第五章一元函数的导数及其应用单元测试卷(基础版)-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷(基础版) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数满足，则（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【详解】． 2．下列求导数的运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，令，，则，又因为，所以，故D正确. 3．若函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为， 所以， 则， 解得. 4．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合垂直关系列式求解. 【详解】函数，求导得，则， 由函数的图象在点处的切线与直线垂直，得， 即，所以. 5．已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．-1或2 【答案】B 【详解】. 因为函数在处取得极大值，故， 解得或， 当时，， 且仅在处为零，导函数不变号，函数在上单调递减，不是极值点，舍去； 当时，， 当时，当时， 故函数在处取得极大值，符合题意. 6．若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】先考虑时，根据零点存在定理确定此时函数有一个零点，结合题意可知时，有两个零点，对函数求导，利用导函数得到函数的单调性，求出函数的最小值为，和端点函数值，构造不等式求解即可. 【详解】当时，则，， 所以在上单调递增，且，， 在内存在唯一零点； 因为函数在其定义域内恰有三个零点， 所以当时，有两个零点， ，令，则或（舍去）， 在上单调递减，在上单调递增， 又当，时，，且，当时，， 所以当时，有两个零点时， 需满足，解得. 7．若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导得，转化为在上有解，最后分离参数即可. 【详解】函数，则 ， 因为在上存在单调递增区间，所以在上有解， 所以当时，有解， 令，而当时，令 ， 即为， 此时(此时)，所以， 故实数a的取值范围为. 8．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行求导，导数的零点需落在指定区间上，从而求出的范围 【详解】，又， 令，，则的零点与的零点相同， 因为函数图象开口向下且，要使在区间上有最大值， 所以和，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 【答案】BC 【分析】根据导函数图象的正负判断函数的增减与极值、最值，依此判断各个选项即可． 【详解】对于A，由题图可知时，，则单调递减，故A错误； 对于B、C，由题图易知在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，故B、C正确； 对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误． 10．已知，则下列说法正确的有（    ）． A．函数有唯一零点 B．函数的单调递减区间为 C．函数有极大值 D．若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【详解】，定义域为，则 A选项，令，得，则当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，当，；当，， 所以函数只有1个零点，且此时，所以A选项正确； B选项，由A选项解析可知，函数的单调递减区间为，所以B选项错误； C选项，由A选项解析可知，函数有极大值，所以C选项正确； D选项，由A选项解析可知，关于x的方程不可能有三个根，所以D选项错误. 11．已知定义在上的的导函数为，且，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】观察题给式子构造函数，结合已知条件利用导数得到的单调性，然后利用单调性逐项判断即可. 【详解】设，则， 因为，所以，单调递减， 易知，所以，即，A错误； 因为，所以，而， 所以且有，所以，B错误； 易知，所以即，C正确； 易知，所以即，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则__________. 【答案】 【分析】对给定等式两边求导，赋值求出，进而求出，最后求出即可. 【详解】由，求导得， 则，解得， 即，故. 13．函数的极值点为__________. 【答案】1 【分析】求导，令导函数为0，可得极值点，分析单调性，即可得答案. 【详解】由题意得， 令，得或（舍）， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以为的极小值点，无极大值点. 14．已知函数及其导数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】根据函数奇偶性以及导函数性质可得，再求导并利用基本不等式可判断的单调性，解不等式可得结果. 【详解】由题意知，两边同时求导，即是奇函数， 又是偶函数， 则， 可得， 令， 可得， 易知，当且仅当时等号成立； 即函数在上单调递减，又是奇函数，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为函数是偶函数，则， 可知不等式等价于，即， 即，即可得，解得， 则不等式的解集是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)和. 【分析】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得； （2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得. 【详解】（1） ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 16．设函数在及时取得极值． (1)求出的值； (2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，结合极值点和韦达定理求解即可； （2）代入，并对函数求导，分析函数单调性，进而结合端点值建立关于的不等式求解. 【详解】（1）对函数求导可得， 因为在和处取得极值，所以是方程的两个根， 由韦达定理：,解得. 将代入导函数得：， 当时，当时，当时， 和处导数值变号，故为极值点，所以. （2）由，得，, 时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增，，，， 因此在上的最小值为. 任意都满足，等价于最小值大于， 即：，解得：，所以的取值范围是. 17．已知函数 (1)若在处有极小值，求； (2)若，求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）由函数在处取得极小值，得，求出或，根据函数极值的概念，分别代入验证，即可求解； （2）利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，求得函数的最值. 【详解】（1）由，得， 因为为的极小值点所以，解得或， 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以为的极小值点； 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以为的极大值点； 经检验，时，在处取极大值，不符题意，所以； （2）当时，，令得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 所以为在区间的极大值，也是最大值. 由于，，，所以最小值为. 综上所述，在区间上的最小值为，最大值为. 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求在区间的最小值. 【答案】(1)当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. (2)时，的最小值为；时，的最小值为. 【分析】通过求导，利用导数的正负情况来分析函数的单调性，根据参数的范围进行分类讨论； 利用第一小问的单调区间，根据参数的范围进行分类讨论从而求解最小值. 【详解】（1）， 求导可得， 分类讨论， 当时，当时，，单调递减； 当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 综上所述， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）由可知，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 分类讨论， 当，即时，在上单调递增，所以最小值为； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为， 综上所述，时，的最小值为；时，的最小值为. 19．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对求导，讨论的值确定导数的正负，讨论函数的单调性；（2）首先将不等式恒成立问题转化为恒成立， 令求最值. 【详解】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，， ， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，， ，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷(基础版) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数满足，则（    ） A．4 B． C． D．2 2．下列求导数的运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．-1或2 6．若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 7．若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 10．已知，则下列说法正确的有（    ）． A．函数有唯一零点 B．函数的单调递减区间为 C．函数有极大值 D．若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是 11．已知定义在上的的导函数为，且，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则__________. 13．函数的极值点为__________. 14．已知函数及其导数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 16．设函数在及时取得极值． (1)求出的值； (2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 17．已知函数 (1)若在处有极小值，求； (2)若，求在区间上的最值. 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求在区间的最小值. 19．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $