专题02二元一次方程组易错必刷题型专项训练(21大题型共计63道题)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组全章高频易错点，以21类典型题型为载体，系统梳理解法技巧与易错关键，构建“概念-解法-应用”递进逻辑链，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本解法|3类（代入/加减消元、特殊解法）|变形代入、整体扩倍消元、换元拆分技巧|从基础消元到结构优化，体现解法逐步深化| |参数与解|4类（解求参数、解的情况、错解复原等）|代入联立、系数比例判定、错解隔离法|围绕解的性质，构建参数与方程组关系的推理体系| |实际应用|13类（行程/工程/几何等）|等量关系提取、图表信息转化、方案整数解筛选|以生活情境为背景，强化数学建模与应用意识| |三元拓展|1类|消元转化为二元方程组|体现知识迁移，拓展多元问题解决能力|

专题02二元一次方程组易错必刷题型专项训练 本专题汇总二元一次方程组全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.已知方程组的解求参数 题型02.代入消元法 题型03.加减消元法 题型04.二元一次方程组的特殊解法 题型05.构造方程组求解 题型06.由方程组解的情况求参数 题型07.错解复原问题 题型08.方程组相同解问题 题型09.由实际问题列二元一次方程组 题型10.分配问题 题型11.图表信息问题 题型12.行程问题 题型13.工程问题 题型14.几何问题 题型15.方案问题 题型16.数字问题 题型17.年龄问题 题型18.销售利润问题 题型19.和差倍分问题 题型20.古代问题 题型21三元一次方程组的应用 易错必刷题型01.已知方程组的解求参数 典题特征：给定方程组的一组解，将数值代入含参方程，联立等式计算参数具体数值。 易错点：代入负数值时遗漏负号，移项运算错误，未完整代入两组方程联立求解。 1．已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．在数学课上，吴老师叫同学们解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的平方根为________． 3．在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：________； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值； (3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值． 易错必刷题型02.代入消元法 典题特征：变形其中一个方程，用单一未知数代数式表示另一未知数，整体代入另一方程完成消元计算。 易错点：方程变形时常数项未同步运算，代入代数式未添加括号，回代求值计算步骤出错。 4．关于二元一次方程的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________． 6．用代入法解下列方程组： (1) (2) 易错必刷题型03.加减消元法 典题特征：给方程整体扩倍，统一同一未知数系数，通过两式加减消去未知量，分步求解方程组。 易错点：等式扩倍时常数项不参与相乘，两式相减时各项符号未同步反转，基础四则运算失误。 7．已知二元一次方程组，则的值为（    ） A．3 B．1 C．2 D． 8．已知关于x、y的二元一次方程组（为实数），则________． 9．解方程组： (1) (2) 易错必刷题型04.二元一次方程组的特殊解法 典题特征：针对结构重复的方程组，采用整体代入、换元拆分方式简化解题流程。 易错点：无法识别可整体替换的整式，换元计算后未还原原未知数，随意拆分固定整体式子。 10．已知关于、的二元一次方程组，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 11．若方程组的解是，则方程组的解是___________． 12．先认真阅读，再解决下面的问题． 解方程组： 由①得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得，所以方程组的解为 我们把这种方法称为“整体代入法”． 请用“整体代入法”解决下面的问题： (1)解方程组： (2)若，则的值为_______． 易错必刷题型05.构造方程组求解 典题特征：依据绝对值、平方非负性，同类项定义等条件，自主构建方程组进行计算。 易错点：不掌握非负数和为零则各项均为零的规则，同类项判定时看错字母次数，列式条件残缺。 13．若单项式与是同类项，则_____． 14．若，且，，满足方程组，则（   ） A．1 B． C． D． 15．对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 易错必刷题型06.由方程组解的情况求参数 典题特征：依据系数比例关系，判定方程组唯一解、无解、无数解三种情形，求解参数范围。 易错点：混淆无解与无数解的系数比例规则，比例计算忽略分母不为零限制，交叉相乘计算错误。 16．关于x，y的方程组的解满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 17．已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 18．已知方程组中为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简：； 易错必刷题型07.错解复原问题 典题特征：利用看错系数所得错误解，结合未出错的原方程，还原真实方程组并求取正确解。 易错点：将错误解全部代入含错系数方程，无法区分正误方程，复原方程组后再次计算失误。 19．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 20．在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 21．已知方程组，由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为． (1)求的值： (2)求出原方程组的正确解． 易错必刷题型08.方程组相同解问题 典题特征：两组方程组共用一组公共解，先联立无参数方程求出公共解，再代入含参方程求值。 易错点：直接代入含参方程运算，未先求解公共解，联立方程时组合错误。 22．若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 23．已知关于x，y的方程组与方程组同解，则_______． 24．若两个关于x，y的方程组和的解相同，求a，b的值． 易错必刷题型09.由实际问题列二元一次方程组 典题特征：解读文字题意，设定两个未知数，依据题干等量关系列出完整方程组。 易错点：未知数设定表述模糊，数量关系理解颠倒，方程两边计量单位不统一。 25．美术社团购买颜料和画框，若买4盒颜料、2个画框需70元；买2盒颜料、3个画框需65元．设每盒颜料x元，每个画框y元，方程组为（   ） A． B． C． D． 26．第一小组的同学分铅笔若干支，若每人各得6支，则还剩4支；若有1人只得1支，则其余每人恰好各得7支．设第一小组有人，铅笔有支，依题意可列方程组为__________． 27．苹果的单价比梨的单价贵元，买的苹果和梨共花去元． (1)小红根据题意，列出方程组，分别指出未知数，表示的意义：表示__________，表示____________； (2)小亮“设苹果的单价为元，梨的单价为元”，按照小亮的思路列出方程组，并求出，的值． 易错必刷题型10.分配问题 典题特征：按照两种不同分配方案，结合剩余、缺少数量，梳理总量关系列方程组。 易错点：忽略分配剩余或不足数值，分配前后总数量关系梳理错乱，等式左右关系写反。 28．为加强学生体能素质，某校计划开设球类特色课程，需购买足球、排球共个，据调查，某商城每个足球的价格为元，每个排球的价格为元，经双方议价，按折销售，学校共付款元，求购买足球、排球各多少个？ 29．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 30．某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 易错必刷题型11.图表信息问题 典题特征：从表格、统计图示中提取有效数据，转化为数学等量关系列方程求解。 易错点：读取图表数据出现偏差，误用无关数据列式，无法转化图表隐含数量条件。 31．为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 32．如图，的格子内填写了一些数和代数式，各行上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等． 3 2 (1)求和的值（用含，的代数式表示）； (2)试用等式表示，之间的数量关系． 33．为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 易错必刷题型12.行程问题 典题特征：结合相遇、追及、航行场景，依据路程速度时间关系构建方程组解题。 易错点：混淆顺水逆水速度计算公式，相遇追及路程关系判定错误，速度时间对应混乱。 34．甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 35．列二元一次方程组解应用题： 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？ 36．某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 易错必刷题型13.工程问题 典题特征：以工作总量、单人效率、合作时长为条件，梳理工程进度关系列式计算。 易错点：未统一设定工作总量，多人合作效率叠加计算错误，效率与时间关系倒置 37．甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数． 38．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 39．某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 (1)试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ (2)现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 易错必刷题型14.几何问题 典题特征：利用图形边长、周长、面积固有公式，结合边长数量差列方程组求解。 易错点：记错几何计算公式，边长倍数关系列式颠倒，忽略边长取值实际限制条件。 40．将一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大，设，的度数分别为，，请列出二元一次方程组______． 41．如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 42．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 易错必刷题型15.方案问题 典题特征：求解方程组后，结合实际生活要求，筛选符合条件的整数可行方案。 易错点：直接取用方程小数解，未按实际要求取整数，遗漏多种可行组合情况。 43．我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 44．2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 45．一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板数量的m倍（m为大于1的整数），制作三种产品共需要25小时．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如表所示．（展板、宣传册和横幅的数量均为正整数） 产品 展板 宣传册 横幅 时间（小时） 1 0.2 0.5 利润（元） 60 3 20 (1)当时，制作三种产品所获利润为975元，求这三件产品的总件数； (2)若制作三种产品所获利润为950元，求m的值及有几种制作方案？ 易错必刷题型16.数字问题 典题特征：根据多位数字数位构成规律，结合数字和差倍数关系，计算原数值。 易错点：数位数值换算错误，十位百位数字未对应乘对应进率，数字位置关系混淆。 46．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 47．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 48．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值． 易错必刷题型17.年龄问题 典题特征：依据两人年龄差值恒定，结合不同时间年龄倍数关系，列方程组计算。 易错点：忽略年龄差永久不变规律，推算过往未来年龄时增减年份计算错误。 49．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 50．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 51．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 易错必刷题型18.销售利润问题 典题特征：结合商品进价、售价、销量，依据利润计算公式梳理经济类数量关系。 易错点：混淆利润与利润率计算公式，进价售价对应关系错乱，总收益核算出错。 52．推进乡村全面振兴，需要大力发展农产品加工业，做好独特品种的特色农产品开发．大樱桃是怀仁市的特色农产品，某村集体组织农户将大樱桃按果实大小包装成精品大果、优级中果两种五斤装礼盒出售．已知每件精品大果礼盒比每件优级中果礼盒的售价多20元，且15件精品大果礼盒和10件优级中果礼盒的总售价为2500元．问：精品大果礼盒与优级中果礼盒每件售价分别为多少元？ 53．某体育用品商店销售、两款足球，售价和进价如下表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 该商店第一次购进10个款足球和20个款足球，共花费2000元；第二次购进20个款足球和30个款足球，共花费3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商店一次性购买A款足球x个和B款足球y个，恰好花费3600元． 甲同学认为：购买A款足球的数量越多，商场获得的利润越高； 乙同学认为：购买B款足球的数量越多，商场获得的利润越高． 请你通过计算判断：甲、乙两名同学的观点是否正确，并说明理由． 54．某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有名同学，需要购买跳绳的有名同学． (1)请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球个和跳绳根（其中，恰好用了元，其中足球每个进价为元，跳绳每根进价为元，则有哪几种购进方案？ 易错必刷题型19.和差倍分问题 典题特征：依托事物数量之间和、差、倍数、分值关系，直接构建等量方程组。 易错点：倍数主体关系判定颠倒，多量少量关系写反，分值比例换算出现偏差。 55．甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则甲、乙两队分别分到的人数为（　　） A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70 56．DeepSeek公司推出两款人工智能云服务套餐：基础版和增强版．已知增强版每月订阅费比基础版高50元．某科技团队订阅了5份增强版和3份基础版，共支付1850元．问增强版和基础版每月订阅费各是多少元？ 57．列二元一次方程组解决下列问题： 毗邻筼筜湖的白鹭洲公园鸽子广场深受市民们的喜爱．有一个关于鸽子的童话故事如下：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”请你算算原来树上、树下各有多少只鸽子？ 易错必刷题型20.古代问题 典题特征：翻译古文类数学题干，将文言表述转化为现代数学等量关系列式求解。 易错点：曲解文言文字含义，无法精准提取隐藏等量条件，列式与题意不符。 58．李白喝酒碰到朋友，诗里藏着算术题：现在有一些酒坛，如果每个酒坛装五斗酒，就会剩下四斗酒；如果每个酒坛装六斗酒，则空出一个酒坛，且有一个酒坛里仅装三斗酒．设一共有个酒坛，斗酒，那么正确的方程组是（　　） A． B． C． D． 59．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？” 60．列方程组求解古算题： 《算法统宗》中有一道“折绳测井”问题，大意为：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等分入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等分放入井中，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？ 易错必刷题型21三元一次方程组的应用 典题特征：题干包含三类未知量，梳理三组独立等量关系，列三元方程组消元求解。 易错点：消元过程符号频繁出错，消元顺序杂乱无章，遗漏题干其中一组等量条件。 61．小丽、小红去文具店买学习用具，小丽买了3支笔、7支改正液、1个文件袋花了64元，小红买了4支笔、10支改正液、1个文件袋花了79元，小明看到后表示自己也准备三种学习用具各买1个，则他共需___________元． 62．母亲节到了，小明计划为妈妈准备康乃馨、玫瑰、百合三种鲜花．已知购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元． (1)求康乃馨和玫瑰的单价． (2)若百合的单价为6元，花店推出活动：每购买1支玫瑰，赠送1支百合．小明计划购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），其中康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，若购买鲜花的总费用为118.8元，求所有满足条件的购买方案． 63．在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． (1)初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． (2)深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． (3)拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二元一次方程组易错必刷题型专项训练 本专题汇总二元一次方程组全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.已知方程组的解求参数 题型02.代入消元法 题型03.加减消元法 题型04.二元一次方程组的特殊解法 题型05.构造方程组求解 题型06.由方程组解的情况求参数 题型07.错解复原问题 题型08.方程组相同解问题 题型09.由实际问题列二元一次方程组 题型10.分配问题 题型11.图表信息问题 题型12.行程问题 题型13.工程问题 题型14.几何问题 题型15.方案问题 题型16.数字问题 题型17.年龄问题 题型18.销售利润问题 题型19.和差倍分问题 题型20.古代问题 题型21三元一次方程组的应用 易错必刷题型01.已知方程组的解求参数 典题特征：给定方程组的一组解，将数值代入含参方程，联立等式计算参数具体数值。 易错点：代入负数值时遗漏负号，移项运算错误，未完整代入两组方程联立求解。 1．已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程组的解的定义，将已知的，的值代入原方程组，求出和的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ，解得， ． 2．在数学课上，吴老师叫同学们解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的平方根为________． 【答案】 【分析】根据方程组的解的定义，应满足方程②，应满足方程①，将它们分别代入方程②和①，就可解得a，b的值，进而即可求解. 【详解】解：将代入②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴，即：的平方根是． 3．在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：________； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值； (3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据矩阵的定义即可得出答案． （2）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，即可得出a，b的值． （3）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，然后得出，，然后代入式子求值即可． 【详解】（1）解：二元一次方程组写成矩阵形式为：， （2）解：∵矩阵所对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：． 解得：． （3）解：∵矩阵对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：， 则， ∴． 易错必刷题型02.代入消元法 典题特征：变形其中一个方程，用单一未知数代数式表示另一未知数，整体代入另一方程完成消元计算。 易错点：方程变形时常数项未同步运算，代入代数式未添加括号，回代求值计算步骤出错。 4．关于二元一次方程的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原方程为， 用表示时， 移项得， 方程两边同时除以，得； 用表示时， 移项得， 方程两边同时除以，得； 故D选项变形正确． 5．形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，由新定义可得方程组，求解可得， 的值．再由新定义运算即可求得答案． 【详解】根据题意，可得 解得 所以． 故答案为：2 6．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由②得：③， 把③代入①得：， 去分母得：， 解得：， 把代入③得：， 则方程组的解为； （2）解：方程组整理得：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为． 易错必刷题型03.加减消元法 典题特征：给方程整体扩倍，统一同一未知数系数，通过两式加减消去未知量，分步求解方程组。 易错点：等式扩倍时常数项不参与相乘，两式相减时各项符号未同步反转，基础四则运算失误。 7．已知二元一次方程组，则的值为（    ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】仔细观察题目，用②①即可得的值． 【详解】解：二元一次方程组， ②①，得． 8．已知关于x、y的二元一次方程组（为实数），则________． 【答案】 【分析】把两方程相加消去p得到关于，然后整体求得的值即可． 【详解】解：， ①+②得：， ∴，解得：． 9．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】先通过变形消去其中一个未知数，求出另一个未知数的值，再将求得的未知数的值代入原方程，得到另一个未知数的值． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为； （2）解：， ①得：③， ②得：④， ③④得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 易错必刷题型04.二元一次方程组的特殊解法 典题特征：针对结构重复的方程组，采用整体代入、换元拆分方式简化解题流程。 易错点：无法识别可整体替换的整式，换元计算后未还原原未知数，随意拆分固定整体式子。 10．已知关于、的二元一次方程组，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】把两个方程相加后，即可得出结果． 【详解】解： 由①②得：， ∴， ∴． 11．若方程组的解是，则方程组的解是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把方程组变形为得，从而可得结论． 【详解】解：方程组可转化为， ∵方程组的解是， ∴， 解得， 方程组的解是． 12．先认真阅读，再解决下面的问题． 解方程组： 由①得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得，所以方程组的解为 我们把这种方法称为“整体代入法”． 请用“整体代入法”解决下面的问题： (1)解方程组： (2)若，则的值为_______． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）仿照题干根据“整体代入法”求解即可； （2）将原式化为，根据计算即可． 【详解】（1）解：令 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， ∴方程组的解为． （2）解：原式 ． 易错必刷题型05.构造方程组求解 典题特征：依据绝对值、平方非负性，同类项定义等条件，自主构建方程组进行计算。 易错点：不掌握非负数和为零则各项均为零的规则，同类项判定时看错字母次数，列式条件残缺。 13．若单项式与是同类项，则_____． 【答案】 【分析】根据同类项中的字母相同，相同字母的指数也相同，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，解得， ∴. 14．若，且，，满足方程组，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组看作关于a、b的二元一次方程组可求得，然后代入化简即可解答． 【详解】解：将方程组看作关于a、b的二元一次方程组： 可得：，解得：， 将代入可得． 15．对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 易错必刷题型06.由方程组解的情况求参数 典题特征：依据系数比例关系，判定方程组唯一解、无解、无数解三种情形，求解参数范围。 易错点：混淆无解与无数解的系数比例规则，比例计算忽略分母不为零限制，交叉相乘计算错误。 16．关于x，y的方程组的解满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】通过对方程组变形，得到与的关系，代入已知求出的值，再计算所求幂的值即可． 【详解】解：， 得： 整理得，即， ， ， ． 17．已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【分析】先将已知原方程组的解代入原方程组求出a，b的值，再代入所求二元一次方程组，解关于m，n的二元一次方程组即可得到结果． 【详解】解：将代入原方程组得， 解得：， 代入关于，的方程组得： 化简得：， 解得． 18．已知方程组中为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法进行消元，得到和的表达式，再根据和的取值范围列式运算即可； （2）根据绝对值的性质化简运算即可． 【详解】（1）解：， 可得： ， ∵为非正数 ∴， 解得：， 可得： ， ∵为负数， ∴， 解得：， ∴， （2）∵， ∴ ． 易错必刷题型07.错解复原问题 典题特征：利用看错系数所得错误解，结合未出错的原方程，还原真实方程组并求取正确解。 易错点：将错误解全部代入含错系数方程，无法区分正误方程，复原方程组后再次计算失误。 19．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 20．在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 21．已知方程组，由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为． (1)求的值： (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把甲乙的解分别代入正确的方程中运算即可； （2）把和代入，再利用加减消元法运算即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的得到方程组的解为， ∴甲的解满足方程， 把代入可得：， 解得：， ∵乙看错了方程②中的得到方程组的解为， ∴乙的解满足方程， 把代入可得：， 解得：； （2）把，代入可得：， 可得：， 解得：， 可得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 易错必刷题型08.方程组相同解问题 典题特征：两组方程组共用一组公共解，先联立无参数方程求出公共解，再代入含参方程求值。 易错点：直接代入含参方程运算，未先求解公共解，联立方程时组合错误。 22．若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【分析】若两个方程组解相同，则公共解满足所有方程，将已知的x、y代入含a、b的方程，即可求出的值． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴公共解为， 将代入，得， 将两个方程左右分别相加，得， 两边同除以7，得． 23．已知关于x，y的方程组与方程组同解，则_______． 【答案】81 【分析】先根据两个方程组的解相同重新组成方程组，并求出解，再将解代入求出a，b的值，进而求出代数式的值． 【详解】解：∵方程组与方程组同解， ∴， ，得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． ∵两个方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 24．若两个关于x，y的方程组和的解相同，求a，b的值． 【答案】 【分析】先解方程组，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由题意，可知关于x，y的方程组的解满足和． 解方程组得． 把代入， 得． 解得． 易错必刷题型09.由实际问题列二元一次方程组 典题特征：解读文字题意，设定两个未知数，依据题干等量关系列出完整方程组。 易错点：未知数设定表述模糊，数量关系理解颠倒，方程两边计量单位不统一。 25．美术社团购买颜料和画框，若买4盒颜料、2个画框需70元；买2盒颜料、3个画框需65元．设每盒颜料x元，每个画框y元，方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总费用=单价×数量”，分别对两种购买情况列式即可得到方程组． 【详解】解：∵设每盒颜料元，每个画框元， ∴买4盒颜料、2个画框共花费70元，可得， 买2盒颜料、3个画框共花费65元，可得， ∴方程组为． 26．第一小组的同学分铅笔若干支，若每人各得6支，则还剩4支；若有1人只得1支，则其余每人恰好各得7支．设第一小组有人，铅笔有支，依题意可列方程组为__________． 【答案】 【分析】根据题意，找出两个对应总铅笔数的等量关系，即可列出二元一次方程组． 【详解】解：由“若每人各得支，则还剩支”可得： ，即； 由“若有人支得支，则其余每人恰好各得支”可得： ，即， 联立得方程组． 27．苹果的单价比梨的单价贵元，买的苹果和梨共花去元． (1)小红根据题意，列出方程组，分别指出未知数，表示的意义：表示__________，表示____________； (2)小亮“设苹果的单价为元，梨的单价为元”，按照小亮的思路列出方程组，并求出，的值． 【答案】(1)苹果的价格，梨的价格 (2)，． 【分析】（1）根据所列方程组，写出未知数表示的意义即可； （2）根据题意列方程组，求解即可． 【详解】（1）解：表示苹果的价格，表示梨的价格． （2）解：设苹果的单价为元，梨的单价为元， 根据题意可得， 解得． 易错必刷题型10.分配问题 典题特征：按照两种不同分配方案，结合剩余、缺少数量，梳理总量关系列方程组。 易错点：忽略分配剩余或不足数值，分配前后总数量关系梳理错乱，等式左右关系写反。 28．为加强学生体能素质，某校计划开设球类特色课程，需购买足球、排球共个，据调查，某商城每个足球的价格为元，每个排球的价格为元，经双方议价，按折销售，学校共付款元，求购买足球、排球各多少个？ 【答案】学校共购买了个足球、个排球． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出正确的方程组并求解． 设购买个足球、个排球，根据题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】解：设购买个足球、个排球， 根据题意得  ， 解得 ． 答：学校共购买了个足球、个排球． 29．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 【答案】(1)1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人 (2)4，2 【分析】（1）设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人，根据“租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人”，列方程组求解即可； （2）设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0），根据总人数可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人， 根据题意可得： ， 解得， 答：1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人； （2）解：设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0）， 根据总人数列方程： ，化简得：， 变形得， ∵均为正整数， ∴仅当时，符合要求． 因此需要租用小客车4辆，大客车2辆． 30．某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒 (2)分配60名工人生产长方形纸板，18名工人生产正方形纸板 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出题目蕴含的等量关系，列出方程或方程组解决问题． （1）设能做成的型盒有个，型盒子有个，根据长方形纸板340张，正方形纸板160张，可得出方程组； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由一个竖式纸盒与一个横式纸盒需要正方形纸板3个，长方形纸板7个，也就是正方形纸板的数量是长方形纸板数量的，由此列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设能做成个竖式纸盒，个横式纸盒， 根据题意，得， 解得， 答：能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒． （2）解：设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由题意得， ， 解得， ， 答：分配60个工人生产长方形纸板，则18个工人生产正方形纸板． 易错必刷题型11.图表信息问题 典题特征：从表格、统计图示中提取有效数据，转化为数学等量关系列方程求解。 易错点：读取图表数据出现偏差，误用无关数据列式，无法转化图表隐含数量条件。 31．为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 【答案】捐5本的有20人，捐8本的有12人，理由见详解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确运用方程表示出数量关系并求解是解题的关键． 根据该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人，由此列式求解即可． 【详解】解：该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人， ∴， 解得，， ∴捐5本的有20人，捐8本的有12人． 32．如图，的格子内填写了一些数和代数式，各行上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等． 3 2 (1)求和的值（用含，的代数式表示）； (2)试用等式表示，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）用，表示格子左下角的代数式，即可得，之间的数量关系． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得． （2）解：根据题意， 格子左下角的代数式可以表示为： 格子左下角的代数式还可以表示为： ， ∴， ∴． 33．为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 易错必刷题型12.行程问题 典题特征：结合相遇、追及、航行场景，依据路程速度时间关系构建方程组解题。 易错点：混淆顺水逆水速度计算公式，相遇追及路程关系判定错误，速度时间对应混乱。 34．甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出方程即可； （2）添加甲的速度比乙快，求两人的速度，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，整理，得； （2）解：增加条件：甲的速度比乙快，即， 则，解得； 答：甲，乙两人的速度分别为和． 35．列二元一次方程组解应用题： 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？ 【答案】骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系列出方程跟组是解答本题的关键．设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟，利用路程＝速度×时间，结合小明到校所用时间及从家到学校的路程，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟， 根据题意得：， 解得：． 答：小明骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟． 36．某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． (1)求观光车的车头与每节车厢的长度； (2)某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，若，求隧道的长度． 【答案】(1)车头与每节车厢的长度分别为4米，8米 (2)隧道的长度为120米 【分析】（1）设观光车的车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，根据观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设隧道的长度为a米，观光车身总长度为b米，根据观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为秒，观光车全身都在隧道里的时间为秒，列出方程组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设车头与每节车厢的长度分别为米，米， 根据题意，得 解得 所以，车头与每节车厢的长度分别为4米，8米． （2）解：设隧道的长度为米，观光车总长为米，根据题意，得 ， 由得， 可得 所以，隧道的长度为120米． 易错必刷题型13.工程问题 典题特征：以工作总量、单人效率、合作时长为条件，梳理工程进度关系列式计算。 易错点：未统一设定工作总量，多人合作效率叠加计算错误，效率与时间关系倒置 37．甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建，乙队每天修建，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________．该方程组中□处的数应是________，△处的数应是________． (2)小芳同学的思路是想设甲队一共修建了公路，乙队一共修建了公路．下面请你按照小芳的设想列出方程组，并求出乙队修建的天数． 【答案】(1)甲队修路的天数，乙队修路的天数，15，335 (2)方程组为，7天 【分析】（1）利用工作总量=工作效率×工作时间，结合题意列出方程组，即可解决问题； （2）利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲、乙两队完成米公路的修建任务，列出关于、二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：∵甲队每天修建，乙队每天修建，一共用天完成， 则小红所列方程组为 ∴小红所列方程中表示甲队修建公路的天数，表示乙队修建公路的天数，该方程组中□处的数应是，△处的数应是． 故答案为：甲队修路的天数，乙队修路的天数，，． （2）解：方程组为 解得 所以乙队修建了（天）． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系及小红所列的方程，找出小红所列方程中未知数，表示的意义；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 38．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件，再结合甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件， 依题意， 解得 ∴甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件． 39．某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 (1)试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ (2)现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹 (2)，甲、乙工作时间分别为5小时，4小时 【分析】（1）设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，根据表格中的等量关系列出方程组并解方程组即可； （2）设甲、乙工作时间为a、小时，根据题意列出二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，则： ； 解得 答：甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹； （2）解：设甲、乙工作时间为a、小时， 则 即 ∴ ∵a、k均为正整数， ∴ 甲、乙工作时间为5小时，小时． 易错必刷题型14.几何问题 典题特征：利用图形边长、周长、面积固有公式，结合边长数量差列方程组求解。 易错点：记错几何计算公式，边长倍数关系列式颠倒，忽略边长取值实际限制条件。 40．将一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大，设，的度数分别为，，请列出二元一次方程组______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解此题的关键是能准确地从图中找出角之间的数量关系，从而列出方程组． 【详解】解：由的度数比的度数大可得：， 再从图中可看出， 即， 由此可列二元一次方程组为：． 故答案为：． 41．如图，小慧在一张长方形纸片上裁剪出张全等的小长方形纸片．如图，小慧又将其拼成了一个大正方形，但大正方形中间留下一个边长为的小正方形空隙 请你通过列方程组的方式，计算小长方形纸片的长和宽的值? 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，， 由图可得，， 解得， ∴，． 42．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 【答案】(1)； (2)小长方形的长是，宽是 (3)每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为 【分析】（1）根据图1、图2列二元一次方程即可； （2）联立（1）中两二元一次方程求解即可； （3）设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为，根据题干图列方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图1可列二元一次方程，由图2可列二元一次方程． （2）解：根据题意，得， 解得， 答：小长方形的长是，宽是． （3）解：设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为， 根据题意，得， 解得， 答：每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为． 易错必刷题型15.方案问题 典题特征：求解方程组后，结合实际生活要求，筛选符合条件的整数可行方案。 易错点：直接取用方程小数解，未按实际要求取整数，遗漏多种可行组合情况。 43．我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； (2)共有3种购买方案：方案1：购买10本笔记本，27支钢笔；方案2：购买20本笔记本，18支钢笔；方案3：购买30本笔记本，9支钢笔 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元，根据“买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；买5本笔记本和1支钢笔，需要110元”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本笔记本，n支钢笔，利用总价单价数量，可列出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； （2）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 根据题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买10本笔记本，27支钢笔； 方案2：购买20本笔记本，18支钢笔； 方案3：购买30本笔记本，9支钢笔． 44．2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元. (2)方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【分析】（1）设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元，根据辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据两款汽车总花费为400万，列出二元一次方程，求出二元一次方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元． （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 45．一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板数量的m倍（m为大于1的整数），制作三种产品共需要25小时．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如表所示．（展板、宣传册和横幅的数量均为正整数） 产品 展板 宣传册 横幅 时间（小时） 1 0.2 0.5 利润（元） 60 3 20 (1)当时，制作三种产品所获利润为975元，求这三件产品的总件数； (2)若制作三种产品所获利润为950元，求m的值及有几种制作方案？ 【答案】(1) 60件 (2) m的值为5或6，共有2种制作方案 【分析】(1)根据题意设展板的数量为x个，横幅的数量为y个，则宣传册的数量是个，再根据制作三种产品共需要25小时，制作三种产品所获利润为975元，列出关于的方程组，解方程组，最后，求和即可； (2)根据题意设展板的数量为a个，横幅的数量为b个，则宣传册的数量是个，再根据制作三种产品共需要25小时，制作三种产品所获利润为950元，列出关于的方程组，整理方程组得到，然后，根据m为大于1的整数，均为正整数，为10的正因数，分四种情况分类讨论，最后，确定m的值及方案即可． 【详解】（1）解：当时，设展板的数量为x个，横幅的数量为y个，则宣传册的数量是个， 根据题意，得，解得， ∴(件)， 答：这三件产品的总件数为60件； （2）解：设展板的数量为a个，横幅的数量为b个，则宣传册的数量是个， 根据题意，得，整理，得， 由①②，得，整理，得， ∵m为大于1的整数，均为正整数， ∴为10的正因数， ∴第一种情况：当，即时，，解得， 把，代入①，得，解得； 第二种情况：当，即时，，解得， 把，代入①，得，解得； 第三种情况：当，即时，，解得， 把，代入①，得，解得(非整数，舍去)； 第四种情况：当，即时，，解得； 把，代入①，得，解得(非整数，舍去) 综上，m的值为5或6，共有2种制作方案． 易错必刷题型16.数字问题 典题特征：根据多位数字数位构成规律，结合数字和差倍数关系，计算原数值。 易错点：数位数值换算错误，十位百位数字未对应乘对应进率，数字位置关系混淆。 46．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：． 故选：C． 47．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式和二元一次方程组的应用，正确理解题意，掌握数字的表示方法即可； （1）根据数字的表示方法即可求解； （2）由题意，得即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：原来的两位数为；新的两位数为； 故答案为：； （2）解：由题意，得         解得             答：原来的两位数为 48．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值． 【答案】，的值分别为，． 【分析】根据题意列方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴，的值分别为，． 易错必刷题型17.年龄问题 典题特征：依据两人年龄差值恒定，结合不同时间年龄倍数关系，列方程组计算。 易错点：忽略年龄差永久不变规律，推算过往未来年龄时增减年份计算错误。 49．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 50．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 51．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 易错必刷题型18.销售利润问题 典题特征：结合商品进价、售价、销量，依据利润计算公式梳理经济类数量关系。 易错点：混淆利润与利润率计算公式，进价售价对应关系错乱，总收益核算出错。 52．推进乡村全面振兴，需要大力发展农产品加工业，做好独特品种的特色农产品开发．大樱桃是怀仁市的特色农产品，某村集体组织农户将大樱桃按果实大小包装成精品大果、优级中果两种五斤装礼盒出售．已知每件精品大果礼盒比每件优级中果礼盒的售价多20元，且15件精品大果礼盒和10件优级中果礼盒的总售价为2500元．问：精品大果礼盒与优级中果礼盒每件售价分别为多少元？ 【答案】精品大果礼盒每件售价为108元，优级中果礼盒每件售价为88元 【分析】设精品大果礼盒每件售价为x元，优级中果礼盒每件售价为y元．根据等量关系“每件精品大果礼盒比每件优级中果礼盒的售价多20元”，“15件精品大果礼盒和10件优级中果礼盒的总售价共2500元”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设精品大果礼盒每件售价为x元，优级中果礼盒每件售价为y元．   根据题意，得 解得 答：精品大果礼盒每件售价为108元，优级中果礼盒每件售价为88元． 53．某体育用品商店销售、两款足球，售价和进价如下表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 该商店第一次购进10个款足球和20个款足球，共花费2000元；第二次购进20个款足球和30个款足球，共花费3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商店一次性购买A款足球x个和B款足球y个，恰好花费3600元． 甲同学认为：购买A款足球的数量越多，商场获得的利润越高； 乙同学认为：购买B款足球的数量越多，商场获得的利润越高． 请你通过计算判断：甲、乙两名同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2)总利润恒为1200元，与无关，甲、乙同学观点都错误 【分析】（1）根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后可得出，再根据总利润=单件利润×数量，计算总利润即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意可列方程组，得 解得， 所以，． （2）解：款单个利润：（元），款单个利润：（元） 由题意得， ∴． ∴商场获得的利润（元） 综上所述，总利润恒为1200元，与无关，甲、乙同学观点都错误． 54．某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有名同学，需要购买跳绳的有名同学． (1)请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球个和跳绳根（其中，恰好用了元，其中足球每个进价为元，跳绳每根进价为元，则有哪几种购进方案？ 【答案】(1)足球和跳绳的单价分别为元、元 (2)有两种方案：①购进足球个，跳绳根；②购进足球个，跳绳根 【分析】（1）根据“正确购买”和“数量弄反”两种总价情况列二元一次方程组，求解即可得到足球和跳绳的单价； （2）根据总进价列二元一次方程，结合且、均为正整数的限制条件，枚举所有符合要求的整数解即可得到购进方案． 【详解】（1）解：设足球和跳绳的单价分别为元、元， 由题意得： ， 解得：， 答：足球和跳绳的单价分别为元、元； （2）解：由题意得：， ∴， ∵、是正整数， ∴或 ， 答：有两种方案：①购进足球个，跳绳根；②购进足球个，跳绳根． 易错必刷题型19.和差倍分问题 典题特征：依托事物数量之间和、差、倍数、分值关系，直接构建等量方程组。 易错点：倍数主体关系判定颠倒，多量少量关系写反，分值比例换算出现偏差。 55．甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则甲、乙两队分别分到的人数为（　　） A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70 【答案】A 【分析】本题考查了实际问题与二元一次方程组，解题关键是利用等量关系列出方程组． 分别设出甲、乙两队分配人数，利用等量关系列出二元一次方程组，并解出答案． 【详解】设甲队分到x人，乙队分到y人．依题意得， 解得：． 即甲队分到28人，乙队分到62人． 故选A． 56．DeepSeek公司推出两款人工智能云服务套餐：基础版和增强版．已知增强版每月订阅费比基础版高50元．某科技团队订阅了5份增强版和3份基础版，共支付1850元．问增强版和基础版每月订阅费各是多少元？ 【答案】增强版每月订阅费250元，基础版每月订阅费200元 【分析】设增强版每月订阅费元，基础版每月订阅费元，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设增强版每月订阅费元，基础版每月订阅费元， 则，解得， 答：增强版每月订阅费250元，基础版每月订阅费200元． 57．列二元一次方程组解决下列问题： 毗邻筼筜湖的白鹭洲公园鸽子广场深受市民们的喜爱．有一个关于鸽子的童话故事如下：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”请你算算原来树上、树下各有多少只鸽子？ 【答案】原来树上有7只鸽子，树下有5只鸽子 【分析】设原来树上有只鸽子，树下有只鸽子，根据鸽子的对话列出方程组，求解即可． 【详解】解：设原来树上有只鸽子，树下有只鸽子， 由题意得：， 解得：， 答：原来树上有7只鸽子，树下有5只鸽子． 易错必刷题型20.古代问题 典题特征：翻译古文类数学题干，将文言表述转化为现代数学等量关系列式求解。 易错点：曲解文言文字含义，无法精准提取隐藏等量条件，列式与题意不符。 58．李白喝酒碰到朋友，诗里藏着算术题：现在有一些酒坛，如果每个酒坛装五斗酒，就会剩下四斗酒；如果每个酒坛装六斗酒，则空出一个酒坛，且有一个酒坛里仅装三斗酒．设一共有个酒坛，斗酒，那么正确的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据酒的总数量不变，结合两种装酒情况分别列方程即可得到方程组． 【详解】解：∵共有个酒坛，每个酒坛装斗酒时剩余斗，总酒量为斗 ∴总酒量满足 ． 再根据第二种装酒情况列方程： 每个酒坛装斗酒时，空出个酒坛，且有个酒坛仅装斗，因此装满斗的酒坛数量为 个． 总酒量等于所有装满斗的酒量加上仅装的斗，因此： 移项整理得 ． 综上可得方程组 ． 59．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？” 【答案】每头牛值金两，每只羊值金两 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每头牛值金两，每只羊值金两，根据5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两，由题意， ，解得， 答：每头牛值金两，每只羊值金两． 60．列方程组求解古算题： 《算法统宗》中有一道“折绳测井”问题，大意为：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等分入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等分放入井中，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？ 【答案】绳长为36尺，井深为8尺 【分析】本题主要考查了列方程组解应用题，根据题意找等量关系是解题的关键．设绳长尺，井深尺，根据“先将绳子折成三等分放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等分放入井中，一份绳长比井深多1尺” 列方程组求解即可． 【详解】解：设绳长尺，井深尺，根据题意列方程组， 得， 解得， ∴绳长为36尺，井深为8尺． 易错必刷题型21三元一次方程组的应用 典题特征：题干包含三类未知量，梳理三组独立等量关系，列三元方程组消元求解。 易错点：消元过程符号频繁出错，消元顺序杂乱无章，遗漏题干其中一组等量条件。 61．小丽、小红去文具店买学习用具，小丽买了3支笔、7支改正液、1个文件袋花了64元，小红买了4支笔、10支改正液、1个文件袋花了79元，小明看到后表示自己也准备三种学习用具各买1个，则他共需___________元． 【答案】 【分析】设三种学习用具的单价，根据两人的花费列出方程组，通过对方程组变形，整体计算得到三种学习用具各买一件的总费用． 【详解】设1支笔的价格为元，1支改正液的价格为元，1个文件袋的价格为元. 根据题意列方程组得： 将得： ， 将得： ， 得： ， ∴他共需元． 62．母亲节到了，小明计划为妈妈准备康乃馨、玫瑰、百合三种鲜花．已知购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元． (1)求康乃馨和玫瑰的单价． (2)若百合的单价为6元，花店推出活动：每购买1支玫瑰，赠送1支百合．小明计划购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），其中康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，若购买鲜花的总费用为118.8元，求所有满足条件的购买方案． 【答案】(1) 康乃馨单价为3.6元，玫瑰单价为5.4元. (2) 满足条件的购买方案为：方案一，康乃馨22支，玫瑰4支，额外购买百合3支；方案二，康乃馨11支，玫瑰8支，额外购买百合6支. 【分析】（1）设康乃馨的单价为x元一支，玫瑰花的单价为y元一支，根据购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元，列出方程组进行求解即可； （2）根据购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），购买康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，购买鲜花的总费用为118.8元，列出三元一次方程组，得到，求解即可． 【详解】（1）解：设康乃馨的单价为x元一支，玫瑰花的单价为y元一支， 根据题意得， 解得， 答：康乃馨单价为3.6元，玫瑰单价为5.4元； （2）解：根据题意得， 消去c，并整理得，即， ∴， ∵为正整数，且， ∴或， 当时，， 当时，， 答：满足条件的购买方案为：方案一，康乃馨22支，玫瑰4支，额外购买百合3支；方案二，康乃馨11支，玫瑰8支，额外购买百合6支． 63．在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得和各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． (1)初步应用：使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． (2)深入探究：如图3，每个圆圈中的数字用，，，，，表示，若规定每条边的“重量”为，且，求，，的值（用含，的代数式表示）． (3)拓展迁移：若使用数字：，，，，，，，，，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3)见详解 【分析】本题考查有理数的加减运算，解三元一次方程组，代数式求值，理解题意正确的列式是关键． （1）根据题中定义和题干解答即可． （2）记，，，则．由外三角形三边和为，可得，，，三式相加得，即．同理，内三角形 三边和为，可得，，，三式相加得，即，三式联立求出，即可解答． （3）若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3，根据（2）中结论求出，，求出，，，据此填图即可． 【详解】（1）解：顶点E对应的数， 顶点D对应的数， 其余两个空分别是，， 如图， （2）解：记，，， 则． 又由外三角形三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 同理，内三角形 三边和为，可得，，， 三式相加得， 即． 联立 解得：， 即，，． （3）解：若使用九个整数 ， ，，， 0， 1， 2， 3， 4，且每条边的“重量”规定为 3， 则，， 则，，， 可作如下“一种可行填法”（对应图 4 的各顶点及中点）： 取，，； ，，； ，，． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $