第13章 立体几何初步 综合训练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第13章 立体几何初步 综合训练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2025苏州期末)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是(　　) A.若m∥α，n⊂α，则m∥n B.若m⊥n，m⊥α，则n∥α C.若α∥β，m⊂α，则m∥β D.若α⊥β，m⊥β，则m∥α 2 (2025苏州期末)如图，按斜二测画法所得水平放置的△OAB的直观图为△O′A′B′，若OA＝，OB＝3，则A′B′等于(　　) A. B. C. D. 3 (2025上海月考)已知点P不在△ABC所在平面上，过点P作平面α，使△ABC的三个顶点到平面α的距离相等，这样的平面α共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4 (2025常州月考)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，棱B1B与平面ABCD所成角的正弦值为，则该棱台的体积为(　　) A.40 B. 28 C. 56 D. 112 5 (2025台州期中)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为线段AD上靠近点A的三等分点，F为线段PC上的一点，当PA∥平面EBF时，等于(　　) A. B. C. D. 6 (2025阜阳期初)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱BC上靠近点B的一个四等分点，M是棱CC1上的动点，若平面D1MN与平面ABCD所成锐二面角的最小值为θ，则cos θ等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 7 (2025全国一卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则下列结论中正确的是(　　) A.AD⊥A1C B.BC⊥平面AA1D C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D 8 (2025徐州月考)如图1，在多边形ABPCD中，四边形ABCD为长方形，△BPC为正三角形，AB＝3，BC＝3，现以BC为折痕将△BPC折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好是AD的中点，如图2所示．若点E在线段PB上运动，点Q在AD上运动，则下列结论中正确的是(　　) 图1 图2 A.AB⊥平面PAD B.平面PCD⊥平面PAB C.点Q到平面EBC的距离为2　 D.当PE＝PB时，三棱锥E-DCP的体积为 三、填空题 9 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C-A′DD′，则棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为________． (第9题) (第10题) 10 (2024常州期末)如图，在半径为8的半圆形纸片中，O为圆心，AB为直径，C是弧AB的中点，D是弧AC的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线OA与CD所成角的余弦值是________． 11 (2024苏州期末)在直角三角形ABC中，已知CH为斜边AB上的高，AC＝2，BC＝2，现将△BCH沿着CH折起，使得点B到达点B′，且平面B′CH⊥平面ACH，则三棱锥B′-ACH的外接球的表面积为________． 四、解答题 12 (2025连云港期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，O为BD的中点． (1) 求证：A1C∥平面MBD； (2) 求点C到平面MBD的距离． 13 (2025镇江期末)如图1，在△PAB中，PA⊥AB，PA＝2，D，C分别是PA，PB的中点，现将△PDC沿DC逆时针翻折形成四棱锥P′-ABCD，如图2，且P′A＝，直线P′C与平面P′AD所成的角为45°. (1) 求证：平面P′AB⊥平面P′AD； (2) 求四棱锥P′-ABCD的体积； (3) 求二面角C-P′A-D的正切值． 图1 图2 参 考 答 案 1.C　对于A，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故A错误；对于B，若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故B错误；对于C，若α∥β，m⊂α，则m∥β，故C正确；对于D，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故D错误． 2.A　由斜二测画法，得O′A′＝OA＝，O′B′＝OB＝，∠A′O′B′＝45°.在△O′A′B′中，由余弦定理，得A′B′2＝O′A′2＋O′B′2－2O′A′·O′B′·cos 45°＝，所以A′B′＝. 3.D　若过点P的平面恰好过△ABC某两边的中点，此时满足△ABC的三个顶点到平面α的距离相等，则这样的平面有3个；若过点P的平面与△ABC所在的平面平行，此时满足△ABC的三个顶点到平面α的距离相等，则这样的平面只有1个，综上，符合条件的平面共有4个． 4.C　如图，设点E，F分别为上、下底面的中心，则EF即为正四棱台的高.取BF的中点G，连接B1G，则B1E＝GF＝BF，又B1E∥BF，所以四边形B1EFB为平行四边形，所以B1G∥EF，B1G＝EF.又在正四棱台中，AB＝2A1B1＝4，所以B1D1＝2，BD＝4，所以BG＝.设正四棱台的高为h，棱B1B与平面ABCD所成角为θ，则sin θ＝＝＝，解得h＝2.由上底面的面积为S1＝(2)2＝12，下底面的面积为S2＝(4)2＝48，所以正四棱台的体积V＝(S1＋S2＋)·h＝(12＋48＋)×2＝56. 5.B　如图，连接AC，交BE于点M，连接FM，因为PA∥平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FM，所以PA∥FM，所以△ACP∽△MCF.因为AE∥BC，所以∠AEM∽△CBM，AE∶BC＝AE∶AD＝1∶3，所以AM∶MC＝1∶3，即AM∶AC＝1∶4，所以PF∶PC＝1∶4. 6.C　如图，平面D1MN∩平面ABCD＝PN，过点D作DG⊥PN，垂足为G，连接D1G，则∠D1GD即为平面D1MN与平面ABCD所成的锐二面角的平面角，tan ∠D1GD＝，当DG最大时，∠D1GD最小，不妨设AB＝4.因为DG≤DN＝＝＝5，所以tan θ＝，所以cos θ＝. 7.BD　对于A，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.因为AD⊂平面ABC，所以AA1⊥AD.因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，所以AD⊥BC.若AD⊥A1C，则AD⊥平面A1BC，所以AD⊥A1D，不成立，故A错误；对于B，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，所以AD⊥BC.又AA1∩AD＝A，AA1⊂平面AA1D，AD⊂平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，故B正确；对于D，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1.又AA1⊂平面AA1D，CC1⊄平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确；对于C，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，假设AD∥A1B1，则AD∥AB，与AD∩AB＝A矛盾，所以AD∥A1B1不成立，故C错误．故选BD. 8.ABD　对于A，取AD的中点O，连接PO，由题意，得PO⊥平面ABCD，因为AB⊂平面ABCD，所以PO⊥AB.又四边形ABCD为长方形，所以AB⊥AD.又PO∩AD＝O，PO⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，故A正确；对于B，设平面PCD∩平面PAB＝l，因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD.因为AB⊂平面PAB，平面PCD∩平面PAB＝l，所以AB∥l.由A可知，AB⊥平面PAD，因为AP⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以AB⊥AP，AB⊥PD，则l⊥AP，l⊥PD，故∠APD为二面角A-l-D的平面角.因为BC＝3，△BPC为正三角形，所以BC＝BP＝CP＝3.因为AB＝3，所以在Rt△PAB中，AP＝＝＝3，同理DP＝3，则AP2＋DP2＝AD2，所以AP⊥PD，故平面PCD⊥平面PAB，故B正确；对于C，由A，B易得PO＝AD＝，设点Q到平面PBC的距离为d，由VP-QBC＝VQ-PBC，得S△QBC·PO＝S△PBC·d，即d＝＝＝，所以点Q到平面EBC的距离为，故C错误；对于D，因为PE＝PB，所以VE-DCP＝VB-DCP＝VP-DCB＝×S△DCB·PO＝××3×3×＝，故D正确．故选ABD. 9.1∶5　设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则长方体的体积为V1＝abc，S△A′DD′＝bc，所以棱锥的体积为V2＝S△A′DD′·CD＝abc，所以＝＝. 10.　如图，设圆锥的底面圆半径为r，则8π＝2πr，解得r＝4.因为D是弧AC的中点，AC是底面圆的直径，所以△ADC为等腰直角三角形，故DC＝AC＝×2r＝4.过点A作AM∥DC交底面圆于点M，则M为弧AC的中点，故AM＝AC＝×2r＝4.又OA＝OM＝8，所以cos ∠OAM＝＝＝，故异面直线OA与CD所成角的余弦值为. 11.13π　在直角三角形ABC中，AC＝2，BC＝2，则斜边AB＝4，A＝30°，CH为斜边AB上的高，则CH＝，AH＝3，HB＝1.因为平面B′CH⊥平面ACH，平面B′CH∩平面ACH＝CH，B′H⊥CH，B′H⊂平面B′CH，则B′H⊥平面ACH.又AH⊥CH，所以HA，HB′，HC两两垂直，HC＝，HA＝3，HB′＝1，则三棱锥B′-ACH的外接球半径R＝＝，所以三棱锥B′-ACH的外接球表面积为S＝4πR2＝13π. 12.(1) 连接MO，AC， 因为四边形ABCD为正方形，O为BD的中点， 所以AC过点O，且O为AC的中点． 在△A1AC中，O，M分别为AC，AA1的中点， 所以MO∥A1C， 又A1C⊄平面MBD，MO⊂平面MBD， 所以A1C∥平面MBD. (2) 因为AA1⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AA1⊥AD，AA1⊥AB， 又正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2， 所以MB＝MD＝＝＝. 因为BD＝＝＝2， 所以S△MBD＝×2×＝×2×＝，S△CBD＝×2×2＝2. 连接MC，设点C到平面MBD的距离为d， 因为VC-MBD＝VM-CBD， 所以S△MBD·d＝S△CBD·MA， 所以d＝2×1，所以d＝， 故点C到平面MBD的距离为. 13.(1) 因为D，C分别是PA，PB的中点，所以CD∥AB. 因为PA⊥AB，所以CD⊥AP， 所以CD⊥AD，CD⊥P′D. 又AD∩P′D＝D，AD⊂平面P′AD，P′D⊂平面P′AD， 所以CD⊥平面P′AD， 所以AB⊥平面P′AD. 又AB⊂平面P′AB，所以平面P′AB⊥平面P′AD. (2) 如图，过点P′作P′E⊥AD，垂足为E， 因为CD⊥平面P′AD，直线P′C与平面P′AD所成的角为45°， 所以∠CP′D＝45°，所以CD＝AD＝P′D＝， 所以AP′＝AD＝P′D＝，则AE＝DE＝， 所以P′E＝. 因为CD⊥平面P′AD，P′E⊂平面P′AD，所以CD⊥P′E. 又AD∩CD＝D，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以P′E⊥平面ABCD， 所以四棱锥P′-ABCD的体积V＝SABCD·P′E＝××(＋2)××＝. (3) 如图，连接AC，过点D作DF⊥AP′，垂足为F，连接CF， 由(2)知，△ADP′为等边三角形，则F为AP′的中点，DF＝. 在Rt△ADC中，AC＝＝. 在Rt△P′DC中，P′C＝＝，则AC＝PC′. 由F为AP′的中点，得CF⊥AP′. 又CF⊂平面ACP′，DF⊂平面ADP′，平面ACP′∩平面ADP′＝AP′， 所以二面角C-P′A-D的平面角为∠CFD. 因为CD⊥平面P′AD，DF⊂平面P′AD，所以CD⊥DF. 在Rt△CDF中，tan ∠CFD＝＝＝， 所以二面角C-P′A-D的正切值为. 学科网（北京）股份有限公司 $