精品解析：北京清华大学附属中学上地学校2025-2026学年八年级第二学期期中试卷数学

初二第二学期期中试卷 数学 （清华附上地学校初24级） 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若三角形的三边a，b，c满足下列条件，则其中直角三角形是（ ） A. B. ，， C. ，， D. ， 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，已知，平分，交于点E，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，，E为边上一点，F为的中点，G为的中点，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 如图，在中，∠ACB=90°，为的中点，点在上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠CDE的大小为（ ） A. 70° B. 75° C. 80° D. 85° 8. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 9. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，．下列结论正确的有（ ） ①；②点B到直线的距离为；③；④． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①③④ 二、填空题（共16分，每小题2分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 已知，，那么代数式的值______． 13. 在菱形中，若，周长是16，则菱形的面积是_______________． 14. 如图，、分别为、中点，点在上，且，若，，则的长为_____． 15. A，B两地相距，李明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：）表示骑行时间，y（单位：）表示李明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式：______． 16. 如图，等腰直角中，，D为中点，P为上一个动点，则的最小值为______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上．且，则正方形的面积是_______． 18. 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）的函数关系如图，下列结论：①，②，③中，正确的是______． 三、解答题（共54分，第19题每小题4分，第20题5分，第21题7分，第22~24题每题6分，第25题8分，第26题8分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，四边形是平行四边形，平分且交于点E，且交于点F．求的大小． 21. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）填空：四边形的面积为 ，四边形的周长为 ； （2）是直角吗？并说明理由， 22. 如图，在中，是的平分线，，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，如果，求的长． 23. 阅读下列材料： 如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． （1）已知点，点．求A，B两点之间的距离； （2）求代数式的最小值． 24. 小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）下表是x与y的几组对应值，请直接写出：______，______． x … 0 0.5 1 1.5 2 3 4 … y … 5 … （2）在平面直角坐标系中，描出补全后的表格中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； （3）通过观察分析函数的图象，解决问题： ①由图象可知，当时，对应的自变量x有______个值． ②写出该函数的一条性质______． 25. 如图，在正方形ABCD中，点E是直线AC上任意一点（不与点A，C重合），过点E作交直线CD于点F，过点F作交直线AC于点G． （1）如图1，当点E在线段AC上时，猜想EG与AB的数量关系； （2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，补全图形，并判断（1）中EG与AB的数量关系是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 26. 中，点D是边上一点（不与B、C重合），连接，若P是的中点，则称点P为中边的“有缘点”．其中，若、，则点P的坐标为．已知． （1）点、、、中，是中边的“有缘点”的有______． （2）已知中，，，，点F在x轴上方，若第二、四象限的角平分线上存在边的“有缘点”，则m的取值范围为______． （3）中，点在x轴上，其横坐标为t，交y轴于点，交x轴于点，且Q、M分别是、的中点，假设三边的所有“有缘点”组成图形G，若图形G的面积S满足：，直接写出t的取值范围． 数学附加题 （清华附中上地学校初24级） 第1～4题，每题3分，第5题8分，共20分 27. 若，把化简成最简二次根式为______． 28. 明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程S（单位：千米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为______分钟． 29. 在中，，则的面积为______． 30. 如图，正方形的边长为，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以相同的速度分别沿、向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，连接，则长的最小值为______． 31. 已知如图，四边形是菱形，，点E、F分别是边上的动点，且．连接，取中点G，连接． （1）判断与的位置关系，用等式写出它们的数量关系，并证明； （2）连接交于点O，点E、F在运动过程中，四边形是否可以是平行四边形？若可以，请求出此时的长；若不可以，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二第二学期期中试卷 数学 （清华附上地学校初24级） 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 选项B：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，故本选项符合题意； 选项C：的被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 选项D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 2. 若三角形的三边a，b，c满足下列条件，则其中直角三角形是（ ） A. B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，逐一计算即可得出结论． 【详解】解：对选项A，设，，， ，，， A不是直角三角形， 对选项B，最长边为， ，，， B不是直角三角形， 对选项C，最长边为， ，， ，符合勾股定理的逆定理， C是直角三角形， 对选项D，最长边为， ，，， D不是直角三角形． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，故A错误． B选项， ，故B错误． C选项， ，故C错误． D选项， ，故D正确． 4. 如图，在平行四边形中，已知，平分，交于点E，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质；由平行四边形性质可得，又因为，可得是等腰三角形，即可得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 5. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义，逐项判断，即可． 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y有两个值与之对应关系，故B符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D不符合题意； 6. 如图，在正方形中，，E为边上一点，F为的中点，G为的中点，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质和三角形中位线定理，连接，由勾股定理求出，再由三角形中位线定理可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是正方形，且， ∴， ∴； ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，∠ACB=90°，为的中点，点在上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠CDE的大小为（ ） A. 70° B. 75° C. 80° D. 85° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE=∠AEC=45°，求得∠CAB=60°，得到∠B=30°，根据直角三角形的性质得到CD=BD=AD=AB，得到△ADC是等边三角形，∠DCB=∠B=30°，于是得到结论． 【详解】解：∵∠ACB=90°，CE=AC， ∴∠CAE=∠AEC=45°， ∵∠BAE=15°， ∴∠CAB=60°， ∴∠B=30°， ∵∠ACB=90°，D为AB的中点， ∴CD=BD=AD=AB， ∴△ADC是等边三角形，∠DCB=∠B=30°， ∴AC=DC=CE， ∴∠CDE=∠CED=×（180°-30°）=75°， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 8. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用；由题意可得：，再由勾股定理可得，结合，可求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：由题意可得：， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为． 9. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 10. 如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，．下列结论正确的有（ ） ①；②点B到直线的距离为；③；④． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，可得，证明是等腰直角三角形，得到，则，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；根据，得到，得到，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；故①正确； 过B作，交的延长线于点F，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即点B到直线的距离为，故②不正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴ ，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④ 二、填空题（共16分，每小题2分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 已知，，那么代数式的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，将代数式变形后利用平方差公式简化计算，采用整体代入的方法求解即可. 【详解】解： ，， ， ． 13. 在菱形中，若，周长是16，则菱形的面积是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积；由菱形的性质得，，由直角三角形的特征得，由勾股定理得，求出， 由即可求解；掌握菱形的性质及面积的求法是解题的关键． 【详解】解：如图，与交于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 14. 如图，、分别为、中点，点在上，且，若，，则的长为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】延长交于H，由D、E分别为中点，得，，因为，所以，，则，所以，而，即可根据“”证明，则，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长交于点H， ∵D、E分别为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和△ACF中， ， ∴， ∴， ∵D是的中点，F是的中点，， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题重点考查三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、全等三角形的判与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 15. A，B两地相距，李明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：）表示骑行时间，y（单位：）表示李明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，李明与B地的距离等于A，B两地总距离减去李明骑行的路程，先得到y与x的等量关系，再确定自变量x的取值范围，即可得到函数解析式． 【详解】解：由题意可得，李明骑行的路程为， ∵A，B两地总路程为，为李明与B地的距离， ∴ ， 根据题意得：， 解得， ∴y关于x的函数解析式为． 16. 如图，等腰直角中，，D为中点，P为上一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短；作点关于的对称点，连接、，由轴对称可知：，，，得出，，即为最小值，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接、， 由轴对称可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时取最小值， ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上．且，则正方形的面积是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．作轴于点E，证明，推出，再利用勾股定理解即可． 【详解】解：如图，作轴于点E， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， 又，， ， ， ， 即正方形的面积是5， 故答案为：5． 18. 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）的函数关系如图，下列结论：①，②，③中，正确的是______． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，一次函数的应用；分析图象可知：甲、乙两人的距离先从米开始，到秒时减少为米，又到秒时甲、乙两人的距离达到最大，之后到秒时减少为米，据此可先求出甲、乙两人的速度，在乙出发后开始追甲，追上甲时两人的距离第一次为米，可求出，当乙追上甲后，两人的距离开始逐渐增大，乙到达终点时两人的距离达到最大，可求出，乙到达终点时原地休息，甲继续跑，两人之间的距离就在不断减小，当甲也到达终点时，第二次为米，可求出． 【详解】解：观察函数关系图可知：甲、乙两人的距离先从米开始，到秒时减少为米，又到秒时甲、乙两人的距离达到最大，之后到秒时减少为米， ∵甲先出发2秒， ∴在乙出发后，甲、乙两人的距离就等于甲先跑步的路程，即是甲2秒的路程， ∴甲的速度为米/秒， ∵到秒时甲、乙两人的距离达到最大， ∴到秒时乙到达了终点， ∴乙的速度为米/秒， ∴在乙出发后开始追甲，追上甲时两人的距离第一次为米， ∴秒 故①正确； ∵当乙追上甲后，两人的距离开始逐渐增大，乙到达终点时两人的距离达到最大， ∴米， 故②正确； ∵乙到达终点时原地休息，甲继续跑，两人之间的距离就在不断减小，当甲也到达终点时，第二次为米， ∴秒， 故③错误； 综上：①②正确． 三、解答题（共54分，第19题每小题4分，第20题5分，第21题7分，第22~24题每题6分，第25题8分，第26题8分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据实数的混合运算法则和二次根式的混合运算法则，计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，四边形是平行四边形，平分且交于点E，且交于点F．求的大小． 【答案】35° 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，可求得∠ADC的度数，又由BE平分∠ABC交AD于E，可求得∠EBF的度数，然后由DFBE，即可证得四边形EBFD是平行四边形，即可求得∠EDF的度数，继而求得答案． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=70°，ADBC， ∵DFBE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴∠EDF=∠EBF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EDF=∠EBF=∠ABC=35°， ∴∠1=∠ADC-∠EDF=35°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 21. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）填空：四边形的面积为 ，四边形的周长为 ； （2）是直角吗？并说明理由， 【答案】（1）15.5； （2）是直角，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）利用割补法即可求出四边形的面积，再利用勾股定理分别求出的长，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【小问1详解】 四边形的面积； 由题意得： ，，， 四边形的周长； 【小问2详解】 是直角， 理由：连接， 由（1）得：，， ， ， 是直角． 22. 如图，在中，是的平分线，，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，如果，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，再结合是的平分线，可得，从而得到，即可求证； （2）过点C作交的延长线于点G，证明，根据直角三角形的性质可得，，再根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，过点C作交的延长线于点G， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 23. 阅读下列材料： 如图，点，点，以为斜边作，则，，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． （1）已知点，点．求A，B两点之间的距离； （2）求代数式的最小值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干中的公式求解即可； （2）根据题意将代数式变形为，则代数式可看作点到点的距离与点到点的距离之和，当点在点和点连接的线段上时，距离之和最小，最小为点和点之间的距离，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，点 ∴； 【小问2详解】 解： 可将代数式的值看作点到点的距离与点到点的距离之和， 当点在点和点连接的线段上时，距离之和最小，最小为点和点之间的距离， ∵ 的最小值为． 24. 小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）下表是x与y的几组对应值，请直接写出：______，______． x … 0 0.5 1 1.5 2 3 4 … y … 5 … （2）在平面直角坐标系中，描出补全后的表格中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； （3）通过观察分析函数的图象，解决问题： ①由图象可知，当时，对应的自变量x有______个值． ②写出该函数的一条性质______． 【答案】（1）； （2）见详解 （3）；当时，随的增大而增大（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）当时代入函数，当时代入函数，即可求出对应的， （2）描点作图即可， （3）在画一条平行于轴的线，看与函数有几个交点；性质根据函数图像写即可． 【小问1详解】 解：将代入函数 得，即 将代入函数 得，即 【小问2详解】 如图所示： 【小问3详解】 如图所示，与函数有个交点， 由图像可得，当时，随的增大而增大（答案不唯一）． 25. 如图，在正方形ABCD中，点E是直线AC上任意一点（不与点A，C重合），过点E作交直线CD于点F，过点F作交直线AC于点G． （1）如图1，当点E在线段AC上时，猜想EG与AB的数量关系； （2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，补全图形，并判断（1）中EG与AB的数量关系是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）点E作于点H，于点P，证明，得到．过点B作于点M，证明，进而得出，再利用等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）过点E作交DC延长线于点H，交BC延长线于点P，过点B作于点O，证明，再证，进而得出为等腰直角三角形，即可证得结论． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵ 正方形ABCD， ∴，， 过点E作于点H，于点P，如下图所示， 则， ∴， ∴四边形CHEP是矩形， ∵ ，， ∴与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴四边形CHEP是正方形， ∴． ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 过点B作于点M， 则， ∵ ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴， ∴， 即． ∵ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：成立，理由如下： 过点E作交DC延长线于点H，交BC延长线于点P，过点B作于点O，如下图所示， 则， ∴四边形CHEP是矩形， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形CHEP是正方形， ∴． 设CF与BE交于点Q， 在与中， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∵ ，， ∴， ∵ ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∵ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握上述知识点，通过作辅助线构造全等三角形，将所求线段进行等量代换是解题的关键． 26. 中，点D是边上一点（不与B、C重合），连接，若P是的中点，则称点P为中边的“有缘点”．其中，若、，则点P的坐标为．已知． （1）点、、、中，是中边的“有缘点”的有______． （2）已知中，，，，点F在x轴上方，若第二、四象限的角平分线上存在边的“有缘点”，则m的取值范围为______． （3）中，点在x轴上，其横坐标为t，交y轴于点，交x轴于点，且Q、M分别是、的中点，假设三边的所有“有缘点”组成图形G，若图形G的面积S满足：，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）边与x轴重合，点是边上一点，点D坐标满足条件：，得到，依次验证几个点，即可得出结果； （2）由，可知；由，，可知，所以，点，设点的中点是H，的中点是G，线段是动点的运动轨迹，求出点H，点G坐标；第二、四象限的角平分线，用函数表示，在点H与平分线重合，m取得最小值，点G与平分线重合，m取得最大值，利用坐标关系，得到m的取值范围； （3）三条中位线围成的就是图形G，根据中位线的性质可得，进而根据三角形的面积公式，得出，解不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：边与x轴重合，点是边上一点 点D坐标满足条件：， ，即 ， 如下图所示，线段就是点P移动的轨迹，是三角形的中位线， 依次验证几个点： ，纵坐标，不满足； ，满足； ，满足； ，不满足； 【小问2详解】 解： ，， ，即， 点， 设点的中点是H，的中点是G，线段是动点的运动轨迹，是的中位线， ， 第二、四象限的角平分线，用函数表示， 当点H在上时，m取得最小值，如下图 ， ． 当点G在上时，m取得最大值，如下图所示 ， ， ． 【小问3详解】 解：，Q、M分别是、的中点，则是的中位线， 设N是的中点， 三边的“有缘点”组成图形G，即图形G为，不包括顶点， ， 以为底，与高相等， ， 图形G的面积S满足：， ， 当时，即时，解不等式，解得； 当时，即时，解不等式，解得； 综上所述，t的取值范围为：或． 数学附加题 （清华附中上地学校初24级） 第1～4题，每题3分，第5题8分，共20分 27. 若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴ ． 28. 明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程S（单位：千米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为______分钟． 【答案】14 【解析】 【分析】此题考查了从函数图象获取信息，关键是正确理解图象所表示的意义，求出上下坡的速度．根据图象计算出上坡速度和下坡路程，然后根据放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，再结合路程可得答案． 【详解】解：根据函数图象可得：上坡速度为（千米/分）， 下坡速度为（千米/分）， 放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同， 那么他回来时，上坡路程为2千米，速度为千米/分，下坡路程为1千米，速度为千米/分， 因此走这段路所用的时间为． 故答案为：14． 29. 在中，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作垂足为，在与中，分别表示出，建立方程即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂足为， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴． 30. 如图，正方形的边长为，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以相同的速度分别沿、向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短；连接、相交于点，取的中点，连接、，先利用正方形的性质和勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的值，最后利用即可求出长的最小值． 【详解】解：如图所示，连接、相交于点，取的中点，连接、， ∵正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵， ∴是直角三角形，为斜边上的中线， ∴， ∵在中，， ∴当三点共线时，取最小值． 31. 已知如图，四边形是菱形，，点E、F分别是边上的动点，且．连接，取中点G，连接． （1）判断与的位置关系，用等式写出它们的数量关系，并证明； （2）连接交于点O，点E、F在运动过程中，四边形是否可以是平行四边形？若可以，请求出此时的长；若不可以，请说明理由． 【答案】（1），，证明见解析 （2）四边形可以是平行四边形，此时的长为4 【解析】 【分析】（1）延长交于点H，连接，证明，可得，，从而得到，再证明为等边三角形，可得，，证明，可得，，进而证明为等边三角形，，，即可解答； （2）证明为的中位线，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：，，证明如下： 如图，延长交于点H，连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形可以是平行四边形， 如图， 若四边形是平行四边形， 则， ∵四边形为菱形， ∴点O为的中点， ∵点G为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $