精品解析：山西晋中市平遥县第二中学校2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试题

平遥二中高二年级期中考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知事件A，B相互独立，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解. 【详解】因为事件A，B相互独立，所以， 所以， 故选：B. 2. 的值为（ ） A. 64 B. 63 C. 62 D. 61 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数公式进行求解即可. 【详解】， . 故选：B. 3. 现有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选一个参加，不同选法的种数是（ ） A. 24 B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】每位同学均有4种选法，根据分步乘法计数原理即可得出答案. 【详解】由题意可知每位同学均有4种选法，根据分步乘法计数原理可知， 不同选法的种数为. 故选：D. 4. 已知两个变量和之间具有线性相关关系.老师要求甲、乙两名同学在课下各自独立地通过试验求出其经验回归方程.甲同学做了15次试验，乙同学做了12次试验，求得经验回归直线分别为和，老师在审核两名同学的试验数据时发现：两人对变量的观测数据的平均值都是，对变量的观测数据的平均值都是.则下列说法正确的是（ ） A. 和必定重合 B. 与必定平行 C. 和一定有公共点 D. 与相交，但交点不一定是 【答案】C 【解析】 【分析】根据经验回归直线方程一定过样本中心点的性质来判断两条经验回归直线的位置关系. 【详解】已知甲同学做了15次试验，乙同学做了12次试验，两人对变量的观测数据的平均值都是，对变量的观测数据的平均值都是，所以甲、乙两组数据的样本中心点都是. 因为经验回归直线方程一定过样本中心点，那么甲求得的经验回归直线过样本中心点，乙求得的经验回归直线也过样本中心点. 所以和一定有公共点. 故选：C. 5. 下列说法正确的个数是（    ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已知随机变量X的分布列为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概率可判断①；根据二项分布的方差以及方差的性质即可判断②，根据正态分布的对称性可判断③，根据随机变量的分布列即可判④. 【详解】设至少有一名女生为事件 ，则，则，①错误； 因为随机变量，所以，，②正确； 根据正态分布的性质，，所以，，③正确； ，得， 可得，解得，所以，④正确； 综上，正确命题的个数为3. 故选：C. 6. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 7. 在不透明的盒子中有大小、质地均相同的5个球，其中有2个红球，3个白球，若每次随机不放回地从盒子里拿出一个球，直到把球拿完，则在第四次拿到的是白球的条件下，第二次拿到的是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设事件：第二次取红球，事件：第四次取白球，根据条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：第二次取红球，事件：第四次取白球， 则第四次抽到白球的概率， 再计算， 第一步，第二次拿到红球的概率为， 第二步，在第二次已经拿走一个红球的情况下，盒子还剩余3个白球，一个红球， 则此时第四次拿到白球的概率为， 所以第二次拿到红球且第四次拿到白球的概率， 由条件概率公式. 8. 甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第次由甲掷的概率为，则与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】据题意列出第次由甲掷的两种情况，根据互斥事件判断可得到答案. 【详解】第次由甲掷应该有两种情况： ①第次由甲掷，第次继续由甲掷，此时概率为； ②第次由乙掷，第次由甲掷，此时概率为． 由于这两种情况是互斥的， 因此与之间的关系式是，其中． 故选：C． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生4人，女生3人，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有21种不同的选法 B. 从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法 C. 将这7名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有360种 D. 7名学生排成一排，已知4名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有210种排法. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：可以看作从7个人中取2个人的排列；对于B：先从男生中选1个，再从女生中选1人，进而可得；对于C：利用捆绑法，先把女生看成一个整体，再与男生排列；对于D：先排列再把男生的顺序排除. 【详解】对于选项A：从7个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 对于选项B：从7个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有 种，故B正确； 对于选项C：排列3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与4个男生一起排列有种情况，共有 种情况，故C错误； 对于选项D：7名学生排成一排，共有种情况，已知4名男生已排好，则需要把男生的顺序排除，共有 种情况，故D正确. 10. 某种产品的价格x（单位：元/kg）与需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 12 11 9 7 6 根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（ ） A. 相关系数 B. 第一个样本点对应的残差为-0.2 C. D. 若该产品价格为35元/kg，则日需求量大约为4.2kg 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据相关数据的变化关系，即可判断相关系数，计算样本点中心，代入回归直线方程，求解，并根据残差公式，求解残差，并根据回归直线方程，进行预测. 【详解】由对应数据可知，增大，减小，所以相关系数 ，， 由，得，所以， 即， 所以相关系数，故A错误，C正确； 由回归直线方程，当时，， 所以第一个样本点对应的残差为，故B正确； 当时，，故D正确. 故选：BCD 11. 甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ） A. 若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B. 若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C. 若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D. 若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二项分布及相互独立事件的概率计算公式逐项求解判断A、B、C，由二项分布及条件概率计算公式求解判断D. 【详解】对于A：若采用3局2胜制，可将比赛看作赛满3局处理，甲获胜则需在3局获胜2局或3局都胜， 其概率为，A正确； 对于B：若采用5局3胜制，甲以获胜则需在第4局比赛中获胜，且在前3局比赛中获胜2局， 其概率为，B错误； 对于C：若，则在5局3胜制中将比赛看作赛满5局处理，则甲获胜的概率为 ， 在3局2胜制中将比赛看作赛满3局处理，甲获胜的概率为 ， ，C正确； 对于D：由事件表示“甲获胜”，设事件表示“比赛局数为4局”， 事件C表示“比赛局数为3局”，事件D表示“比赛局数为5局”， 则，， ，， 所以，， ，，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若随机变量且，则______. 【答案】0.34 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，先确定正态分布曲线的对称轴，再利用正态分布曲线的对称性求出. 【详解】已知随机变量，所以正态分布曲线关于直线对称.  因为正态分布曲线关于直线对称，所以. 已知，所以.  由于正态分布曲线关于直线对称，所以. 又因为，且， 所以.  故答案为：0.34. 13. 若，则__________ 【答案】7 【解析】 【分析】根据排列数和组合数运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得，解得. 故答案为：7. 14. 某校6名同学打算去山西旅游，现有平遥古城、五台山、省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为______. 【答案】540 【解析】 【分析】根据题意，分为三个景区安排的人数之比为或或，结合排列，组合数的计算公式即可求解. 【详解】若三个景区安排的人数之比为，则有 种安排方法； 若三个景区安排的人数之比为，则有 种安排方法； 若三个景区安排的人数之比为，则有 种安排方法； 故不同的安排方法种数是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选取3个数字，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的三位数? （2）能组成多少个没有重复数字的三位偶数? 【答案】（1）180 （2）105 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，任取3个数的排列数，去年百位数字是0的个数即可. （2）按个位数字是0和2，4，6之一分类求出三位偶数的个数即可. 【小问1详解】 从给定的7个数字中任取3个进行排列，有种方法，其中百位数字是0的有个， 所以没有重复数字的三位数个数是. 【小问2详解】 个位数字是0的三位数有个，个位数字是之一的三位数有个， 所以没有重复数字的三位偶数个数是. 16. 已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列. （1）求的值. （2）记，求被除的余数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出，可得出关于的方程，由题意得出，可解出的值； （2）由题意得出，结合二项展开式可求出除的余数. 【小问1详解】 的展开式的第项、第项和第项的二项式系数依次为、和， 由题意有，即，整理得， 因为，解得. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 所以能被整除 因此，被除的余数为. 17. 某模具厂新接一批新模型制作的订单，为给订购方回复出货时间，需确定制作该批模型所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下： 制作模型数（个） 10 20 30 40 50 花费时间（分钟） 64 69 75 82 90 （注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，参考数据：，）. （1）请根据以上数据，求关于的线性回归方程； （2）若要制作60个这样的模型，请根据（1）中所求的回归方程预测所花费的时间. 【答案】（1） （2）95.5分钟 【解析】 【分析】（1）计算平均值，再利用回归方程公式计算得到答案. （2）将代入回归方程计算得到答案. 【小问1详解】 由数据得，， 因为，，所以， ，所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 当时，（分钟）， 因此可以预测制作60个这种模型需要花费95.5分钟. 18. 为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 45 B社区 55 合计 25 （1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？ （2）现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）列联表见解析，居民满意度与所在社区无关. （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据列联表，计算值并根据其与的大小比较得出结论； （2）由题意，可分析得出变量服从超几何分布，按照其概率公式写出分布列，计算数学期望即得. 【小问1详解】 根据题目数据可完善列联表： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 15 45 B社区 45 10 55 合计 75 25 100 零假设为：居民满意度与所在社区不具有相关性. 根据列联表中的数据， 得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即认为居民满意度与所在社区无关. 【小问2详解】 已抽取的“不满意”的居民中，A社区有15人，B社区有10人， 所以随机变量的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 19. 甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响． （1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列； （2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率． ①求，，； ②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中，，的值分别写出，关于的表达式． 【答案】（1）分布列见解析 （2）①，，；② 【解析】 【分析】（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列； （2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算， 由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得． 【小问1详解】 记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，则相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，0，1， ， ， ， ∴的分布列为 0 1 【小问2详解】①由（1）知， 同理，经过2轮投球，甲的得分的可能取值为，，0，1，2． 记，，，则，， ，，． 由此得甲的得分的分布列为 0 1 2 ∴． ②∵，， ∴即∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平遥二中高二年级期中考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知事件A，B相互独立，，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. 64 B. 63 C. 62 D. 61 3. 现有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选一个参加，不同选法的种数是（ ） A. 24 B. 12 C. D. 4. 已知两个变量和之间具有线性相关关系.老师要求甲、乙两名同学在课下各自独立地通过试验求出其经验回归方程.甲同学做了15次试验，乙同学做了12次试验，求得经验回归直线分别为和，老师在审核两名同学的试验数据时发现：两人对变量的观测数据的平均值都是，对变量的观测数据的平均值都是.则下列说法正确的是（ ） A. 和必定重合 B. 与必定平行 C. 和一定有公共点 D. 与相交，但交点不一定是 5. 下列说法正确的个数是（    ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已知随机变量X的分布列为，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 7. 在不透明的盒子中有大小、质地均相同的5个球，其中有2个红球，3个白球，若每次随机不放回地从盒子里拿出一个球，直到把球拿完，则在第四次拿到的是白球的条件下，第二次拿到的是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第次由甲掷的概率为，则与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生4人，女生3人，则下列说法正确的是（ ） A. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有21种不同的选法 B. 从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法 C. 将这7名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有360种 D. 7名学生排成一排，已知4名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有210种排法. 10. 某种产品的价格x（单位：元/kg）与需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 12 11 9 7 6 根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（ ） A. 相关系数 B. 第一个样本点对应的残差为-0.2 C. D. 若该产品价格为35元/kg，则日需求量大约为4.2kg 11. 甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ） A. 若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为 B. 若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为 C. 若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大 D. 若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若随机变量且，则______. 13. 若，则__________ 14. 某校6名同学打算去山西旅游，现有平遥古城、五台山、省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选取3个数字，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的三位数? （2）能组成多少个没有重复数字的三位偶数? 16. 已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列. （1）求的值. （2）记，求被除的余数. 17. 某模具厂新接一批新模型制作的订单，为给订购方回复出货时间，需确定制作该批模型所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下： 制作模型数（个） 10 20 30 40 50 花费时间（分钟） 64 69 75 82 90 （注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，参考数据：，）. （1）请根据以上数据，求关于的线性回归方程； （2）若要制作60个这样的模型，请根据（1）中所求的回归方程预测所花费的时间. 18. 为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 45 B社区 55 合计 25 （1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？ （2）现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 19. 甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响． （1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列； （2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率． ①求，，； ②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中，，的值分别写出，关于的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $