精品解析：湖南郴州市北湖区郴州市第五中学2025-2026学年春季七年级期中数学复习试卷

2026年春季七年级期中数学复习试卷 1. 阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出的两种不同形式的配方； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 2. 完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以， 所以得 （1）若，求的值； （2）填空：①若，则_____； ②若，则______； （3）两块全等的特制直角三角板如图所示放置，其中，在一直线上，连接，若，，求一块直角三角板的面积． 3. 已知、、是正实数． （1）若， ①求的取值范围； ②求的取值范围． （2）若，， ①小知识：当时，．请利用以上小知识，试判断与的大小关系并说明理由； ②利用①中的结论，试判断与4的大小关系并说明理由． 4. 先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：对于三个数，，的平均数、最小的数、最大的数都可以给出符号来表示，我们规定表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数、表示，，这三个数中最大的数．例如：， ，；，． （1）请填空： ；若，， ． （2）若，求的取值范围． （3）若，求的值． 5. 为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元． （1）A型篮球和B型篮球的标价各是多少？ （2）该体育用品店推出了以下优惠方案： 方案一：所有商品按标价的九折销售； 方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费． 学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由． 6. “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． （1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值． （3）如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系． 7. 综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为，的长方形． （1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式排成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 ． （2）如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图． （3）取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为正方形大卡片内，图3中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为的正方形未被覆盖面积记为、，若，，，求出大正方形面积． （4）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，，若，当的长度变化时，，之间满足怎样的数量关系，使的值始终保持不变，请直接写出答案： ． 8. 阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． （2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ （3）已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ （4）若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季七年级期中数学复习试卷 1. 阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出的两种不同形式的配方； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）， （2）7 （3）4 【解析】 【分析】（1）由题中所给的已知材料可得可拆分常数项、一次项两种不同形式； （2）通过配方后，求得x，y的值，再代入代数式求值. （3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值． 【小问1详解】 解：由题意可得的两种配方分别为： ， ； 【小问2详解】 解：由得：， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解： = = =， 从而有，，， 即，，， 故． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式：是解题的关键． 2. 完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以， 所以得 （1）若，求的值； （2）填空：①若，则_____； ②若，则______； （3）两块全等的特制直角三角板如图所示放置，其中，在一直线上，连接，若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）； （2）①，②； （3）一块直角三角板的面积为． 【解析】 【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答此题的关键． （1）直接由完全平方公式即可得出答案； （2）①先由，得，再把代入即可求解； ②先由，得，再把代入即可求解； （3）设由得据此得再由得利用完全平方公式可求出即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 即， 又∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 即， 又∵， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：设 在一直线上， 即： ∴一块直角三角板的面积为． 3. 已知、、是正实数． （1）若， ①求的取值范围； ②求的取值范围． （2）若，， ①小知识：当时，．请利用以上小知识，试判断与的大小关系并说明理由； ②利用①中的结论，试判断与4的大小关系并说明理由． 【答案】（1）①；② （2）①，理由见解析；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①可得，根据a、b都是正实数建立不等式组求解即可；②用含a的式子表示出b，进而用含a的式子表示出s，根据a的取值范围即可求出s的取值范围； （2）①根据，得到，再根据a、b、c都是正实数得到a的取值范围，利用作差法求出的符号即可得到答案；②同理可得，，则 ，据此可得结论． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵a、b都是正实数， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ，即 ； 【小问2详解】 解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵、、是正实数， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴，即； ②，理由如下： 同理可得，， ∴ ， ∵， ∴ ． 4. 先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：对于三个数，，的平均数、最小的数、最大的数都可以给出符号来表示，我们规定表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数、表示，，这三个数中最大的数．例如：，，；，． （1）请填空： ；若，， ． （2）若，求的取值范围． （3）若，求的值． 【答案】（1）， ； （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据所给的新定义即可求出的值；先求出 ，再根据所给的新定义即可得到答案； （2）根据所给的新定义得到，解不等式组即可得到答案； （3）分三种情况：当 时，当 时，当 时，三种情况分别求出x的取值范围，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； ∵，， ∴，，， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得， ； 当 时，则， ∴， ∵， ∴， ∴； 当 时，则， ∴， ∵， ∴， ∴满足方程，故此种情况符合题意； 当 时，则， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，． 5. 为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元． （1）A型篮球和B型篮球的标价各是多少？ （2）该体育用品店推出了以下优惠方案： 方案一：所有商品按标价的九折销售； 方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费． 学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】（1）A型篮球的标价是90元，B型篮球的标价是60元； （2）方案二更合算，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设A型篮球的标价是x元，B型篮球的标价是y元，根据“A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元”，列出方程组，即可求解； （2）先求得按标价购买20个 A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，再分别求出选择方案一的总费用和选择方案二的总费用并且对两个结果比较大小，即可得到问题的答案． 【小问1详解】 解：设A型篮球的标价是x元，B型篮球的标价是y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A型篮球的标价是90元，B型篮球的标价是60元； 【小问2详解】 解：方案二更合算，理由如下： 元， 即按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元， 方案一：总费用为元， 方案二：总费用为元， ∵， ∴方案二更合算． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、方案选择型问题的求解等知识与方法，正确的用代数式表示购买A型篮球的总费用和购买B型篮球的总费用是解题的关键． 6. “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． （1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值． （3）如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为S．设，若S的值与无关，求a与b之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解； （3）由图得，，，由线段和差求出，，分别求出，，由多项式不含某一项的条件即可求解； 掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，多项式不含某一项的条件为这一项的系数为零，多项式混合运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图得 ； 故答案：； 【小问2详解】 解：，， ， 解得：； 【小问3详解】 解：由图得： ， ， ， ， ， ， ， S的值与无关， ． 7. 综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为，的长方形． （1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式排成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 ． （2）如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图． （3）取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为正方形大卡片内，图3中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为的正方形未被覆盖面积记为、，若，，，求出大正方形面积． （4）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，，若，当的长度变化时，，之间满足怎样的数量关系，使的值始终保持不变，请直接写出答案： ． 【答案】（1） （2）见解析 （3）134 （4） 【解析】 【分析】（1）正方形的面积等于其边长的平方，大正方形的面积又等于1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片这四张卡片的面积之和，据此可得答案； （2）画一个长方形的两个邻边分别为和即可； （3）分别表示出，根据，，求出即可得到答案； （4）设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关解题． 【小问1详解】 解：图2是一个边长为的大正方形，则其面积为， 图2是由1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片组合而成，则其面积为， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：由图可知： ， ， ∵，， ∴， 由题意得，面积为的图形是正方形，且其边长为 ， ， ， ， ， ∴， 大正方形面积为134； 【小问4详解】 设，由图可知， ， ∴ ， 若为定值，则将不随的变化而变化， 即， ． 8. 阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． （2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ （3）已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ （4）若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 【答案】（1）， （2）长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）当时，函数取到最大值，最大值为 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，函数，分式的性质，分母有理化及完全平方公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得：所用篱笆的长度为米，然后根据题中所给方法进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据题中所给方法可知代数式的最小值为，然后问题可求解； （4）由题意可分：当时，当时，当时，然后根据题中所给方法可分类进行求解． 【小问1详解】 解：由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得： 所用篱笆的长度为米， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为20； ∴宽为米，所用篱笆的长度为米， 答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 【小问3详解】 解：∵， ∴由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6， ∴代数式的最小值为， ∴函数的最大值为； ∴当时，函数取到最大值，最大值为； 【小问4详解】 解：由题意可分：当时，则； 当时，则， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代数式取到最大值，最大值为， ∴的最小值为， 综上所述：m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $