精品解析：吉林长春市九台区师范高级中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷

九台师范高中2025-2026学年度高二第二学期期中考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 40种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【详解】第一步：从本不同的数学书中选本，有种不同的取法， 第二步：从本不同的物理书中选本，有种不同的取法。 根据分步乘法计数原理，从这些书中任取本数学书和本物理书的不同取法为． 2. 一个盒子里有6只好的晶体管、4只坏的晶体管，任取两次，每次取一只晶体管，每一次取后不放回，在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率计算公式即可求解. 【详解】设事件=“第一次取到好晶体管”，事件=“第二次取到好晶体管”，所求为， 由题意：，， . 即在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为. 3. 已知某质点的运动方程为，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据瞬时变化率的定义计算． 【详解】 ， 所以该质点在末的瞬时速度为. 故选：C. 4. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合得出，即可求得答案. 【详解】由得, 故由得, 所以, 故选：B 6. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，则； 令，则； ． 7. 已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，结合组合数公式，即可判断AB，，，再代入概率公式，判断C，代入超几何分布期望公式，判断D. 【详解】由题意可得，故A正确； ，，故B正确； ， ， 故，故C错误； 因为X，Y均符合超几何分布，所以，，故D正确. 8. 已知定义在上的函数，，若，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，求导确定单调性，即可求解 【详解】设 ，对求导得：， 因为  ，得 ，因此  是定义在R上的单调递减函数， 又 ，得 ，代入即得 . 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B正确； 对于C、D项，因为，，， 所以，，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 下列命题中，正确的命题的序号为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，且，则当时概率最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对B：根据方差公式可知方差恒不变；对C：根据正态分布的对称性即可求解；对D：根据二项分布概率的性质求解即可判断. 【详解】解：对A：因为随机变量服从二项分布，，， 所以，，解得，故选项A错误； 对B：根据方差公式，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故选项B正确； 对C：因为随机变量服从正态分布，由，可得，利用正态分布的对称性可得，故选项C正确； 对D：因为在10次射击中，击中目标的次数满足， 所以对应的概率， 当，时，， 令，解得， 因为时， 所以当时，概率最大，故选项D正确. 故选：BCD. 11. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，而与不一定相等，则与不一定相等，C不正确； 对于D，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】 【解析】 【详解】设，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 13. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是______． 【答案】0.87## 【解析】 【分析】由全概率公式计算． 【详解】记灯光合格中事件，灯泡来自甲厂为事件，灯泡来自乙厂为事件C， 由已知，，，， 所以． 故答案为：． 14. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为，已知，则等于_____________. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意确定服从二项分布，结合二项分布期望公式即可求解. 【详解】由题意摸得黑球的个数服从二项分布， 总球数为，单次摸球摸到黑球的概率 ​，摸球次数； 根据二项分布的期望公式， 代入已知得：  ， 解得. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数. （1），必须被选出； （2）至少有2名女生被选出； （3）让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）从以外的人中，任选个人，由此求得选法数. （2）先计算出从人任选人的方法数，然后减去至多有名女生被选出的方法数，由此求得选法数. （3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人进行安排，由此求得选法数. 【详解】（1）由于，必须被选出，再从以外的人中，任选个人，故选法数有种. （2）从人任选人的方法数有，选出的人中没有女生的方法数有，选出的人中有名女生的方法数有. 所以至少有2名女生被选出的选法数为. （3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人安排职务，故选法数为. 【点睛】本小题主要考查实际生活中的组合数、排列数的计算，属于基础题. 16. 在的展开式中，二项式系数的和为64. （1）求展开式中的含有项的系数； （2）展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）240 （2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和可得，据此可得二项式通项，即可得答案； （2）由（1）中二项式通项分析即可判断. 【小问1详解】 因二项式系数和为，则. 则展开式通项为， 令，则含项的系数为； 【小问2详解】 由（1）令，但由题设可得， 则不满足题设，即展开式中不存在常数项. 17. 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时． （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，然后求出相应的概率即可； （2）确定ξ的所有可能取值，计算相应的概率，得出分布列，进一步求解均值和方差即可． 【小问1详解】 两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， 甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝． 两人都付0元的概率为P1＝×＝， 两人都付40元的概率为P2＝×＝， 两人都付80元的概率为P3＝×＝， 则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝． 【小问2详解】 ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160， 则P(ξ＝0)＝×＝， P(ξ＝40)＝×＋×＝， P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝120)＝×＋×＝， P(ξ＝160)＝×＝． 所以ξ的分布列为 ξ 0 40 80 120 160 P E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80， D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝． 18. 坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率； (3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率． 【答案】(1);(2);(3). 【解析】 【分析】设第一次拿出绿皮鸭蛋为事件，第2次拿到绿皮鸭蛋为事件，则第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋为事件， （1）从5个鸭蛋不放回地依次拿出2个鸭蛋基本事件数为，，由古典概型可得结果； （2）求得，利用古典概型求解即可； （3）利用（1）、（2），根据条件概率公式可得结果. 【详解】设第一次拿出绿皮鸭蛋为事件，第2次拿到绿皮鸭蛋为事件， 则第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋为事件， （1）从5个鸭蛋不放回地依次拿出2个鸭蛋基本事件数为， ， （2）因为， 所以， （3）由（1）（2）可得，在第一次拿出绿皮鸭蛋的条件下， 第二次拿出绿皮鸭蛋的概率为. 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在区间上的最值； （3）证明：当时. 【答案】（1） （2）函数在区间的最小值为，最大值为. （3）证明过程见详解 【解析】 【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程； （2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可； （3）将不等式等价转化为在上恒成立.构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证. 【小问1详解】 由函数可得， 所以切线的斜率为，又因为， 所以切线方程为， 即. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以当时，函数取最小值， 又因为， 所以函数在区间的最小值为，最大值为. 【小问3详解】 当时可转化为， 也即在上恒成立. 令，则， 所以，因为，所以，则， 故在上单调递增，又因为， 所以在上恒成立，则函数在上恒成立， 所以，也即在上恒成立， 所以当时. 【点睛】利用导数证明不等式的常见形式是，一般可构造“左减右”的函数，即先将不等式移项，构造函数，转化为证不等式，进而转化为证明，因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九台师范高中2025-2026学年度高二第二学期期中考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 40种 C. 种 D. 种 2. 一个盒子里有6只好的晶体管、4只坏的晶体管，任取两次，每次取一只晶体管，每一次取后不放回，在第一次取到好的晶体管条件下，第二次也取到好的晶体管的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知某质点的运动方程为，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 4. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（   ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，，若，则一定有（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的命题的序号为（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，则 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，且，则当时概率最大 11. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点（1，2）处的切线方程为______________． 13. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是______． 14. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为，已知，则等于_____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数. （1），必须被选出； （2）至少有2名女生被选出； （3）让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任. 16. 在的展开式中，二项式系数的和为64. （1）求展开式中的含有项的系数； （2）展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，请说明理由. 17. 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时． （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)． 18. 坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率； (3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率． 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在区间上的最值； （3）证明：当时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $