精品解析：江苏南通市海门区中南中学2026年九年级中考全真模拟卷数学

南通市海门区中南中学2026年九年级中考全真模拟卷 数学 试卷类型：A卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 海门区位于江苏省东南部，长江入海口北岸，隶属南通市，含海域总面积：约平方公里，将用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义确定 和的值即可求解． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中 ，为整数， 确定的值时，原数变为 ，小数点向左移动的位数就是的值， 将变为 ，小数点向左移动了位，且满足， ． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 3. 如图，在中，，将沿 向右平移，得到 ，点B的对应点E在线段 上，点A、C的对应点分别为点D、F，若要使成立，则平移的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平移的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由平移的性质得：平移的距离是． 4. 已知x为实数，且的值是一个确定的常数，则这个常数是（ ）． A. 5 B. 10 C. 15 D. 75 【答案】A 【解析】 【分析】将按照每一段的取值范围进行分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，原式，不是常数； （2）当时，原式，不是常数； （3）当时，原式，不是常数； （4）当时，原式，不是常数； （5）当时，原式，不是常数； （6）当时，原式，不是常数； （7）当时，原式，不是常数； （8）当时，原式，不是常数； （9）当时，原式，不是常数； （10）当时，原式，不是常数； （11）当时，原式，是常数； （12）当时，原式，不是常数； （13）当时，原式，不是常数； （14）当时，原式，不是常数； （15）当时，原式，不是常数； （16）当时，原式，不是常数． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解决本题的关键是弄清绝对值的性质以及具有分类讨论的意识． 5. 平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（　　） A. 46个 B. 55个 C. 56个 D. 67个 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中数据，总结出规律，再根据规律解题． 【详解】设直线条数有n条，分成的平面最多有m个． 有以下规律： n m 1 1+1 2 1+1+2 3 1+1+2+3 ⋯ n m＝1+1+2+3+…+n＝+1， ∴根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+…+10＝56； 故选C． 【点睛】本题考查了过平面上两点有且只有一条直线，体现了数形结合的思想． 6. 如图，点、在线段 上，且 ：：：：．以点为圆心，记以 为半径的圆为区域，所在的圆环为区域，统计落在、、三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则( ) A. 豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B. 豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C. 豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D. 豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，设，，分别求得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积，比较大小，即可求解． 【详解】解： ：：：：， 设，， Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积分别为，，， ∵， 豆子落在区域Ⅰ的概率最小． 故选：A． 7. 如图，平面直角坐标系中，四边形的，连接，为等边三角形，，．作以下操作：①将四边形绕点O顺时针旋转得到四边形；②将四边形绕点O顺时针旋转得到四边形…则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，四边形绕点O顺时针旋转次回到，易得到与重合，过点作轴，垂足为H，根据，为等边三角形及，，得到，，解直角三角形得到，即可得到的坐标，即可得出的坐标． 【详解】解：四边形绕点O顺时针旋转得到四边形；四边形绕点O顺时针旋转得到四边形…； 四边形绕点O顺时针旋转次回到， ， 与重合， 过点作轴，垂足为H， ，为等边三角形， ，， ，， ，， 在中， ， 在中， ，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系，旋转的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，根据旋转的性质找到坐标之间的规律是解题的关键． 8. 如图，中，，， ，点为 的中点，点是边上一个动点，连接 ，过点作，交边 于点．设的长为， 的面积为，，则 与的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，解答此题的关键是利用三角形的面积公式求出函数的解析式． 先求出，则，，，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，则，，设，则，，证和全等得，再证，即可用含的式子表示 ，最后根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得：， ∵点为 的中点， ． ，． 如图，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，， 在 中，，， ∴． ∴． 设，则， 在中，， ∴． ∴． 在和中， ， ． ，， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， 为线段 的垂直平分线． ． ． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ， ， 整理得：． ， ． 与是二次函数关系，图象为A． 故选：A． 9. 点在凸四边形的边 上，，，为的中点，过点作 ，分别交于点，交 于点，为的中点．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行四边形和相似三角形是解题的关键． 如图：延长分别交于点H、G，平行线的性质以及中点的定义可得证明可得，同理可得：，即，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可判定A选项；判断四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及等量代换可判定B选项；如图：过C作，则，连接，先说明，再证明，可得，即，再根据平行四边形的性质以及等量代换即可判定C选项；先证明可得，再结合即可判定D选项． 【详解】解：如图：延长分别交于点H、G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴，即， ∵ ，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即A选项正确，不符合题意； ∵ ，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即B选项正确，不符合题意； 如图：过C作，则，连接， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴四边形平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴，， ∴，即C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，，不能得到．故D选项符合题意． 故选D． 10. 如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论 【详解】解：在边长为1的菱形中，， ，， 将沿射线的方向平移得到， ，， 四边形是菱形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 的最小值的最小值， 点在过点且平行于的定直线上， 作点关于定直线的对称点，连接交定直线于， 则的长度即为的最小值， 在中， ，， ，， ， ， ， ， 作， 过点D作垂足为G 在中， ． 故选： ． 【点睛】 本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，求得的最小值的最小值是解题的关键． 二、选择题（每题3分，共8题，共24分） 11. 开始进行中考数学一轮复习课前，李浩同学将七（上）、七（下）、八（上）3本数学教科书随机摞放在课桌上，七（上）、七（下）数学教科书相邻的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用随机概率的求解方法列树状图求解即可． 【详解】解：记七（上）、七（下）、八（上）3本书分别为A、B、C，利用树状图得到从上至下排列得到摆放情况： 等可能的情况一共有6种，其中七（上）、七（下）即A、B相邻的情况有4种，故七（上）、七（下）数学教科书相邻的概率是, 故答案为：． 【点睛】本题考查随机事件种概率的求解，利用树状图或表格进行概率求解是解题的关键． 12. 为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8 3 5 10 8．这组数据的众数是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的一个数或多个数，求解即可． 【详解】解：由题意可得，出现次数最多的数是4， 所以众数是4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查求众数，熟练掌握知识点是解题关键． 13. 如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，令，解得，令，解得，在同一坐标系中作出，结合图形即可得解． 【详解】解： 由图像可得， 令，解得， 令，解得， 在同一坐标系中作出如图所示， 由图可知，若，则的取值范围为， 故答案为：． 14. 若n满足，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，先求出，根据完全平方公式得，再用整体代入法即可求出的值，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值． 【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4 ∵AC=9，CD=6，CE=4 ∴ ∵∠ECD=∠ACD ∴△DCE∽△ACD ∴ ∴ED= 在△EDB中，ED+DB≥EB ∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB ∴ 在Rt△ECB中，EB= ∴ ∴2AD+3DB= 故答案为：． 【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD． 16. 如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作 的垂线，垂足为，分别交， 于点 ，．若，，则四边形的面积是_________． 【答案】80 【解析】 【分析】连接LC、EC、EB，LJ，由平行线间同底的面积相等可以推导出：,由，可得，故，证得四边形是矩形，可得，在正方形中可得：，故得出：．由，可得，即可求出，可得出 【详解】连接LC、EC、EB，LJ， 在正方形，，中 ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． ∵， ∴． ∴ ∴． ∵. ∴, ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 故答案为：80． 【点睛】此题考查正方形的性质、矩形的性质与判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理，平行线间同底的两个三角形，面积相等；难度系数较大，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 17. 已知双曲线与直线交于A、B两点(点A在点B的左侧)．如图所示，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则下列结论：①；②AE=EF；③；④.其中正确的是：______．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】连接OC，联立双曲线与直线，可得，，可求得，根据双曲线与直线都关于点成中心对称，有，故①正确；根据，可得EOFC四点共圆，易证得，故③正确；过E点作交AB于点M，利用反证法假设成立，利用AAS可证，则有，根据，可得假设不成立，故②不正确； 过点作，交轴于点，连接，利用AAS可证，容易得出，，可得，故④正确； 【详解】解：如图1所示，连接OC， 联立， 解得：，． 点在点的左侧， ，． ∴ 双曲线与直线都关于点成中心对称， 它们的交点也关于点成中心对称，即，即O是AB的中点， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴EOFC四点共圆，则有 ∵， ∴ ∴，故③正确； 如图2示，过E点作交AB于点M， 假设成立， 则在和中 ， ， ， ， ∵在中斜边大于直角边，即，与已知矛盾， ∴假设不成立， ∴，故②不正确； 过点作，交轴于点，连接，如图3． 则有，． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的是：①③④， 故答案是：①③④． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、反证法等知识，熟悉相关性质和证明方法是解决本题的关键． 18. 平面直角坐标系中，已知点在直线上，且满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】把b=2ca+c2+2代入a2+b2-2（1+2bc）+4c2+b=0，利用非负数的性质，求出a、b（用c表示），再代入b=2ca+c2+2解方程即可解决问题． 【详解】解：∵点（a，b）在直线y=2cx+c2+2（c＞0）上， ∴b=2ca+c2+2，代入a2+b2-2（1+2bc）+4c2+b=0， 整理得到（b-2c）2+（a+c）2=0， ∵（b-2c）2≥0，（a+c）2≥0， ∴a=-c，b=2c代入b=2ca+c2+2得到， 2c=-2c2+c2+2， ∴c2+2c-2=0， ∴c=-1±， ∵c＞0， ∴c=-1+， 故答案为：-1+. 【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征，非负数的性质，完全平方公式等知识，解题的关键是熟练应用非负数的性质解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（共8题，共96分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，二次根式的乘法计算和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 20. 如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O． （1）利用尺规作图取线段CO的中点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）猜想CO与OE的长度有什么关系，并说明理由． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2） ． 理由：连接 ．如图， 、分别是、 上的中线， 为 的中位线， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）作 的垂直平分线得到 的中点； （2）利用 为 的中位线，则 ， ，然后根据平行线分线段成比例可得到 ． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 ． 也考查了基本作图．掌握中位线定理是解题关键 ． 21. 如图，已知 ，是半径为4的 中互相垂直的弦，垂足为，过作于，延长交劣弧 于． （1）求的值； （2）若 ，，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，连接，证明四边形是矩形，推导出，则； （2）连接，由勾股定理求出，从而求出，再分别求出，由相似三角形的判定与性质可得，求得，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，连接， ， 四边形是矩形，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）， ， ， ， ． 22. 如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． （1）可求得x=___，第2009个格子中的数为___； （2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m的值；若不能，请说明理由； （3）如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|a−b|的和可以通过计算|9−&|+|9−#|+|&−#|+|&−9|+|#−9|+|#−&|得到，若a，b为前19个格子中的任意两个数，则所有的|a−b|的和为___． 【答案】（1）9，-6；（2）能，m=1211；（3）2424 【解析】 【分析】（1）根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，得到x及数字的排列规律，即可计算第2009个格子中的数； （2）先计算出这三个数的和，再按照规律计算； （3）由于是三个数重复出现，重复计算前三个数的和得到规律后即可得到答案. 【详解】（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴x=9，&=-6， ∴#=2， ∴这列数是按9，-6,2循环排列的， ∵2009 3=669， ∴第2009个格子中的数是-6,， 故答案为：9，-6； （2）能， ∵9-6+2=5，2018 5=403，且9-6=3， ∴前m个格子中所填整数之和可能为2018， m的值为：； （3），由于是三个数重复出现，则前19个格子中的这三个数中，9出现7次，-6出现6次，2出现6次， 代入式子计算可得， 故答案为：2424. 【点睛】此题考查数字类规律的探究，根据题意找到数字的排列规律是解题的关键. 23. 如图，直线 与反比例函数的图象交于，两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D． （1）求a，b的值及反比例函数的解析式； （2）若点P在线段 上，且，请求出此时点P的坐标； （3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） ， ， （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据点和点在一次函数上可算出 和的值，根据点和点也在反比例函数上即可算出的值． （2）连接、，作，垂足为，，垂足为，设，用含的式子可表示出和的面积，根据面积相等列出等式，可算出的值 ，即可得到点的坐标． （3）设点，则，，，若使得等腰三角形，则或或，求解出即可得点的坐标，注意． 【小问1详解】 解：∵直线 与反比例函数的图象交，两点， ∴， ∴ ， ， ∴，， ∵点在反比例函数上， ∴ ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 连接、，作，垂足为，，垂足为， 设 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵ ∴， ∴或， ∴或 【小问3详解】 设， ∵，， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴①当时，， ∴ （舍） ②当时，， ∴或（舍）， ∴ ③当时，， ∴或（舍）， ∴ 即：满足条件的或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的交点问题和等腰三角形的性质，主要利用待定系数法，三角形面积的求法，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 24. （1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段 同侧，H是 中点，线段 与的数量关系是______，位置关系是______； （2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转 度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是 中点，若，求点运动的路径长． 【答案】（1）； （2）成立， 理由如下， 延长到点P，使得，连接 ，延长二线交于点Q， ∵H是 中点， ∴，， ∴， ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴，， 故． （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形和正方形，得到 继而得到；设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据题意，得；结合H是 中点，得到，继而得到 ． （2）结论仍然成立．理由如下，延长到点P，使得，连接 ，根据正方形的性质，证明，延长二线交于点Q，根据三角形中位线定理，得到，得到，结合，证明即可． （3）延长到点Q，使得，连接，根据三角形中位线定理，得到，根据矩形的性质，证明，得，结合，得到，取的中点O，连接 ，结合是 中点，得到，根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以 为半径的圆上，其周长为． 【详解】（1），且．理由如下： ∵正方形和正方形， ∴ ∴； 设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 根据题意，得； ∵H是 中点， ∴， ∴． 故答案为：． （2）略 （3）如图，延长到点Q，使得，连接， 根据三角形中位线定理，得到， ∵矩形和矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 取的中点O， 连接 ， ∵是 中点， ∴， 根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以 为半径的圆上， ∴其周长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，圆的定义，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，圆的定义是解题的关键． 25. 我们将抛物线 与抛物线称之为“轮换抛物线”．例如：抛物线 与抛物线 就是一组轮换抛物线．已知抛物线 其轮换抛物线记作． （1）若与交于y轴上的同一点M，求a的值； （2）在（1）的条件下且，抛物线与其轮换抛物线的另一个交点记作 N点，若将点M绕点N顺时针旋转后，M的对应点 P 恰好落在抛物线的图象上，求出此时b的值； （3）小明同学阅读了《苏科版（数学）》课本九年级下册页《数学实验室》介绍的用几何画板画二次函数图象内容后，自己动手画了抛物线 及其轮换抛物线的图象，与与y轴的交点分别记作P、Q（P、Q两点不重合）．小明发现，不论a、b为何值时，两抛物线始终有一交点G点在与x轴垂直的某一固定直线上运动．若记求S的最大值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，旋转的性质． （1）根据定义求出轮换抛物线，再由题意得到方程，求出a的值即可； （2）求出，过N点作 轴交于E，过P点作交于F，证明，当时，，求得；当时，，求得 ； （3）先求抛物线的轮换抛物线为：，再求出，当时，解得或，可知，再由 ，得到，求出，则，当时，S有最大值． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴轮换抛物线， ∵与交于y轴上的同一点M， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线，轮换抛物线， 当时， 或， ∴， 由可知， 过N点作 轴交于E，过P点作交于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 当时，N点在M点的上方，按顺时针方向旋转后P的坐标为， ∴， 此方程无解； 当时，， ∴， 解得 ； 综上所述：b的值为； 【小问3详解】 解：抛物线的轮换抛物线为：， ∴， ∵P、Q不重合， ∴， ∴， 当时，整理得， 解得或， ∴G点的横坐标为1， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，S有最大值． 26. 在 中，弦弦，过作于，延长交 于，连接相，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接 ，延长 交 于，过作交 于，连接和，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵弦 平行于弦，过作于， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴； （2）证明：如图所示，连接 ， 设， ∵，， ∴， 又 ∴ 由（1）可得 ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，，进而证明，得出，则，即可求解； （2）连接 ，设，，由（1）可得得出，根据得出，即可得证； （3）连接 ，根据已知得出，设交于点，连接，根据，得出，在 中，导角得出，证明得出是等腰直角三角形，则，根据得出 ，进而勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， 连接 ， ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设交于点，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 在 中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴， 设， ∵，则 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 由（2）可得 ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，勾股定理，正切的定义，垂径定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟练推导角度之间的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市海门区中南中学2026年九年级中考全真模拟卷 数学 试卷类型：A卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 海门区位于江苏省东南部，长江入海口北岸，隶属南通市，含海域总面积：约平方公里，将用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 3. 如图，在中，，将沿 向右平移，得到 ，点B的对应点E在线段 上，点A、C的对应点分别为点D、F，若要使成立，则平移的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 已知x为实数，且的值是一个确定的常数，则这个常数是（ ）． A. 5 B. 10 C. 15 D. 75 5. 平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（　　） A. 46个 B. 55个 C. 56个 D. 67个 6. 如图，点、在线段上，且 ：：：：．以点为圆心，记以 为半径的圆为区域，所在的圆环为区域，统计落在、、三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则( ) A. 豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B. 豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C. 豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D. 豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同 7. 如图，平面直角坐标系中，四边形的，连接，为等边三角形，，．作以下操作：①将四边形绕点O顺时针旋转得到四边形；②将四边形绕点O顺时针旋转得到四边形…则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，， ，点为 的中点，点是边上一个动点，连接 ，过点作，交边 于点．设的长为， 的面积为，，则 与的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 9. 点在凸四边形的边 上，，，为的中点，过点作 ，分别交于点，交 于点，为的中点．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题（每题3分，共8题，共24分） 11. 开始进行中考数学一轮复习课前，李浩同学将七（上）、七（下）、八（上）3本数学教科书随机摞放在课桌上，七（上）、七（下）数学教科书相邻的概率是______． 12. 为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8 3 5 10 8．这组数据的众数是________． 13. 如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为__________． 14. 若n满足，则 __________． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________. 16. 如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作 的垂线，垂足为，分别交， 于点 ，．若，，则四边形的面积是_________． 17. 已知双曲线与直线交于A、B两点(点A在点B的左侧)．如图所示，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则下列结论：①；②AE=EF；③；④.其中正确的是：______．（填序号） 18. 平面直角坐标系中，已知点在直线上，且满足，则______． 三、解答题（共8题，共96分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. 如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O． （1）利用尺规作图取线段CO的中点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）猜想CO与OE的长度有什么关系，并说明理由． 21. 如图，已知 ，是半径为4的 中互相垂直的弦，垂足为，过作于，延长交劣弧 于． （1）求的值； （2）若 ，，求的值 22. 如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． （1）可求得x=___，第2009个格子中的数为___； （2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m的值；若不能，请说明理由； （3）如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|a−b|的和可以通过计算|9−&|+|9−#|+|&−#|+|&−9|+|#−9|+|#−&|得到，若a，b为前19个格子中的任意两个数，则所有的|a−b|的和为___． 23. 如图，直线 与反比例函数的图象交于，两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D． （1）求a，b的值及反比例函数的解析式； （2）若点P在线段 上，且，请求出此时点P的坐标； （3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，说明理由． 24. （1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段 同侧，H是 中点，线段 与的数量关系是______，位置关系是______； （2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转 度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是 中点，若，求点运动的路径长． 25. 我们将抛物线 与抛物线称之为“轮换抛物线”．例如：抛物线 与抛物线 就是一组轮换抛物线．已知抛物线 其轮换抛物线记作． （1）若与交于y轴上的同一点M，求a的值； （2）在（1）的条件下且，抛物线与其轮换抛物线的另一个交点记作 N点，若将点M绕点N顺时针旋转后，M的对应点 P 恰好落在抛物线的图象上，求出此时b的值； （3）小明同学阅读了《苏科版（数学）》课本九年级下册页《数学实验室》介绍的用几何画板画二次函数图象内容后，自己动手画了抛物线 及其轮换抛物线的图象，与与y轴的交点分别记作P、Q（P、Q两点不重合）．小明发现，不论a、b为何值时，两抛物线始终有一交点G点在与x轴垂直的某一固定直线上运动．若记求S的最大值． 26. 在 中，弦弦，过作于，延长交于，连接相，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接 ，延长 交 于，过作交 于，连接和，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $