河南开封市河南大学附属中学2026届高三下学期模拟预测（一）数学试题

姓 名 准考证号 绝密★启用前 高三数学（一） 注意事项： 1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考 证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上， 然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案 写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合M={x11x一1|<3}，N={0,1,3,5},则M∩N= A.{0,1} B.{0,3} C.{0,1,3} D.〈1,3,5}》 2.若之（2十)=3十4i,则z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在△ABC中，AC⊥BC,BC=√3，点D满足BD=2DC,则AD.BC= A.1 B.√3 C.-1 D.-3 4.在数列(a,)中，a1=,且a2=2a-1十1，a2+1=2a2,则a0= 1 1 A.2 9 79 B.21 C.2 D.40 5.已知a>0,且a1,若函数f(x)=3-ax+1,xC1, a',x≥1 的值域为R,则a 的取值范围是 A(合) B.（1,2] C.[2,3) D.(3,十o) 数学试题（一）第1页（共6页） 6.已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，有 两种取球方式：①不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个 球，设第二次取到2个红球的概率为1；②一次性任取2个球，设取到2个 红球的概率为p2,则 A.力1=p2 B.饣1>p2 C.p1<卫2 D.p1+2=1 7.已知角a的终边上有一点(cos0一sin0,cos0+sin0),则tan(a一0)= A.1-√2 B.2-3 C.1 D.2 8.已知直线l:y=一 x十：>0)与椭圆C:号+y-1交于A,B两点，点 1 M(一3,0)，若△ABM的外接圆圆心在x轴上，则该圆圆心的坐标为 A.(3) C.(1,0) D.() 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，则 A.AC1∥平面MBD B.A1C⊥平面MBD C.平面AB,D1∥平面MBD D.平面A,BD⊥平面MBD 已知m>n>0,若关于x的方程x2-(m十2)x士号m=0有两个不相 实数根x1,x2,且x1<x2,则下列说法正确的是 A.>4 B.若x1十x2=1,则是十上的最小值为4 C.关于z的不等式mx-(m十2m)z十1<0的解集为x<x<》 D.x=n是关于x的不等式x2-(m+2n)x+mn>0的-个解 数学试题（一）第2页（共6页） 11.已知直线l:xcos0+ysin0=2,点P(x,y),H0∈R,P在L,则 A.点P的集合是(x,y)|x2+y2<2) B.点P的集合是{(x,y)|x2+y2<4》 C.点P到直线x十y=3√2的距离的取值范围是(1,5) D.点P到直线x+√3y=2的距离的取值范围是(1,3) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的 排法种数为 .（用数字作答) 13.已知圆M:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0)与抛物线C:x2=2y恰有两个 公共点A,B,且AB为圆M的直径，则x的值为 14.已知正四棱锥P-ABCD的高为2，AD=2,Q为棱PC的中点，若点P,A, B,C,D均在球O的球面上，则平面QBD截球O所得截面圆的面 积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(13分) 如图，在△ABC中，AB=12,AC=5,sinA(sinB一cosC)=cosA(sinC+cosB). (1)求A; (2)设BC边上有两点D,E,∠BAD=∠CAE,且2AD=3AE,求tan∠BAD. 数学试题（一）第3页（共6页） 16.(15分) 如图，在三棱台ABCA1B1C,中，△ABC为等边三角形，AB=2AA1= 2A,B1=2,BC1=2,且AA1⊥AB. (1)证明：AA1⊥平面ABC; (2)求平面BB,C与平面AB,C夹角的余弦值. C 的 17.(15分) 已知双自线C是器-1a>0,6>0)的右焦点为F(20),斜率为安的 直线l交C于A,B两点，且AB的中点为M(m,2m)(m≠0). (1)求C的方程； (2)是否存在实数m,使∠AFB=90°？若存在，求出m的值；若不存在，说 明理由 数学试题（一）第4页（共6页） 18.(17分) 已知函数f(x)=l血x十口的最大值为1. (1)求a; (2)若∫(x1)=f(x),且x>2x1,证明：x1十x2>6 数学试题（一）第5页（共6页） 19.(17分) 已知n∈N”,且n≥2，集合M=(x1,x2,…,xn)x1∈(0,1}，i=1,2,…,n}.对 于M中的任意两个不同的元素(a1,a2,…,an),(b1,b2,…,bn),定义X=|a1一 811+la2-621+.+lan-8n1. (1)当n=3时， (1)求M的元素个数； (ⅱ)求随机变量X的分布列及数学期望； (2)证明：E(X)>受 数学试题（一）第6页（共6页）·数学· ·河南专版· 叁考含亲及解析 高三数学（一） 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D C B B A C D AD ACD BC 一、选择题 a +y2=1, 1.C【解析】因为M=(-2,4),N={0,1,3, 9 8.D【解析】 由 得2x2-6tx+ 5},所以M∩N={0,1,3. 3x+t, 2D【解折】由题意得：-有-合9 9t2-9=0 ①，则△=36t2一8(9t2一9)= 2+i,则之=2一i,故在复平面内对应的点 72-36t2>0,解得-√2<t<√2.又t>0,所以 为M(2,一1)，位于第四象限。 0<t<√2.设圆心的坐标为(m,0),则△ABM 3.C【解析】AD·BC=(AC+CD)·BC= 的外接圆的方程为红一加)°+y-(m十号)月 (AC-BC)BC-AC BC-IBC:-0- +y-1,得y-1-号，代入圆的方程整 的之 g×5=-1 理得8x22nx十9一，3n一0即2x2 4.B【解析】由题意得a2=2a1十1=2，因为 9 3 ax:-2axu+1-2Xjax+1-a+1. 2m.x+2- 2m=0 ②.由①与②同解，得 9 44 以{a2m}是首项为2，公差为1的等差数列，则 64- 2n, 27 a0=2+19×1=21. 解得 3或 (舍 3 5.B【解析】当0<a<1时，不符合题意；当a≥ 9t2-9=2 2m, 9 1时，需满足3-a>0,且3-a十1≥a,所以 1<a≤2，故a的取值范围为(1,2]. 去)，所以该圆圆心的坐标为（停，0） 《A【标】图为-号是音× C号5 二、选择题 181 9.AD【解析】对于A,如图，连接AC,交BD于 :8-高断以= 点O,连接MO,则O为AC的中点.因为M为 CC1的中点，所以AC1∥MO.又AC1寸平 7.C【解析】由题意得cos0-sin0=√2cos0十 面MBD,MOC平面MBD,所以AC1∥平 面MBD,故A正确；对于B,假设A1C⊥平 不）cos0+sin0=2sim(0+）,则由三角函 面MBD,则A,C⊥BM.而AB1⊥平面 BCC1B1,BMC平面BCC1B1,所以A,B1⊥ 数的定义可知。=0+不+2k元，k∈Z,所以 BM.又A1C∩A1B1=A1,A1C,A1B1C平面 A1B1CD,所以BM⊥平面A1B1CD.又B1CC tan(a-0)-tan(+2)=1. 平面A1B1CD,所以BM⊥B1C,则假设不成 ·数学· 参考答案及解析 立，故B错误；对于C,假设平面AB1D1∥平11.BC【解析】因为原点O到直线l的距离d= 面MBD,又平面AB1D1∥平面BC1D,所以 2 2,所以直线1与圆M:x2+ 平面BC1D∥平面MBD,这产生矛盾，故C错 √/cos0+sin0 误；对于D,连接A1O,易证A1O⊥平面 y2=4相切.又H0∈R,P庄I,所以点P(x, MBD,则平面A1BD⊥平面MBD,故D正确. y)在圆M内，所以x2+y2<4,故A错误， D B正确；因为原点O到直线x+y=3√2的距 离为 3√2 =3,所以点P(x,y)到直线 √/12+1日 x十y=3√2距离的取值范围是(1,5)，故C正 确；因为原点O到直线x十√3y=2的距离为 2 =1,所以点P(x,y)到直线x十 √J12+(5)2 10.ACD【解析】对于A,因为△=(m十2n)2 √3y=2距离的取值范围是[0,3)，故D错误. 9mn=(m-n)(m-4n)>0,且m-n>0,所 三、填空题 以m-4n>0,即m>4,故A正确：对于B, 12.24【解析】第一步，先排丙、丁、戊3名同学， 将丙、丁2人捆绑视为一个整体，再与戊进行 1+1 排列，有A种排法，丙、丁2人有A种排法， 则共有AA=4种排法；第二步，将甲、乙2人 ≥4，当且仅当x1=x2时，等号成立.而x≠ 插入丙、丁，戊形成的3个空中，有A种排 x1+x2=m+2n, 法.根据分步乘法计数原理，得不同的排法种 x2,故B错误；对于C,由 9 得 数为4A=24. x1x2= 4n, 13.√6【解析】由题意知M(1,2)为AB的中点， 不等式可化为x1x2x2-(x1十x2)x十1<0， 设A(x1y1),B(x2,y2),则x=2y1,x 即x(x-）(x-)<0.而x: 2y2,两式相减整理，得一y=1 -x=2(m1+x2) }mn>0,所以关于x的不等式》mnr2- 即kAB=xM=1,所以直线AB的方程为y一 m+2m)+1<0的解集为：是<x<} 2=x1.即y=x+1.由心=x+1, 得x2 x2=2y, 故C正确；对于D,当x=n时，x2一(m十 2x-2=0,则x1十x2=2,x1x2=一2，所以 2n)x+ 9 |AB|=√1+1|x1-x2=√2X2V3=2W6, 122—22—222222十1272—目 则r=√6 4mn>-n2+5n ·”-寻2>0.所14.1督【解析】设球0的半径为R,则(2 1 -n2+ 以x=n是不等式x2-(m十2m)x+9, R)+(2)=R,解得R=2如图连接AC, 0的一个解，故D正确. 交BD于点H,连接PH,HQ.在Rt△PHC中， ·2。 ·数学· ·河南专版· Q为PC的中点，则HQ-PC- 2设点C (2)设∠BAD=0, AD 在△ADE中，由正弦定理，得 到平面QBD的距离为h,因为点Q到平面 in∠AED= AE AD AE BCD的距离为1.S△sD2×22X sin∠ADE,即 sin(0+C)sin(0+B)' 又2AD=3AE, 1 V5,SAn=2X2X2=2,所以V=酸Con= 所以3sin(0+B)=2sin(0+C). (9分) 吉5aomh=5mX1,解得么 1 2V3 3 因为 由(1)及已知得sinB=cosC=5 13'cos B= 点O,P,C到平面QBD的距离之比为1： sin C=12 3 (10分) ,所以点O到平面QBD的距离为 所以3（n+os）=2(8s9+ 5 √ .设所求截面圆的半径为r,则r2=R2一 1 6 13cos 0, (停-故面圆面积为1 6 解得tan0= 26 即tan∠BAD= 9 26 (13分) Q 16.(1)证明：如图，取AC的中点为O,连接 CO,BO. D O --8 因为A1C1=AO,且A1C1∥AO, H 所以四边形AA1C1O为平行四边形， 所以C1O∥AA1,C1O=AA1=1. (2分) 四、解答题 由AB=2,O为AC的中点，得BO=√3 15.解：(1)因为sin Asin B-sin Acos C= 又BC1=2,所以C1O2+BO2=BC, cos Asin C+cos Acos B, 所以C1O⊥BO,即AA1⊥BO (4分) 所以-sin(A+C)=cos(A+B), 又AA1⊥AB,BO∩AB=B,BO,ABC平 即sinB=cosC=sin(-C）: (3分) 面ABC, 所以AA1⊥平面ABC. (6分) 故B-受-C或B+-C=元 A 若B=受-C,则A=受： B 若B一C=2,因为AC<AB,所以B不是钝 A 角，该情形不成立， 故A= (6分) B ·3· ·数学· 参考答案及解析 (2)解：由(1)可知，OA,OB,OC1两两垂直. (2)设直线AB的方程为y=2x十， 1 如图，以O为坐标原点，OA,OB,OC的方 向分别为x轴、y轴、之轴的正方向，建立空 x2-y2=2, 由 间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,√3,0)， 1 2-x-2-2=0. 得3 y 2x十t c-100.B( (8分) 则4=2+4×至(22+2)=42+6≥0，耳 所以d-(-2.80)Ag-(号g小 -4t2-8 x1x2= 3 1十x2=、 (9分) 丽=（日）成=(1.0 假设存在m∈R,使∠AFB=90°，则FA·FB=0. 设平面AB1C的法向量为m=(x1,y1,之1)， 因为FA=(x1-2,y1),FB=(x2-2,y2),且 则m·A=0, -2x1=0, y1=2x1十t,y2=2x2十t, 即 1 m·AB1=0, 43 221+2y+1=0. 所以FA·FB=(x1-2)(x2-2)+y1y2= 令y1=2,得x1=0,之1=一√3，则m=(0, 5 x:+(台-2)x+x)++4=0. 2,-√3). (10分) 设平面BB,C的法向量为n=(x2,y2,之2)， 故.二-8+.5+2+4=0 4 3 23 n·BB1=0, 1 则 2y2十x2=0, 整理得一4十1=0，解得1= (13分) n·BC=0, -x2-3y2=0. 令y2=1,得x2=一√3，z2=3,则n=(-√5， 由2m-公十1，解得m= 6 13), (12分) 故存在m=日，枚∠AFB=90C (15分) m·n 1 所以|cos〈m,n〉 1 mn√7X√7 7 18.(1)解：由题意得f(x)的定义域为(0，十∞)， (14分) f'(x)=1-a-lnx (1分) 所以平面BB,C与平面AB,C夹角的余弦值 别 当0<x<e-“时，f'(x)>0,f(x)单调递增； (15分) 当x>e-“时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 17.解：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以x=e-“是f(x)的极大值点，也是最大 1'a2b2 值点， (3分) 两式相减得-y:.y十_ 故f(e)=1,即1二a十a=1,解得a=1. x1-x2x1十x2a2, el-a 即1.4n (5分) 12‘2m-a2 则a2=b2. (3分) (2)证明：由1)得fx)=血x+1则血x+ x 又a2十b2=4,所以a2=b2=2, In x2+1 故C的方程为x2一y2=2. (6分) ·4· ·数学· ·河南专版· 即nx?十1_-x2 19.(1)解：(i)对于元素(x1,x2,x3)的构成， In x1+1 z1 x1,x2,x3均有0,1两种可能的取值， 令X2=1,则t>2,且x2=x1, 所以M的元素个数为23=8. (3分) x1 (ⅱ)X的所有可能取值为1,2,3， 所以lnx2+1=t(lnx1+1), CX233 所以ln(tx1)+1=tlnx1+t, 则P(X=1)= A7 故lnx1-nt+1-4 t-1 (9分) P(X=2)= C号×233 A=7 所以ln(x1+x2)=ln(x1+tx1)=ln(1+t)+ Cg×231 In xi=In(1+1)+n1-t P(X=3)= A 7 (6分) t-1 所以X的分布列为 令A)=1n1+)+n1+1-'(>2). t-1 X 1 2 3 (11分) D 3 3 7 7 7 1、1 t 则'D生4--房 (7分) (13分) 故Ex)-1x号+2x+3X号 (10分) 令p()=t-1) 1+t +1-1-nt,t>1, (2)证明：由题意得P(X=)=CSX2C A6.2”-1' 则b'(t)= (t-1)(t+3) 1-t (1+t)2 (11分) (4-1)2(2+3t+1D>0, kC1 nA t(1+t)2 (15分) 所以kP(X=k)=2二12-1‘(k-1D川 所以p(t)在区间(1，十∞)上单调递增， 所以当t>2时，p(t)>p(2)>p(1)=0, 2"-1C%1, (13分) 即h'(t)>0, 所以空aP(X=)=2”C+C++ 则h(t)在区间(2，+∞)上单调递增， (16分) 6 所以h(t)>h(2)=ln (17分) 6 故x1十x>e 故E(X)>2 (17分) ·5·