第5章一元函数的导数及其应用单元测试-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 高中数学“一元函数的导数及其应用”单元卷，覆盖导数计算、切线方程、极值与单调性等核心知识，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，体现数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数计算（如复合函数求导）、极值点判断、函数性质比较|结合刘徽“割圆术”设计类比估算题，考查数学迁移能力| |填空题|3题/15分|导数值计算、含参函数最值、极值存在条件|以含参函数为载体，考查分类讨论思想| |解答题|5题/77分|切线方程、单调区间、恒成立问题、悬链线应用|引入双曲函数定义，结合悬链线情境考查创新应用；含参数函数单调性讨论，强化逻辑推理| |附加题|1题/附加分|函数单调区间、切线条数判断|通过切线问题综合考查导数几何意义与方程思想|

第5章　一元函数的导数及其应用 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列求导结果正确的是(　　) A.(1-x2)'=1-2x B.(cos 30°)'=-sin 30° C.(x2ex)'=2xex D.()'= 2.已知函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为(　　) A.3x+2y-3=0 B.3x-2y-3=0 C.2x-3y-2=0 D.2x-3y+2=0 3.函数f(x)=-xex的极值点是(　　) A.(-1,) B. C.-1 D.(0,0) 4.下列图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导数f'(x)的图象,则f(-1)的值为(　　) (1) (2) (3) A. B.- C. D.- 5.已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)内单调递增,则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 6.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”,实施“以直代曲”的近似计算,用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率,求出了精度较高的近似值.借用“以直代曲”的近似计算方法,在切点附近,可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算,例如:求ln 1.01,我们先求得y=ln x在x=1处的切线方程为y=x-1,再把x=1.01代入切线方程,即得ln 1.01≈0.01,类比上述方式,则≈(　　) A.1.000 5 B.1.000 1 C.1.005 D.1.001 7.已知f(x)=mex-x-1,若∃x0∈[-1,1],使f(x0)>0,则实数m的取值范围为(　　) A.(0,+∞) B.(,+∞) C.(1,+∞) D.[,+∞) 8.设a=,b=,c=2ln 0.5,则(　　) A.b>a>c B.c>a>b C.b>c>a D.a>b>c 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.若曲线f(x)=2x3+x-3的一条切线垂直于直线x+7y-1=0,则切点的坐标可以是(　　) A.(0,-3) B.(1,0) C.(-1,-6) D.(2,15) 10.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f(1-x),f'(5-2x)均为奇函数,则(　　) A.f(1)=0 B.f'(1)=0 C.f(2 023)=-f(2 021) D.f'(2 023)=-f'(2 031) 11.已知f(x)=+3,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)有两个零点 B.函数f(x)在区间(,+∞)上单调递减 C.函数f(x)无最大值和最小值 D.当a=3-e或a>3时,关于x的方程f(x)=a有且仅有1个解 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若函数f(x)=sin x+ex(e为自然对数的底数),则f'(0)的值为__________.  13.已知函数f(x)=(x+a)ex的最小值为-e2,则实数a的值为__________.  14.已知函数f(x)=(x2+2)-kln(x+1)(k为常数,且k≠0)在区间(0,1)上存在极值,则实数k的取值范围是__________.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R,且f'(-1)=5. (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. 16.(15分)已知函数f(x)=+ln x(a∈R). (1)若f'(1)=-2,求实数a的值; (2)求函数f(x)的单调区间. 17.(15分)已知函数f(x)=,若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为2x+by-1=0. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在区间[-1,3]上的最值. 18.(17分)固定项链的两端,在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年,莱布尼茨等得出“悬链线”方程为y=,其中c为参数.当c=1时,就是双曲余弦函数ch(x)=,类似地我们可以定义双曲正弦函数sh(x)=.它们与正、余弦函数有许多类似的性质. (1)类比正、余弦函数导数之间的关系:(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,请写出sh(x),ch(x)具有的类似的性质(不需要证明); (2)若x>0时,sh(x)>ax恒成立,求实数a的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=a(ex+a)-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明当a>0时,f(x)>2ln a+. 附加题 已知函数f(x)=3ln x-x2+x. (1)求f(x)的单调区间; (2)若过点(2,1)作直线与函数g(x)=f(x)-3ln x+x3的图象相切,试判断切线的条数. 第5章　一元函数的导数及其应用 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.D (1-x2)'=-2x,故选项A错误; (cos 30°)'=()'=0,故选项B错误; (x2ex)'=(x2)'ex+x2(ex)'=(2x+x2)ex,故选项C错误; ()'=()'=,故选项D正确,故选D. 2.B 因为f(x)=,所以f(1)=0,f'(x)=,则切线斜率k=f'(1)=,切点为(1,0),所以切线方程为y=(x-1),即3x-2y-3=0,故选B. 3.C 由已知得f'(x)=-(x+1)ex,令f'(x)=0,解得x=-1,当x<-1时,f'(x)>0; 当x>-1时,f'(x)<0,故函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,+∞)上单调递减, 所以函数f(x)=-xex的极值点是-1,故选C. 4.B f'(x)=x2+2ax+a2-1,其图象为开口向上的抛物线,故不是题图(1),题图(2)中,当a=0时,f'(x)=x2-1,与已知矛盾,故f'(x)的图象为题图(3). ∴f'(0)=0,即a2-1=0,解得a=±1,又其图象的对称轴在y轴右边,故a=-1, ∴f(x)=x3-x2+1, ∴f(-1)=-. 5.C 由题意可知f'(x)=aex-≥0在区间(1,2)内恒成立,即a≥在区间(1,2)内恒成立. 设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex>0在区间(1,2)内恒成立,所以函数g(x)=xex在区间(1,2)内单调递增,所以g(x)>g(1)=e,则0<,即a≥e-1.故选C. 6.A 设函数f(x)=ex,可得f'(x)=ex,则f(0)=1,f'(0)=1,可得曲线y=ex在点(0,1)处的切线的方程为y=x+1,由于与0之间的距离比较小,“以直代曲”,在切点附近用切线代替曲线进行近似计算,可得=f()≈1+=1.000 5,故选A. 7.A 依题意得m>在[-1,1]上有解设g(x)=,x∈[-1,1],则g'(x)==-,当g'(x)<0时,解得0<x≤1,当g'(x)>0时,解得-1≤x<0,所以g(x)在区间[-1,0)上单调递增,在区间(0,1]上单调递减,因为g(-1)=0,g(1)=,所以g(x)min=g(-1)=0,所以m>0,故选A. 8.B 构造函数f(x)=,其中0<x<1,则f'(x)=,令g(x)=-1+ln x,则g'(x)=-,令g'(x)=0,解得x=1,所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,所以g(x)在区间(0,1)内单调递减,故当x∈(0,1)时,g(x)>g(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,所以f(0.4)==a>f(0.2)==b,又c=2ln 0.5==f(0.5)>f(0.4)=a,所以c>a>b,故选B. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.BC 直线x+7y-1=0的斜率为-,依题意知切线斜率应为7,设切点为P(x0,y0),因为f(x)=2x3+x-3,所以f'(x)=6x2+1,所以f'(x0)=6+1=7,解得x0=±1,当x0=1时,y0=f(x0)=2+1-3=0,此时切点为P(1,0);当x0=-1时,y0=f(x0)=-2-1-3=-6,此时切点为P(-1,-6),故选BC. 10.AD 对于选项A,由题意知,f(1-x)是奇函数,则f(x)的图象关于点(1,0)对称,则f(1)=0,所以A正确; 对于选项B,因为f(x)的图象关于点(1,0)对称,可得f(x)=-f(2-x),则f'(x)=f'(2-x),可得f'(x)的图象关于直线x=1对称,但不能确定f'(1)=0,所以B错误; 对于选项C,因为f(x)的图象关于点(1,0)对称,可得f(2 023)=-f(-2 021),所以C错误; 对于选项D,因为f'(x)的图象关于直线x=1对称,可得f'(2 023)=f'(-2 021),又因为f'(5-2x)是奇函数,所以f'(5+2x)=-f'(5-2x),所以f'(2 031)=-f'(-2 021),所以f'(2 023)=-f'(2 031),所以D正确,故选AD. 11.ACD 由于f'(x)=-且x∈(0,1)∪(1,+∞), 令f'(x)=0,解得x=. 当0<x<时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,)内单调递增; 当<x<1,或x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(,1)和(1,+∞)上都单调递减,则极大值f()=+3=3-e>0,又f()=+3=3-<0,在区间(,1)内当x趋向于1时,ln x趋向于0且恒负,则f(x)趋向-∞,在区间(1,+∞)上f(x)>0恒成立,当x趋向于+∞时,xln x趋向于+∞,则f(x)趋向3,综上,f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)有两个零点,f(x)在区间(,+∞)上不单调,无最大值和最小值,当a=3-e或a>3时,关于x的方程f(x)=a有且仅有1个解故选ACD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 2 ∵f(x)=sin x+ex, ∴f'(x)=cos x+ex, ∴f'(0)=cos 0+e0=2. 13. -3 由题意得,f(x)的定义域为R,f'(x)=(x+a+1)ex,令f'(x)=0,解得x=-a-1,所以当x∈(-∞,-a-1)时,f'(x)<0,y=f(x)单调递减;当x∈(-a-1,+∞)时,f'(x)>0,y=f(x)单调递增,所以函数f(x)=(x+a)ex的最小值为f(-a-1)=(-a-1+a)e-a-1=-e2,解得a=-3. 14. (0,4) 由已知得f'(x)=2x-,因为函数f(x)在区间(0,1)上存在极值,所以∃x0∈(0,1),使得f'(x0)=0,且x0两侧的导数值异号,所以2x0-=0,即k=2+2x0,x0∈(0,1). 令g(x0)=2+2x0,x0∈(0,1),由于函数g(x0)的对称轴为直线x0=-,图象为开口向上的抛物线,所以g(x0)在区间(0,1)上单调递增,所以g(0)<g(x0)<g(1),而g(0)=0,g(1)=4,即0<g(x0)<4,所以实数k的取值范围为(0,4). 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (1)由题意得,f'(x)=3x2-2ax,则f'(-1)=3+2a=5,解得a=1,所以f(x)=x3-x2,f'(x)=3x2-2x,则f(1)=0,f'(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1,即x-y-1=0. (2)由(1)知f'(x)=x(3x-2),当f'(x)>0时,解得x<0,或x>,当f'(x)<0时,解得0<x<,故f(x)在区间(-∞,0)和(,+∞)上单调递增,在区间(0,)上单调递减,所以f(x)的极小值为f()=()3-()2=-,极大值为f(0)=0. 16 (1)由题意得,f'(x)=-. 因为f'(1)==1-a=-2, 所以a=3. (2)由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-. 当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间; 当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a,f'(x)>0的解集为{x|x>a},f'(x)<0的解集为{x|0<x<a},所以f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a). 综上所述,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间; 当a>0时,f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a). 17. (1)由题意得,f(0)==-1,则切点为(0,-1). 因为切点(0,-1)在切线2x+by-1=0上, 所以0-b-1=0,即b=-1, 则切线方程为2x-y-1=0. 因为f(x)=, 所以f'(x)=, 又因为f(x)在点(0,-1)处的切线斜率为2,即f'(0)=2,解得a=1,所以f(x)=. (2)由(1)可知,f(x)=,则f'(x)=. 令f'(x)>0,解得-<x<2,令f'(x)<0,解得x<-,或x>2,所以f(x)在区间(-1,-)和(2,3)内单调递减,在区间(-,2)内单调递增. 当x=-时,f(x)有极小值,且f(-)=-,当x=2时,f(x)有极大值,且f(2)=,且f(-1)=0,f(3)=,所以f(x)在区间[-1,3]上的最大值为f(2)=,最小值为f(-)=-. 18. (1)求导易知(sh(x))'=ch(x),(ch(x))'=sh(x). (2)构造函数F(x)=sh(x)-ax,x∈[0,+∞). 由(1)可知F'(x)=ch(x)-a, ①当a≤1时,由ch(x)==1≥a,可知F'(x)≥0,故F(x)单调递增,此时F(x)≥F(0)=0,故对任意x>0,sh(x)>ax恒成立,满足题意; ②当a>1时,令G(x)=F'(x),x∈[0,+∞),则G'(x)=sh(x)≥0,可知G(x)单调递增,由G(0)=1-a<0与G(ln(2a))=>0可知,存在唯一x0∈(0,ln(2a)),使得G(x0)=0,故当x∈(0,x0)时,F'(x)=G(x)<G(x0)=0,则F(x)在(0,x0)内单调递减,故对任意x∈(0,x0),F(x)<F(0)=0,即sh(x)<ax,矛盾;综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1]. 19 (1)f'(x)=aex-1,x∈R. ①当a≤0时,f'(x)≤0对任意x∈R恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)内单调递减,无单调递增区间. ②当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln=-ln a. 随x的变化,f'(x),f(x)的变化如下表: x (-∞,-ln a) -ln a (-ln a,+∞) f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)的单调递增区间是(-ln a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln a). 综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间是(-∞,+∞),无单调递增区间; 当a>0时,f(x)的单调递增区间是(-ln a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln a). (2)当a>0时,要证f(x)>2ln a+恒成立,即证f(x)min>2ln a+成立. 当a>0时,由(1)知,f(x)的极小值同时也是最小值,是f(-ln a),下面证明f(-ln a)>2ln a+. f(-ln a)=a(e-ln a+a)-(-ln a)=1+a2+ln a. 令g(a)=f(-ln a)-2ln a-=a2-ln a-, a∈(0,+∞),则g'(a)=2a-,令g'(a)=0,解得a=. 随a的变化,g'(a),g(a)的变化如下表: a (0,) (,+∞) g'(a) - 0 + g(a) 单调递减 极小值 单调递增 所以在a=时,g(a)取最小值.g(a)min=g()=-ln=-ln=ln >ln 1=0. 因此f(-ln a)>2ln a+成立. 因此当a>0时,f(x)>2ln a+. 附加题 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-2x+1==-. 令f'(x)>0,解得x∈(0,); 令f'(x)<0,解得x∈(,+∞). 所以f(x)的单调递减区间为(,+∞),单调递增区间为(0,). (2)由已知得g(x)=x3-x2+x(x>0),则g'(x)=x2-2x+1. 设切点为(x0,g(x0))(x0>0),则g(x0)=+x0,g'(x0)=-2x0+1,所以切线方程为y-(+x0)=(-2x0+1)(x-x0)①. 将点(2,1)代入①得1-(+x0)=(-2x0+1)(2-x0), 整理得-4+4x0-1=0. 令h(x)=x3-4x2+4x-1, 则h'(x)=3x2-8x+4, 令h'(x)=0,解得x=2,或x=. 所以当x∈(0,)和x∈(2,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x∈(,2)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)在x=取极大值h()=,在x=2取极小值h(2)=-1. 又h()=>0,h(2)=-1<0,因此函数h(x)的图象与x轴有3个交点,因此方程-4+4x0-1=0共有三个不相等的正根. 故过点(2,1)可以作三条直线与曲线y=g(x)相切. 学科网（北京）股份有限公司 $