精品解析：四川雅安市名山区第三中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

雅安市名山区第三中学高一下学期期中考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上． 3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写． 4．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单选题（共40分） 1. 下列复数中，是实数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】四个选项中只有选项C 的复数的虚数单位的系数是零，因此只有是实数. 2. 在中，已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理，通过计算即可得到答案. 【详解】因为在中有，由余弦定理得： 所以 故选：B 【点睛】本题考查余弦定理的简单运用，属基础题. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于，则， 于是. 4. 将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式. 【详解】函数的图象向右平移，得， 再将横坐标伸长为原来的3倍，得， 故选：B 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据三角形的面积公式计算即可. 【详解】依题意，在中，，，， 则的面积为. 故选：C. 6. 已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直向量的数量积为0及数量积的运算化简即可得解. 【详解】由题意， 又向量与的夹角为且为单位向量， ∴，解得. 故选：D 7. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设两个向量的夹角为，则， 所以向量在向量方向上的投影数量为， 所以投影向量为. 8. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【详解】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B 二、多选题（共18分） 9. 函数的最大值为4，则（ ） A. B. 图象关于点中心对称 C. 的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再结合正弦函数的性质及平移变换规律逐一判断即得. 【详解】因为的最大值为4， 所以，解得，故A正确； 则，因，故B正确； 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 该函数显然与不是同一函数，故C错误； 对于，当时，， 因函数在上单调递增，故在上的值域为，故D正确. 10. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量基本运算的坐标表示，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，向量，，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以，故B正确； 对于C选项，向量，，所以， 又，所以与不共线，故C错误； 对于D选项，因为，，所以， 所以，故D正确. 综上所述，选项ABD均正确. 11. 设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据的定义即可判断A；根据即可判断B；根据，可得，即可判断C；举出反例即可判断D. 【详解】对于A，，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，若，则，所以或， 所以，故C正确； 对于D，若，则， ，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（共15分） 12. 若为虚数单位，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以的周期为4，且， 所以. 13. 已知，，，则与的夹角_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义结合平面向量夹角的取值范围可求得结果. 【详解】因为，，，则， 因为，故. 故答案为：. 14. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出； 方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出． 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规． 四、解答题（共77分） 15. 已知复数. （1）若复数是实数，求实数的值. （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【小问1详解】 因为复数是实数，所以，即 ， 解得或；所以实数的值为或； 【小问2详解】 因为复数表示的点在第四象限， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 16. 已知向量，，． （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的充要条件，求出，再利用向量数量积的坐标运算求解； （2）根据两向量垂直数量积为求出，再利用向量夹角余弦值的公式求解； 【小问1详解】 因为，所以，即，所以 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以，而， 所以. 17. 在锐角三角形中，分别是角的对边，且. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式边化角，结合三角形内角和性质与三角恒等变换求出，结合锐角三角形条件得到角的大小； （2）由正弦定理将用角表示，把整理为关于的三角函数，结合锐角三角形的角的限制得到的取值区间，进而求出的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理，可化为， 由和角公式，左边， 因此等式化为锐角三角形中，所以​， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，因此，， 由​得， 因为是锐角三角形，所以，解得， ， 因为，所以，得， 因此，即的取值范围是. 18. 已知函数（）. （1）化简，并求函数的对称中心； （2）求在区间上的值域； （3）若，，求的值. 【答案】（1），对称中心为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式，可得，再由正弦函数的性质，即可求出对称中心； （2）根据条件，求出的范围，再由正弦函数的性质，即可求解； （3）根据条件求得，由平方关系求出，再由余弦的差角公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由，解得，所以的对称中心为. 【小问2详解】 当时，，所以， 则，所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 因为，得到， 又，则，所以， 则. 19. 设，是两个不共线的向量，如果，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）试确定的值，使和共线； （3）若与不共线，试求的取值范围. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明A，B，D三点共线，只需证明向量与共线； （2）两向量与（）共线，所以存在唯一实数实数，使.由此列方程组可解； （3）知两向量不共线，求参数.可先求两向量共线时的参数值，实数集中去除这些值，即为不共线的参数值或范围. 【小问1详解】 证明：因为， 所以与共线. 因为与有公共点B， 所以A，B，D三点共线. 【小问2详解】 因为与共线， 所以存在实数，使. 因为，不共线，所以 所以. 【小问3详解】 假设与共线，则存在实数m，使. 因为，不共线，所以 所以. 因为与不共线， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅安市名山区第三中学高一下学期期中考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上． 3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写． 4．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单选题（共40分） 1. 下列复数中，是实数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，已知则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 二、多选题（共18分） 9. 函数的最大值为4，则（ ） A. B. 图象关于点中心对称 C. 的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 在上的值域为 10. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若，则 D. 三、填空题（共15分） 12. 若为虚数单位，则________． 13. 已知，，，则与的夹角_______. 14. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 四、解答题（共77分） 15. 已知复数. （1）若复数是实数，求实数的值. （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 16. 已知向量，，． （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值． 17. 在锐角三角形中，分别是角的对边，且. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围； 18. 已知函数（）. （1）化简，并求函数的对称中心； （2）求在区间上的值域； （3）若，，求的值. 19. 设，是两个不共线的向量，如果，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）试确定的值，使和共线； （3）若与不共线，试求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $