25.2.2 公式法 第1课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过回顾直接开平方法和配方法的局限性引入公式法，搭建从已有方法到新知识的学习支架，帮助学生理解Δ=b²-4ac与方程根的关系。 其亮点在于通过问题推导分三种情况分析判别式，培养抽象能力和推理意识，例1证明判别式恒正、例2求参数范围体现严谨思维，知识梳理和小结用符号清晰表达关系。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

第1课时 　一元二次方程根的判别式 　25.2.2　公式法 第二十五章　一元二次方程 九年级数学上学期人教版（2024） 学习目标 1.理解通过配方得到的结论，认识只有当b2-4ac≥0时方程才有解，并且方程解的情况与Δ=b2-4ac有关，理解根的判别式Δ=b2-4ac的含义及其与方程根的情况之间的对应关系. 2.根据Δ=b2-4ac的值可以判定一元二次方程解的情况，并能应用根的判别式解决相关问题. 课堂引入 利用直接开平方法只能解一些简单的一元二次方程，利用配方法虽然可以解任意一个一元二次方程，但配方法比较麻烦，下面学习一种既比较简单又能适用于任意一个一元二次方程的方法——公式法. 一、 一元二次方程根的判别式 问题　利用公式法可以将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)转化为=①的形式. ∵a≠0，则4a2____(填“>”“=”或“<”)0，式子b2-4ac有三种情况：  当b2-4ac>0时，____(填“>”“=”或“<”)0，由①得x+=±=±.  ∴方程有两个_______的实数根，x1=-+=__________，x2=--=__________； 当b2-4ac=0时，______(填“>”“=”或“<”)0，由①得x+=______.  ∴方程有两个______的实数根，x1=x2=_____；  当b2-4ac<0时， ______(填“>”“=”或“<”)0，因为任意实数的平方都不能小于0，∴方程______实数根.  > > 不相等 = 0 相等 - < 没有 知识梳理 根据b2-4ac的符号，即可判定一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况，所以把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用“Δ”表示，则： Δ=b2-4ac___0时，方程有两个不相等的实数根； Δ=b2-4ac___0时，方程有两个相等的实数根； Δ=b2-4ac___0时，方程没有实数根. 注意点：利用一元二次方程的根的判别式，不解方程，即可判定某个一元二次方程的解的情况.其步骤为：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a，b，c的值；③计算b2-4ac的值；④根据b2-4ac的符号判定方程根的情况. > = < 例1　已知关于x的一元二次方程2x2+2kx+k-1=0. (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若 x=-1 是该方程的一个根，求k的值. (1)证明　Δ=(2k)2-4×2(k-1)=4k2-8k+8=4(k-1)2+4， ∵(k-1)2≥0， ∴4(k-1)2≥0，则4(k-1)2+4>0. ∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)解　把x=-1代入2x2+2kx+k-1=0，得2×(-1)2+2k×(-1)+k-1=0， 化简、变形，得-k+1=0，解得k=1. 跟踪训练1　下列方程没有实数根的是 A.x2-1=0 B.x2-x-3=0 C.x2-4x+4=0 D.x2-x+2=0 √ 解析　∵对于x2-1=0，Δ=02-4×1×(-1)=0+4=4>0， ∴方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意； ∵对于x2-x-3=0，Δ=(-1)2-4×1×(-3)=1+12=13>0， ∴方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意； ∵对于x2-4x+4=0，Δ=(-4)2-4×1×4=0， ∴方程有两个相等的实数根，故C选项不符合题意； ∵对于x2-x+2=0，Δ=(-1)2-4×1×2=1-8=-7<0， ∴方程没有实数根，故D选项符合题意. 二、 利用根的判别式求方程中的字母参数 知识梳理 一元二次方程根的判别式既可以正用也可以逆用，当一元二次方程中含有字母参数且已知方程的解的情况时，利用根的判别式即可列出关于字母参数的方程或不等式，解之即可求得字母参数的值或字母参数的取值范围. 例2　已知关于x的一元二次方程(m-2)x2-2mx+m-10=0，若该一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 解　根据根的判别式大于0且二次项系数不等于0，即可列出关于m的不等式组，解不等式组即可求出实数m的取值范围. 根据题意，得 ∴解得m>且m≠2. ∴实数m的取值范围为m>且m≠2. 反思感悟 此类的问题中，容易忽略一元二次方程的概念，因此出现漏掉m-2≠0的限制条件，由此导致m的取值范围扩大. 跟踪训练2　若关于x的方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是 A.-4　　　　B.4　　　　C.8　　　　D.16 √ 解析　∵关于x的方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根， ∴Δ=0，即(-4)2-4×1×k=0， ∴k=4. 课堂小结 1.下列方程中，有两个相等实数根的是 A.x2-6x+9=0 B.x2+1=0 C.x2-2x-3=0 D.x2-2x=0 课堂练习 √ 随堂演练 解析　∵Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×9=0， ∴方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根，选项A符合题意； ∵Δ=b2-4ac=02-4×1×1=-4<0， ∴方程x2+1=0没有实数根，选项B不符合题意； ∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=16>0， ∴方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数根，选项C不符合题意； ∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0， ∴方程x2-2x=0有两个不相等的实数根，选项D不符合题意. 2.若关于x的一元二次方程x2+2m=4有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 A.m<2 B.m≤2 C.m≥0 D.m<0 √ 解析　∵关于x的一元二次方程x2+2m=4， 即x2+2m-4=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=b2-4ac=02-4×1×(2m-4)=16-8m>0， 解得m<2. 课堂练习 3.一元二次方程2x2-4x+3=0的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 √ 解析　∵2x2-4x+3=0， ∴Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0， 故方程没有实数根. 课堂练习 4.关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个相等的实数根，则实数k的取值范围是 A.k>-1 B.k<-1 C.k=-1 D.k>-1且k≠0 √ 解析　根据题意得k≠0且Δ=22-4k·(-1)=0， 解得k=-1. 课堂练习 5.若关于x的一元二次方程x2=1-mx的根的判别式的值为8，则m的值是______.  ±2 解析　Δ=m2-4×1×(-1)=m2+4=8，解得m=±2. 课堂练习 谢谢观看 $