精品解析：内蒙古呼和浩特市东胜区实验中学2025—2026学年度第二学期八年级期中测试数学试卷

东胜区实验中学2025－2026学年第二学期期中考试试题 初二数学 一、精心选一选（本大题8个小题，每小题3分，共24分） 1. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在正方形ABCD的内部作等边△ADE，则∠AEB度数为（　　） A. 80° B. 75° C. 70° D. 60° 4. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则　　 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象不经过第二象限 B. 随的增大而减小 C. 当时， D. 函数图象与轴交点坐标为 6. 如图，折线描述了一辆新能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 汽车一共行驶了 B. 汽车出发后前3小时的平均速度为 C. 汽车在整个行驶过程中停留了2小时 D. 汽车出发后3小时至4.5小时之间的平均速度是 7. 如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或 8. 如图，在边长为6的正方形中，将含角的直角三角板．按如图所示放置，边，分别交，于点，，连接．则下列结论： ①； ②当为的中点时，为的中点； ③当为的中点时，的面积为15； ④点到的距离为6．其中正确的结论为（） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、耐心填一填（本大题4个小题，每小题3分，共12分） 9. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 10. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则________． 11. 如图，已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点是对角线上的一个动点，，则最小值为________． 12. 在四边形中，，，M是上一点，且，点E从A出发以1的速度向D运动，点F从点B出发以2的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 _________时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 三、解答题（本大题6个小题，共64分，解答写在答题纸上，写出必要的演算步骤或推证过程） 13. 计算： （1） （2） 14. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）如图3，A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC． 15. 学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 （1）设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） （2）求旗杆的值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，过的直线与直线相交于点． （1）求直线的解析式． （2）求的面积． （3）在轴上找一点，使的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 17. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作 于点，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 18. 数学课上，老师带领同学们探究菱形内一动点引发的问题． 如图1，在菱形中，，点为菱形内部一动点，且，连接并延长交于点，连接． 【问题初探】“阳光小组”的几位同学选取的点的位置并不相同，但在计算的度数时，发现的度数是相同的，同学们猜想的度数是一个定值． （1）请你写出的度数为________． （2）【迁移探究】“活力小组”的同学在图1基础上作关于的对称图形，连接，如图2所示．试判断线段，的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】“先锋小组”的同学在（2）的条件下，连接．若，的一个内角为，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东胜区实验中学2025－2026学年第二学期期中考试试题 初二数学 一、精心选一选（本大题8个小题，每小题3分，共24分） 1. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于零，列不等式即可求解． 【详解】解：∵根据题意得：， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的求法，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可去全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不为零；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只有同类二次根式可以合并，二次根式乘法满足，据此判断各选项即可． 【详解】解：3和不是同类二次根式，不能合并，故A错误； ，符合二次根式乘法法则，故B正确； 和不是同类二次根式，不能合并，故C错误； ，故D错误． 3. 如图，在正方形ABCD的内部作等边△ADE，则∠AEB度数为（　　） A. 80° B. 75° C. 70° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形和等边三角形的性质得出AB=AE，∠BAE=30°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=AD， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE=60°，AE=AD， ∴AB=AE,∠BAE=90°−60°=30°， ∴∠AEB= (180°−30°)=75°； 故选B. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质, 等边三角形的性质，熟悉掌握性质是关键. 4. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则　　 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形中位线定理，勾股定理，由直角三角形斜边中线的性质求出长，由勾股定理求出长，由三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：为斜边上的中线， ， ， ， ， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ． 故选：D． 5. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象不经过第二象限 B. 随的增大而减小 C. 当时， D. 函数图象与轴交点坐标为 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的系数k，b判断图象位置与增减性，再计算交点坐标和函数取值范围，逐一判断选项即可． 【详解】解：一次函数为，可得，． 选项A：∵，，∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故A正确； 选项B：∵，∴y随x的增大而增大，故B错误； 选项C：当时，， 又∵y随x的增大而增大， ∴当时，，故C错误； 选项D：令，得，∴函数图象与y轴交点坐标为，故D错误． 6. 如图，折线描述了一辆新能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 汽车一共行驶了 B. 汽车出发后前3小时的平均速度为 C. 汽车在整个行驶过程中停留了2小时 D. 汽车出发后3小时至4.5小时之间的平均速度是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象、速度，路程、时间三者关系，根据函数图象的纵横坐标的意义，结合图象的起点，折点，终点，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵一辆新能源汽车在某一直线公路上的行驶过程，汽车离出发地的距离 和行驶时间 之间的函数关系， ∴汽车出发到距离起点的后再返回出发点，故汽车一共行驶了，故A选项是错误的； ∴汽车出发后前3小时的平均速度为，故B选项是错误的； ∴，汽车在整个行驶过程中停留了0.5小时，故C选项是错误的； ∴汽车出发后3小时至4.5小时之间的平均速度是，故D选项是正确的； 故选：D． 7. 如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 8. 如图，在边长为6的正方形中，将含角的直角三角板．按如图所示放置，边，分别交，于点，，连接．则下列结论： ①； ②当为的中点时，为的中点； ③当为的中点时，的面积为15； ④点到的距离为6．其中正确的结论为（） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及面积计算．解题的关键是利用旋转法构造全等三角形，将分散的线段集中到一个三角形中求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到， 四边形是正方形， ， ， ，即三点共线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； 当为的中点时，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ， ， 不是的中点，故②错误； 当为的中点时， ，，故③正确； 过点作于点， ， 点到的距离等于点到的距离， ， 点到的距离为，故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 二、耐心填一填（本大题4个小题，每小题3分，共12分） 9. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知垂直平分，得到，再由矩形的性质推出，即可证明是等边三角形，则，，由此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证明是等边三角形是解题的关键． 11. 如图，已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点是对角线上的一个动点，，则最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质以及勾股定理. 连接，根据菱形的对称性可知点与点关于对角线对称，从而得到，将的最小值转化为的长，求出点的坐标后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连，  四边形是菱形， ， ，   ，，   ，  ，   点的坐标为，   四边形是菱形，   点与点关于对角线对称，  ，   ， 根据两点之间线段最短可知，当点、、在同一直线上时，最小，最小值为线段的长，  ， ，   在中，由勾股定理得： ，  的最小值为． 12. 在四边形中，，，M是上一点，且，点E从A出发以1的速度向D运动，点F从点B出发以2的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 _________时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用．分情况求解是解题的关键． 由题意知，，，运动时间，当时，；当时，；由以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且，可得，分情况求解即可． 【详解】解：由题意知，，，运动时间， 当时，； 当时，； ∵以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴， ∴当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，当t的值为或4时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或4． 三、解答题（本大题6个小题，共64分，解答写在答题纸上，写出必要的演算步骤或推证过程） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）如图3，A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）45°． 【解析】 【详解】试题分析：（1）面积为5的正方形的边长为 ，画出正方形即可； （2）以直角边为1和2构造斜边为 ，再以2和3为直角边构造斜边为 就得到三角形三边长分别为2、、； （3）连接AC，利用勾股定理的逆定理证明△ACB为直角三角形即可得到∠ABC的度数． 试题解析：解：（1）（2）如图所示： （3）连接AC．由勾股定理得：AC=BC= ，AB= ．∵AC2+BC2=AB2=10，∴△ABC为等腰直角三角形 ∴∠ABC=45°． 点睛：本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，在格点三角形中利用勾股定理． 15. 学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 （1）设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） （2）求旗杆的值． 【答案】（1）； （2）17米 【解析】 【分析】（1）根据题意列式表达即可． （2）设旗杆的高为x米，则绳子长为米，利用勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米 故绳长为米； 根据题意，得到四边形是矩形，得到米， 故米， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：在中， 即 解得： 答：旗杆的值为17米． 16. 如图，在平面直角坐标系中，过的直线与直线相交于点． （1）求直线的解析式． （2）求的面积． （3）在轴上找一点，使的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【答案】（1） （2）12 （3）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求函数解析式即可； （2）根据三角形面积公式可得的面积； （3）先求出的面积是，设点，根据三角形面积公式得出，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，将点，代入可得， ，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（）知：直线的解析式为， 当时， ∴， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：∵的面积是， ∴的面积是， 设点， 则， 解得：或， ∴点M的坐标为或． 17. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作 于点，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质证明及，再根据即可判定四边形是矩形； （2）根据菱形性质、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求得，再根据勾股定理可得，最后根据菱形面积的不同计算方式即可求得． 【小问1详解】 证明：菱形中，，， 又， ， 即， ， 为延长线， ， 四边形是平行四边形， ， 是矩形. 【小问2详解】 解：菱形中， ，， 又， ， ， 设，则， 则在中， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、矩形的判定、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、菱形面积的计算，解题关键是熟练掌握矩形的判定及菱形的面积计算方式． 18. 数学课上，老师带领同学们探究菱形内一动点引发的问题． 如图1，在菱形中，，点为菱形内部一动点，且，连接并延长交于点，连接． 【问题初探】“阳光小组”的几位同学选取的点的位置并不相同，但在计算的度数时，发现的度数是相同的，同学们猜想的度数是一个定值． （1）请你写出的度数为________． （2）【迁移探究】“活力小组”的同学在图1基础上作关于的对称图形，连接，如图2所示．试判断线段，的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】“先锋小组”的同学在（2）的条件下，连接．若，的一个内角为，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）；见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）设，利用等腰三角形的性质可得，则； （2）连接，由翻折及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （3）设，讨论分别为时，利用勾股定理求的值． 【小问1详解】 解：设， ∵， ∴， ∵菱形中， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：；理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴是等边三角形，即，， ∵菱形中， ∴， 根据轴对称可得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：（舍）， 即：； 当时，， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：（舍）， 即：， 综上：的长为：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $