黑龙江绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年度期中考试高二数学试题

**基本信息** 高二数学期中卷聚焦概率统计、函数导数等核心知识，融入区块链资产交换、欧拉数密码等真实情境，通过分层设问考查数学抽象、运算推理与模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|相关关系判断、二项分布|结合射手环数分布列考查期望计算| |多选|3/18|排列组合、二项式定理|以六艺课程排课考相邻不相邻问题| |填空|3/15|超几何分布、概率模型|区块链资产交换协议构建递推关系| |解答|5/77|立体几何证明、概率分布列、函数零点|羽毛球比赛情境融合条件概率与期望，函数零点问题分层设计梯度明显|

哈师大青冈实验中学校2025-2026学年度期中考试 高二学年数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（ ）． A. ①② B. ①③ C. ② D. ②③ 2. 某射手射击所得环数的分布列如下： 7 8 9 10 已知的数学期望，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 4.设随机变量服从二项分布，则等于（ ） A. B. C. D. 5.学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 6.已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 7.自然对数的底数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中6位数字设置一个6位数的密码，则不同的密码个数为（ ） A. 720 B. 180 C. 60 D. 30 8. 已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（   ） A．课程“数”不排在第一天的不同排法共有600种 B．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 D．课程“御”和“书”相邻的不同排法共有240种 10.已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论错误的是（ ） A. B. 展开式中含的项的系数是60 C. 展开式的各二项式系数和为128 D. 展开式的各项系数和为729 11. 已知函数的定义域为，是函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有三个极值点 B. 若，则的极大值点为 C. 若，则 D. 若，则 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量，则______. 13.一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则 . 14.在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为，则数列的通项公式为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 16.（15分）已知双曲线的左右顶点分别为． (1)求以为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程. 17.（15分）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18.（17分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 19. （17分）已知函数． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 哈师大青冈实验中学校2025-2026学年度期中考试 高二学年数学试题答案 1---8 DBAC CACC 9、ABD 10、ACD 11、AB 12、0.35 13、 14、 15.（13分）【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由，可得， 因，代入解得，则， 因此. （2）由， 得 . 16.(15分)【详解】（1）由题意可得，，，则， 又，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，点恰为弦的中点，则，， 又因为两点在双曲线上， 可得，两式相减得， 化简整理得，即， 所以直线的方程为，即， 经检验，满足题意. 17．(15分)【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 底面，底面， 又，， 且平面, 平面， 所以是平面的一个法向量． 因为， 所以． 又平面，所以平面． （2）因为，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 由，解得，令， 得平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则． 故：直线与平面所成角的正弦值为． 18.（17分）【详解】（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. （2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. （3）由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 19.（17分）【详解】（1）由题意得的定义域为，， 当时，，则在区间内单调递增； 当时，由，得，（舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①依题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点， 可得方程在有两个不同根， 得到函数与函数的图象在上有两个不同交点， 又，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， 如图，的图象如下： 可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需． ②由①可知分别为方程的两个根，即，， 所以原式等价于． 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即， 所以原式等价于． 因为，原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立． 令，则． 当时，可见时，，所以在上单调递增， 又，在恒成立，符合题意； 当时，可见当时，；当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减． 又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 高二数学试卷 1 学科网（北京）股份有限公司 $