专题06 数量关系的应用（一）（专项训练）三年级数学暑假专项提升（北京版·新教材）

**基本信息** 聚焦数量关系应用，以连乘、连除、归一、归总四类题型为载体，系统提炼分步解题方法，构建从单一量到总量的逻辑链条，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用连乘解决问题|1典例+3变式|先求每大份数量或总份数，连乘算式交换因数积不变|从“每份数量-份数”关系切入，建立总量计算模型| |用连除解决问题|1典例+3变式|连续除以两个条件或先求总份数再除，连除可转化为除以积|连乘逆运算，培养逆向推理意识| |归一问题|1典例+3变式|先求单一量，再算新总量或份数，区分正归一与反归一|以“照这样计算”为标志，强化单一量不变的推理逻辑| |归总问题|1典例+3变式|先求总量，再算新每份数量或份数，对比归一突出总量不变|通过总量不变建立变量关系，发展模型意识|

专题06 数量关系的应用（一） 目录概览 题型一、用连乘解决实际问题 1 题型二、用连除解决实际问题 4 题型三、用乘除解决实际问题（归一问题） 6 题型四、用乘除解决实际问题（归总问题） 8 题型演练 题型一、用连乘解决实际问题 知识积累 1.问题特征 (1)已知两个相关的单一量，求总量；或者已知每份的数量和份数，先求出一部分的总量，再求整体的总量。 (2)通常涉及三个量之间的关系，需要分 两 步计算。 2.解题思路与方法 (1)方法一：先求“每大份”有多少。 ①　思路：先算出一个中间量（如：一排有多少人/一盒有多少个），再算总数。 ②　数量关系：每小份数量 每大份里的小份数 = 每大份的数量；每大份的数量 大份数 = 总数量。 (2)方法二：先求“总份数”有多少。 ①　思路：先算出总共有多少个小单位（如：一共有多少排/一共有多少盒），再算总数。 ②　数量关系：每大份里的小份数 大份数 = 总小份数；每小份数量 总小份数 = 总数量。 3.综合算式 (1)连乘算式中，交换因数的位置，积 不变。 (2)例如： 。 例题讲解 【典例1】工人叔叔装货物，每层装8箱，每箱重15千克，3层一共重多少千克？ 【答案】360千克 【分析】先求每层的箱数，再求3层货物的总重量。总重量＝每箱的重量×每层的箱数×层数。 【详解】15×8×3 ＝120×3 ＝360（千克） 答：3层一共重360千克。 举一反三 【变式1-1】寒假期间，李刚一家去北京旅游，他们一共拍了800张照片。他想将这些照片洗出来并放进相册，如果一本相册有24页，每页可以插6张照片，那么买5本这样的相册够用吗？ 【答案】不够 【分析】根据题意，先计算5本相册总共能容纳多少张照片。利用乘法计算一本相册的容量（页数乘每页张数），然后再乘相册本数得到总容量，最后将总容量与照片总数800张进行比较，若总容量小于照片总数，则不够用。反之，够用。 【详解】24×6×5 ＝144×5 ＝720（张） 720＜800 答：买5本这样的相册不够。 【变式1-2】商店运来12箱苹果，每箱25千克，每千克卖4元，这些苹果一共可以卖多少元？（用两种方法解答） 【答案】1200元 【分析】根据“总价＝单价×数量”的数量关系，可以从两个角度思考：一是先求出苹果的总质量（数量），再乘单价求总价；二是先求出每箱苹果的价格，再乘箱数求总价。两种方法均为连乘运算。 【详解】方法一：先求总质量，再求总价。 12×25×4 ＝300×4 ＝1200（元） 方法二：先求每箱多少钱，再求总价。 25×4×12 ＝100×12 ＝1200（元） 答：这些苹果一共可以卖1200元。 【变式1-3】某电商仓库打包快递，一共打包了25箱运动鞋，每箱有4盒，每盒装2双运动鞋。这个仓库一共打包了多少双运动鞋？ (1)我的解题思路是：先求( )，再求( )。（填序号） ①一共打包了多少双运动鞋    ②一共打包了多少盒运动鞋    ③每箱有多少双运动鞋 (2)请按第（1）题选择的解题思路在下面列综合算式解答。 【答案】(1) ②（答案不唯一） ① (2)（双） 【分析】本题已知条件为箱数（25箱）、每箱盒数（4盒）和每盒双数（2双），所求问题为总双数。数量关系为：总双数＝箱数×每箱盒数×每盒双数。 解决连乘实际问题通常有两种思路。 思路一：先计算总盒数（箱数乘每箱盒数），再计算总双数（总盒数乘每盒双数）。对应题干选项②和①。 思路二：先计算每箱双数（每箱盒数乘每盒双数），再计算总双数（箱数乘每箱双数）。对应题干选项③和①。 列式与计算：根据选定的思路列出综合算式，按照从左往右的运算顺序进行脱式计算，注意单位只在算式结尾标注。 【详解】（1）根据题意，要求一共打包了多少双运动鞋，可以先求一共打包了多少盒运动鞋②，再求一共打包了多少双运动鞋①。 （2）列综合算式解答如下： （双） 答：这个仓库一共打包了200双运动鞋。 题型二、用连除解决实际问题 知识积累 1.问题特征 (1)已知总量和两个层级的分配标准，求单一单位的数量。 (2)通常是连乘问题的逆运算，需要分 两 步计算，且每一步都是除法。 2.解题思路与方法 (1)方法一：连续除以两个已知条件。 ①　思路：先用总量除以第一个层级的大份数，求出每大份的数量；再除以每大份里的小份数，求出每小份的数量。 ②　数量关系：总量 大份数 = 每大份的数量；每大份的数量 每大份里的小份数 = 每小份的数量。 (2)方法二：先求“总份数”，再除。 ①　思路：先算出总共有多少个最小单位（总小份数），再用总量除以总小份数。 ②　数量关系：大份数 每大份里的小份数 = 总小份数；总量 总小份数 = 每小份的数量。 3.综合算式 (1)连除算式可以写成除以两个数的积。 (2)即： 。注意括号的使用，除以两个数的积等于 连续除以 这两个数。 例题讲解 【典例2】学校把240盆花平均放在2个教学楼，每个教学楼有4层，平均每层放多少盆花？ 【答案】30盆 【分析】用盆花总数除以教学楼的个数，求出每个教学楼放多少盆花，再用每个教学楼放的盆数除以每个教学楼的层数，即可求出平均每层放多少盆花。 【详解】240÷2÷4 ＝120÷4 ＝30（盆） 答：平均每层放30盆花。 举一反三 【变式2-1】3辆汽车2次运货物180吨，照这样计算，5辆汽车4次可以运货物多少吨？ 【答案】600吨 【分析】根据题意，用总吨数180除以汽车辆数3，再除以运的次数2，可求出1辆汽车1次运货物的吨数，再乘汽车辆数5和运的次数4，即可求出总吨数。 【详解】180÷3÷2 ＝60÷2 ＝30（吨） 30×5×4 ＝150×4 ＝600（吨） 答：5辆汽车4次可以运货物600吨。 【变式2-2】分拣机器人要将664个相同规格的货物装箱。如果每4个货物装一盒，每2盒装一箱，需要多少个箱子才能装完这些货物？ 【答案】83箱 【分析】求需要多少个箱子才能装完这些货物，先求664个货物一共能装多少盒，用货物总数除以每盒的货物数，再求这些盒能装多少箱，用总盒数除以每箱的盒数即可。 【详解】 （个） 答：需要83个箱子才能装完这些货物。 【变式2-3】李老师花64元买了4盒相同的钢笔，每盒有2支。每支钢笔多少元？ 分步列式计算： (1)__________________________  表示( )； (2)__________________________  表示( )； (3)综合算式： 【答案】(1) 64÷4＝16（元） 每盒钢笔16元 (2) 16÷2＝8（元） 每支钢笔8元 (3)64÷4÷2＝8（元） 【分析】先用盒数乘每盒的支数求出一共有几支，再用花费的钱数除以支数即可；也可以先用花费的钱数除以盒数求出每盒的钱数，再除以每盒的支数即可；不同的解题方法有不同的填空答案，任选一个即可。 【详解】（1）64÷4＝16（元），表示每盒钢笔16元；（答案不唯一） （2）16÷2＝8（元），表示每支钢笔8元；（第一空答案不唯一） （3）64÷4÷2 ＝16÷2 ＝8（元） 答：每支钢笔8元。 题型三、用乘除解决实际问题（归一问题） 知识积累 1.概念定义 (1)归一问题：在解题时，需要先求出“单一量”（即每一份是多少，或单位时间/单位数量的工作量），然后再求出最终结果的问题。 (2)关键词：“照这样计算”、“按同样的速度”等，意味着 单一量保持不变。 2.解题步骤 (1)第一步：归一（求单一量）。 用总量 对应的份数 = 单一量。 (2)第二步：求解。 ①　若求新的总量：单一量 新的份数 = 新总量。 ②　若求新的份数：新总量 单一量 = 新份数。 3.类型区分 (1)正归一：求总量。公式：单一量 数量 = 总量。 (2)反归一：求数量。公式：总量 单一量 = 数量。 例题讲解 【典例3】3箱蜜蜂一年产了225千克蜂蜜，照这样计算，8箱蜜蜂一年能产多少千克蜂蜜？ 【答案】600千克 【分析】先求出1箱蜜蜂一年产蜂蜜的质量，用总质量除以箱数；再求出总量，用1箱的产量乘8箱。 【详解】225÷3×8 ＝75×8 ＝600（千克） 答：8箱蜜蜂一年能产600千克蜂蜜。 举一反三 【变式3-1】王师傅4小时加工了24个零件，按照这样的速度，加工72个零件需要多少个小时？ 【答案】12小时 【分析】4小时加工零件个数÷4＝每小时加工零件个数、要加工零件个数÷每小时加工零件个数＝需要的时间，据此解答。 【详解】（个） （小时） 答：加工72个零件需要12个小时。 【变式3-2】学校食堂一周（按5天算）要用掉280千克大米。照这样计算，五月份（31天）一共要用掉多少千克大米？ 【答案】 1736千克 【分析】本题属于归一问题。首先根据已知条件“一周（按 5 天算）要用掉 280 千克大米”，利用除法求出平均每天用掉大米的千克数；然后根据“照这样计算”，利用乘法求出五月份 31 天一共要用掉大米的千克数。 【详解】280÷5×31 ＝56×31 ＝1736（千克） 答：五月份（31 天）一共要用掉1736千克大米。 【变式3-3】小思和家人从宾馆步行到冠英古街，他们3分钟走了195米，照这样的速度，他们到达冠英古街共用了15分钟。宾馆到冠英古街一共多少米？ 【答案】 975米 【分析】第一步先用195除以3，算出每分钟步行的速度；第二步用速度乘15，算出15分钟的总路程；列式计算即可。 【详解】 （米） 答：宾馆到冠英古街一共975米。 题型四、用乘除解决实际问题（归总问题） 知识积累 1.概念定义 (1)归总问题：在解题时，需要先求出“总量”（即总数、总工作量、总路程等），然后再根据新的条件求出结果的问题。 (2)核心特点：无论每份的数量如何变化，总量保持不变。 2.解题步骤 (1)第一步：归总（求总量）。 ①　用每份的数量 份数 = 总量。 ②　例如：每天看10页，6天看完，书共有多少页？ (页)。 (2)第二步：求解。 ①　若求新的每份数量：总量 新的份数 = 新每份数量。 ②　若求新的份数：总量 新的每份数量 = 新份数。 3.与归一问题的区别 (1)归一问题先求 除法（求单一量）；归总问题先求 乘法（求总量）。 (2)归一问题中“单一量”不变；归总问题中“总量”不变。 例题讲解 【典例4】三年级同学参加植树活动，每6人一组，可以分成18组。如果每9人一组，可以分成多少组？ 【答案】12组 【分析】根据原来的分组情况（每组6人，分成18组）用乘法求出总人数，再用总人数除以新的每组人数9人，即可求出可以分成的组数。 【详解】18×6＝108（人） 108÷9＝12（组） 答：可以分成12组。 举一反三 【变式4-1】一批货物，用小货车运，每次运15吨，20次运完。如果改用大货车，每次运20吨，几次可以运完？ 【答案】15次 【分析】首先，根据小货车每次运的吨数和运的次数，利用乘法计算出货物的总吨数；然后，用货物的总吨数除以大货车每次运的吨数，即可求出大货车需要运的次数。 【详解】15×20÷20 ＝300÷20 ＝15（次） 答：如果改用大货车，每次运20吨，15次可以运完。 【变式4-2】某校组织二、三年级学生参观郑成功纪念馆，为了方便乘车，将这些学生平均分成5队，每队有72人，到达纪念馆后，将这些学生分成8个小组参观，平均每个小组有多少人？ 【答案】45人 【分析】根据题意，先利用乘法求出学生的总人数，即队数乘每队人数；再利用除法求出平均每个小组的人数，即总人数除以小组数。 【详解】72×5÷8 ＝360÷8 ＝45（人） 答：平均每个小组有45人。 【变式4-3】李师傅接到一笔订单，计划每天制作64件，6天完成。________________，实际每天制作多少件？先根据下图在横线上补全条件，再解答。 【答案】实际完成订单只用了4天；96件 【分析】观察线段图可知，计划每天制作64件，6天完成，实际完成订单只用了4天，因此补充条件为：实际完成订单只用了4天。求实际每天制作多少件，用计划每天制作的件数乘计划完成的天数，求出订单的总件数，再用订单的总件数除以实际完成订单的天数，即可求出实际每天制作多少件。 【详解】条件：实际完成订单只用了4天。 64×6÷4 ＝384÷4 ＝96（件） 答：实际每天制作96件。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数量关系的应用（一） 目录概览 题型一、用连乘解决实际问题 1 题型二、用连除解决实际问题 3 题型三、用乘除解决实际问题（归一问题） 4 题型四、用乘除解决实际问题（归总问题） 6 题型演练 题型一、用连乘解决实际问题 知识积累 1.问题特征 (1)已知两个相关的单一量，求总量；或者已知每份的数量和份数，先求出一部分的总量，再求整体的总量。 (2)通常涉及三个量之间的关系，需要分 步计算。 2.解题思路与方法 (1)方法一：先求“每大份”有多少。 ①　思路：先算出一个中间量（如：一排有多少人/一盒有多少个），再算总数。 ②　数量关系：每小份数量 每大份里的小份数 = ；每大份的数量 大份数 = 。 (2)方法二：先求“总份数”有多少。 ①　思路：先算出总共有多少个小单位（如：一共有多少排/一共有多少盒），再算总数。 ②　数量关系：每大份里的小份数 大份数 = ；每小份数量 总小份数 = 。 3.综合算式 (1)连乘算式中，交换因数的位置，积 。 (2)例如： 。 例题讲解 【典例1】工人叔叔装货物，每层装8箱，每箱重15千克，3层一共重多少千克？ 举一反三 【变式1-1】寒假期间，李刚一家去北京旅游，他们一共拍了800张照片。他想将这些照片洗出来并放进相册，如果一本相册有24页，每页可以插6张照片，那么买5本这样的相册够用吗？ 【变式1-2】商店运来12箱苹果，每箱25千克，每千克卖4元，这些苹果一共可以卖多少元？（用两种方法解答） 【变式1-3】某电商仓库打包快递，一共打包了25箱运动鞋，每箱有4盒，每盒装2双运动鞋。这个仓库一共打包了多少双运动鞋？ (1)我的解题思路是：先求( )，再求( )。（填序号） ①一共打包了多少双运动鞋    ②一共打包了多少盒运动鞋    ③每箱有多少双运动鞋 (2)请按第（1）题选择的解题思路在下面列综合算式解答。 题型二、用连除解决实际问题 知识积累 1.问题特征 (1)已知总量和两个层级的分配标准，求单一单位的数量。 (2)通常是连乘问题的逆运算，需要分 步计算，且每一步都是除法。 2.解题思路与方法 (1)方法一：连续除以两个已知条件。 ①　思路：先用总量除以第一个层级的大份数，求出每大份的数量；再除以每大份里的小份数，求出每小份的数量。 ②　数量关系：总量 大份数 = ；每大份的数量 每大份里的小份数 = 。 (2)方法二：先求“总份数”，再除。 ①　思路：先算出总共有多少个最小单位（总小份数），再用总量除以总小份数。 ②　数量关系：大份数 每大份里的小份数 = ；总量 总小份数 = 。 3.综合算式 (1)连除算式可以写成除以两个数的积。 (2)即： 。注意括号的使用，除以两个数的积等于 这两个数。 例题讲解 【典例2】学校把240盆花平均放在2个教学楼，每个教学楼有4层，平均每层放多少盆花？ 举一反三 【变式2-1】3辆汽车2次运货物180吨，照这样计算，5辆汽车4次可以运货物多少吨？ 【变式2-2】分拣机器人要将664个相同规格的货物装箱。如果每4个货物装一盒，每2盒装一箱，需要多少个箱子才能装完这些货物？ 【变式2-3】李老师花64元买了4盒相同的钢笔，每盒有2支。每支钢笔多少元？ 分步列式计算： (1)__________________________  表示( )； (2)__________________________  表示( )； (3)综合算式： 题型三、用乘除解决实际问题（归一问题） 知识积累 1.概念定义 (1)归一问题：在解题时，需要先求出“单一量”（即每一份是多少，或单位时间/单位数量的工作量），然后再求出最终结果的问题。 (2)关键词：“照这样计算”、“按同样的速度”等，意味着 。 2.解题步骤 (1)第一步：归一（求单一量）。 用总量 对应的份数 = 。 (2)第二步：求解。 ①　若求新的总量：单一量 新的份数 = 。 ②　若求新的份数：新总量 单一量 = 。 3.类型区分 (1)正归一：求总量。公式：单一量 数量 = 。 (2)反归一：求数量。公式：总量 单一量 = 。 例题讲解 【典例3】3箱蜜蜂一年产了225千克蜂蜜，照这样计算，8箱蜜蜂一年能产多少千克蜂蜜？ 举一反三 【变式3-1】王师傅4小时加工了24个零件，按照这样的速度，加工72个零件需要多少个小时？ 【变式3-2】学校食堂一周（按5天算）要用掉280千克大米。照这样计算，五月份（31天）一共要用掉多少千克大米？ 【变式3-3】小思和家人从宾馆步行到冠英古街，他们3分钟走了195米，照这样的速度，他们到达冠英古街共用了15分钟。宾馆到冠英古街一共多少米？ 题型四、用乘除解决实际问题（归总问题） 知识积累 1.概念定义 (1)归总问题：在解题时，需要先求出“总量”（即总数、总工作量、总路程等），然后再根据新的条件求出结果的问题。 (2)核心特点：无论每份的数量如何变化， 。 2.解题步骤 (1)第一步：归总（求总量）。 ①　用每份的数量 份数 = 。 ②　例如：每天看10页，6天看完，书共有多少页？ (页)。 (2)第二步：求解。 ①　若求新的每份数量：总量 新的份数 = 。 ②　若求新的份数：总量 新的每份数量 = 。 3.与归一问题的区别 (1)归一问题先求 （求单一量）；归总问题先求 （求总量）。 (2)归一问题中“单一量”不变；归总问题中“总量”不变。 例题讲解 【典例4】三年级同学参加植树活动，每6人一组，可以分成18组。如果每9人一组，可以分成多少组？ 举一反三 【变式4-1】一批货物，用小货车运，每次运15吨，20次运完。如果改用大货车，每次运20吨，几次可以运完？ 【变式4-2】某校组织二、三年级学生参观郑成功纪念馆，为了方便乘车，将这些学生平均分成5队，每队有72人，到达纪念馆后，将这些学生分成8个小组参观，平均每个小组有多少人？ 【变式4-3】李师傅接到一笔订单，计划每天制作64件，6天完成。________________，实际每天制作多少件？先根据下图在横线上补全条件，再解答。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $