精品解析：山西太原市第五中学校2025-2026学年高二下学期期中质量评估数学试题

2025~2026学年（下）高二中期质量评估 数 学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】，∴，∴， ∴． 2. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 4 C. 1 或 3 D. 3 或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的性质计算可得. 【详解】因为，所以或， 解得或，经检验符合题意. 故选：C 3. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，， 当时，，不满足上式，所以 4. 已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意，得. 所以对应，共个取值， 则，即，解得. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而排除A、C，再根据时函数值的特征排除B. 【详解】由题意得，函数的定义域为，， 所以当或时，当或时， 所以在和上单调递增，在和上单调递减，故排除A、C； 当时，，所以，故排除B. 故选：D. 6. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是公差为的等差数列 B. 数列是公差为2的等差数列 C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公比为2的等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推关系式，化简变形可得即可判断数列是公比为的等比数列. 【详解】∵， ∴， 既不是等比数列也不是等差数列； ∴， ∴数列是公比为的等比数列． 故选：C 7. 已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义得到切线方程为，设曲线的切点为，求导得，解出得到切点，再代入得到即可． 【详解】解：由题知，，，∴， ∴曲线在处的切线方程为，即． ∵，∴， 设直线与曲线的切点为， 则，得，∴， 又，∴． 8. 已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线和双曲线方程，根据题意可得直线、的斜率互为相反数，进而结合韦达定理建立关于的方程并求解，再根据双曲线离心率公式求解. 【详解】设，，由 整理得， 则，且， ，. 因为的角平分线与轴始终垂直，所以，恒有， 即，所以， 则， 整理得， 则， 所以， 又，所以， 因此双曲线的离心率为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球1次的得分均值为0.7 D. 若随机变量X的数学期望，则. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，若相互独立，则不互斥，若互斥，则不相互独立，故A正确； 对于B，数据2，3，4，5，6共5个数，第60百分位数是第3个数和第4个数的平均数，是，故B错误； 对于C，在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，依据两点分布可得，故C正确； 对于D，由得，D错误. 10. 已知m，n为正整数，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据阶乘和排列数运算公式，进行推理和判断选项中的运算是否正确即可. 【详解】，故A错误；，，则，故B错误；，故C正确；，故D正确. 故选：CD. 11. 某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C. 数列是等比数列 D. 数列的前n项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可得，直接求出即可判断A；利用条件概率求出即可判断B；对于C，利用构造法即可判断C；对于D，结合C的结论即可得到，再利用等比数列前项和公式求解即可． 【详解】由已知得第次分类正确的概率为 对于A，，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，由，得， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 则不是等比数列，C错误； 对于D，由C项知，，， 所以数列的前n项和为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】，又，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即 13. 某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为__________. 【答案】28 【解析】 【详解】若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口. ①两个路口为人分配，共有种安排方案. ②两个路口为人分配，共有种安排方案，此时共有种安排方案. 同理若小王在乙路口，小李在甲路口，也共有种安排方案. 所以共有种不同的安排方案. 14. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______． 【答案】2025 【解析】 【分析】由新定义确定的对称中心，即可求解. 【详解】解：因为，所以，， 令，得，又， 所以的对称中心是，所以， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由第2项与第3项的二项式系数之比是，可列出关于的方程再求解； （2）结合展开式的通项公式，得出指数的表达式，令其为零即可求解； （3）由结合数列的最值列出的不等式组，解得的范围即可. 【小问1详解】 依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， 所以，即，则，或（舍去）； 【小问2详解】 展开式的通项为（，）， 令，解得，所以，所以常数项为第5项60. 【小问3详解】 系数的绝对值为 ，则 所以，即，，所以， 因此，系数绝对值最大的项是. 16. 甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． （1）求甲、乙面试都合格的概率； （2）记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）先利用组合数公式分别求出甲、乙面试合格的概率，再根据事件的独立性，通过两概率相乘计算出甲乙都合格的概率； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再针对每个取值，用组合数公式计算出对应概率，最后整理得到分布列. 【小问1详解】 设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格， 由题知，A，B相互独立，， ∵，， ∴， ∴甲、乙面试都合格的概率为． 【小问2详解】 由题知，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P 17. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，函数有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导并求得导函数的零点，比较两根大小对参数a的取值进行分类讨论，即可得出结论； （2）得出函数在上的单调性求出其最小值，再由零点个数求得a的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 易知， 令，解得. 当时，. 的单调递增区间为和，的单调递减区间为； 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，， 的单调递增区间为和，的单调递减区间为 【小问2详解】 . 当时，，则在上单调递增， ，即，函数在上没有零点. 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 因此要使得在上有两个零点，只需， ，解得. 综上，a的取值范围为. 18. 如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. （1）证明：平面. （2）若存在点，使得点到，，，的距离相等. （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）利用直线方向向量和平面法向量垂直证明线面平行即可； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，结合方向向量和法向量以及点到平面的距离公式计算距离； （ⅱ）利用空间中线段最短的性质，确定位于线段，再分别求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式计算二面角的余弦值. 【小问1详解】 证明：在矩形中，因为∥，， 所以四边形为正方形， 则，，即，又， 所以平面，则是平面的一个法向量， 同理证得平面，又平面， 所以，即， 又平面，所以∥平面. 【小问2详解】 连接，，由（1）知，∥，且平面， 所以平面，则， 因为平面平面，且，平面平面， 所以平面，又平面，则， 在，中，当为的中点时，点到，，，的距离相等. （ⅰ）由上知，，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，. 设平面的法向量为， ，令，则 所以点到平面的距离为. （ⅱ）由可知，点在以为球心，以为半径的球的球面上， 当，，共线，且位于线段上时，取得最小值. 由坐标系可知，， ，所以， 则，又， 设平面的法向量为， ，令，则， 由（1）知是平面的一个法向量，记为， 于是，故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知函数，其中. （1）当时，判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）若函数在定义域内存在极值点，求实数的取值范围； （3）若有两个不同的零点，，证明：. 【答案】（1）在上单调递增，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入参数值简化函数形式，利用导数作为判断单调性的工具，在导函数中，结合指数函数和反比例函数在定义域内的取值范围，判断其恒正，从而得出函数单调递增的结论； （2）函数存在极值点的条件转化为其导函数存在变号零点的问题，通过分离参数构造新函数，利用导数研究该函数的单调性与值域，从而确定参数取值范围，使方程有解； （3）利用零点等式将指数函数表达式转化为代数形式，并将待证不等式转化为关于零点的乘积不等式，通过对零点取值范围的分类讨论，结合指数函数的基本不等式及参数范围，分别证明各因式大于对应变量，最后通过不等式相乘完成证明. 【小问1详解】 由题意知，当时，函数的定义域为， 求导得.当时，，且，因此恒成立， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 由题意知，函数的定义域为，求导得， 函数在定义域内存在极值点，则其导函数定义域内存在变号零点， 即，所以， 设，则， 当时，，且，所以，即在上单调递增， 又，当时，，因此当时，方程有唯一解， 即存在唯一的极值点；当时，方程无解，无极值点， 故实数a的取值范围为. 【小问3详解】 设，则， 则 即 两式相乘得： 要证，即证： 由题意，函数有两个不同零点， ①若，则，求导得， 当时，，在上单调递增； 又，故恒成立，无零点，与题设矛盾， ②若，令， 则 当时，， ，故恒成立， 在上严格单调递增，至多有一个零点，与题设矛盾， 综上，函数有两个不同零点时，必有，且，. 现证，假设： 若，则，代入得，矛盾， 首先证明不等式，，设， 则，则在上单调递增， 则，则在上恒成立， 若，则，由， 及不等式 可得： 即 .因为，所以，与矛盾， 故，同理可得. 因为，，所以 ，，结合， 有： 两式相乘得： 即，原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年（下）高二中期质量评估 数 学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 4 C. 1 或 3 D. 3 或4 3. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是公差为的等差数列 B. 数列是公差为2的等差数列 C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公比为2的等比数列 7. 已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球1次的得分均值为0.7 D. 若随机变量X的数学期望，则. 10. 已知m，n为正整数，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C. 数列是等比数列 D. 数列的前n项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 13. 某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为__________. 14. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 16. 甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． （1）求甲、乙面试都合格的概率； （2）记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 17. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，函数有两个零点，求a的取值范围. 18. 如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. （1）证明：平面. （2）若存在点，使得点到，，，的距离相等. （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知函数，其中. （1）当时，判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）若函数在定义域内存在极值点，求实数的取值范围； （3）若有两个不同的零点，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $