精品解析：吉林省吉林市永吉县第四中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

高二下学期期中考试卷（数学） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法（ ） A. 24 B. 20 C. 10 D. 9 2. 已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是 A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值 C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值 3. 下列各组数据中方差最大的一组是（ ） A. 6，6，6，6，6 B. 5，5，6，7，7 C. 4，5，6，7，8 D. 4，4，6，8，8 4. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 袋子中有5个大小相同的球，其中2个红球、3个白球，依次从中不放回地取球，则第一次取到白球，且第二次取到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（ ） A. 90种 B. 180种 C. 60种 D. 120种 7. 函数，则（ ） A. B. C. D. 关系不确定 8. 函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（ ） A. 女生排在中间的排法有种 B. 女生不在头尾的排法有种 C. 女生不相邻的排法有种 D. 女生甲在女生乙右边的排法有种 10. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式中共有9项 B. 第3项为 C. 各项系数的和为256 D. 二项式系数的最大值为70 11. 设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程是__________. 13. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 14. 若函数的极大值为1，则函数的极小值为________， 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 设，且已知展开式中所有二项式系数之和为1024. （1）求的值； （2）求的值. 16. 甲，乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为，乙赢机器人的概率为.求： （1）在一轮比赛中，甲的得分X的分布列; （2）的均值和方差， 17. 现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率. 18. 已知函数 （1）若在处有极小值，求； （2）若，求在区间上的最值. 19. 在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”，事件“被调查者摸到白球”． （1）直接写出与的值； （2）用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值； （3）已知 =，求的值， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期中考试卷（数学） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法（ ） A. 24 B. 20 C. 10 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据排列公式计算可得； 【详解】解：依题意从5名同学中选出正、副组长各一名， 则有种方法 故选：B 【点睛】本题考查简单的排列问题，属于基础题. 2. 已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是 A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值 C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可． 详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知： f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0 当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减； 当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减． 可知C正确，A错误； 由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误． 故选C． 点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变. 3. 下列各组数据中方差最大的一组是（ ） A. 6，6，6，6，6 B. 5，5，6，7，7 C. 4，5，6，7，8 D. 4，4，6，8，8 【答案】D 【解析】 【分析】根据数据的波动越大，方差越大；数据越稳定，方差越小.通过观察数据的离散程度以及计算平均值和方差来得出答案. 【详解】对于A： 数据全部为6，相等，没有波动，所以方差为0. 对于B：平均数为，方差为. 对于C： 平均数为，方差为. 对于D： 平均数为，方差为. 通过比较可知，选项D的方差最大. 故选：D. 4. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案. 【详解】由，得， 故由，得， 故选：B 5. 袋子中有5个大小相同的球，其中2个红球、3个白球，依次从中不放回地取球，则第一次取到白球，且第二次取到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先算出第一次取到白球的概率，然后再计算第一次取到白球后第二次取到红球的概率，利用乘法公式，两者相乘即可. 【详解】根据题意，设第一次取到白球为事件，第二次取到红球为事件， 则，， 所以. 6. 将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（ ） A. 90种 B. 180种 C. 60种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】先将5名志愿者按要求分成三组，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区，按分组分配方法计算即可得解. 【详解】由题先将5名志愿者分成三组有种分法， 再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有种分法， 所以所求的不同的分配方案有种. 故选：A. 7. 函数，则（ ） A. B. C. D. 关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】求得，结合导数的符号，即可求得的单调区间,进而可判断结果. 【详解】解：由已知可得， 令，解得． 当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增． 因为，所以. 故选：C 8. 函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，从而得在上恒成立，求出函数在上的值域，即可得答案. 【详解】因为 ， 所以， 由题意可得在上恒成立， 所以，在上恒成立， 又因为在上单调递增， 所以 ， 所以的取值不大于函数在区间上的下确界，即， 所以实数的取值范围为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（ ） A. 女生排在中间的排法有种 B. 女生不在头尾的排法有种 C. 女生不相邻的排法有种 D. 女生甲在女生乙右边的排法有种 【答案】AC 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理判断A，首先排两个男生在头尾、其余人全排列即可判断B，利用插空法判断C，定序问题用倍缩法，即可判断D. 【详解】对于A：首先将名女生排在中间的三个位置，再将名男生排在其余四个位置， 则有种排法，故A正确； 对于B：首先排两个男生在头尾、其余人全排列，则有种排法，故B错误； 对于C：首先将名男生全排列，再将名女生插空排列，则有种排法，故C正确； 对于D：女生甲在女生乙右边属于定序问题，则有种排法，故D错误； 故选：AC 10. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式中共有9项 B. 第3项为 C. 各项系数的和为256 D. 二项式系数的最大值为70 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，二项式的展开式中共有项，故A正确； 对于B，第3项为，故B正确； 对于C，令，得各项系数的和为，故C错误； 对于D，二项式系数的最大值为，故D正确. 11. 设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B正确； 对于C、D项，因为，，， 所以，，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数在点处的切线斜率，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意得在处的切线斜率为， 故切线方程是，即， 故答案为： 13. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 【答案】288 【解析】 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 14. 若函数的极大值为1，则函数的极小值为________， 【答案】 【解析】 【详解】因为，由得， 且当时，，当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处取得极大值，且 ，即， 函数在处取得极小值，且. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 设，且已知展开式中所有二项式系数之和为1024. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2）-1 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和为求得的值； （2）令，得，再令，即可求得. 【小问1详解】 由题意得，解得. 【小问2详解】 令，得， 令，得， . 16. 甲，乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为，乙赢机器人的概率为.求： （1）在一轮比赛中，甲的得分X的分布列; （2）的均值和方差， 【答案】（1） 0 1 （2）【解析】 【分析】（1）先确定甲的得分的可能取值，再根据甲、乙赢机器人的概率分别计算对应取值的概率，从而可写出分布列； （2）利用均值公式和方差公式即可求得. 【小问1详解】 由题意知，的可能取值为， 且，，， 所以X的分布列为 0 1 【小问2详解】由（1）得，，. 17. 现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率. 【答案】 【解析】 【分析】先以等概率任选一袋,分别用组合公式算出从第一袋6男4女、第二袋7男5女中各抽2份且男女各1份的条件概率与,再套用全概率公式加权求和,求得总概率为. 【详解】设表示选到第一袋,表示选到第二袋,表示抽到男、女报名表各1份. 由题意得,. 第一袋有6男4女,共10份,则. 第二袋有7男5女,共12份,则. 由全概率公式得. 所以恰好抽到男、女报名表各1份的概率为. 18. 已知函数 （1）若在处有极小值，求； （2）若，求在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）由函数在处取得极小值，得，求出或，根据函数极值的概念，分别代入验证，即可求解； （2）利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，求得函数的最值. 【小问1详解】 由，得， 因为为的极小值点所以，解得或， 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以为的极小值点； 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以为的极大值点； 经检验，时，在处取极大值，不符题意，所以； 【小问2详解】 当时，，令得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 所以为在区间的极大值，也是最大值. 由于，，，所以最小值为. 综上所述，在区间上的最小值为，最大值为. 19. 在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”，事件“被调查者摸到白球”． （1）直接写出与的值； （2）用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值； （3）已知 =，求的值， 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据袋中球的数量可直接得出概率值，再结合题目中设定的答题规则，能直接得出的值； （2）利用全概率公式，结合已知的写下①的人数对应的频率作为，建立关于的方程，进而求解； （3）利用条件概率公式，结合已知等式和全概率公式建立关于的方程即可求解. 【小问1详解】 ，. 因为袋子里共有30个球，白球有10 个，所以； 由题意：，所以. 【小问2详解】 由全概率公式： ， 当时，得. 【小问3详解】 因为，所以， 又因为，， 所以， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $