第六章 导数及其应用（单元自测·基础卷）数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 高二数学第六章导数及其应用单元复习卷，基础与能力梯度设计，覆盖导数运算、切线、极值等核心知识，适配单元通关检测，体现数学思维与应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|导数运算、切线方程、函数图像|基础巩固，如第1题直接考查求导法则| |多项选择|3/18|函数极值、零点、单调性|能力辨析，如第9题综合判断函数性质| |填空题|3/15|导数计算、切线垂直、存在性问题|细节应用，如第14题结合整数解考参数范围| |解答题|5/77|求导、单调性、极值应用、实际问题|综合创新，如第18题容器建造费用优化，体现数学应用|

2025-2026学年高二下学期数学单元自测 第六章 导数及其应用·基础通关 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D A A C A B C A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AC ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）函数可看作函数和的复合函数， ； 3分 （2）函数可看作函数和的复合函数， ； 6分 （3）函数可看作函数和的复合函数， ； 9分 （4）函数可看作函数和的复合函数， 函数可看作函数和的复合函数， . 13分 16．【详解】（1）由， 得， 2分 当时， 4分 ， 5分 所以曲线在点处的切线方程为，即. 7分 （2）因为在上单调递增，所以. 9分 由（1）知， 因为，所以，即在上恒成立， 13分 所以，又，所以， 即的取值范围为. 15分 17．【详解】（1）因为函数的定义域为，且， 1分 由题意可得：， 3分 解得， 4分 则，， 令，解得或；令，解得； 6分 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数在处取得极小值，即符合题意， 综上所述：. 7分 （2）对于方程，即为，可得， 8分 令，原题意等价于与有且仅有1个交点， 因为， 9分 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 11分 则函数的极大值为，极小值为， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 13分 由图可知：或，所以实数的取值范围为. 15分 18．【详解】（1）由题设，则， 2分 所以，而， 所以，则，故； 4分 （2）（i）由（1），，且， 所以，且； 7分 （ii）由（i）得，， 令， 9分 所以，可得， 当时， 若时，，则在上单调递减， 若时，，则在上单调递增， 13分 此时时有； 当时，在上恒成立，即在上单调递减，此时时取； 15分 综上， 时，该容器的总建造费用最少； 时，该容器的总建造费用最少. 17分 19．【详解】（1）当时，，． 1分 由得，由得， 3分 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 4分 （2）当时，，不满足题意． 5分 所以，此时 ，显然是上的增函数， 且时，时， 所以存在唯一正实数使得，即 ． 此时在上单调递减，在上单调递增． 8分 由题意 ． 将 代入上式整理得：，解得：． 10分 此时，代入后． 化简得： ，解得：． 12分 令 ，其中．则， 所以是区间上的增函数． 15分 所以 ，代入得到a的取值范围是． 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二下学期数学单元自测 第六章 导数及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（   ） A．B． C． D． 4．若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则使“在上有极值”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（    ） A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55 7．已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数有两个零点 C．函数的单调递减区间为 D．若方程只有一个实数解，则 10．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有3条 11．已知可导函数的导函数为，则（　　） A．有2个极值点 B．有3个零点 C．只可能在或者时取得最小值 D．对恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，则的值为______ 13．已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 14．设函数，其中，若存在唯一负整数，使得，则实数的取值范围是________ 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 16．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 17．（15分）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值； (2)若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围. 18．（17分）如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 19．（17分）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学单元自测 第六章 导数及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，正确. 2．函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数，所以，则在处的切线斜率是， 函数过， 在处的切线方程是，即得. 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】定义域为， 又，故为偶函数，排除BD； 当时，，故，排除C选项，A正确. 故选：A 4．若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，所以，解得. 5．已知函数，则使“在上有极值”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对函数求导得， “函数在上有极值”等价于“在上有根”， 即有正实数根， 由于当时的值域为, 所以有正实数根等价于，即. 所以“函数在上有极值”的充分必要条件是“” 显然，BCD项均不满足函数在上有极值的充分条件. 只有A中是的充分必要条件， 故选：A. 6．设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（    ） A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55 【答案】B 【详解】因为函数有极值点， 所以有变号的根， 所以， 解得， 又因为随机变量服从正态分布，且， 由正态分布的特征可知， 所以. 7．已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为，关于原点对称， ， 则是偶函数，故的图象关于y轴对称， ， 当时，，从而； 当时，，从而； 当时，，从而； 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 故． 故选：C． 8．已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，进而， 又在上， 故的最小值可以看成是图像上的点离直线的最近距离的平方， ， 所以图像上离直线的最近的点为斜率为2的切线的切点 令， 即得，令，单调递增且， 所以，即切点横坐标为，切点为， 所以的最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数有两个零点 C．函数的单调递减区间为 D．若方程只有一个实数解，则 【答案】AC 【详解】的定义域为，. 令，则， 选项A： 当，，单调递减；当时，，单调递增， 因此在处取最小值，， A正确； 选项B： 令，因，故，仅得，函数只有个零点，B错误； 选项C： 由上述单调性分析，的单调递减区间就是，C正确； 选项D： 如图所示，结合的图像性质时（负方向趋近），最小值为， ，时， 因此，当时，有个解；时，有个解； 时，有个解；时，有个解. 方程只有个解时，或，D错误. 10．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有3条 【答案】ACD 【详解】A：令，或， 因为方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根，显然不是该一元二次方程的实数根， 因此有3个零点，所以本选项说法正确； B：因为 所以的图象关于点对称，因此本选项说法不正确； C：， 令，解得，或，所以函数在区间，上单调递增； 令，解得，所以函数在区间上单调递减， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以本选项说法正确； D：设函数的切点为， 所以过该切点的切线斜率为， 切线方程为，把代入，得 ，化简，得 ， 解得，或，所以经过点且与的图象相切的直线有3条，因此本选项说法正确. 11．已知可导函数的导函数为，则（　　） A．有2个极值点 B．有3个零点 C．只可能在或者时取得最小值 D．对恒成立 【答案】ACD 【详解】由，易知为奇函数，令， 当时，，，故在上单调递增， ，显然函数在上存在唯一零点，易知函数在上存在唯一零点， 由在区间上，，在上，， 故在上单调递减，在上单调递增， 同理可得在上单调递减，在上单调递增， 由，则易知定义域为， 所以可导函数的定义域为， 所以函数存在2个极值点：， 因为在(0,+∞)上有唯一零点且为奇函数，所以有且仅有两个零点， 故A正确，B错误，C正确，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，则的值为______ 【答案】 【详解】由题意得， 则. 故答案为： 13．已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以， 即曲线在处切线的斜率为13． 因为直线与切线垂直，所以，解得． 14．设函数，其中，若存在唯一负整数，使得，则实数的取值范围是________ 【答案】， 【详解】由可得， 所以解集中只有一个负整数， 令，则， 易得，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，只有一个零点， 图象为直线，过定点，其大致图象如图所示， 结合图像可知，， 解得，． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 【详解】（1）函数可看作函数和的复合函数， ； 3分 （2）函数可看作函数和的复合函数， ； 6分 （3）函数可看作函数和的复合函数， ； 9分 （4）函数可看作函数和的复合函数， 函数可看作函数和的复合函数， . 13分 16．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【详解】（1）由， 得， 2分 当时， 4分 ， 5分 所以曲线在点处的切线方程为，即. 7分 （2）因为在上单调递增，所以. 9分 由（1）知， 因为，所以，即在上恒成立， 13分 所以，又，所以， 即的取值范围为. 15分 17．（15分）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值； (2)若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， 1分 由题意可得：， 3分 解得， 4分 则，， 令，解得或；令，解得； 6分 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数在处取得极小值，即符合题意， 综上所述：. 7分 （2）对于方程，即为，可得， 8分 令，原题意等价于与有且仅有1个交点， 因为， 9分 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 11分 则函数的极大值为，极小值为， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 13分 由图可知：或，所以实数的取值范围为. 15分 18．（17分）如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 【详解】（1）由题设，则， 2分 所以，而， 所以，则，故； 4分 （2）（i）由（1），，且， 所以，且； 7分 （ii）由（i）得，， 令， 9分 所以，可得， 当时， 若时，，则在上单调递减， 若时，，则在上单调递增， 13分 此时时有； 当时，在上恒成立，即在上单调递减，此时时取； 15分 综上， 时，该容器的总建造费用最少； 时，该容器的总建造费用最少. 17分 19．（17分）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，． 1分 由得，由得， 3分 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 4分 （2）当时，，不满足题意． 5分 所以，此时 ，显然是上的增函数， 且时，时， 所以存在唯一正实数使得，即 ． 此时在上单调递减，在上单调递增． 8分 由题意 ． 将 代入上式整理得：，解得：． 10分 此时，代入后． 化简得： ，解得：． 12分 令 ，其中．则， 所以是区间上的增函数． 15分 所以 ，代入得到a的取值范围是． 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期数学单元自测 第六章 导数及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（   ） A．B． C． D． 4．若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则使“在上有极值”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（    ） A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55 7．已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数有两个零点 C．函数的单调递减区间为 D．若方程只有一个实数解，则 10．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有3条 11．已知可导函数的导函数为，则（　　） A．有2个极值点 B．有3个零点 C．只可能在或者时取得最小值 D．对恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，则的值为______ 13．已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 14．设函数，其中，若存在唯一负整数，使得，则实数的取值范围是________ 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 16．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 17．（15分）已知函数在处取得极小值. (1)求a，b的值； (2)若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围. 18．（17分）如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 19．（17分）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $