专题03二元一次方程组特殊解法类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题03 二元一次方程组特殊解法八类题型 典例详解 类型一、整体代入法 类型二、整体加减法 类型三、整体换元法 类型四、均值换元法 类型五、主元法 类型六、分类讨论法 类型七、新定义的运算与方程组综合 类型八、新定义的方程 压轴专练 类型一、整体代入法 【典例1】（25-26八年级上·四川成都·期中）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：③． 把方程①代入③得：． 把代入①得， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题： (1)模仿小明的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【变式1-1】（18-19七年级下·广东汕头·期中）阅读理解： 小聪在解方程组时，发现方程组中①和②之间存在一定的关系，他发现了一种“整体代换”法，具体解法如下： 解：将方程②变形为： 即 把方程①代入方程③得：解得 把代入方程①得 ∴方程组的解是 （1）模仿小聪的解法，解方程组 （2）已知x，y满足方程组，解答： （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小敏还想到了一种新的解法： 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”．请你利用“整体代入消元法”解方程组 【变式1-3】（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代入”法解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 类型二、整体加减法 【典例2】（25-26七年级上·广西玉林·月考）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】（20-21七年级下·浙江·期末）已知方程组，则的值为___________． 【变式2-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为___________； (2)利用轮换对称解法解方程组． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）仔细阅读下面解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组： 解：①-②，得，即．③ ①+②，得，即．④ ③+④，得．③－④，得， 所以原方程组的解为 请你仿照上面的解法解方程组： 【变式2-4】（19-20七年级下·湖北·期末）阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题． 解方程组时，如果考虑常规的消元法（即代入消元法和加减消元法），那将非常麻烦！若用下面的方法非常规的解法，则轻而易举 ，得，即 ，得 ，得 把代入（3）得，即 所以原方程组的解是 以上的解法的技巧是根据方程的特点构造了方程（3）．我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组 类型三、整体换元法 【典例3】（25-26七年级下·山东聊城·月考）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【变式3-1】（22-23七年级下·河南新乡·期中）已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值； (2)小华在求方程组的解时发现，若将（1）中求得的，代入化简整理之后求解，容易出错．如果把看成一个整体设为，把看成一个整体设为，通过换元便可得与类似的方程组，由于是二元一次方程组的解，于是即，解得． 请参考小华同学的方法，解方程组． 【变式3-2】（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可以化为解得 即【此种解方程组的方法叫做换元法】 (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【变式3-3】（2026八年级下·福建泉州·专题练习）阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为． (1)学以致用．运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升．已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m，n的方程组的解是________． (3)已知方程组的解是，求方程组的解（写出过程）． 类型四、均值换元法 【典例4】（2024七年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，学习完“代入消元法”和“加减消元法”解二元一次方程组后，聪明的小燕在解方程组时，采用了一种“平均值换元法”，解法如下： 由①可设，，即，， 代入②，得，解得． 所以，． 所以原方程组的解为． 请你模仿小燕的“平均值换元法”解方程组：． 类型五、主元法 【典例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【变式5-1】（25-26七年级下·四川遂宁·月考）已知方程组，则 ___________． 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，满足且，则为________． 类型六、分类讨论法 【典例6】（24-25九年级上·安徽淮南·月考）方程组的解共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式6-1】（25-26七年级下·浙江宁波·月考）实数x，y满足，则________． 【变式6-2】（24-25七年级下·湖南邵阳·月考）解方程组． 类型七、新定义的运算与方程组综合 【典例7】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为______． 【变式7-1】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有_________________． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 【变式7-2】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 类型八、新定义的方程 【典例8】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级下·浙江金华·月考）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【变式8-2】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”． (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 【变式8-3】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 1.（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）解方程组，求的值等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组则的值为________． 3.（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 4.（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 5.（22-23七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料．完成后面的任务： 新定义运算 新定义运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算，新定义运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，这是与四则运算中的加减乘除符号不一样的，新定义的算式中有括号的，要先算括号里的，但它在没有转化前，是不适合各种运算的．现在我们新定义一种运算：若，，则．如：，，则． 任务： (1)若，，则，求x的值． (2)已知，，则，且，，，求x，y的值． 6.（24-25七年级下·山西临汾·月考）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”______； (2)二元一次方程的解又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出、的值； 7.（23-24七年级下·河南许昌·期末）在解方程组时，发现，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．小亮同学经过思考采用了下面的解法，使运算变得比较简单，方法如下： ①②得，所以③， 得：，解得， 把代入③，得， 所以原方程组的解是． 请你模仿本题的解法解方程组． 8.（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 9.（2025·宁夏银川·二模）解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由，得；解法二：由②得 ③；把①代入③得． (1)上述两种解法的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 ； A．转化       B．分类讨论       C．演绎        D．数形结合 (2)上述两种解法是否正确？你的判定是 ；请直接写出此方程组的解 ； A．都正确     B．解法一错       C．解法二错    D．两种都错 (3)若，求k的取值范围． 10.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，原方程组可化为解得，即，解得； 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：； 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求y的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二元一次方程组特殊解法八类题型 典例详解 类型一、整体代入法 类型二、整体加减法 类型三、整体换元法 类型四、均值换元法 类型五、主元法 类型六、分类讨论法 类型七、新定义的运算与方程组综合 类型八、新定义的方程 压轴专练 类型一、整体代入法 【典例1】（25-26八年级上·四川成都·期中）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：③． 把方程①代入③得：． 把代入①得， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题： (1)模仿小明的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解阅读材料中的“整体代换”的解法是解决问题的关键． （1）由阅读材料中的方法，将②恒等变形为③，再将方程①代入求出，进而得到即可得到答案； （2）由阅读材料中的方法，将①恒等变形为③，再将方程②代入得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 将②变形得：③， 把方程①代入③得：； 把代入①得， 原方程组的解为； （2）解：， 将①变形得：③， 把方程②代入③得：， 则． 【变式1-1】（18-19七年级下·广东汕头·期中）阅读理解： 小聪在解方程组时，发现方程组中①和②之间存在一定的关系，他发现了一种“整体代换”法，具体解法如下： 解：将方程②变形为： 即 把方程①代入方程③得：解得 把代入方程①得 ∴方程组的解是 （1）模仿小聪的解法，解方程组 （2）已知x，y满足方程组，解答： （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出y的值，即可确定出x的值； （2）方程组两方程变形后，利用加减消元法求出所求即可． 【详解】(1)由②得：3(3x−2y)+2y=19③， 把①代入③得：15+2y=19， 解得：y=2， 把y=2代入①得：x=3， 则方程组的解为 (2)（ⅰ）由①得：③， 由②得：④， ③+④×2得： ， 解得： （ⅱ）把代入④，得 解得： 【点睛】本题属于“整体代入法”解二元一次方程组类型的题目，解答本题需要理解“整体代入法”解二元一次方程组的方法； 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小敏还想到了一种新的解法： 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”．请你利用“整体代入消元法”解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 把看成一个整体代入①中求出，再将求出的代入②求出即可. 【详解】解：将方程组变形为 将②代入①，得，解得． 将代入②，得， 所以原方程组的解是 【变式1-3】（2025七年级下·全国·专题练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代入”法解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）将方程②变形，得，利用整体代入法进行求解即可； （2）利用加减消元法，消去，整体思想，求出的值即可． 【详解】（1）解： 将方程②变形，得， 即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得， 方程组的解为 （2） ，得，即， ． 类型二、整体加减法 【典例2】（25-26七年级上·广西玉林·月考）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的消元法应用，熟练掌握通过方程组相减直接表示出的方法是解题的关键．先通过方程组消元，用表示出，再结合列方程求解． 【详解】解： 用得，整理得， ∵ ， ∴ ， 解得， 故选：． 【变式2-1】（20-21七年级下·浙江·期末）已知方程组，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，由此即可得． 【详解】解：， 将两个方程相加得：， 则， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为___________； (2)利用轮换对称解法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）根据例题过程，利用加减消元法求解即可； （2）仿照例题方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 得：， 解得：， 将代入③得：， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）， ，得，即③，                 ，得④，                     ，得，解得，                     把代入③，得，                     ． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）仔细阅读下面解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组： 解：①-②，得，即．③ ①+②，得，即．④ ③+④，得．③－④，得， 所以原方程组的解为 请你仿照上面的解法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，熟练掌握消元法是关键． 先把两式相加得出的值，再把两式相减得出的值，再用加减消元法求出的值即可； 【详解】解：①+②，得，即．③ ①-②，得， 即．④ ，得．，得， 所以原方程组的解为 【变式2-4】（19-20七年级下·湖北·期末）阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题． 解方程组时，如果考虑常规的消元法（即代入消元法和加减消元法），那将非常麻烦！若用下面的方法非常规的解法，则轻而易举 ，得，即 ，得 ，得 把代入（3）得，即 所以原方程组的解是 以上的解法的技巧是根据方程的特点构造了方程（3）．我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组 【答案】 【分析】②−①得出6x＋6y＝6，求出x＋y＝1③，①−③×7求出y＝2，把y＝2代入③求出x即可． 【详解】解： ②−①得：6x＋6y＝6，即：x＋y＝1③， ①−③×7得：4y＝8，解得：y＝2， 把y＝2代入③得：x＝−1， 所以原方程组的解为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组的应用，能根据方程组的特点选择简单的方法解方程组是解此题的关键． 类型三、整体换元法 【典例3】（25-26七年级下·山东聊城·月考）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：设， 则原方程组可化为， ， 解得：； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解得：， ， 解得． 【变式3-1】（22-23七年级下·河南新乡·期中）已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值； (2)小华在求方程组的解时发现，若将（1）中求得的，代入化简整理之后求解，容易出错．如果把看成一个整体设为，把看成一个整体设为，通过换元便可得与类似的方程组，由于是二元一次方程组的解，于是即，解得． 请参考小华同学的方法，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程组解的定义，代入求解即可； （2）借助所学的换元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程组得， 解得； （2）解：设，， 则原方程组可整理为， 解得， 即， 解得． 【变式3-2】（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可以化为解得 即【此种解方程组的方法叫做换元法】 (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干方法，利用换元法解方程组即可； （2）根据题意易得方程组的解满足，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，原方程组可化为， 解得，即， ∴； （2）解：∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足， 解得. 【变式3-3】（2026八年级下·福建泉州·专题练习）阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为． (1)学以致用．运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升．已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m，n的方程组的解是________． (3)已知方程组的解是，求方程组的解（写出过程）． 【答案】(1)原方程组的解为 (2)关于m，n的方程组的解为 (3) 【详解】（1）解：， 设， ∴， 得，， 整理得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 解得，， ∴原方程组的解为； （2）解：关于x，y的方程组的解为， ∴， ∴， 解得，， ∴关于m，n的方程组的解为； （3）解：∵方程组的解是， ∴， ∴， 由可知， 解得，． 类型四、均值换元法 【典例4】（2024七年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，学习完“代入消元法”和“加减消元法”解二元一次方程组后，聪明的小燕在解方程组时，采用了一种“平均值换元法”，解法如下： 由①可设，，即，， 代入②，得，解得． 所以，． 所以原方程组的解为． 请你模仿小燕的“平均值换元法”解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组及解一元一次方程，结合已知条件设得，是解题的关键．由题意设，，然后利用含的代数式分别表示出，，再将其代入第二个方程中求得的值，最后将其代入表示，的含的代数式中即可求得答案． 【详解】解：， 由①可设，， 则，， 将其代入②得：， 解得：， 则，， 故原方程组的解为． 类型五、主元法 【典例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 【变式5-1】（25-26七年级下·四川遂宁·月考）已知方程组，则 ___________． 【答案】 【分析】利用加减消元法表示出，，即可解答； 【详解】解：， 得③， 得，化简得， 把代入①式，得，解得， ∴， 即． 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，满足且，则为________． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，把当作常数，解关于、的方程组，求出、的值，再求出比值即可． 【详解】解：， 由①得，③， 将③代入②，得， 整理得，， 将代入③，， ， ， 故答案为：． 类型六、分类讨论法 【典例6】（24-25九年级上·安徽淮南·月考）方程组的解共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】通过代入第一个方程 ，并结合第二个方程 ，根据 和 的符号分四种情况讨论，解方程组并验证解是否满足条件． 本题考查了绝对值，不等式解集，分类思想，解方程组，熟练掌握解不等式，绝对值，解方程组是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程组为 ， ∴ 由第一式得 ， ∴， ∴或 当即时，或 解得或，符合题意， 故方程组的解为或； 当即时，或 解得或，（都不符合题意，舍去） 当，无解； 当即时，或 解得（舍去）或； 故方程组的解为； 故方程组的解为或； 故选：B． 【变式6-1】（25-26七年级下·浙江宁波·月考）实数x，y满足，则________． 【答案】或 【分析】设，，原方程组转化为：，进而得出，分类讨论，即可求解． 【详解】设，，原方程组转化为： 将第一个方程乘2得， 用第二个方程减该式得， 代入得，即： 当时，，即或， 解得或 ∴或 当时，，即或， 解得或 ∴或 综上，的值为或． 【变式6-2】（24-25七年级下·湖南邵阳·月考）解方程组． 【答案】原方程组的解是，，，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用了换元法，题目比较复杂，有一定的难度，注意：方程组有四组解． 设，，则方程组可化为，求出，把的值代入求出，代入得出，，求出，分为两种情况，当时，根据，求出，当时，，求出，即可得出方程组的四组解． 【详解】解：设，， 则方程组可化为， 得：， ， 把代入得：， ， 即，， 由得：， 分为两种情况： 第一种情况：当时，， ， ，； 第二种情况：当时，， ， ，， 综合上述，原方程组的解是，，，． 类型七、新定义的运算与方程组综合 【典例7】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为______． 【答案】或 【分析】此题考查了解二元一次方程组，实数的新定义运算，分类讨论与分别为非负数和负数四种情况考虑，方程组利用题中的新定义化简求出与的值，即可作出判断． 【详解】解：当，，即，时， 解得： 当，，即，时， 解得：， 当，，即，时， 解得： （舍去） 当，，即，时， 解得：（舍去） 综上所述，或. 故答案为：或． 【变式7-1】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有_________________． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 【答案】（1）（2）/（2）（1） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（1）正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故（2）正确； ∵， ∴， 当时，则不成立， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意有理数、都成立， ∴，故（4）错误； 故答案为：（1）（2）． 【变式7-2】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 类型八、新定义的方程 【典例8】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解，使用整体法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 故选：． 【变式8-1】（24-25七年级下·浙江金华·月考）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （2）根据共轭二元一次方程组的定义得到，，然后解方程组即可求解； （3）根据拓展的解法即可求解． 【详解】（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； （2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，， 解得，， 故答案为：； （3）解： 得 ， ， ，得 ， ，得 ， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 【变式8-2】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”． (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1)的值为； (2)的值为或． 【分析】（）先解方程与方程，然后根据“和方程”可得，进而问题可求解； （）设另一个方程的解为，由题意得，则或，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：， ， ； ， ， ， ， ∵关于的方程与方程是“和方程”， ∴， ， ， ， ∴的值为； （2）解：设另一个方程的解为， ∵“和方程”的两个方程解的差为， ∴， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． 【变式8-3】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义方程，涉及解一元一次方程及二元一次方程组等知识，理解“和谐方程”的定义是解决问题的关键． （1）先分别解出方程与方程，再由“和谐方程”定义得到求解即可确定答案； （2）设另一个方程的解为，由题意及“和谐方程”定义列方程组；求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 1.（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）解方程组，求的值等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，代数式求值，关键是通过整理把二元一次方程组转化为一元一次方程．将方程组整理为求解，即可解题． 【详解】解：， 由①②得， ， 故选：C． 2.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组则的值为________． 【答案】9 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解答的关键是结合方程的特点，看出可整体求出其值． 将方程组中的两个方程相加，即可直接求出的值. 【详解】解：给定方程组： 将两个方程相加，得：， 化简，得：， 两边同时除以，得：， 故答案为：． 3.（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 4.（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【分析】本题考查利用“整体思想”和“消元、转化”方法解三元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可； （2）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可． 【详解】（1）解： 得， ， 将原方程变形成 ， 将③代入④，得，， ． （2）解：， ①+②得： ， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得 ． 5.（22-23七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料．完成后面的任务： 新定义运算 新定义运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算，新定义运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，这是与四则运算中的加减乘除符号不一样的，新定义的算式中有括号的，要先算括号里的，但它在没有转化前，是不适合各种运算的．现在我们新定义一种运算：若，，则．如：，，则． 任务： (1)若，，则，求x的值． (2)已知，，则，且，，，求x，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义运算的法则将m、n模式化代入表达式，然后求解即可； （2）根据新定义运算的法则列出方程组，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义运算：若，，则． 若，，则， ∴． （2）解：根据新定义运算：若，，则． ∵，， ∴， ∵且，， ∴， 联立求解方程组， ∴． 【点睛】本题考查新定义下的代数式运算和方程、二元一次方程组的解法，正确理解新定义下的运算方式和掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 6.（24-25七年级下·山西临汾·月考）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”______； (2)二元一次方程的解又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出、的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了新定义、解二元一次方程组等知识点，理解“反对称二元一次方程”的定义成为解题的关键． （1）根据“反对称二元一次方程”的定义即可解答； （2）先根据“反对称二元一次方程”的定义求得二元一次方程的得反对称二元一次方程，得到二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：由“反对称二元一次方程”的定义可得：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为． 由题意可得： 故答案为：． （2）解：由“反对称二元一次方程”的定义可得：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 由题意可得：，解得：． 所以，． 7.（23-24七年级下·河南许昌·期末）在解方程组时，发现，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．小亮同学经过思考采用了下面的解法，使运算变得比较简单，方法如下： ①②得，所以③， 得：，解得， 把代入③，得， 所以原方程组的解是． 请你模仿本题的解法解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解． 【详解】解：得得：③ 得：， 解得： 把代入③得： 所以原方程组的解是． 8.（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】(1)具有友好关系．理由见解析 (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况，求参数的值： （1）用，得到，即可得出结论； （2）根据x与y具有“友好关系”，得到，结合组成新的方程组，求出的值，得到关于的二元一次方程，进而求出其正整数值即可． 【详解】（1）解：x与y具有“友好关系”，理由如下： 由方程组， 得， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2）解：∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴③ 联立， 解得， 把代入中得， 则a，b的正整数值为或． 9.（2025·宁夏银川·二模）解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由，得；解法二：由②得 ③；把①代入③得． (1)上述两种解法的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 ； A．转化       B．分类讨论       C．演绎        D．数形结合 (2)上述两种解法是否正确？你的判定是 ；请直接写出此方程组的解 ； A．都正确     B．解法一错       C．解法二错    D．两种都错 (3)若，求k的取值范围． 【答案】(1)A (2)B； (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握消元思想是解题的关键． （1）根据解二元一次方程组的转化思想即可解答； （2）根据解二元一次方程组的解题步骤作出判断即可； （3）将（2）中求出的方程组的解代入不等式，求关于k的不等式即可解答． 【详解】（1）解：此过程中体现的数学思想是转化思想． 故选：A （2）解：解法一：由，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 解法二：由②得 ③； 把①代入③得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 综上所述，上述两种解法中解法一错． 故答案为：B； （3）解：由（2）得， ∵， ∴， 解得． 10.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，原方程组可化为解得，即，解得； 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：； 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，掌握“换元法”，“整体代换”是关键． （1）根据题意，设，运用“换元法”求解即可； （2）把代入，结合所求方程组中相同字母的系数相同得到，由此即可求解； （3）根据题意变形，即，代入求解即可． 【详解】（1）解：设，则原方程组变形得， 解得，， ∴， 解得，； （2）解：关于，的方程组的解为， ∴， ∴， 解得，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 解得，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $