福建省三明第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

三明一中2025-2026学年下学期5月半期考 高二数学试卷 (考试时间：120分钟满分：150分) 第I卷（选择题共58分) 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，仅有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={-1,0,l2},B={xx2<2,则AnB= A.{0,} B.{-1,} C.{-1,0,1} D.{0,1,2 2.二项式3x- 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 A.-32 B.0 C.32 D.1 3.如果随机变量X~N(2,o2),且P(X≤0)=0.3，则P(X≤4)= A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.8 4.设xeR,则-2<1”是“x2+x>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5。已知随机变量5服从二项分布8》若D(5+2)-36,则A= A.144 B.48 C.24 D.16 6.袋中装有4个黑球和3个白球，现从中不放回地取球，每次取1个球，直到将袋中的白 球取完即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的，则终止取球时，恰有1个黑球 没有被取出的概率为 A.6 B. 11 5 35 c. D.3 7.已知正数a6,且b>分满足a+2b=2ab-3,则 A.a的取值范围是[，+oo) B.a+二的最小值为2 C.b的最大值为] D.2a+b的最小值3 8.已知直线y=ar+b与函数y=nx+反的图象相切，若a∈0，， 则实数b的最小值为 A B.n2+5-1 C.ve 2 D.2In2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.如果a,b,c,d∈R,ab≠0，则下列说法正确的是 A.若a>b,则上< B.若ac2>bc2,则a>b a b C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a>b, 则11 ab>ab 10.口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球从口袋内无放回地依 次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A,“第二次抽到黄球”为事件B,则 A.P(④=月 B.P(B4=2 C.A与B为互斥事件 D.A与B相互独立 11.已知a>e时，关于x的不等式(e*-ax)x2-bx+c≥0恒成立，则下列判断正确的是 A.b>0,c>0 B.b2>4c C.e=ac D.ac二的最大值为 7 c 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知命题“x∈[-1,2]，使得x2+2x+a<0”的否定形式为 13.用模型y=ae拟合一组数据，令z=ny,将模型转化为经验回归方程z=0.1x+3,则 a.k= 14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3， 5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人 各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1 分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不 能使用)则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f)号+x2+bc+1,其导函数为f),不等式f()<0的解集为(2,4). (1)求a,b的值； (2)求函数在[0,3上的最大值和最小值. 16.(15分) 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与卫，且乙投球2 次均命中的概率为6 (1)求甲投球2次，命中1次的概率； (2)若乙投球3次，设命中的次数为X,求X的分布列. 17.(15分) 激光一体机是一种功能强大的办公设备，与传统的激光打印机相比，激光一体机还集成 了复印、扫描等多种功能，因此比传统的激光打印机更实用，从而近几年在全国各地逐渐热 销起来.下表为M市统计的近5年该市激光一体机的销量，其中x为年份代号，y(单位： 万台)代表年销量 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 年份代号x 1 2 3 5 年销量y万台 0.5 0.9 1 1.2 1.4 (I)经过分析，y与x线性相关，试求y关于x的经验回归方程； (2)利用(1)中所求方程，预测2025年该市激光一体机的销量； (3)某中学准备从A,B两种品牌的激光一体机中购买一批配备给各办公室使用，下表是 以往这两种激光一体机各100台的使用年限（整年）统计表： 使用年限 1年 2年 3年 4年 5年 A品牌 5 15 20 10 50 B品牌 10 20 15 15 40 激光一体机使用年限越长，办公费用越低.以使用年限的频率估计概率。该中学从节省 办公费用的角度来看，应选择购买哪一种品牌的激光一体机？ 参考公式：6=回 -,a=y-6. 参考数据： 2=171,2=5. 18.(17分) 已知函数f(x)=n+2+…+a-广+ma,其中aeR,x∈（←o,l,neN且n≥2. n (1)当n=2,a=1时，求函数∫(x)图象在x=0处的切线方程： (2)若对于给定的自然数n，函数∫(x)有意义，求a的取值范围： (3)对任意的a>0,若f(x)≤a,求n的最大值. 19.(17分) 某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量X的分布列为 X 0 1 2 3 P k1-)2 ka k1-a) 其中k>0,0<a<1. (1) 当α=时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值： (2) 已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为， 每个盲盒是否为封面款相互独立.若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款 的数量，则称此顾客为幸运客户.现从顾客中随机选取一人， ()求该顾客为幸运客户的概率f(); (田若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过与，求，的取值 范围。 三明一中2025-2026学年下学期5月半期考 高二数学参考答案 一、选择题：本题共11小题，共58分。 题号 6 9 10 11 答案 D 0 BD AB ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1 12.3x∈[-1,2]，使得x2+2x+a≥0， 13.0.1e 14.2 1l.解：已知a>e,设f(x)=e-ax，'(x)=e-a,令f'(x)=0,解得x=lna>1, f(x)在（-o,na上递减，(na,+o)上递增，最小值fna)=a(1-lna)<0, 又x<0时，e>0,-ax>0，故f(x)>0,f0)=1>0，f()=e-a<0, x→+o时f(x)→o,因此f(x)有两个不同的正零点x,x2, 要使(e-a)(x2-bx+c之0恒成立，开口向上的二次式必须和f()同号， 因此二次式的零点恰好就是x,x2,即x-bx+c=(x-x)(x-x2). 由韦达定理：b=x+x2,C=x2,因为，x2都是正数， 故b=方+x2>0,c=x2>0，A正确： 二次式有两个不同零点，判别式△=b2-4c>0,即b2>4c,B正确： 因为，为2是e-ax=0的根，故e=a，e=ax2, 两式相乘得：e+=a2xx2,即e=a2c≠aC.,C错误； 由e=ac得c= 。,代入目标式化简。 acb-a aeb-a a3 ea, 令g@)-=二a>0,求导得ga=B-d, 当e<a<3时，g(a)>0,g(a)递增； 当a>3时，g(a)<0，g(a)递减. 因此gO的最大值为&)-，D正确放选ABD 14.解：设甲在四轮游戏中的得分分别为X,X2,X,X4,四轮的总得分为X. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在 该轮得分的概率P化=训=号所以E()-=123。 8 从而(x)=E(X+X+X+X,)-2(x)=2:=3 1 82 记Pk=P(X=k)(k=0,1,2,3). 11 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8，所以，-24： 11 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6，所以仍A24 而X的所有可能取值是0,1,2,3，故+++乃=1，+2，+3A=B(X)-多 所以A+A+立1，A+20+日两式相减即得A+牙2，故A+乃方 13 11 所以甲的总得分不小于2的概率为P,+P=之 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：（1)依题意得得方程x2+2ax+b=0的两个实数根为2和4…2分 则（解法1） f2+4=-2a今a=-3,b=8.… 6分 2×4=b [22+4a+b=0「4+4a+b=0 (解法2) 即 42+8a+b=0’即16+8a+b=0' 解得a=-3,b=8. .6分 (列出的方程组中，对一个方程得1分，a=-3,b=8解对一个得1分) (2)由(1①间可知，f(=式-32+8x+1,… 7分 f'(x)=x2-6x+8,x∈[0,3]， 8分 则 (0,2) 2 (2,3) f'(x) 大于零 等于零 小于零 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 10分 则=1=号号 l1分 由f(0）=l,f3)=7,则f(x）=f(0）=113分 16.解：(1)设“甲投球一次命中”为事件A,1分 则P(0P(园-号e3分 故甲投球2次命中1x筒批率为P=P代4：列+P存，4小-号+号×行号 6分 (2)设“乙投球一次命中”为事件B. 7分 由题意得P(BB)=p~p=6' 解得卫写4)8分 所以P=P@)- 9分 则 10分 11分 rx=0=c日- 12分 x=2-c日)品 44,。,,。,。,,,0,,,:,,444440, x==c得a 14分 X得分布列为 X 0 1 2 3 27 9 1 64 64 64 64 15分 17.解：(1)=1+2+3+4+5 5 =3… …1分 V=0.5+0.9+1+1,2t1.4=l… 5 2分 2%-5网 则6 17.1-5x3x1 =0.21, 4分 2 55-5x32 a=y-bx=1-0.21x3=0.37, 6分 (若a,b的计算过程中答案算错，能正确代入数据给1分) 所以y关于x的经验回归方程为y=0.21x+0.37.… 7分 (2)2025年对应的年份代码x为6. 当x=6时，y=0.21×6+0.37=1.63(万台)，… 9分 故可预测2025年该市激光一体机的销量约为1.63万台. .10分 (3)以频率估计概率，A品牌激光一体机的使用年限X的分布列为： X 0.05 0.15 0.2 0.1 0.5 11分 E(X)=1×0.05+2×0.15+3×0.2+4×0.1+5×0.5=3.85;12分 B品牌激光一体机的使用年限Y的分布列为： 5 P 0.1 0.2 0.15 0.15 0.4 13分 E()=1×0.1+2×0.2+3×0.15+4×0.15+5×0.4=3.55, 14分 因为E(X)>E(Y). 所以该中学应选择购买A品牌激光一体机。15分 18解：0当a=2a=-l时，函数/)=h2=A+2)-h2, l分 求导得(x)= 2*n2 2分 1+2* f以f（）=h2,ueo3 因为f(0)=0,所以切点为原点，… .…4分 ln2 所以函数f(x)图象过原点的切线方程为y= 2 5分 (2)由题意得，对于给定的自然数n,1+2+…+(n-1)+na>0在x∈(-oo,上恒成立，6分 因为n'>0,所以a: *( 恒成立， .7分 因为n之2，所以y= (k=1,2,,m-1)在x∈（-o,刂上单调递减， 所以g(x在x∈（一o0,1】上单调递增， .8分 (n-1)n 所以g0=++ 1+2++n-1 2 1-n, 9分 2 厅以a>,”neN,n22 .10分 (3)因为n≥2，所以y=k(k=2,3,…,n)在x∈(-oo,1刂上单调递增， 又因为a>0,所以y=1+2+…+(n-1)+ma在x∈(-o,]上单调递增， 所以f()=n1+2产++m-1)产+a在(-o,上单调递增， 12分 12分 由/问5a恒成立。所以fsa,即h(+asa=hc 14分 所以n≤2e“-2a+1,令g(a)=2e°-2a+1,a>0, 15分 求导得g(a)=2e°-2>2e°-2=0恒成立，所以g(a)在a∈(0，+∞)上单调递增， 16分 所以g(@>g(0）=3,所以n≤3，即n的最大值为317分 19.本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能 力、运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学运算、逻辑推理、数据分 析、数学建模等核心素养等.体现基础性，应用性.满分17分. 解：（1)由题可知，k1-a)2+ka+k+kI-)=1,… …1分 化简可得k= 、1 …2分 Γa2-2a+3 当a=时，k=, 9 则E)=ka+2k+31-a)=k6-2a)=16, 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为 …4分 9 (2)(i)设事件4=“一次性购买i个文创盲盒”（i=0,1,2,3),事件B=“顾客为幸运客户”， …5分 则P(4)=k(1-a)2,P(4)=k@,P(A)=k,P(A)=k(I-a) 依题意，得PB4=0,P心B14)=号 …6分 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以814)--)a14)-+C×号xg- 271 …8分 又由题意知，B=ABU4BU4BUAB,且AB,4B,AB,4B两两互斥，…9分 所以P(a)-2P(4-2P(4)-P(a41-0+a++1-a25+m, 27 …11分 27 2(5+) 由(1)得，k= 1 a-20+3,代入化简可得P)=27C-2a+) 所以fa)= 25+a) ,∈(0，l).… …12分 27(a2-2a+3) ()设事件C=“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 依题意，得PC14)=(分，i=L2,3, …13分 且C=ACU4,CU4C,AC,4C,4C两两互斥， 所以Pg-2P4o-立P(4-Pc41-n2， …l4分 27 由(D)得，P(8)=25+9 27 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 P(CIB)-P(BO)_P(O)_20+2a) P(B)P(B)5+a …16分 由整意PG4子可得202a 1 5+a 2 解得a=7, 又因为0<a<1,所以a∈(0，月. …17分