精品解析：广东省广州市番禺区桥兴中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023学年第二学期市桥桥兴中学期中考试 初二级数学科 （本试卷共6页25小题，满分120分，考试用时120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知四边形ABCD为矩形，则下列结论正确的是（ ） A. AB=BC B. AC⊥BD C. AC=BD D. ∠DAC=∠BAC 3. 下列各数能构成直角三角形三边的是（ ） A. 1、2、 B. 2、3、4 C. 、 D. 4、5、6 4. 正方形对角线长为6，则正方形的边长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 5. 直角三角形的两边长是1和，则它第三边长为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 3 6. 如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠BED的度数为（　　） A. 55° B. 45° C. 40° D. 42.5° 7. 如图，菱形中的顶点O，A的坐标分别为，，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将平行四边形纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时恰好为等边三角形．若，则重叠部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 有一个密码系统，其原理如图所示，当输入x的值为时，输出的结果是______． 13. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 14. 如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为_______． 15. 如图，在中，，分别是的中点，是上一点，，连接，若，则的长度为_______． 16. 如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为___________ 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，四边形是平行四边形，点E是边延长线上一点，，连接．求证：． 19. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 20. 如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画和． （1）请你在方格纸中找到点，补全； （2）若每个正方形小格的边长为1，请计算线段的长度并判断与的位置关系，并说明理由． 21. 如图，在四边形中，，对角线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 22. 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． （1）函数的自变量x的取值范围是______； （2）如表是y与x的几组对应值： 0 1 2 3 1 3 写出表中m的值_________； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象： 23. 号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 24. 如图，四边形是矩形，对角线与交于点O． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，交于点E；（保留作图痕迹，不写做法） （2）若． ①求的度数； ②求的值． 25. 如图，已知：在正方形中，，点M是边上的任意一点，点N在边的延长线上，且．联结，与正方形的对角线相较于点E．设，． （1）求证：； （2）求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）联结．当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期市桥桥兴中学期中考试 初二级数学科 （本试卷共6页25小题，满分120分，考试用时120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 2. 已知四边形ABCD为矩形，则下列结论正确的是（ ） A. AB=BC B. AC⊥BD C. AC=BD D. ∠DAC=∠BAC 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质对角线相等，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AC=BD. 故选：C 【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 3. 下列各数能构成直角三角形三边的是（ ） A. 1、2、 B. 2、3、4 C. 、 D. 4、5、6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴1、2、可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； B、∵， ∴2、3、4不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； C、∵， ∴、 不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵， ∴4、5、6不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 正方形对角线长为6，则正方形的边长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查正方形的性质及勾股定理的应用．已知对角线长求边长时，需利用勾股定理建立方程求解． 【分析】解：设正方形的边长为， ∵对角线长为6，正方形的四边相等， ∴对角线将正方形分为两个等腰直角三角形． 由勾股定理得：， 解得：． 因此，正方形的边长为． 对应选项：D． 5. 直角三角形的两边长是1和，则它第三边长为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理，分两种情况讨论：已知两边均为直角边或其中一边为斜边． 【详解】若两已知边均为直角边，则第三边（斜边）为：． 若较长边为斜边，另一已知边1为直角边，则第三边（另一直角边）． 为：． 综上，第三边可能为或1． 故选：C． 6. 如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠BED的度数为（　　） A. 55° B. 45° C. 40° D. 42.5° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形，可证△AED为等腰三角形，从而可求∠AED，也就可得∠BED的度数． 【详解】解：∵等边△ABE ∴∠EAB=∠BED=60°，AE=AD ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BAD=90°， AB=AD ∴∠EAD=150°，AE=AD ∴∠AED=∠ADE=15° ∴∠BED=60°-15°=45° 故选B． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质．即每个角为60度． 7. 如图，菱形中的顶点O，A的坐标分别为，，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，两点距离计算公式，菱形的性质，由两点距离计算公式得到，由菱形的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵顶点O，A的坐标分别为，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 9. 如图，将平行四边形纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时恰好为等边三角形．若，则重叠部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠、平行四边形的性质和等边三角形的性质可求出阴影部分的底，高，进而求出面积． 【详解】如图，过作于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 由折叠性质可知：， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及翻折变换，解题的关键是掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定方法及其应用． 10. 如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断． 【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形． ①新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形是平行四边形，． ． 根据等腰三角形的性质可知．所以新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形是平行四边形，． ． ． 四边形是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件； ④， ，即平行四边形的对角线互相垂直， 新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件． 故选：． 【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】由，即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查的是化为最简二次根式，掌握二次根式的化简方法是解本题的关键． 12. 有一个密码系统，其原理如图所示，当输入x的值为时，输出的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，计算即可求得答案． 【详解】原式． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 【答案】10 【解析】 【分析】利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为：， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握两点间的距离是解题的关键． 14. 如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的性质得到，，，接着利用勾股定理计算出的长，然后根据菱形的面积公式计算． 【详解】解：连接交于点，如图， 由作法， 四边形为菱形， ，，， 在中，， ， 四边形的面积． 故答案为：． 15. 如图，在中，，分别是的中点，是上一点，，连接，若，则的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据在中，分别是的中点，得到是的中位线，由中位线性质得到，从而得到，再由，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到． 【详解】解：在中，分别是的中点， 由中位线定义可知， ， ， ， 在中，为斜边上的中线，则， 故答案为：． 16. 如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为___________ 【答案】1 【解析】 【分析】连接OC，OM、CM，如图，利用斜边上的中线性质得到OM=PQ，CM=PQ，则OM=CM，于是可判断点M在OC的垂直平分线上，则点M运动的轨迹为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解． 【详解】连接OC，OM、CM，如图， ∵M为PQ的中点， ∴OM=PQ，CM=PQ， ∴OM=CM， ∴点M在OC的垂直平分线上， ∴点M运动的轨迹为△ABC的中位线， ∴点M所经过的路线长=AB=1． 故答案为:1． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形及轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律，二次根式的乘法运算法则即可求出答案； （）根据平方差公式，二次根式的性质即可求出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，四边形是平行四边形，点E是边延长线上一点，，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，求出，，推出四边形是平行四边形，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 19. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，根据绝对值的意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ ． 20. 如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画和． （1）请你在方格纸中找到点，补全； （2）若每个正方形小格的边长为1，请计算线段的长度并判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），，理由见解析 【解析】 【分析】（1）如图所示，取格点D，连接，则四边形即为所求； （2）利用勾股定理求出，，进而求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，由平行四边形的性质可得，由此可得． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由勾股定理得，，， ∴，， ∴是直角三角形，即， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，平行四边形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 21. 如图，在四边形中，，对角线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等： （1）先证明，得到，再证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形； （2）利用菱形的性质和勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， 在Rt中，由勾股定理得，即 ， ， ， 22. 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． （1）函数的自变量x的取值范围是______； （2）如表是y与x的几组对应值： 0 1 2 3 1 3 写出表中m的值_________； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象： 【答案】（1）全体实数 （2）0 （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）由图表可知可以是任意实数； （2）把代入即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可． 【小问1详解】 解：函数中自变量可以是全体实数； 故答案为：全体实数； 【小问2详解】 解：当时，， ∴； 【小问3详解】 解：函数图象如图所示； ； 23. 号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）受影响，理由见解析 （2）小时 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间 【小问1详解】 解：海港受台风影响， 理由：，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港C受台风影响； 【小问2详解】 解：当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米/小时， (小时)． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 24. 如图，四边形是矩形，对角线与交于点O． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，交于点E；（保留作图痕迹，不写做法） （2）若． ①求的度数； ②求的值． 【答案】（1） 如图，线段即为所作，     （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，作出的角平分线即可； （2）①证明是等腰直角三角形，是等边三角形，据此求解即可； ②作于G，设，利用直角三角形的性质求得，，再证明是等腰直角三角形，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵四边形是矩形，对角线与交于点O， ∴，， 由作图知， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②作于G，设， ∵是等边三角形， ∴，则， ∴，， 由①得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图-基本作图－作已知角的角平分线，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 25. 如图，已知：在正方形中，，点M是边上的任意一点，点N在边的延长线上，且．联结，与正方形的对角线相较于点E．设，． （1）求证：； （2）求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）联结．当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）作交于，证明，得出，由此计算即可得解； （3）连接，证明为等边三角形，再结合勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作交于， ， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， ， 由（2）可得：， ∴为的中点， ∵， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， ∴为等边三角形， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $