考点16 二次根式的加减（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为主线，通过口诀化方法（一化二找三合并）和易错点警示，系统培养运算能力与推理意识，覆盖中考高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|4题|同类二次根式化简判断法|从定义（被开方数相同）到性质（化简后判断）| |运算技巧|16题|加减“三步法”、分母有理化因式选择法|从单一加减到混合运算，从单项式到多项式有理化| |综合应用|20题|构造对偶式、分子有理化比较法|从代数化简到实际应用、新定义问题，体现应用意识|

考点16 二次根式的加减 考点一：二次根式的加减法 1.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 考点二：二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 考点三：分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1、分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2、分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 题型一：同类二次根式 直接凭根号外形判断，未先化成最简形式；混淆被开方数与系数，忽视化简后被开方数一致才是同类，判断极易出错。 1．若最简二次根式与能够合并，那么的值为（ 　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若最简二次根式与能够合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 4．已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 题型二：二次根式的加减运算 未先化成最简就合并，误把不同类根式合并；系数加减算错，根式部分乱改动，去括号符号出错，运算步骤混乱。 5．计算： (1)； (2)． 6．已知，． (1)_____________，_____________． (2)求代数式的值． 7．计算： (1)； (2)． 8．计算： (1)； (2)． 题型三：二次根式的混合运算 9．计算：． 10．计算： 11．计算： (1)； (2)； (3)． 12．计算： (1)； (2)． 题型四：分母有理化 仅分母乘因式忘记同步乘分子，选错有理化因式；含加减根式不会配对，符号处理失误，约分不当，最终未化成最简形式。 13．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：； (2)已知，，求的值． 14．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)①分母有理化：_____；②化简“理想二次根式”：_____． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 15．材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：， 观察上面的解题过程，并解答下列问题： (1)____，的倒数是____． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用上面的解法，请化简：． 16．阅读下述材料： 【材料1】二次根式中不仅分母可有理化，且另有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，消掉分子中的根式，如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，， 因为：，所以． 【材料2】求的最大值．具体方法如下： 解：由，，可解得：，而且 故当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 请根据上述材料中的描述，解决下列问题： (1)比较大小：______；（用“”、“”或“”填空）； (2)填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______； (3)若，求的值． 题型五：已知字母的值化简求值 17．已知，，求代数式的值． 18．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 19．已知，，求的值． 20．先化简，再求值：，其中． 题型六：已知条件式化简求值 21．阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 22．阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又．这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题：已知． (1)求的值： (2)求的值． 23．请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题： (1)①化简：______； ②比较大小：______；（用“”、“”或“”填空） (2)设有理数a、b满足：，求的值； (3)已知，求的值． 24．（1）计算； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 题型七：比较二次根式的大小 25．观察下列一组等式，然后解答后面的问题 (1)观察以上规律，请写出第个等式：_____（n为正整数）． (2)利用上面的规律，计算： (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 26．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ∵， ∴． (1)对二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 27．阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫做分母有理化． 问题： (1)的一个有理化因式是_____，的一个有理化因式是_____； (2)计算：； (3)已知，，试比较，的大小，并说理． 28．阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如： 将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决下列问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小： 填写“”，“”或“”)； (3)计算：． 题型八：二次根式的实际应用 审题不清弄错数量关系，列式出错；忽视实际取值为正数，根式化简不彻底，计算误差大，结果忘记结合生活情境取舍。 29．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现．（不考虑阻力的影响） (1)直接写出物体从的高空落到地面的时间______s； (2)已知从高空坠落的物体所带能量E（单位：J）物体质量（）高度（m）．一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙落下对人体是否能造成伤害？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 30．观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：    ； ； ； (1)推算出________________；________________． (2)用含（是正整数）的等式表达上述变化的规律，即________________； (3)求出的值． 31．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 32．两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时．与t的部分对应数值如表： 0 6 0 0 (1)机器人乙运动的路线长为______m； (2)求的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值． 题型九：二次根式的新定义问题 33．对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为______． 34．定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ____． 35．定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．已知：，根据“有理式”的定义，试解决以下问题： (1)求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解关于的方程：． 36．阅读材料，理解定义，完成下列问题： 在二次根式运算中，我们常遇到分母含有根号的式子．为了使分母不含根号，我们引入一种新的运算——“共轭化简法”． 定义：共轭化简法 对于形如或的式子，通过乘以一个适当的根式，使分母变为有理数，这个过程称为共轭化简． 1．若分母为单根号，则分子分母同乘； 2．若分母为，则分子分母同乘（称为“共轭式”）． 示例： 问题： (1)利用共轭化简法化简_____；_____． (2)方法迁移，解决变式问题：化简_____． (3)计算：． 题型十：二次根式的阅读理解类问题 37．【阅读材料】 在学习二次根式时，小张同学发现一些含根号的式子可以化成另一表达式的平方． 如： 【类比归纳】 (1)填空：①； ②； 【理解运用】 (2)请你仿照小张的方法，将化成一个式子的平方，并写出转化过程． 38．阅读与思考 下面是小明在数学兴趣活动中遇到的一个问题，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现，当时，有，，当且仅当时，取等号． 【问题解决】 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，． 当且仅当，即时，取等号，的最小值为4． 任务： (1)当时，的最小值为________． (2)当时，求的最小值． 39．阅读与思考：下面是小府同学的阅读笔记，请认真阅读并完成相应任务． 关于二次根式的化简概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”． 例如：；． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)化简______． (2)直接写出计算结果． ______． (3)结合典例1和典例2归纳猜想． ______（n为正整数）． (4)计算： ． 40．阅读与思考：下面是小美的阅读笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 关于二次根式的化简 概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：． 我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 概念3：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母” 例如：． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)写出的一个有理化因式：______；将分母有理化的结果是_______． (2)猜想：_______（n为正整数）． (3)计算：______． (4)计算：_______． 1．（2026·江苏扬州·一模）若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 2．（25-26九年级下·重庆·期中）已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 5．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）比较大小：_________（填“”“ ”或“”）． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）整数满足，且二次根式与是同类二次根式，则 ______． 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 8．（25-26八年级上·山西大同·月考）如图，在中，，，点是线段上一点，过点作交的延长线于点，过点作交于点，连接，若，的长为______． 9．（25-26八年级下·江西上饶·期中）计算： (1) (2) 10．（25-26八年级下·天津和平·阶段检测）计算： (1)； (2) (3)； (4) 11．（25-26八年级下·广东中山·期中）如图，小明家有一块长方形空地，长为 宽为 现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为 宽为 (1)求长方形空地的周长； (2)求小明家种草莓的面积． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）阅读理解：已知，为非负实数，因为 ，所以 ，当且仅当时，等号成立，这个结果就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例如：已知，求代数式的最小值． 解：令， ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． (2)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ． (3)某物流公司的一辆货车要从甲地匀速开往乙地，两地相距千米．根据经验，该货车每小时的耗油成本 与行驶速度 的平方成正比，比例系数为 ；而司机的工资、车辆折旧等其他固定成本为每小时元．设货车从甲地到乙地的总成本为元，为了使总成本最低，货车的行驶速度应为多少千米小时？此时的最低总成本是多少元？(注：假设道路限速允许该速度行驶) 13．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9； (2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 14．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：    ； ； ； (1)推算出________________；________________． (2)用含（是正整数）的等式表达上述变化的规律，即________________； (3)求出的值． 15．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点16 二次根式的加减 考点一：二次根式的加减法 1.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 考点二：二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 考点三：分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1、分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2、分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 题型一：同类二次根式 直接凭根号外形判断，未先化成最简形式；混淆被开方数与系数，忽视化简后被开方数一致才是同类，判断极易出错。 1．若最简二次根式与能够合并，那么的值为（ 　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】能合并的最简二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可得到a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并， ∴两个二次根式的被开方数相等， 即， 移项得， 解得， 检验：当时，且，符合题意． 2．若最简二次根式与能够合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据能合并的最简二次根式是同类二次根式，且同类二次根式被开方数相同，求出m的值，再代入式子化简计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并，且， ∴根据同类二次根式的定义，得， 解得， 将代入所求式子，得：． 3．若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 4．已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 【答案】 【分析】由题意列出方程组，整理得，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式， ∴，整理得：， 解得：， ∴， ∴的值为． 题型二：二次根式的加减运算 未先化成最简就合并，误把不同类根式合并；系数加减算错，根式部分乱改动，去括号符号出错，运算步骤混乱。 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．已知，． (1)_____________，_____________． (2)求代数式的值． 【答案】(1)，13 (2)33 【分析】（1）根据二次根式的加减运算、乘法运算法则以及平方差公式求解即可； （2）先运用完全平方公式变形原式，然后将（1）的结论代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． （2）解： ． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果； （2）先计算二次根式的乘除，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可； （2）先化简括号内的二次根式，再计算括号内的减法，接着计算乘除法，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三：二次根式的混合运算 9．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】 解：原式 10．计算： 【答案】 【分析】先进行乘除运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 11．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式 进行计算，将看作， 看作，代入公式即可得出结果； （2）首先，化简括号内的二次根式，接着按照从左到右的顺序进行乘除运算，即可得到结果； （3）第一部分是，利用平方差公式计算，第二部分是，利用完全平方公式计算，最后将两部分结果相乘，再展开即可得到最终答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ；       （2）解：原式 . 题型四：分母有理化 仅分母乘因式忘记同步乘分子，选错有理化因式；含加减根式不会配对，符号处理失误，约分不当，最终未化成最简形式。 13．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）分子分母分别乘即可； （2）由条件可得：，，可得：，，再利用完全平方公式计算即可． 本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）． （2），， ． 14．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)①分母有理化：_____；②化简“理想二次根式”：_____． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）分子分母同乘以进行分母有理化即可；将变形为求解即可； （2）先代入，然后进行分母有理化和化简“理想二次根式”，再进行加减计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 15．材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：， 观察上面的解题过程，并解答下列问题： (1)____，的倒数是____． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 的倒数是； （2）解：∵， ∴， 即的整数部分为2， ∴． 当时，； （3）解：原式 ． 16．阅读下述材料： 【材料1】二次根式中不仅分母可有理化，且另有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，消掉分子中的根式，如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，， 因为：，所以． 【材料2】求的最大值．具体方法如下： 解：由，，可解得：，而且 故当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 请根据上述材料中的描述，解决下列问题： (1)比较大小：______；（用“”、“”或“”填空）； (2)填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)0，大，1 (3)4 【分析】本题考查二次根式的有理化，能够将分母有理化的知识进行迁移是解题的关键． （1）由题目信息，进行分子有理化即可比较大小； （2）根据二次根式的定义可得，再根据题目信息进行分子有理化，即可求解； （3）根据分子有理化即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ， ， 即； （2）解：， ∴且， 即， ， 由于分母随x增大而增大，则y随分母增大而减小， 则当时，分母最小，y取得最大值，最大值为1； （3）解：由题可得， ， 则． 题型五：已知字母的值化简求值 17．已知，，求代数式的值． 【答案】15 【分析】先计算，，再把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 18．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)22 【详解】（1）解：； （2）解：， 将代入上式得， 原式＝． 19．已知，，求的值． 【答案】14 【分析】先求出，，然后根据完全平方公式求出，最后根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据分式混合运算进行化简，再将数值代入，分母有理化进行求值． 【详解】解：原式 ； 将代入，原式 题型六：已知条件式化简求值 21．阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 【答案】， 【分析】利用平方差公式可得，进而得到，再结合解方程组即可． 【详解】解：由题意得： ． ∵， ∴， 由①，   ②， ①+②得：， 解得：， 综上，，． 22．阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又．这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题：已知． (1)求的值： (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据题意构造对偶式即可求解； （2）构造方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴． （2）解：∵， 整理得：， 解得：． 23．请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题： (1)①化简：______； ②比较大小：______；（用“”、“”或“”填空） (2)设有理数a、b满足：，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①；② (2)26 (3)3 【分析】（1）①利用分母有理化的法则解答即可； ②根据分母有理化的法则得到，，再根据分数的性质解答即可； （2）将已知等式左边通分并进行分母有理化，与等式右边比较，利用无理数相等条件求出、的值，再计算的值即可； （3）设，，利用平方差公式得到，进而得到． 【详解】（1）解：①； ②∵，， ∴，， ， ， ； （2）解： ， ，都是有理数， ， 解得， ； （3）解：设，， ， ， ， ， 即． 24．（1）计算； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6；（3）54 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的混合运算，熟知平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式求解即可； （2）根据已知条件和平方差公式可得，据此可得答案； （3）设，则可推出，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）； （2）∵，， ∴， ∵， ∴； （3）设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型七：比较二次根式的大小 25．观察下列一组等式，然后解答后面的问题 (1)观察以上规律，请写出第个等式：_____（n为正整数）． (2)利用上面的规律，计算： (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给式子，可得出第个等式为； （2）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题； （3）根据上面的规律可以比较和的大小． 【详解】（1）解：（为正整数）. （2）解： . （3）解：，， 而， . 26．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ∵， ∴． (1)对二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用题干中的方法将分子有理化即可； （）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∵， ∴， ∴． 27．阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫做分母有理化． 问题： (1)的一个有理化因式是_____，的一个有理化因式是_____； (2)计算：； (3)已知，，试比较，的大小，并说理． 【答案】(1)； (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可得出结果； （2）先对每一项进行分母有理化，然后通过化简计算即可得出结果； （3）先求出、的值，再比较它们的大小即可． 【详解】（1）解：的一个有理化因式是，的一个有理化因式是； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴， ， ∴． 28．阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如： 将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决下列问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小： 填写“”，“”或“”)； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平方差公式先分子和分母都乘以即可解答； （2）先分母有理化，然后再比较大小即可； （3）先分母有理化，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∵ ∴． 故答案为：． （3）解： ． 题型八：二次根式的实际应用 审题不清弄错数量关系，列式出错；忽视实际取值为正数，根式化简不彻底，计算误差大，结果忘记结合生活情境取舍。 29．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现．（不考虑阻力的影响） (1)直接写出物体从的高空落到地面的时间______s； (2)已知从高空坠落的物体所带能量E（单位：J）物体质量（）高度（m）．一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙落下对人体是否能造成伤害？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)能造成伤害 【分析】（1）将代入公式即可得； （2）先将代入公式，求得此时的高度，然后根据公式求得钥匙落在地上的能量，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意； （2）解：当时，，解得， ∴， ∵， ∴能造成伤害． 30．观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：    ； ； ； (1)推算出________________；________________． (2)用含（是正整数）的等式表达上述变化的规律，即________________； (3)求出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）根据已知等式找出规律即可求解； （）根据已知等式找出规律即可求解； （）利用（）的规律代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的应用，勾股定理的应用，由已知等式找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴； ∵， ， ， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：由（）可得，， 故答案为：； （3）解： ． 31．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 32．两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时．与t的部分对应数值如表： 0 6 0 0 (1)机器人乙运动的路线长为______m； (2)求的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值． 【答案】(1)60 (2)2 (3)或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用直角三角形斜边中线的性质求得，求出，易证为等边三角形，得到，分当点Q在上和点Q在上时，两种情况讨论，分别求得，，据此求解即可； （3）根据题意分当点Q在上和点Q在上时两种情况讨论，利用勾股定理结合直角三角形的性质分别求出，列式一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴机器人乙运动的路线长为， 故答案为：60； （2）解：在中，，， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴． 如图，当Q在上时，， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：，解得：， 当点Q在上时，作，垂足为H（如图）， 同理，得， ∴； （3）解：由（2）可知， 在中，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 如图，当点Q在上时， ，，则， ∴，， ∴， ∴，解得：． 如图，当Q在上时， 同上可得，， ∴，解得：． 综上所述：或． 题型九：二次根式的新定义问题 33．对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 利用新定义得到，，然后利用乘法公式展开后合并即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ， 故答案为：． 34．定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ____． 【答案】7 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．易知与是一对“对偶式”，可根据化简计算即可． 【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”， ∵， ∴ 故答案为：7． 35．定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．已知：，根据“有理式”的定义，试解决以下问题： (1)求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解关于的方程：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题干中的方法进行解答即可； （2）根据（1）中的结论得到，进行解答即可． 【详解】（1）解： ， ∴． （2）解：由（1）知： 而 两式相加得： 则 两边平方得到，，解得， 经检验，是方程的解， ∵，成立． 36．阅读材料，理解定义，完成下列问题： 在二次根式运算中，我们常遇到分母含有根号的式子．为了使分母不含根号，我们引入一种新的运算——“共轭化简法”． 定义：共轭化简法 对于形如或的式子，通过乘以一个适当的根式，使分母变为有理数，这个过程称为共轭化简． 1．若分母为单根号，则分子分母同乘； 2．若分母为，则分子分母同乘（称为“共轭式”）． 示例： 问题： (1)利用共轭化简法化简_____；_____． (2)方法迁移，解决变式问题：化简_____． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中定义的方法直接计算； （2）应用分母为二项式的有理化方法进行计算； （3）将每一项分式进行分母有理化，可以发现原式是一个各项可以前后相消的裂项和，合并后即可求值； 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 题型十：二次根式的阅读理解类问题 37．【阅读材料】 在学习二次根式时，小张同学发现一些含根号的式子可以化成另一表达式的平方． 如： 【类比归纳】 (1)填空：①； ②； 【理解运用】 (2)请你仿照小张的方法，将化成一个式子的平方，并写出转化过程． 【答案】(1)①；② (2)，过程见解析 【分析】（1）根据材料提示方法，结合完全平方公式计算即可； （2）根据材料提示方法，把拆分为，结合完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：① ， ② ； 故答案为：①；②； （2）解： ． ． 38．阅读与思考 下面是小明在数学兴趣活动中遇到的一个问题，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现，当时，有，，当且仅当时，取等号． 【问题解决】 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，． 当且仅当，即时，取等号，的最小值为4． 任务： (1)当时，的最小值为________． (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答． （1）根据阅读中的公式计算即可； （2）首先化简得到，运用公式计算即可． 【详解】（1）解：当时， ∴的最小值为2； （2）解：， ，， ， 当且仅当，即时，取等号， 的最小值为， 的最小值为， 的最小值为． 39．阅读与思考：下面是小府同学的阅读笔记，请认真阅读并完成相应任务． 关于二次根式的化简概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”． 例如：；． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)化简______． (2)直接写出计算结果． ______． (3)结合典例1和典例2归纳猜想． ______（n为正整数）． (4)计算： ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理化因式和分母有理化的概念，熟练掌握有理化因式和分母有理化的概念是解决本题的关键． （1）进行分母有理化即可． （2）先进行分母有理化，结合裂项相消求和，再使用平方差公式求解即可． （3）将分母变为，再结合分母有理化的概念，求解即可． （4）先化简各式，然后加减运算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：， ， ， ， ∴ ， ∴ ． （3）解： ； 故答案为：． （4）解： ； 40．阅读与思考：下面是小美的阅读笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 关于二次根式的化简 概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：． 我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 概念3：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母” 例如：． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)写出的一个有理化因式：______；将分母有理化的结果是_______． (2)猜想：_______（n为正整数）． (3)计算：______． (4)计算：_______． 【答案】(1)； (2) (3)2025 (4) 【分析】本题考查了有理化因式和分母有理化的概念，熟练掌握有理化因式和分母有理化的概念是解决本题的关键． （1）根据有理化因式与分母有理化的概念求解即可． （2）将分母变为，再结合分母有理化的概念，求解即可． （3）先进行分母有理化，结合裂项相消求和，再使用平方差公式求解即可． （4）先进行分母有理化，结合裂项相消求和求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的一个有理化因式：； ； 故答案为：；． （2）解： ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ∴ ， ∴ ． （4）解：由（2）知，， ∴， ∴，， ，， ∴ ． 1．（2026·江苏扬州·一模）若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题先根据已知等式变形得到，再对所求多项式降次变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 两边平方得 展开得 整理得，等式两边同除以得 ∴ = 2．（25-26九年级下·重庆·期中）已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的大小，即可得到的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， 即． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能合并，，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确. 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，根据二次根式的性质求出正方形的边长即可求解，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长， 小正方形的边长， ∴阴影部分的面积， 故选：C． 5．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）比较大小：_________（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】通过比较平方的大小来判断平方根的大小，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴； 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）整数满足，且二次根式与是同类二次根式，则 ______． 【答案】或 【分析】根据二次根式的定义，先确定的值，再求出． 【详解】解：二次根式与是同类二次根式， 令（为正整数），即， 当时，，； 当时，，（不合题意，是整数）； 当时，，； 当时，，（不合题意，是整数）； 当时，，（不合题意，）． 故答案为：或． 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 【答案】 【分析】通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：由规律可得：， 当时，式子为， ∵， ∴，， ∴． 8．（25-26八年级上·山西大同·月考）如图，在中，，，点是线段上一点，过点作交的延长线于点，过点作交于点，连接，若，的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．过点作于点，先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的长，则可得的长，然后利用的面积计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·江西上饶·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的减法运算法则求解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26八年级下·天津和平·阶段检测）计算： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） 解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．（25-26八年级下·广东中山·期中）如图，小明家有一块长方形空地，长为 宽为 现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为 宽为 (1)求长方形空地的周长； (2)求小明家种草莓的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方形的周长公式求解即可； （2）小明家种草莓的面积等于长方形的面积减去长方形水池的面积，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， 答：长方形空地的周长为； （2）解： ， 答：小明家种草莓的面积为． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）阅读理解：已知，为非负实数，因为 ，所以 ，当且仅当时，等号成立，这个结果就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例如：已知，求代数式的最小值． 解：令， ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． (2)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ． (3)某物流公司的一辆货车要从甲地匀速开往乙地，两地相距千米．根据经验，该货车每小时的耗油成本 与行驶速度 的平方成正比，比例系数为 ；而司机的工资、车辆折旧等其他固定成本为每小时元．设货车从甲地到乙地的总成本为元，为了使总成本最低，货车的行驶速度应为多少千米小时？此时的最低总成本是多少元？(注：假设道路限速允许该速度行驶) 【答案】(1)正数时，代数式有最小值，最小值为 (2)， (3)当货车的行驶速度为时，总成本最低，最低成本是元 【分析】（1）根据例题求得代数式的最小值； （2）根据，进而求得，即可求解． （3）根据题意得出，进而求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：令 ，则由，得 当且仅当 ，即正数时，代数式有最小值，最小值为8． （2）解： 当且仅当时， ∴， 又∵ ∴ ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （3）由题意得： 当且仅当时，即 当货车的行驶速度为时，总成本最低，最低成本是120元． 13．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9； (2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方法比较大小即可； （2）构造三边为， 的三角形，根据三边关系比较大小即可；根据平方法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：构造线段法：如图； ， ； 平方法：， ， ， ． 14．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：    ； ； ； (1)推算出________________；________________． (2)用含（是正整数）的等式表达上述变化的规律，即________________； (3)求出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）根据已知等式找出规律即可求解； （）根据已知等式找出规律即可求解； （）利用（）的规律代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的应用，勾股定理的应用，由已知等式找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴； ∵， ， ， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：由（）可得，， 故答案为：； （3）解： ． 15．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ，即， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $