第五章一元函数的导数及其应用单元测试-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** “一元函数的导数及其应用”单元卷，适用于高中数学单元复习，以现实情境与梯度设计为亮点，覆盖导数计算、应用及创新问题，适配数学眼光、思维与语言核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|瞬时速度、切线斜率|结合跳水运动情境，考查数学眼光| |多选题|3/18|凹函数定义、导函数图象|新定义与图象分析，体现数学思维| |填空题|3/15|切线方程、单调区间|曲线公切线问题，注重数学语言表达| |解答题|5/77|极值、最值、利润最大化|工厂投资分配问题，关联真题命题趋势|

第五章　一元函数的导数及其应用 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在一次跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则该运动员在t=1 s时的瞬时速度为(　　) A.-3.3 m/s B.-8.2 m/s C.3.3 m/s D.1.6 m/s 2.曲线f(x)=cos 2x在点P(,f(处的切线的斜率是(　　) A.-2 B.2 C.-1 D.1 3.(2025河南洛阳高二检测)小李准备向银行贷款x(0<x≤10)万元全部用于某产品的加工与销售,据测算每年利润y(单位:万元)与贷款x满足关系式y=ln x-x-+9,要使年利润最大,小李应向银行贷款(　　) A.3万元 B.4万元 C.5万元 D.6万元 4.(2025辽宁沈阳高二检测)已知函数f(x)=-xln 2-x3,则不等式f(3-x2)>f(2x-5)的解集为(　　) A.(-4,2) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-4)∪(2,+∞) 5.如图为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,f'(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x·f'(x)<0的解集为(　　) A.(-∞,) B.(0,) C.(,+∞) D.(-∞,-)∪(0,) 6.已知函数f(x)=ln x-ax2-2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-1) B.(-1,+∞) C.[-1,+∞) D.(1,+∞) 7.若动点P在直线y=x+1上,动点Q在曲线x2=-2y上,则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 8.已知f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有两个零点,则实数m的取值范围为(　　) A. (0,) B.(-2,0) C.(-∞,-2)∪(,2) D.(,2) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2025广东江门高三检测)若定义在区间D上的函数f(x)的导函数单调递增,则f(x)为D上的凹函数.下列四个函数中为区间(0,+∞)上的凹函数的是(　　) A.f(x)=x3-x2 B.f(x)=x-ln x C.f(x)=x-ex D.f(x)= 10. 如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则以下说法正确的为(　　) A.-2是函数y=f(x)的极值点 B.函数y=f(x)在x=1处取得最小值 C.函数y=f(x)的图象在(0,f(0))处切线的斜率小于零 D.函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增 11.已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)有极小值 B.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为4 C.当k∈(-2e2,)时,f(x)=k恰有三个实数根 D.若x∈[0,t]时,f(x)max=,则t的最小值为2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.(2025湖北黄冈模拟)已知函数f(x)=,写出一个满足“f(x)在区间[a,b]上单调递增,且b-a=1”的区间[a,b]为　　　　　.  13.已知曲线g(x)=aln x和曲线f(x)=x2有唯一公共点,且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l,则l的方程为　　　　　　　.  14.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若函数f'(x)≥>0对任意x∈[0,+∞)恒成立,且f(0)=1,则f(2 023)的取值范围为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=axsin x+cos x在x=处取得极值. (1)求实数a的值; (2)求f(x)在[0,π]上的值域. 16.(15分)(2023全国乙,文20)已知函数f(x)=(+a)ln(1+x). (1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数f(x)在(0,+∞)单调递增,求a的取值范围. 17.(15分)某工厂计划投资一定数额的资金生产甲、乙两种新产品.甲产品的平均成本利润f(x)(单位:万元)与投资成本x(单位:万元)满足:f(x)=-b(a,b∈R);乙产品的平均成本利润g(x)(单位:万元)与投资成本x(单位:万元)满足:g(x)=.已知投资甲产品为1万元、10万元时,获得的利润分别为5万元、16.515万元. (平均成本利润=) (1)求a,b的值; (2)若该工厂计划投入50万元用于甲、乙两种新产品的生产,每种产品投资不少于10万元,问怎样分配这50万元,才能使该工厂获得最大利润?最大利润为多少万元?(参考数据:ln 10≈2.303,ln 5≈1.609) 18.(17分)设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求f(x)的极值点; (2)若关于x的方程f(x)=a有3个不相等的实数根,求实数a的取值范围; (3)已知当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围. 19.(17分)(2025上海嘉定高三检测)已知定义域为R的函数y=f(x),其导数为y'=f'(x),若对任意的x∈R都有<1,则称函数y=f(x)为“导可控函数”. (1)请说明f(x)=-sin x是否为“导可控函数”; (2)若函数y=f(x)为“导可控函数”,且存在正数M,使|f(x)|≤M在x∈R上恒成立,试求函数y=f(x)-x的零点个数; (3)若函数y=f(x)为“导可控函数”,且存在a,b(a<b),使得f(a)=f(b),证明:对任意的实数x1,x2∈[a,b],都有. 参考答案 1.A　2.A　3.B　4.D 5.D　由题可得函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞),单调递减区间为(-),所以当x∈(-∞,-)∪(,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-)时,f'(x)<0,由x·f'(x)<0,可得所以x∈(-∞,-)∪(0,).故选D. 6.B　f(x)=ln x-ax2-2x的定义域为(0,+∞),由题意得f'(x)=-ax-2<0在(0,+∞)上有解,即<a在(0,+∞)上有解,其中y==(-1)2-1≥-1,故a>-1,故实数a的取值范围是(-1,+∞).故选B. 7.B　设与直线y=x+1平行的直线l的方程为y=x+m(m≠1),∴当直线l与曲线x2=-2y相切,且点Q为切点时,P,Q两点间的距离最小,设切点Q(x0,y0),∵x2=-2y,∴y=-x2,∴y'=-x,∴-x0=1⇒x0=-1,∴y0=-,∴点Q(-1,-),∴直线l的方程为y=x+,∵P,Q两点间距离的最小值为平行线y=x+和y=x+1间的距离,∴P,Q两点间距离的最小值为.故选B. 8.C　当x≤0时,f(x)=x3+3x2-2,则f'(x)=3x2+6x=3x(x+2),当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-2,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以当x≤0时,f(x)max=f(-2)=(-2)3+3×(-2)2-2=2.当x>0时,f(x)=,则f'(x)=, 当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以当x>0时,f(x)max=f(e)=.画出函数f(x)的图象如图所示: 因为函数g(x)=f(x)-m有两个零点,所以直线y=m与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点,由图可知m<-2或<m<2.所以m的取值范围为(-∞,-2)∪,2.故选C. 9.BD　10.AD　 11.AD　由题意可得f'(x)=,令f'(x)>0,解得-2<x<2;令f'(x)<0,解得x<-2或x>2.则f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上单调递减,在(-2,2)上单调递增,可知f(x)的极大值为f(2)=,极小值为f(-2)=-2e2,且当x→-∞时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→0,可得f(x)的图象如图.对于A,可知f(x)的极小值为f(-2)=-2e2,故A正确;对于B,因为f'(1)=,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处切线的斜率为,故B错误;对于C,方程f(x)=k的实数根的个数,等价于函数y=f(x)的图象与直线y=k的交点个数,由图象可知,当k∈(0,)时,f(x)=k恰有三个实数根,当k∈(-2e2,0]时,f(x)=k恰有两个实数根,故C错误;对于D,若x∈[0,t]时,f(x)max=,则t≥2,所以t的最小值为2,故D正确.故选AD. 12.[3,4] (答案不唯一,满足即可)　由题意可知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 且f'(x)=6·, 令f'(x)>0,解得x>3,可知f(x)的单调增区间为(3,+∞), 若满足“f(x)在区间[a,b]上单调递增,且b-a=1”,则例如a=3,则符合条件的区间[a,b]可以为[3,4]. 13.2x-y-e=0　设曲线g(x)=aln x和曲线f(x)=x2在公共点(x0,y0)处的切线相同,则f'(x)=2x,g'(x)=,由题意知f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0),即解得a=2e,x0=,故切点为(,e),切线斜率为k=f'(x0)=2,所以切线方程为y-e=2(x-),即2x-y-e=0. 14.[,+∞)　由f'(x)≥>0,得f'(x)f(x)≥1>0,则f'(x)f(x)-1≥0,令F(x)=[f(x)]2-x,x≥0,则F'(x)=f(x)·f'(x)-1≥0,又F(0)=[f(0)]2-0=,f(x)=,故f(2 023)=. 15.解 (1)函数f(x)=axsin x+cos x,求导得f'(x)=asin x+axcos x-sin x,由f(x)在x=处取得极值,得f'()=-a+1=0,解得a=1,此时f'(x)=xcos x,当<x<时,f'(x)<0,当<x<时,f'(x)>0,即函数f(x)在x=处取得极值,所以a=1. (2)由(1)知f(x)=xsin x+cos x,f'(x)=xcos x, 当0<x<时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 当<x<π时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减, 所以当x∈[0,π]时,f(x)的最大值为f()=,而f(0)=1,f(π)=-1,即f(x)的最小值为-1, 所以函数f(x)在[0,π]上的值域为[-1,]. 16.解 (1)当a=-1时,f(x)=(-1)ln(x+1)(x>-1且x≠0),f'(x)=-. ∵f(1)=(-1)×ln(1+1)=0,f'(1)=-=-ln 2,∴y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-f(1)=f'(1)(x-1),即(ln 2)x+y-ln 2=0. (2)易知f(x)不恒为0.∵函数f(x)在(0,+∞)单调递增, ∴f'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,f(x)=ln(x+1)+aln(x+1), 则f'(x)=, ∴ax2+x-(x+1)ln(x+1)≥0在(0,+∞)恒成立. 方法一:分离参数,a≥在(0,+∞)恒成立. 令g(x)=,x>0, 则g'(x)=. 令m(x)=-xln(x+1)-2ln(x+1)+2x,x>0, 则m'(x)=1-ln(x+1)-. 令n(x)=m'(x)=1-ln(x+1)-,x>0, n'(x)=-<0, ∴m'(x)在(0,+∞)单调递减, 则m'(x)<1-ln 1-1=0,则m(x)在(0,+∞)单调递减, ∴m(x)<0-2ln 1+0=0,即g(x)在(0,+∞)单调递减, ∴g(x)<,∴a≥,即a的取值范围为[,+∞). 方法二:令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1),x>0, 则g'(x)=2ax+1-ln(x+1)-1=2ax-ln(x+1). ∵x+1>1,∴ln(x+1)>0. 当a≤0时,g'(x)<0,g(x)在(0,+∞)单调递减, ∴f'(x)<0,f(x)单调递减,不符合题意; 当a>0时,令h(x)=2ax-ln(x+1),x>0,则h'(x)=2a-. (ⅰ)当a≥时,h'(x)>0恒成立,∴g'(x)在(0,+∞)单调递增, ∴g'(x)>0-ln 1=0,即g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)单调递增, ∴g(x)>0+0-0=0恒成立, 即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)单调递增,符合题意. (ⅱ)当0<a<时,令h'(x)>0,得x>-1; 令h'(x)<0,得0<x<-1, ∴g'(x)在(0,-1)单调递减,在(-1,+∞)单调递增. 又当x∈(0,-1)时,g'(x)<0-ln 1=0, 即g(x)在(0,-1)单调递减, ∴当x∈(0,-1)时,g(x)<0+0-0=0, 即f'(x)<0在(0,-1)恒成立,f(x)在(0,-1)单调递减,不符合题意.综上所述,a的取值范围为[,+∞). 17.解 (1)由题意知 整理得解得a≈5,b=0. (2)设甲产品投资x万元,乙产品投资(50-x)万元,且x∈[10,40],则该工厂获得的利润φ(x)=x()+(50-x)·=5ln x+5+2,x∈[10,40],则φ'(x)=,x∈[10,40],令φ'(x)=0,解得x=25(负值舍去),当10<x<25时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,当25<x<40时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减, 所以φ(x)max=φ(25)=10ln 5+15≈10×1.609+15=31.09,所以当甲、乙两种产品各投资25万元时,该工厂获得最大利润,最大利润为31.09万元. 18.解(1)f'(x)=3(x2-2),令f'(x)=0,得x1=-,x2=. 当x∈(-∞,-)∪(,+∞)时,f'(x)>0, 当x∈(-)时,f'(x)<0, 因此x1=-,x2=分别为f(x)的极大值点、极小值点. (2)f(-)=5+4,f()=5-4,由(1)的分析可知y=f(x)图象的大致形状及走向如图所示.要使直线y=a与y=f(x)的图象有3个不同的交点,则需5-4<a<5+4. 则方程f(x)=a有3个不相等的实数根时,所求实数a的取值范围为(5-4,5+4). (3)f(x)≥k(x-1),x>1,即(x-1)(x2+x-5)≥k(x-1),x>1, 因为x>1,所以k≤x2+x-5在(1,+∞)上恒成立,令g(x)=x2+x-5,由二次函数的性质得g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(1)=-3, 所以所求k的取值范围为(-∞,-3]. 19.(1)解f(x)=-sin x不是“导可控函数”.理由如下, 若f(x)=-sin x,则f'(x)=-cos x, 当cos x=-1时,f'(x)=+1=>1, 故f(x)=-sin x不是“导可控函数”. (2)解 依题意,y'=f'(x)-1<0, 所以y=f(x)-x在R上为减函数,所以至多一个零点. 因为|f(x)|≤M,所以-M<f(x)<M, 当x=-M-1时,y=f(x)-x=f(-M-1)+M+1>0, 当x=M+1时,y=f(x)-x=f(M+1)-M-1<0, 所以y=f(x)-x存在零点. 综上,函数y=f(x)-x存在1个零点. (3)证明 因为|f'(x)|<1,由导数的定义得<1, 即|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|, 不妨设a≤x1≤x2≤b,若|x1-x2|≤,则|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|≤;若|x1-x2|>,则|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(a)+f(b)-f(x2)|≤|f(x1)-f(a)|+|f(b)-f(x2)|<x1-a+b-x2<(b-a)-.命题得证. 学科网（北京）股份有限公司 $