精品解析：河南开封高级中学2026届高三学情调研数学试题（一）

河南开封高级中学2026届高三学情调研（一） 数学 注意事项： 1.答卷前、考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 随着电视剧《沉默的荣耀》的热播，剧中人物原型吴石将军的故居——位于福州市仓山区螺洲镇，其成为游客追寻先烈足迹、缅怀革命精神的热门“红色打卡地”.其中连续10日的游客人数依次为872，963，742，682，1322，1244，674，548，884，993，则这组数据的中位数为（ ） A. 872 B. 878 C. 884 D. 1283 2. 已知复数，为虚数单位，为z的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，，均为实数，且，，则（ ） A. 25 B. 16 C. 5 D. 4 5. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若点在双曲线的一条渐近线上，则（ ） A. 或 B. 3或9 C. 或3 D. 9或 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. 4 B. C. D. 7. 已知，，动点P满足，若直线上的两个点M，N满足，则面积的最大值为（ ） A. 18 B. 27 C. 36 D. 54 8. 已知函数，函数，若与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数和函数，则下列正确的有（ ） A. 与有相同的最小正周期 B. 与有相同的零点 C. 在区间上单调递增 D. 与的图象有相同的对称轴 10. 已知椭圆与双曲线的左、右两焦点，重合，则下列正确的有（ ） A. 当时，M的虚轴长为 B. 当时，C与M的离心率之积为 C. 当时，过作与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，则 D. 当时，若点P为C与M的其中一个交点，则的面积为 11. 已知正四棱台的体积为，，，则下列正确的有（ ） A. 此四棱台的侧面积为 B. 若M是的中点，则平面BDM截此四棱台所得截面的面积为 C. 若点P为平面截此四棱台所得截面上的动点，且，则P的轨迹长度为 D. 若点E为棱上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点作曲线图象的切线l，若直线l与直线垂直，则实数________. 13. 已知数列为正项等比数列，数列满足，若，，则________. 14. 甲箱中有7个除颜色外完全相同的球，其中有2个红球、2个蓝球、3个黄球；乙箱中有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球、2个黄球.现从两个箱子中同时各随机摸出1个球进行交换，则交换后甲箱中恰有3个黄球的概率为______；若交换后甲箱中黄球的个数为X，蓝球的个数为Y，设随机变量，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某游泳馆运营商发现，当日最高气温x（单位：摄氏度）与当日收入y（单位：百元）之间有如下的对应数据，由散点图知，当日最高气温x（单位：摄氏度）与当日收入y（单位：百元）呈线性相关. x（单位：摄氏度） 28 30 32 34 36 y（单位：百元） 22 34 50 60 74 （1）从表中给出的当日收入的5个数值中任取1个，求其高于当日收入平均值的概率； （2）由上面数据判断，当日最高气温每升高1摄氏度，当日收入大约增加多少元？ （3）气象台预报后天的最高气温为39摄氏度，则后天的收入大约为多少元？ 参考数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 16. 已知函数. （1）若数列，求数列的前n项和； （2）已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和. 17. 如图，在梯形中，，，，，于点，于点，将沿翻折，将沿翻折，使得点重合为点. （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥外接球的表面积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，此直线与抛物线交于P，Q两点，且. （1）求抛物线C的标准方程； （2）已知，，F是抛物线C的焦点，点P在第一象限，且在C上，若，求直线FP被C截得的弦长； （3）已知，过抛物线C的焦点F作直线l，l交C于A，B两点，记直线TA，TB的斜率分别为，，当时，求的面积. 19. 已知a为实数，函数，函数. （1）若在区间上单调递减，求a的取值范围； （2）求函数极值点的个数； （3）当时，证明：，，使. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南开封高级中学2026届高三学情调研（一） 数学 注意事项： 1.答卷前、考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 随着电视剧《沉默的荣耀》的热播，剧中人物原型吴石将军的故居——位于福州市仓山区螺洲镇，其成为游客追寻先烈足迹、缅怀革命精神的热门“红色打卡地”.其中连续10日的游客人数依次为872，963，742，682，1322，1244，674，548，884，993，则这组数据的中位数为（ ） A. 872 B. 878 C. 884 D. 1283 【答案】B 【解析】 【详解】将这10个数据从小到大排列，依次为548，674，682，742，872，884，963，993，1244，1322， 所以这组数据的中位数为. 2. 已知复数，为虚数单位，为z的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 所以. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】由可得，解得，故， 又因为，故. 4. 已知向量，，，，均为实数，且，，则（ ） A. 25 B. 16 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行列方程，求得，，根据向量坐标运算求得正确答案. 【详解】因为，，所以，，得，， 所以， 故. 5. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若点在双曲线的一条渐近线上，则（ ） A. 或 B. 3或9 C. 或3 D. 9或 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，求得其渐近线方程为，再由函数的性质和解析式，求得点，分别代入双曲线的渐近线方程，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其渐近线方程为， 因为函数是定义在上的偶函数，且当时，， 可得，即点， 当点在直线上时，可得，解得； 当点在直线上时，可得，解得. 所以实数的值为或. 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数商数关系整理，可得.根据正弦定理整理原式，再结合中和两角和的正弦公式化简求值即可. 【详解】由，可得，即. 根据正弦定理， ，且， 所以 . 7. 已知，，动点P满足，若直线上的两个点M，N满足，则面积的最大值为（ ） A. 18 B. 27 C. 36 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据可得，可知在以为圆心，半径为4的圆上，进而求出点到的距离的最大值，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】设，则， 由，得，整理得， 故在以为圆心，半径为4的圆上， 点到的距离， 故点到的距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 8. 已知函数，函数，若与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数、的解析式，数形结合可得出、的大小关系. 【详解】在上任意取点，点关于直线的对称点为， 因为点在上，故，得， 即，同理得， 在同一坐标系内画出与的图象如下： 得或或成立， 而不成立. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数和函数，则下列正确的有（ ） A. 与有相同的最小正周期 B. 与有相同的零点 C. 在区间上单调递增 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦函数和正切函数的图像性质即可求解. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，正弦函数加绝对值后，最小正周期变为原来的，所以的最小正周期为； 的最小正周期为，正切函数加绝对值后，最小正周期不变，所以的最小正周期为，故A正确； 对于B选项，令得，解得， 令得，解得，故B正确； 对于C选项，取，则，取，则，因为，，所以函数一定不是单调递增，故C错误； 对于D选项，函数的对称轴为，解得， 函数的对称轴为，解得，故D正确. 综上所述，选项ABD都正确. 10. 已知椭圆与双曲线的左、右两焦点，重合，则下列正确的有（ ） A. 当时，M的虚轴长为 B. 当时，C与M的离心率之积为 C. 当时，过作与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，则 D. 当时，若点P为C与M的其中一个交点，则的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得，对于AB：可知，进而可得的虚轴长以及椭圆和双曲线的离心率；对于CD：可知，进而可得椭圆通径，联立方程可得，即可得面积. 【详解】由题意可得，即得， 对于选项AB：当时，则，所以的虚轴长为，故A错误； 且椭圆的离心率为，双曲线的离心率为， 所以与的离心率之积为，故B正确； 对于选项CD：当时，则， 可得椭圆与双曲线：，且， 所以，，故C正确； 联立方程，消整理得， 所以的面积，故D错误. 11. 已知正四棱台的体积为，，，则下列正确的有（ ） A. 此四棱台的侧面积为 B. 若M是的中点，则平面BDM截此四棱台所得截面的面积为 C. 若点P为平面截此四棱台所得截面上的动点，且，则P的轨迹长度为 D. 若点E为棱上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A记上、下底面的中心分别为，，取的中点为，取的中点为，连接，，，，利用棱台的体积公式可求得，进而可得，进而求解判断；B取的中点，连接，的中点设为，连接，，，分析可得平面截此四棱台所得的截面为，进而求解判断；C先证明平面，进而可得点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，进而求解判断；D将侧面和沿棱展开，连接交于点，分析可得的长度即为的最小值，进而求解判断. 【详解】A，如图，记上、下底面的中心分别为，，取的中点为，取的中点为， 连接，，，， 则为梯形的高，因为该正四棱台的体积，得， 而，则， 所以梯形的面积为，此四棱台的侧面积为，故A正确； B，取的中点，连接，的中点设为，连接，，， 则，，所以， 所以平面截此四棱台所得的截面为， 因为，，， 所以梯形的面积为，故B错误； C，因为，，， 所以平面，且， 因为，，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，弧长，故C正确； D，由A知，则侧棱，所以， 如图，将侧面和沿棱展开，连接交于点，， 此时的长度即为的最小值，因为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点作曲线图象的切线l，若直线l与直线垂直，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得切线方程，再将代入即可得. 【详解】设切点为，对函数求导可得， 由直线与直线垂直， 故，解得，所以切点为， 切线方程为，即， 因为切线过点，代入有. 13. 已知数列为正项等比数列，数列满足，若，，则________. 【答案】20 【解析】 【详解】因为数列为正项等比数列，数列满足，则， 所以为定值，所以数列为等差数列， 由，故. 14. 甲箱中有7个除颜色外完全相同的球，其中有2个红球、2个蓝球、3个黄球；乙箱中有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球、2个黄球.现从两个箱子中同时各随机摸出1个球进行交换，则交换后甲箱中恰有3个黄球的概率为______；若交换后甲箱中黄球的个数为X，蓝球的个数为Y，设随机变量，则的值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：分两种情况：从甲箱摸出非黄球、乙箱摸出非黄球；从甲箱摸出黄球、乙箱摸出黄球，再利用古典概型概率公式计算；第二空：先分析的可能取值，计算每个取值的概率，再计算的值 【详解】①甲、乙两个箱子中各有一个球交换后，甲箱中恰有3个黄球有两种情况： 一种情况是甲、乙两个箱子中取出的均是黄球，此时概率； 另一种情况是甲箱中取出的是红球或蓝球，乙箱中取出的是红球，此时概率， 则甲箱中恰有3个黄球的概率为， ②由题知的取值可能为4，5，6， 当时，甲箱中取出的是蓝球或黄球，乙箱中取出的是红球，此时概率；当时，甲箱中取出的是红球，乙箱中取出的是红球， 或甲箱中取出的是黄球或蓝球，乙箱中取出的是黄球，此时概率； 当时，甲箱中取出的是红球，乙箱中取出的是黄球，此时概率， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某游泳馆运营商发现，当日最高气温x（单位：摄氏度）与当日收入y（单位：百元）之间有如下的对应数据，由散点图知，当日最高气温x（单位：摄氏度）与当日收入y（单位：百元）呈线性相关. x（单位：摄氏度） 28 30 32 34 36 y（单位：百元） 22 34 50 60 74 （1）从表中给出的当日收入的5个数值中任取1个，求其高于当日收入平均值的概率； （2）由上面数据判断，当日最高气温每升高1摄氏度，当日收入大约增加多少元？ （3）气象台预报后天的最高气温为39摄氏度，则后天的收入大约为多少元？ 参考数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1） （2）元 （3）元 【解析】 【分析】（1）先计算当日收入的平均值，再统计高于平均值的收入个数，最后用古典概型计算概率. （2）先计算、、和，再代入最小二乘公式求出，并将单位换算为元. （3）先根据求出截距，得到经验回归方程，再将代入方程计算并换算单位. 【小问1详解】 由题可知， 当日收入高于48的有50，60，74，共3个， 从当日收入的5个数值中任取1个，其高于当日收入平均值的概率为. 【小问2详解】 由题可知， ,， 百元元， 即当日最高气温每升高1摄氏度，当日收入大约增加650元. 【小问3详解】 ， 所以经验回归方程为， 当时，百元元. 16. 已知函数. （1）若数列，求数列的前n项和； （2）已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将数列拆分为等比数列和等差数列，分别求和后相加得到前项和. （2）先求函数在处的切线方程，令得到截距，再用错位相减法求的和，最后结合的和得到. 【小问1详解】 因为，所以 . 【小问2详解】 ， 直线的方程为， 令， 得， 所以， 令数列的前项和为，则 ， ， 两式相减得，故， 又数列的前项和为， 所以数列的前项和. 17. 如图，在梯形中，，，，，于点，于点，将沿翻折，将沿翻折，使得点重合为点. （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥外接球的表面积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在梯形中，于点，故翻折后，， 又因为平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过折叠性质，可得平面，再结合面面垂直的判定定理，即可证明； （2）根据几何体体特征，可得四棱锥外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，建立空间直角坐标系，设，由，得，进而可求外接球的表面积； （3）由（2）建立的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出平面与平面的法向量，再结合二面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在梯形中，因为，，，，于点，于点， 所以四边形为矩形，且，，，. 取的中点，连接，则，且， 因为平面，平面，故，所以，，两两垂直. 所以以为原点，过点与平行的直线为轴，以直线为轴，以直线为轴，建立空间直角坐标系如下图所示， 所以，，，，， 因为四边形为矩形，所以与的交点到，，，的距离相等， 所以四棱锥外接球的球心在过且与平面垂直的直线上， 设，外接球的半径为，由，得，解得， 所以，所以四棱锥外接球的表面积. 【小问3详解】 由（2）得，，， 设平面的法向量为， 则，则， 令，得一个法向量， 设平面的法向量为， 则，则， 令，得一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，此直线与抛物线交于P，Q两点，且. （1）求抛物线C的标准方程； （2）已知，，F是抛物线C的焦点，点P在第一象限，且在C上，若，求直线FP被C截得的弦长； （3）已知，过抛物线C的焦点F作直线l，l交C于A，B两点，记直线TA，TB的斜率分别为，，当时，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出椭圆右焦点的坐标，然后根据即可求解； （2）设点，根据求出点的坐标，然后求出直线的方程，与抛物线联立求出方程的两根，最后根据抛物线的定义即可求解； （3）设直线方程为，与联立，由两点斜率公式结合韦达定理可得到，，代入，求出，最后根据面积分割法即可求解. 【小问1详解】 椭圆中，，，所以，得.故右焦点为， 在抛物线中，令，得， 所以，得， 故抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 设点，因为，所以， 整理得. 因为，所以，所以或（舍去）. 因为在第一象限，所以点的坐标为. 因为，所以直线的斜率为， 故直线的方程为， 与联立整理得，解得两根分别为4和， 所以直线被截得的弦长为. 【小问3详解】 由题意知直线的斜率不为0，设其方程为， 与联立，整理得，则， 不妨设，，，则. 由，得，同理， 又，所以， 故，整理得，所以或4， 因为的面积， 由，得时，，故. 当时，，故， 故的面积为. 19. 已知a为实数，函数，函数. （1）若在区间上单调递减，求a的取值范围； （2）求函数极值点的个数； （3）当时，证明：，，使. 【答案】（1） （2）0 （3）证明：当时，函数， 令， 求导得，当时，； 当时，， 函数在上递增，在上递减，则， 即，当且仅当时等号成立； 令，求导得， 函数在上递增， 则当时，，即， 因此， 即， 由（2）得函数在上递减，， 即，， 所以，，使. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由在上恒成立求解； （2）求出函数的导数，再利用导数探讨的变号零点个数； （3）构造函数，利用导数证得，再利用不等式性质证得，由（2）的信息求出在上的最大值即可. 【小问1详解】 函数，求导得， 由在上单调递减，得，恒成立， 函数在上都递增，则函数在上递增， 则当时，取得最小值，因此， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 函数极值点的个数，即在区间上的变号零点的个数， 令，求导得，函数在上都递减， 则函数在上递减，而，， 于是存在，使，即，， 当时，；当时，， 函数在上递增，在上递减， 因此， 而当时，，即，则，函数无零点， 所以函数的极值点的个数为0； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $