福建南安第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 南安一中高二期中数学试卷聚焦函数、数列、概率统计等核心知识，以智能客服、空间站安排、工厂生产等现实情境为载体，通过梯度化问题设计考查数学思维与应用能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数单调性、等比数列、二项式定理|基础概念与运算，如第4题智能客服概率计算| |多选题|4/20|事件独立性、等比数列性质、导数应用|多维度辨析，如第10题等比数列前n项积最值分析| |填空题|4/20|正态分布、函数最值、赌博输光概率模型|情境化应用，如第14题赌徒输光概率递推求解| |解答题|6/70|数列求和、导数综合、统计决策、概率递推|分层综合，如第17题工厂元件利润期望比较，第19题放球概率迭代推理|

报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 南安一中2025-2026年高一下学期期中考试 数学科试卷 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [0] [o] [0] [0] [o] [o] [0] [1 [1] [1] [1] [1] [1] [1] 可搬口 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] 3 [3] [3] 3 [3] [4] [4] 「4] [4] [4] [4] 4 4 [51 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] 6) [6] [6] [6] [6] [6] [6] 正确填涂■缺考标记☐ [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(18为单选题911为多选题 1[A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][c][D] 9[A][B][Cc][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12. 13 14. 解答题 15. 囚囚■ 第1页共6页 逆9并连z巢 ■囚囚 91 17. ■ 第3页共6页 逆9详逆嵬 囚■囚 0 0 0 '81 ■ 9并s嵬 囚■囚 6I ▣ ■ 第6页共6页 南安一中2025-2026学年度下学期高二年期中考 数学科试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 2．设等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A．4 B． C．2 D． 3．已知（）的展开式中的系数为13，则实数b的值为（   ）. A． B． C． D． 4．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 5．某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（   ） A．150 B．90 C．60 D．30 6．已知函数满足，且，设数列满足，则数列的前n项和的表达式为（    ） A． B． C． D． 7．甲、乙、丙、丁四名高三毕业生和一名老师站成一排拍照留念，则在甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A．事件相互独立 B．事件互斥 C． D． 10．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A．0<q<1 B． C．的最大值为S7 D．的最大值为T6 11．已知，则下列正确的是（   ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设为曲线在处的两条切线，若，则 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 12．已知随机变量，若，则_______． 13．已知函数的最小值为0，则___________． 14．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率___________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（6分+7分）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求数列的前项和； (2)若，求； 16．（4分+6分+5分）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 17．（3分+4分+8分）某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件甲 12 8 40 33 7 元件乙 17 8 40 28 7 (1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率； (2)生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下： ①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率； ②记X，Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较和的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 18．（3分+7分+7分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在，使得曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)证明：时，在上不存在极值. 19．（3分+5分+9分）有编号为的个空盒子，另有编号为的个球，现将个球分别放入个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记号球能放入号盒子的概率为． (1)求； (2)当时，求； (3)求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 南安一中2025-2026学年度下学期高二年期中考 数学科试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C D B A C A D AC AD ACD 填空题： 12． 13． 14． 5．A【详解】共5名宇航员同时在3个舱中开展实验，则有两种情况， 若按人数分为三组，则有种方法，若按人数分为三组，则有种方法， 共有种不同方法. 6．C【详解】由题意可知，则， 累加可得，且，即，满足上式， 所以，所以的前n项和的表达式为.故选：C 7．A【详解】甲站在最右端的排法有种，甲不站两端，乙也不在最右端的排法有：. 所以甲不站最左端，乙不站最右端的排法种数为：种.甲站在最右端，老师站中间的排法有种， 甲不站两端，乙也不在最右端，老师站中间的排法有：. 所以甲不站最左端，乙不站最右端，老师站在最中间的排法种数为：种. 所以甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为：.故选：A 8．D【详解】令，，则， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 因为，所以，又，不妨设，记，. 解法一：设， 则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，则，又，且在上单调递减，所以，则，所以，故选D. 解法二：由，两式相减整理得， 由对数均值不等式，可得.故选：D. 9．AC【详解】事件相互独立的充要条件是， 由，，，结合， 可得：， 由，则，即事件相互独立，故A正确； 互斥事件充要条件是，这里，故B错误； 因为，所以 ， 因为，所以，故C正确；根据条件概率公式计算：， 因为，所以，即，故D错误. 10．AD【详解】等比数列{an}，公比为q，由a1>1，，得q>0且q≠1， ，得a6>1，a7<1，若不然，，则q>1，又a1>1，则a6>1，a7>1，不成立，故q<1， 所以选项正确；，因为，所以，所以选项错误； 因为0<q<1，a1>1，所以数列各项均为正值，Sn没有最大值，所以选项C错误； 因为，所以Tn的最大值为T6，所以选项正确.故选：AD 11．ACD【详解】已知，求导得 选项A：当 时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为， 故直线一定是的切线，故A正确； 选项B：当时，，故 B错误； 选项C：若在单调递增，则在恒成立，当时，， 因此需要对所有恒成立，即，解得，即，故C正确； 选项D：求导得：，切线等价于 ， 整理得：，因为，两边除以得， 即，故D正确. 12．【详解】依题意，. 13．【详解】易知函数的定义域为，且, 当时，恒成立，此时在上单调递减，不存在最小值，不合题意； 当时，令可得, 又时，，时，， 所以此时在上单调递减，在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值，即，即，解得，符合题意； 综上可知. 14．/【详解】设当赌徒手中有元时，最终输光的概率为， 当时，赌徒已经输光了，所以，当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率为，记：赌徒有元最后输光的事件，：赌徒有元下一次赢的事件， 所以， 即，所以， 所以为等差数列，设， 由于，所以， 所以，故故答案为： 15．(1)(2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意， 1分 所以， 3分 所以； 4分 6分 （2） 由题意， 3分 7分 16．(1)(2)（i）最大值为，最小值为；（ii）． 【详解】（1）因为， 所以，       3分 则， 所以． 4分 （2）（i）由（1）得， 则，       1分 因为，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，       3分 ，又， 5分 所以在[0,3]上的最大值为，最小值为．      6分  （ii）因为，， 所以，       2分 由（i）可知在上的最大值为， 由，   3分     所以， 4分 所以实数的取值范围为． 5分 17．(1)甲为正品的概率，乙为正品的概率(2)①；② 【详解】（1）由已知100件甲元件的样本中正品的频率为， 1分 100件乙元件的样本中正品的频率为， 2分 由频率估计概率可得（不写扣1分） 生产一件元件甲为正品的概率为，     生产一件元件乙为正品的概率为； 3分 （2）①设生产的5件乙元件中正品件数为，则有次品件， 由题意知得到， 2分 设“生产5件乙元件所获得的利润不少于300元”为事件， 则． 4分 ②设生产一件甲元件的利润为，则的所有取值为90,-10， 1分 则，， 所以的分布列为： 90 -10 P ， 3分 所以 4分 设生产一件乙元件的利润为，则的所有取值为100,-20， 5分 则，， 所以的分布列为： 100 -20 P ， 所以 7分 所以 8分 18【答案】(1)(2)存在满足题意，理由见解析.(3)证明见解析 【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； （2）首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； （3）求出函数的导函数，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到的单调性，从而得证. 【详解】（1）当时，， 则， 1分 据此可得， 2分 函数在处的切线方程为， 即. 3分 （2）令， 1分 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 2分 定义域关于直线对称，由题意可得， 3分 由对称性可知， 4分 取可得， 即，则，解得， 5分 经检验满足题意，故. 6分 即存在满足题意. 7分 （3）因为，， 所以， 1分 令，， 2分 则， 3分 当时，所以在区间上单调递增， 4分 则， 5分 又，所以恒成立，即在上单调递减， 6分 故函数在上不存在极值. 7分 19．(1)(2)(3) 【分析】（1）分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算； （2）分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算； （3）分三类讨论1号球放入的盒子，1号球放入 号盒中等效于将编号为的球，按照题设规则放入编号为的盒中，做差运算可得迭代得出结论.. 【详解】（1）1号球放入1号盒中的概率为,此时2,3号球分别放入2,3号盒中； 1号球放入2号盒中的概率为,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为, 1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中; 综上所述： . 3分 （2）1号球放入1号,4号，5号，, n 号盒中的概率为，此时3号球可放入3号盒中; 1号球放入2号盒中的概率为,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号，4号，5号，.... n 号盒中，概率为, 1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中; 综上所述： 5分 （3）1号球放入1号，号，号，号，..., n 号盒中的概率为,此时 k 号球可放入 k 号盒中： 1号球放入 号盒中的概率为,此时2号，3号，....号球都可以放入对应编号的盒中， 剩下编号为 的球和编号为 的空盒， 此时 j 号盒非空， j 号球在所有空盒中随机选择一个放入，此时要让 k 号球放入 k 号盒中的放法总数等效于将编号为的球， 按照题设规则放入编号为的盒中（1号球仍然随机选择一个盒子放入）,所以概率为 1分 1号球放入 k 号盒中时，此时 k 号球不能放入 k 号盒中： 所以 , 3分 整理得： ,① 5分 分别用 和 替换 和 ，可得： ,② 6分 由①②式相减，整理得： 从而 , 7分 等于1号球不放在2号盒的概率， 即. 8分 所以 9分 【点睛】关键点点睛： 1号球放入 号盒中的关键是等效于将编号为的球，按照题设规则放入编号为的盒中，做差运算可得迭代得出结论.. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $南安一中2025-2026学年度下学期高二年期中考 数学科试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.函数f(x)=(x-2)e的单调递增区间是() A.（-0,1) B.(0,2) C.(1,+0) D.(3,+0) 2%63 2.设等比数列{a,}的前u项和为S,若3= ,则公比9=() A.4 B.-2 C.2 D.-4 3.已知(1-2x)b+x)4(b∈R)的展开式中x4的系数为13，则实数b的值为(). A月 C.3 2 n 4,某公司升级了智能客服系统。当输入的问题表达清晰时，智能容服的回答被采纳的概率为。，当输入的问影表 达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；·已知输入的问愿表达不清晰的概率为子·则智能客服的回答被采 纳的概率为() 入月 B C. 4 5 D. 5-6 5.某空间站由A,B,C三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱 至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为() A.150 B.90 C.60 D.30 6.己知函数f(x)满足f(x+1)-∫(x)=2x-1,且f(0)=1,设数列{a}满足a.=f(n),则数列{a}的前n项和的 表达式为() A.n2-2n+2 B.n2-n+1 c.nn-1)(2n-1) D.12(n+1) n+1 6 7.甲、乙、丙、丁四名高三毕业生和一名老师站成一排拍照留念，则在甲不站最左端，乙不站最右端的条件下， 老师站在最中间的概率为() 7 A.39 C.4 7 39 D.30 8.已知6lnm=+a,6=e+a,其中m≠e”,则m+e”的取值范围为() A.(0,6n2) B.(0,12) C.(6h2,+o) D.(12,+0) 试卷第1页，共3页 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.设4，B是一个随机试验中的两个事作，且P)=分P)=号P4UB)-名，则（) A.事件A,B相互独立 B.事件A,B互斥 C.P(AUB)=P(B) D.P(BIA)=P(AB) 10.设等比数列a,}的公比为g,其前n项和为S.,前n项积为江，并且满足条件4>1,44，>1，<0，则 4-1 下列结论正确的是() A.0<q1 B.464>1 C.Sn的最大值为S D.T的最大值为T6 11.己知f(x)=(x-a)(x-2),则下列正确的是() A.直线y=0为∫(x)的切线 B.若f()<f(a),则a∈(-1,1) C.若f(x)在(-o,2)上单调递增，则a∈[2，+∞) D.设4，为曲线f四在(k(》.(3(c》处的两条切线，若1以，则+5=4+回 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 12.己知随机变量X~N10,o),若P(X≤12)=0.8，则P(8≤X≤12)= 13.己知函数f(x)=m-hx的最小值为0，则a= 14.假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输 就要输掉1金币赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币；二是手中金 币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率 四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（6分+7分)已知数列{an},41=1,a2=2,前n项和为Sn, (1)若{a}是等差数列，求数列 的前n项和Tn: ad n,n为奇数 ②诺a2偶数ue).求及： 试卷第2页，共3页 16.(4分+6分+5分)已知函数f9=弋+m-八，且/了2=0. (1)求m-n的值； (2)若>0. (i)求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值： (ii)若]xe[0,3],y∈- 元3 6’4 ,siny≤f(x),求实数m的取值范围. 17.（3分+4分+8分)某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于 76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [60,68) 「68,76) [76,84) 「84,92) [92,100] 元件甲 12 8 40 33 1 元件乙 17 8 40 28 > (1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率； (2)生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若 是次品则亏损20元，则在(1)的前提下： ①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率； ②记X,Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较E(X)和E(Y)的大小 试卷第3页，共3页 18.(3分+7分7分)已知函数f)-+ah+) (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： ②足否花在ab:使何陆线=了付）天于直线-6对格，若存在，求a6的值，若不布在，说明理面： (3)证明：a≤0时，f(x)在(0，+o)上不存在极值. 19.(3分+5分+9分)有编号为1,2，，n的n个空盒子(n≥2，n∈N),另有编号为1,2，，k的k个球(2≤k≤n,k∈N), 现将k个球分别放入个盒子中，每个盒子最多放入一个球.放球时，先将1号球随机放入个盒子中的其中一个， 剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的 盒子中：若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个.记k号球能放入k号盒子的 概率为P(n,k). (1)求P(3,3): (2)当n≥3时，求P(m,3): (3)求P(Lk). 试卷第4页，共1页 南安一中2025-2026学年度下学期高二年期中考 数学科试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 o 7 9 10 11 答案 C C D C A D AC AD ACD 填空题： 12.5 13. 14.0.93 e 5.A【详解】共5名宇航员同时在3个舱中开展实验，则有两种情况， 若按人数分为1,3三组，则有CCC×A=60种方法，若按人数分为12,2三组，则有CC℃×A=90种方法， 2 2 共有60+90=150种不同方法. 6.C【详解】由题意可知aH-a=2n-1,则a-a-1=2n-3,,4-4=1, 累加可得a-4=2-3++1-2m-3+m-少-61-1，且/0-0)=-1=4-1，即4=0，满足上式. 2 所以a=(口-1，所以a,}的前n项和的表达式为立4--21-少故选：c i=1 6 7.A【详解】甲站在最右端的排法有At=24种，甲不站两端，乙也不在最右端的排法有：A·AA=54. 所以甲不站最左端，乙不站最右端的排法种数为：24+54=78种.甲站在最右端，老师站中间的排法有A=6种， 甲不站两端，乙也不在最右端，老师站中间的排法有：A?·A,·A)=8 所以甲不站最左端，乙不站最右端，老师站在最中间的排法种数为：6+8=14种 所以甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为：P=4乙枚选：A 7839 8.D【详解】令f)=6血x-x,x>0,则f)=6-1=6-x, 故当x∈(0，时，f(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(6，+∞)时，f"(x)<0,f()单调递减， 因为6lnm=m+a,6n=6lne"=e"+a,所以f()=f(e”）,又m≠e",不妨设0<m<6<e”,记x=l,x2=e". 解法一：设g(x)=f12-x)-f(x)=6ln12-x)-12-x)-(6lnx-x)=6n12-x)-6lnx+2x-12,x∈(0,6)， 则因，2：一-0在QO上正成，所以：布0上单调毫该.所以 x(x-12) g(x)>g(⑤=f(12-6)-f(6)=0,则f(12-)>f(:)=f(x),又12-x,6∈(6，+w),且f(x)在(6，+w)上单调递 减，所以12-<6，则+6>12，所以m+e”>12,故选D. 解法二：由6nm=m+a6n=61ne=e+a,两式相减整理得，e-m=6, ne”-lnm 答案第1页，共8页 由对数均值不等式，<2可得m+e>2×二2x6=2税选：D lne”-lnm 9.AC【详解】事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B), 自0=方列=子P4U别=名结合P4U)P④P@)M@, 可得：调=国-K-4,8台子 4B)=PA)P(B=×21,则PAB)=P0PB),即事件A,B相互独立，故A正 互斥事件充要条件是P(AB)=0,这里P(4B)=≠0，故B错误： 因为4周=-4=分名所以P4U=PW+P间-Pa调=子号若号 2361 1 因为P=号所以PAU列=P②)，放C正确；根据条件概率公式计算：P()=P固-日} P(A)13' 2 1 风为i-)号号行所以团四-音片即顺=a.收D装天 10.AD【详解】等比数列{w心，公比为q,由a>1,a64,>1,得q空0且q1, -0,得a1,1,若不然，4，>1,0<4，<1，则P1,又a>1,则1，>1,50不成立，故0<g1, 4-1 a,-1 所以选项A正确：=42，因为0<，<1,4,2<1，所以a%4<1,所以选项B错误： 因为0<心1，a>1,所以数列各项均为正值，2没有最大值，所以选项C错误： 因为a4>1,0<q<1,a>1,a<1,所以T的最大值为T6,所以选项D正确故选：AD 11.ACD【详解】已知f(x)=(x-a(x-2)2,求导得f'(x)=(x-2)+2(x-a(x-2)=(x-2)3x-2a-2) 选项A:当x=2时，f(2)=0,且f"(2)=0,因此x=2处切线斜率为0，切线方程为y=0, 故直线y=0一定是∫(x)的切线，故A正确； 选项B:当a=0时，f(a)=f(a=f(0),故B错误： 选项C:若f(x)在(-∞，2)单调递增，则f'(x)≥0在(-0,2)恒成立，当x<2时，x-2<0, 因此需要3x-2a-2≤0对所有x<2恒成立，即2a+2≥3xmx=6,解得a≥2，即a∈[2，+w),故C正确； 选项D:求导得：f"(x)=3x2-2(a+4)x+4a+4,切线/1川等价于f()=f"(), 整理得：3(x-x)-2(a+4)(:-x)=0,因为x≠x2,两边除以-x得3(：+x)=2(a+4), 2 即+专4+@，故D正确 答案第2页，共8页 12.子【详解】依题意，P8≤X≤12)=1-1-P(X≤12)x2=0.6 13.1【详解】易知函数f(x)的定义域为(0，+)，且f"(x)=a-上=-1 xx 当a≤0时，f'(x)<0恒成立，此时∫(x)在(0，+o)上单调递减，不存在最小值，不合题意： 当a>0时，令f'(y)=0可得x=1 a 又xeo,时，f'四<0，xe2+m时，f(四>0， a 即闲在古处取得极小值，也是烫小值，即日-1-加日0，即1+a=0,解得a日符合题意。 a a 综上可知a e 3/0.93【详解】设当赌徒手中有n元(0≤n≤100，n∈N)时，最终输光的概率为P), 14.100 当n=0时，赌徒已经输光了，所以P(o)=1,当n=1000时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率 为P(1000)=0,记M:赌徒有n元最后输光的事件，N:赌徒有n元下一次赢的事件， 所以P(M)=P(N)PMIN)+P NP(MIN), 即P00=P0m-）+2P0+),所以n+)-P网=A-Pm-), 2 所以{P(m)}为等差数列，设P()-P(n-1)=d, 由于P1000)=P(0)+1000d=1+1000d=0,所以d=-,1 1000 所以P00=P0)+d=1-, 93 1000故P70)11800=故容案为： 100 15.0国r-号0- n+1 【详解】(1)设等差数列{}的公差为d,由题意d=1,…1分 所以=n,… …3分 1 1-11 所以一 ad n(n+1)nn+1: …4分 x传卦+2点启 …6分 (2)由题意，Sm=41+4+4++am1+43+a4++4m =1+3+5++(2-1)+2+23+2+…+22m1…3分 号0+2n*24-小=+4-小…7分 答案第3页，共8页 16.@a=0回数大值为Q=4”,最小值为0-=m:[e-4四) 【详解】(1)因为f)=。+mx-, e 所以f)= 2x+m)e3-(x2+mx-）e=-+(2-mx+m+n …3分 则f(2)=4+22-m+m+n=-0-0=0, 所以m-n=0.…4分 (2)(i)由(1)得m=n, 则f(时=t+2=mx+2m=-(c-2x+m,xre[0,引， …1分 ex e* 因为m>0,令f"(x)>0,得0≤x<2: 令f'(x)<0,得2<x≤3， 所以(x)在[0,2)上单调递增，在(2,3]上单调递减， …3分 f0因2=f2=4+，又f0=-m<0,f0)=3>0,……5分 所以f6)在0,3上的最大值为f2)=4”,最小值为f0=一心，…6 (ii)因为3x∈[0,3]，∀y∈- π3π 64 siny≤f(x), 所以(Siny)ms≤f(r)mx, …2分 由(i)可知f()在[0,3]上的最大值为f(②)=4+ e2, …3分 所以1≤4+今m2e2.4>0,1 …4分 所以实数n的取值范围为[e2-4,+o). …5分 1R0甲为正品的话率专乙为正品的5率子®0器：@(0-0) 【详解】（1)由己知100件甲元件的样本中正品的频率为40+33+7-4。 1005’ …1分 100件乙元件的样本中正品的频率为40+28+7_3 …2分 10041 由频率估计概率可得（不写扣1分） 生产一件元件甲为正品的概率为号， 生产一件元件乙为正品的概率为本： 3 …3分 (2)①设生产的5件乙元件中正品件数为x,则有次品5-x件， 由题意知100x-20(5-x)≥300得到x=4,5,… …2分 答案第4页，共8页 设“生产5件乙元件所获得的利润不少于300元”为事件C, …4分 44 ②设生产一件甲元件的利润为5，则5的所有取值为90，-10， …1分 则5=90-手5=-10 1 所以专的分布列为： 90 -10 4 1 B(5)=90x4-10x=70 …3分 所以E(X)=E(10005)=1000E(5)=1000×70=70000…4分 设生产一件乙元件的利润为刀，则5的所有取值为100，-20，…5分 则g=100=子Pg=-20= 1 所以5的分布列为： 5 100 -20 3 1 4 B(7)=100x3-20×170, 4 4 所以E(Y)=E(1000n）=1000E(7)=1000×70=70000…7分 所以E(X门=E()… 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …8分 8【答案】()血2)x+yh2=0(②)存在ab)满足题意，理由见解析.(3)证明见解 2 【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线 方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于 实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确即可： (3求出函数的号函数了=h(x-) 令h()=hx+1)-ar+,x∈(0，+)，利用导数说明 x+1 x+1 函数的单调性，即可得到∫(x)的单调性，从而得证 【详解】1)当a=-1时，)（任n(+). 答案第5页，共8页 $$f ' \left( x \right) = - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \times \ln \left( x + 1 \right) + \left( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } - 1 \right) \times \frac { 1 } { x + 1 } ，$$ ..............1分 据此可得 f(1)=0，f'(1)=-ln2， ......................... ............... 2分 函数在(1.f(1))处的切线方程为 y-0=-ln2(x-1)， 即 (ln2)x+y-ln2=0 0............... ...................................... ............................3分 (2)令g $$g \left( x \right) = f \left( \frac { 1 } { x } \right) = \left( x + a \right) \ln \left( \frac { 1 } { x } + 1 \right)$$ ....................................................1分 函数的定义域满足 $$\frac { 1 } { x } + 1 = \frac { x + 1 } { x } > 0 ，$$ ，即函数的定义域为 (-∞，-1)∪(0，+∞)， ，...................2分 义域关于直线 $$x = - \frac { 1 } { 2 }$$ 对称，由题意可得 $$b = - \frac { 1 } { 2 } ，$$ ........................................3分 由对称佳可知 $$g \left( - \frac { 1 } { 2 } + m \right) = g \left( - \frac { 1 } { 2 } - m \right) \left( m > \frac { 1 } { 2 } \right) ，$$ ..... ..........4分 $$m = \frac { 3 } { 2 }$$ 可得 g(1)=g(-2)， 即(a $$\left( a + 1 \right) \ln 2 = \left( a - 2 \right) \ln \frac { 1 } { 2 } ，$$ ，则 a+1=2-a， $$a = \frac { 1 } { 2 } ，$$ ...........5 5分 经检验 验a $$a = \frac { 1 } { 2 } ， b = - \frac { 1 } { 2 }$$ 满足题意，故a $$a = \frac { 1 } { 2 } ， b = - \frac { 1 } { 2 }$$ .......................................6分 即存在 在a 满足题意.........................................................................7分 (3)因为 $$f \left( x \right) = \left( \frac { 1 } { x } + a \right) \ln \left( 1 + x \right) ， x \in \left( 0 ， + \infty \right)$$ 所以f $$f ' \left( x \right) = \left( - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \right) \ln \left( x + 1 \right) + \left( \frac { 1 } { x } + a \right) \frac { 1 } { x + 1 } - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \left[ \ln \left( x + 1 \right) + \frac { a x ^ { 2 } + x } { x + 1 } \right] ，$$ ...........1 1分 令h( $$h \left( x \right) = \ln \left( x + 1 \right) - \frac { a x ^ { 2 } + x } { x + 1 } ， x \in \left( 0 ， + \infty \right) ，$$ .......... ........................... 2分 $$h ' \left( x \right) = - \frac { x } { \left( x + 1 \right) ^ { 2 } } \left( a x + 2 a - 1 \right) ，$$ ..............3 3分 当 a≤0 时 h'(x)>0， ，所以 h (x)在区间 (0，+∞) 上单调递增，…...............................4分 则 h(x)>h(0)=0， ............ ........................ 5分 又 $$- \frac { 1 } { x ^ { 2 } } < 0 ，$$ ，所以 f'(x)<0 恒成立，即f(x)在 (0，+∞) 上单调递减，…......................6分 故函数f(x)在 (0，+∞) )上不存在极值.…......... ........... 7分 $$1 9 . \left( 1 \right) \frac { 1 } { 2 } \left( 2 \right) \frac { n - 2 } { n - 1 } \left( 3 \right) P \left( n ， k \right) = \frac { n - k + 1 } { n - k + 2 }$$ 【分析】(1)分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算； (2)分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算； 答案第6页，共8页 (3)分三类讨论1号球放入的盒子，1号球放入(2≤j≤k-1)号盒中等效于将编号为1,2，…，k-j+1的球，按照 题设规则放入编号为1,2，，n-j+1的盒中P(n-j+1,k-j+1),做差运算可得P(n,k)=P(n-1,k-1)迭代得出结论. 【详解】(1)1号球放入1号盒中的概率为此时2,3号球分别放入2,3号盒中： 1号球放入2号盒中的概率为，欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为}， 1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中： 综上所述：P(3,3)=33×22 1,111 … …3分 (2)1号球放入1号，4号，5号，，n号盒中的概率为”-2， 此时3号球可放入3号盒中； 1号球放入2号盒中的概率为，欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号，4号，5号，…n号盒中，概率 为2 n-1 1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中； 综上所述：P0u,3)=M-2+1xn-2n-2 …5分 n'n n-1n-1 (3)1号球放入1号，k+1号，k+2号，k+3号，2号盒中的概率为”k+1,此时k号球可放入k号盒中： 1号球放入j(2≤j≤k-1)号盒中的概率为二，此时2号，3号，…j-1号球都可以放入对应编号的盒中， 剩下编号为j,j+1,j+2,,k的球和编号为1，j+1,j+2,…,n的空盒， 此时了号盒非空，j号球在所有空盒中随机选择一个放入，此时要让k号球放入k号盒中的放法总数等效于将 编号为1,2，，k-j+1的球， 按照题设规则放入编号为1,2，，n-j+1的盒中(1号球仍然随机选择一个盒子放入)，所以概率为 P(n-j+l,k-j+l)… …1分 1号球放入k号盒中时，此时k号球不能放入k号盒中： 所以P列=业-++人岁-+1g-j1）,…3分 nn k-1 整理得：P(n,k)=(n-k+1)+∑P(n-j+1,k-j+),①…5分 分别用n-1和k-1替换n和k,可得： -2 (-1)P-1,k-1)=-k+1HP-j,k-j).② …6分 由①②式相减，整理得：P(n,k)=P(n-1,k-1) 答案第7页，共8页 从而P(n,k)=P(n-1,k-1)=…=P(n-k+2,2),…7分 P(n-k+2,2)等于1号球不放在2号盒的概率， 即P(n-k+2,2)=1-1=n-k+1 …8分 n-k+2n-k+2 所以P(z)=-+虹 …9分 n-k+2 【点睛】关键点点睛：1号球放入j(2≤j≤k-1)号盒中的关键是等效于将编号为1,2，，k-j+1的球，按照题设 规则放入编号为1,2，，n-j+1的盒中P(n-j+1,k-j+1),做差运算可得P(n,k)=P(n-1,k-1)迭代得出结论. 答案第8页，共8页