内蒙古呼和浩特市第十八中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

内蒙古呼和浩特十八中2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷 一、单选题（本大题共7小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）下列图象不能反映y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图，矩形ABCD中，∠AOD＝120°，AB＝4，则AC的长是（　　） A．2 B． C．4 D．8 3．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．5，8，10 B． C． D．4，5，6 4．（3分）如图，在菱形ABCD 中，AB＝2，∠DAB＝60°，则AC的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 5．（3分）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 6．（3分）下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线一定相等 7．（3分）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（　　） ①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 8．（3分）使有意义的x的取值范围是　 　 ． 9．（3分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为 　 　 尺． 10．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝　 　 厘米． 11．（3分）如图，将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E、G分别在AB、BC上．若AE＝BE＝1，则BF的长为 　 　 ． 三、解答题（本大题共6小题，共64分。解答题应写出文字说明、计算过程或演算步骤） 12．（12分）计算： （1）； （2）． 13．（8分）先化简，再求值：，其中． 14．（10分）某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为12m； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20m； ③牵线放风筝的小明的身高（AB）为1.62m． （1）如图1是放风筝的示意图，其中点C、D、E在同一条直线上，且BA⊥AE，CE⊥AE，BD⊥CE，垂足为点D，请根据题意，求出风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想让风筝沿CD方向下降11m，则他应该往回收线多少米？ 15．（10分）已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F在对角线BD所在的直线上，DE＝BF． （1）求证：∠DAE＝∠BCF； （2）连接AF、CE，若AE＝10，EF＝16，EF平分∠AEC，求四边形AECF的面积． 16．（12分）青城公园的摩天轮是孩子们非常喜欢的游乐项目，明珠中学的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度y和所用的时间x的数据，并绘制变化图如图2． 【问题研究】请根据图2中信息回答： 旋转时间x/min 0 3 6 8 12 … 高y/m 5 　 　 5 　 　 5 … （1）根据图2补全表格； （2）如表反映的两个变量中，自变量是 　 　 ，摩天轮转一周需要 　 　 分钟； （3）摩天轮最高点距地面 　 　 （米），摩天轮最低点距地面 　 　 （米）； （4）如图3，摩天轮某个吊舱（吊舱可以看作圆周上的点）从点A旋转到点B需2.5分钟，那么请你求出这个吊脸从A点顺时针旋转到B点所走的路径的长度．（结果保留π） 17．（12分）取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： （1）【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平； 第二步：在AD上选一点P，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，展平后连接PM、BM．根据以上操作，当点M在EF上时，如图1，连接AM，判断△ABM的形状并证明． （2）【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为8cm正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ，当点M在EF上时，∠MBQ与∠PQD的数量关系是 　 　 （用数学式子表示）； （3）【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在AD上的位置（点P不与点A、D重合），沿BP折叠纸片，如图③，使点A落在正方形内部的点M处，连接PM、BM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．当QF＝1cm时，请求出AP的长． 内蒙古呼和浩特十八中2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D C D C D C 一、单选题（本大题共7小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）下列图象不能反映y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的概念解答即可． 【解答】解：A．当x取一值时，y不一定有唯一与它对应的值，y不是x的函数，故选项A符合题意； B．当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故选项B不符合题意； C．当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故选项C不符合题意； D．当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点评】此题考查函数的概念，关键是根据当x取一值时，y有唯一与它对应的值判断． 2．（3分）如图，矩形ABCD中，∠AOD＝120°，AB＝4，则AC的长是（　　） A．2 B． C．4 D．8 【分析】求出∠AOB＝60°，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OB＝OC，然后判断出△AOB的等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA＝AB，再求解即可． 【解答】解：∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°， 在矩形ABCD中，OA＝OB＝OC， ∴△AOB的等边三角形， ∴OA＝AB＝4， ∴AC＝OA+OC＝4+4＝8． 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出等边三角形是解题的关键． 3．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．5，8，10 B． C． D．4，5，6 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一计算即可． 【解答】解：A、∵52+82≠102， ∴不能构成直角三角形，不符合题意； B、∵12+22≠（）2， ∴不能构成直角三角形，不符合题意； C、∵12+（）2＝（）2， ∴能构成直角三角形，符合题意； D、∵42+52≠62， ∴不能构成直角三角形，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 4．（3分）如图，在菱形ABCD 中，AB＝2，∠DAB＝60°，则AC的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】连接BD，由菱形的性质推出AD＝AB，OB＝BD，AC＝2AO，AC⊥BD，判定△ABD是等边三角形，得到BD＝AB＝2，由勾股定理求出AO＝，即可得到AC的长． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，OB＝BD，AC＝2AO，AC⊥BD， ∵∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝2， ∴OB＝BD＝1， ∴AO＝＝， ∴AC＝2AO＝2． 故选：D． 【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质判定△ABD是等边三角形，由勾股定理求出AO的长． 5．（3分）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】求出OM2+ON2＝MN2，根据勾股定理的逆定理得出∠MON＝90°，根据平角定义求出即可． 【解答】解：∵OM＝60海里，ON＝80海里，MN＝100海里， ∴OM2+ON2＝MN2， ∴∠MON＝90°， ∵∠EOM＝20°， ∴∠NOF＝180°﹣20°﹣90°＝70°， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理求出∠MON＝90°是解此题的关键． 6．（3分）下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线一定相等 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定、菱形的性质判断即可． 【解答】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，本选项说法错误，不符合题意； D、如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线一定相等，本选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及菱形的性质、三角形中位线定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 7．（3分）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（　　） ①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出②正确；由SAS证出△ACE≌△BCD，①正确；证出△ADB是直角三角形，由勾股定理得出④正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出③不正确；即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠E＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵∠DAB+∠CAB＝∠ACE+∠E， ∴∠DAB＝∠ACE，故②正确； ∴∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°， ∴∠ACE＝∠DCB， 在△ACE和△BCD中，， ∴△ACE≌△BCD（SAS），故①正确； ∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°， ∴∠ADB＝∠CDB+∠EDC＝90°， ∴△ADB是直角三角形， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴AD2+AE2＝AB2， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝AC， ∴AE2+AD2＝2AC2，故④正确； 在AD上截取DF＝AE，连接CF，如图所示： 在△ACE和△FCD中，， ∴△ACE≌△FCD（SAS）， ∴AC＝FC， 当∠CAF＝60°时，△ACF是等边三角形， 则AC＝AF，此时AE+AC＝DF+AF＝AD，故③不正确； 故选：C． 【点评】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 8．（3分）使有意义的x的取值范围是x≤2　 ． 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得出答案． 【解答】解：由题意得：2﹣x≥0， 解得：x≤2． 故答案为：x≤2． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意掌握二次根式的被开方数为非负数． 9．（3分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为 　10　 尺． 【分析】设水深为x尺，则这根芦苇长为（x+2）尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：设水深为x尺，则这根芦苇长为（x+2）尺， 根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+2）2， 解得：x＝8， ∴x+2＝10， 即这根芦苇长为10尺， 故答案为：10． 【点评】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理得出方程是解题的关键． 10．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝　3　 厘米． 【分析】根据平行四边形的性质可知OA＝AC，OB＝BD，结合AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF的长． 【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴点O是AC、BD的中点， ∵AC+BD＝24厘米， ∴OB+OA＝（AC+BD）＝12厘米， ∵△OAB的周长是18厘米， ∴AB＝18﹣12＝6（厘米）， ∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点， ∴EF＝AB＝×6＝3（厘米）． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出AB的长，此题难度不大． 11．（3分）如图，将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E、G分别在AB、BC上．若AE＝BE＝1，则BF的长为 　　 ． 【分析】连接AC交DF于点O，连接EG交DF于点H，则AB＝AD＝CD＝2，进而得AC＝，则OA＝√2，BD＝AC＝，再求出DE＝，证明EG是△ABC的中位线，得EG＝AC＝，继而得EH＝EG＝，由勾股定理得FH＝DH＝，再由勾股定理求出BH＝即可得出BF的长． 【解答】解：连接AC交DF于点O，连接EG交DF于点H，如图所示： ∵AE＝BE＝1， ∴AB＝AE+BE＝2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD＝2，∠BAD＝ADC＝90°，AC⊥DF，OA＝1/2AC，BD＝AC， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝， ∴OA＝AC＝，BD＝AC＝， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝＝＝， ∵四边形DEFG是菱形， ∴EG⊥DF，EH＝EG，FH＝DH， ∵AC⊥DF， ∴EG∥AC， 又∵AE＝BE＝1， ∴EG是△ABC的中位线， ∴EG＝AC＝， ∴EH＝EG＝√， 在Rt△DEH中，由勾股定理得：DH＝＝＝， ∴FH＝DH＝， 在Rt△BEH中，由勾股定理得：BH＝＝＝， ∴BF＝FH﹣BH＝＝． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，菱形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共64分。解答题应写出文字说明、计算过程或演算步骤） 12．（12分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝＝； （2）原式＝ ＝ ＝ ＝． 【点评】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 13．（8分）先化简，再求值：，其中． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【解答】解： ＝• ＝• ＝， 当时，原式＝＝． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 14．（10分）某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为12m； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20m； ③牵线放风筝的小明的身高（AB）为1.62m． （1）如图1是放风筝的示意图，其中点C、D、E在同一条直线上，且BA⊥AE，CE⊥AE，BD⊥CE，垂足为点D，请根据题意，求出风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想让风筝沿CD方向下降11m，则他应该往回收线多少米？ 【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝202﹣122＝256， 所以，CD＝16（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝16+1.62＝17.62（米）， 答：风筝的高度CE为17.62米； （2）由题意得，CM＝11米， ∴DM＝5米， ∴BM＝（米）， ∴BC﹣BM＝20﹣13＝7（米）， ∴他应该往回收线7米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 15．（10分）已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F在对角线BD所在的直线上，DE＝BF． （1）求证：∠DAE＝∠BCF； （2）连接AF、CE，若AE＝10，EF＝16，EF平分∠AEC，求四边形AECF的面积． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝CB，AD∥CB，根据全等三角形的判定和性质定理得到∠DAE＝∠BCF； （2）如图，连接AC，由（1）知，△ADE≌△CBF，得到AE＝CF，∠AED＝∠CFB，根据菱形的判定定理得到四边形AFCE是菱形，根据勾股定理得到AO＝＝6，根据菱形的面积公式得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥CB， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ADE＝∠CBF， 在△ADE与△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）， ∴∠DAE＝∠BCF； （2）解：如图，连接AC， 由（1）知，△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB， ∴AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF平分∠AEC， ∴∠AEF＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CF＝CE， ∴四边形AFCE是菱形， ∴AC⊥EF，OE＝EF＝8， ∴AO＝＝6， ∴AC＝2AO＝12， ∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×12×16＝96． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 16．（12分）青城公园的摩天轮是孩子们非常喜欢的游乐项目，明珠中学的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度y和所用的时间x的数据，并绘制变化图如图2． 【问题研究】请根据图2中信息回答： 旋转时间x/min 0 3 6 8 12 … 高y/m 5 　70　 5 　54　 5 … （1）根据图2补全表格； （2）如表反映的两个变量中，自变量是 　旋转时间x ，摩天轮转一周需要 　6　 分钟； （3）摩天轮最高点距地面 　70　 （米），摩天轮最低点距地面 　5　 （米）； （4）如图3，摩天轮某个吊舱（吊舱可以看作圆周上的点）从点A旋转到点B需2.5分钟，那么请你求出这个吊脸从A点顺时针旋转到B点所走的路径的长度．（结果保留π） 【分析】（1）根据图象得出当x＝3时，y＝70，当x＝8时，y＝54，得出答案即可； （2）根据图象进行解答即可； （3）根据图象找出最高点和最低点，然后回答即可； （4）先求出摩天轮旋转2.5min，旋转的角度为：，再根据弧长公式进行计算即可． 【解答】解：（1）当x＝3时，y＝70，当x＝8时，y＝54； 填表如下： 旋转时间x/min 0 3 6 8 12 … 高y/m 5 70 5 54 5 … （2）如表反映的两个变量中，自变量是旋转时间x，摩天轮转一周需要6min， 故答案为：旋转时间x；6； （3）根据图象可知：摩天轮最高点距地面70m，摩天轮最低点距地面5m， 故答案为：70；5； （4）摩天轮旋转2.5min，旋转的角度为：， ∵摩天轮的直径为70﹣5＝65（m）， ∴这个吊舱从A点顺时针旋转到B点所走的路径的长度： ． 【点评】本题主要考查了根据函数图象获得信息，弧长计算，解题的关键是数形结合． 17．（12分）取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： （1）【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平； 第二步：在AD上选一点P，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，展平后连接PM、BM．根据以上操作，当点M在EF上时，如图1，连接AM，判断△ABM的形状并证明． （2）【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为8cm正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ，当点M在EF上时，∠MBQ与∠PQD的数量关系是 　∠MBQ＝∠PQD （用数学式子表示）； （3）【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在AD上的位置（点P不与点A、D重合），沿BP折叠纸片，如图③，使点A落在正方形内部的点M处，连接PM、BM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．当QF＝1cm时，请求出AP的长． 【分析】（1）由折叠的性质可得AB＝MB，AM＝BM，进而可得AB＝MB＝AM，可知△ABM是等边三角形； （2）由“HL”可证Rt△BCQ≌Rt△BMQ，可得∠CBQ＝∠MBQ＝15°，求得∠PQD＝30°，于是得到结论； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【解答】解：（1）△ABM是等边三角形， 证明：由折叠的性质可得AB＝MB，AM＝BM， ∴AB＝MB＝AM， ∴△ABM是等边三角形， （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°， 由折叠可得：AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°， ∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°， 在Rt△BCQ和Rt△BMQ中， ， ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL）， ∴∠CBQ＝∠MBQ， 同（1）可证△ABM是等边三角形， ∴∠ABM＝60°， ∴∠CBM＝90°﹣∠ABM＝30°， ∴∠CQM＝180°﹣30°＝150°， ∴∠PQD＝30°， ∴∠CBQ＝∠MBO＝∠CBM＝15°， ∴∠MBQ＝∠PQD， 故答案为：∠MBQ＝∠PQD； （3）AP的长为或．理由如下： 由折叠的性质可得DF＝CF＝4cm，AP＝PM， ∵Rt△BCQ≌Rt△BMQ， ∴CQ＝MQ， 如图3，当点Q在线段CF上时， ∵FQ＝1cm， ∴MQ＝CQ＝3cm，DQ＝5cm， 在直角三角形PDQ中，由勾股定理得：PQ2＝PD2+DQ2， ∴（AP+3）2＝（8﹣AP）2+52， ∴AP＝， 如图4，当点Q在线段DF上时， ∵FQ＝1cm， ∴MQ＝CQ＝5cm，DQ＝3cm， 在直角三角形PDQ中，由勾股定理得：PQ2＝PD2+DQ2， ∴（AP+5）2＝（8﹣AP）2+32， ∴AP＝， 综上所述，AP的长为cm或cm． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $