. (1)若在处取得极值，求和的值（其中为自然对数的底）； (2)已知，记为的导函数，，若存在两个极值点，. (i)证明：； (ii)已知，求的取值范围. 19．（17分） 已知椭圆过点，离心率为. (1)求的方程; (2)按如下规则作直线:在椭圆上任取一点，过点作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点，过作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点，过作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点，以此类推，过点作一条斜率为的直线，与椭圆相交于另一点，过点作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点.(在作这些直线的过程中，若出现新作直线与已有直线重合或者直线与椭圆相切的情况时，则作图结束，不再作直线) (i)对于不同的初始点，求三角形的面积的最大值； (ii)证明：对任意起始点，这样作出的直线的条数是有限的. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $