专题07 长方形和正方形（专项训练）三年级数学暑假专项提升（北京版·新教材）

**基本信息** 以11类题型系统整合长方形和正方形的概念、周长与面积计算及实际应用，通过知识积累-例题-变式三阶训练，强化几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与基础操作|题型1-2（概念、画图）|概念特征归纳、画图步骤|从概念到操作，夯实基础| |周长计算与应用|题型3-6（周长计算、巧算、应用）|周长公式及逆运算、平移转化法|从公式到巧算，提升运算能力| |面积计算与应用|题型7-11（面积计算、组合、换算、铺地砖、已知周长求面积）|面积公式、分割填补法、单位换算技巧、面积法/边长法|从单一到组合，培养空间观念与推理意识|

专题07 长方形和正方形 目录概览 题型一、长方形和正方形的概念及特点 1 题型二、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 2 题型三、计算长方形的周长 3 题型四、计算正方形的周长 4 题型五、长、正方形周长的应用 5 题型六、利用平移法巧算周长 7 题型七、计算长方形和正方形的面积 8 题型八、计算长方形和正方形组合的面积 9 题型九、平方厘米、平方分米、平方米之间的进率与换算 10 题型十、铺地砖问题 11 题型十一、已知周长求面积问题 13 题型演练 题型一、长方形和正方形的概念及特点 知识积累 1.长方形的特征： (1)长方形有 条边， 个角都是直角。 (2)长方形的 边相等。通常把较长的一组对边叫做 ，较短的一组对边叫做 。 2.正方形的特征： (1)正方形有 条边， 个角都是直角。 (2)正方形的 条边都相等。正方形的每条边都叫做 。 3.两者关系：正方形是特殊的 。当长方形的长和宽 时，它就变成了正方形。 4.剪最大正方形：在一张长方形纸上剪下一个最大的正方形，这个正方形的边长等于长方形的 。 例题讲解 【典例1】一个正方形有( )条边，( )个直角；一个长方形有( )组对边相等。 举一反三 【变式1-1】如图，用（    ）小棒能拼成一个长方形。 A．2厘米 B．4厘米 C．6厘米 【变式1-2】在括号里填上合适的数。（单位：厘米） 【变式1-3】在一张长14厘米，宽6厘米的长方形纸上剪出一张最大的正方形，这张正方形纸的边长是( )厘米，最多能剪( )个这样的正方形。 题型二、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 知识积累 1.画图步骤： (1)定顶点：先确定一个顶点。 (2)画边：从顶点出发，画出长和宽（或边长），注意相邻两边要互相 。 (3)连线：连接另外两个端点，形成封闭图形。 2.方格纸作图技巧： (1)若每格代表1厘米，画长6厘米、宽3厘米的长方形，需占据横向 格，纵向 格。 (2)画边长为4厘米的正方形，需占据横向和纵向各 格。 例题讲解 【典例2】画一个长6厘米、宽3厘米的长方形和一个边长为4厘米的正方形。提示：图中每个小正方形的边长为1厘米。 举一反三 【变式2-1】接着画一个长方形。 【变式2-2】在下面的方格纸上画一个正方形、一个长方形，其中长方形的长和正方形的边长相等。 【变式2-3】在方格纸中画一个长5厘米宽3厘米的长方形，然后在其中画一个最大的正方形，涂上阴影。注意：每格代表1厘米。 题型三、计算长方形的周长 知识积累 1.周长定义：封闭图形一周的长度，是它的周长。 2.计算公式： (1)方法一：长 + 宽 + 长 + 宽 (2)方法二：长 2 + 宽 2 (3)方法三（最常用）：(长 + 宽) 3.逆运算（已知周长求长或宽）： (1)长 = 周长 2 - (2)宽 = 周长 2 - 例题讲解 【典例3】计算下面图形的周长（单位：厘米）。 举一反三 【变式3-1】一个长方形的长是8米，宽是5米，它的周长是( )米。 【变式3-2】计算下面图形的周长。 【变式3-3】填一填。 长方形 长 11厘米 10分米 宽 5厘米 周长 34分米 题型四、计算正方形的周长 知识积累 1.计算公式：正方形周长 = 边长 2.逆运算（已知周长求边长）：边长 = 周长 例题讲解 【典例4】计算下面图形的周长。 举一反三 【变式4-1】算一算，填一填。 正方形 边长 3米 6厘米 周长 32分米 【变式4-2】一个长方形的周长是36厘米，宽是8厘米，长是( )厘米；如果在它内部截取一个最大的正方形，这个正方形的周长是( )厘米。 【变式4-3】计算下面正方形的周长。 题型五、长、正方形周长的应用 知识积累 1.靠墙围篱笆问题： (1)若长方形菜地长边靠墙，所需篱笆长度 = 长 + 宽。 (2)若长方形菜地宽边靠墙，所需篱笆长度 = 长 + 宽。 (3)结论：让较 的一边靠墙，更节省材料。 2.铁丝/绳子重组问题： (1)用同一根铁丝围成长方形和正方形，它们的 相等。 (2)解题关键：先求出总长度（周长），再根据新图形的公式求边长或宽。 例题讲解 【典例5】刘爷爷要在围墙边围一块菜地，长18米，宽5米，有A、B两种围法。哪种围法更节省篱笆？ 举一反三 【变式5-1】一个正方形花坛，边长12米，沿着花坛边走一圈，一共走了多少米？ 【变式5-2】王妈妈用红丝带围一个边长是8厘米的正方形框架。如果用这些红丝带围一个长是10厘米的长方形框架，这个长方形的宽是多少厘米？ 【变式5-3】李大爷买来一些栅栏围成一个鸡舍。 （1）李大爷用这些栅栏围成了一个长12米，宽4米的长方形鸡舍，围成的鸡舍周长是多少米？ （2）后来，李明建议李大爷靠着一道墙围（如图），围成的鸡舍也是一个长方形，宽是10米，你知道长是多少米吗？ 题型六、利用平移法巧算周长 知识积累 1.不规则图形周长计算：对于呈阶梯状或凹进去的不规则图形，可以通过 线段的方法，将其转化为规则的长方形或正方形。 2.原理：平移后，图形的周长 。 例题讲解 【典例6】求下面图形的周长。 举一反三 【变式6-1】计算图形的周长。单位：厘米 【变式6-2】看图计算下面图形的周长。 【变式6-3】如图是一个大花园，小明沿着它的四周刚好走了一圈，他共走了多少米？（单位：米）             题型七、计算长方形和正方形的面积 知识积累 1.面积定义：物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的 。 2.计算公式： (1)长方形面积 = (2)正方形面积 = 3.周长与面积的区别： (1)意义不同：周长是线的长度，面积是面的大小。 (2)单位不同：周长用长度单位（米、厘米），面积用 单位（平方米、平方厘米）。 (3)计算方法不同：周长涉及加法或乘2/4，面积涉及 。 例题讲解 【典例7】计算下面图形的面积。 举一反三 【变式7-1】一个长方形的长是9米，宽是4米，它的面积是( )平方米，周长是( )米。 【变式7-2】一个正方形的边长是5厘米，它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【变式7-3】求下面图形的面积。（单位：分米） 题型八、计算长方形和正方形组合的面积 知识积累 1.分割法（加法）：将组合图形分割成几个简单的长方形或正方形，分别计算面积后 。 2.填补法（减法）：将组合图形补成一个大的长方形，计算出大长方形面积，再减去 部分的面积。 例题讲解 【典例8】计算下面图形的面积。 举一反三 【变式8-1】计算下面图形的面积。（单位：厘米） 【变式8-2】计算阴影部分的面积：（单位：米）。 【变式8-3】幸福小区在边长9米的正方形花坛四周铺草坪（如下图）。草坪的面积是多少平方米？ 题型九、平方厘米、平方分米、平方米之间的进率与换算 知识积累 1.常用面积单位： (1)平方厘米 ( )：指甲盖的大小约为1平方厘米。 (2)平方分米 ( )：粉笔盒一个面的大小约为1平方分米。 (3)平方米 ( )：家中大方砖或餐桌桌面的大小约为1平方米。 2.进率关系： (1)1平方分米 = 平方厘米 (2)1平方米 = 平方分米 (3)1平方米 = 平方厘米 3.换算方法： (1)大单位换小单位：乘以进率（添2个0或4个0）。 (2)例：6平方米 = 平方分米。 (3)小单位换大单位：除以进率（去2个0或4个0）。 (4)例：500平方厘米 = 平方分米。 例题讲解 【典例9】6平方米＝( )平方分米        500平方厘米＝( )平方分米 25平方分米＝( )平方厘米          200平方分米＝( )平方米 举一反三 【变式9-1】在括号里填合适的数。 500平方厘米＝( )平方分米    60平方米＝( )平方分米 4分米＝( )厘米   2平方米＝( )平方厘米   1000平方分米＝( )平方米 【变式9-2】教室地面长9米，宽5米，地面面积是多少平方米？合多少平方分米？ 【变式9-3】卫生间地面铺边长3分米的正方形地砖，一共铺了100块，卫生间地面面积是多少平方分米？合多少平方米？ 题型十、铺地砖问题 知识积累 1.解题思路： (1)方法一（面积法）： ①　第一步：统一单位（将长、宽和地砖边长统一为相同单位，通常为分米或厘米）。 ②　第二步：计算地面总面积 = 长 。 ③　第三步：计算一块地砖面积 = 边长 。 ④　第四步：地砖块数 = 地面总面积 。 (2)方法二（边长法，仅适用于正好铺满且无切割损耗的理想情况）：长边能铺的块数 宽边能铺的块数 = 总块数。 2.费用计算： (1)总费用 = 地砖块数 。 (2)比较哪种地砖便宜：分别计算两种方案的总费用，数值 的更便宜。 例题讲解 【典例10】李叔叔家的卫生间长3米，宽18分米，准备铺上地砖。李叔叔选中了下面两种质量相当的地砖，你能帮李叔叔算一算，买哪一种方砖便宜？需要多少元？ 举一反三 【变式10-1】一间长方形卧室，长9米，宽6米，如果用边长3分米的正方形地砖铺地，一共需要多少块地砖？ 【变式10-2】长方形大厅长12米，宽8米，先用边长4分米的正方形地砖铺一半面积，再用边长3分米的正方形地砖铺另一半，两种地砖各需要多少块？ 【变式10-3】朵朵家的厨房要贴壁砖，现在有两种壁砖可供选择。      （1）选用第一种壁砖，需要600块。你知道朵朵家厨房墙壁的面积是多少平方分米？合多少平方米？ （2）选用哪种壁砖更便宜？ 题型十一、已知周长求面积问题 知识积累 1.周长一定，面积最大规律： (1)用同样长的篱笆围长方形或正方形，围成 时面积最大。 (2)对于长方形，长和宽越 ，面积越大。 2.解题步骤： (1)第一步：求长与宽的和 = 周长 。 (2)第二步：列举可能的长和宽（整数情况下），找出乘积最大的一组。 (3)第三步：计算最大面积 = 长 。 例题讲解 【典例11】用44米篱笆四边围长方形或正方形，最大面积是多少平方米？ 举一反三 【变式11-1】用22米长的篱笆四边围长方形，长和宽都是整米数，面积最大是多少平方米？ 【变式11-2】曹溪河月季园中的月季花争奇斗艳，是游客打卡拍照的好去处。月季园大门处靠墙用围栏围出的一块月季花圃，共用去150分米的木制围栏，花圃的面积是多少平方米？ 【变式11-3】陈大爷打算在自家院子里用28米的篱笆靠墙围出一块长方形小菜园（如图），长是12米。 （1）如果这样围，这块小菜园的宽是多少米？ （2）数学教师退休的王大爷发现这样围菜地利用率不高，于是帮忙将长调整为14米，使其靠墙围成的菜园面积变大，这时菜地面积是多少平方米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 长方形和正方形 目录概览 题型一、长方形和正方形的概念及特点 1 题型二、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 3 题型三、计算长方形的周长 5 题型四、计算正方形的周长 8 题型五、长、正方形周长的应用 9 题型六、利用平移法巧算周长 12 题型七、计算长方形和正方形的面积 14 题型八、计算长方形和正方形组合的面积 16 题型九、平方厘米、平方分米、平方米之间的进率与换算 18 题型十、铺地砖问题 20 题型十一、已知周长求面积问题 23 题型演练 题型一、长方形和正方形的概念及特点 知识积累 1.长方形的特征： (1)长方形有 4 条边，4 个角都是直角。 (2)长方形的 对 边相等。通常把较长的一组对边叫做 长，较短的一组对边叫做 宽。 2.正方形的特征： (1)正方形有 4 条边，4 个角都是直角。 (2)正方形的 4 条边都相等。正方形的每条边都叫做 边长。 3.两者关系：正方形是特殊的 长方形。当长方形的长和宽 相等 时，它就变成了正方形。 4.剪最大正方形：在一张长方形纸上剪下一个最大的正方形，这个正方形的边长等于长方形的 宽。 例题讲解 【典例1】一个正方形有( )条边，( )个直角；一个长方形有( )组对边相等。 【答案】 4 4 2 【分析】长方形的特征：两组对边分别相等，四个角都是直角的四边形是长方形； 正方形的特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。 【详解】由分析知，一个正方形有（4）条边，（4）个直角；一个长方形有（2）组对边相等。 举一反三 【变式1-1】如图，用（    ）小棒能拼成一个长方形。 A．2厘米 B．4厘米 C．6厘米 【答案】C 【分析】长方形的对边相等，图中已有长6厘米、宽2厘米的边，缺少的是与长对应的另一条边（长度应为6厘米）。观察选项，只有C选项的小棒长度是6厘米，能和已有长的边组成对边。 【详解】由分析可得，用6厘米小棒能拼成一个长方形。 故答案为：C 【变式1-2】在括号里填上合适的数。（单位：厘米） 【答案】见详解 【分析】长方形，其对边相等；正方形，四条边都相等。据此解答。 【详解】根据分析可知： 【变式1-3】在一张长14厘米，宽6厘米的长方形纸上剪出一张最大的正方形，这张正方形纸的边长是( )厘米，最多能剪( )个这样的正方形。 【答案】 6 2 【分析】从长方形纸上剪下最大的正方形，则这个正方形的边长等于长方形的宽；求出这张长方形纸的长里面有几个正方形的边长，就可以剪几个这样的正方形。据此解答即可。 【详解】14÷6＝2（个）……2（厘米） 在一张长14厘米，宽6厘米的长方形纸上剪出一张最大的正方形，这张正方形纸的边长是6厘米，最多能剪2个这样的正方形。 题型二、画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 知识积累 1.画图步骤： (1)定顶点：先确定一个顶点。 (2)画边：从顶点出发，画出长和宽（或边长），注意相邻两边要互相 垂直。 (3)连线：连接另外两个端点，形成封闭图形。 2.方格纸作图技巧： (1)若每格代表1厘米，画长6厘米、宽3厘米的长方形，需占据横向 6 格，纵向 3 格。 (2)画边长为4厘米的正方形，需占据横向和纵向各 4 格。 例题讲解 【典例2】画一个长6厘米、宽3厘米的长方形和一个边长为4厘米的正方形。提示：图中每个小正方形的边长为1厘米。 【答案】见详解 【分析】长方形的两组对边相等，有4个直角。长6厘米，画6个小格；宽3厘米，画3个小格据此画出这个长方形。 正方形四条边都相等，有4个直角。画边长为4个小格的正方形。据此作图即可。 【详解】 举一反三 【变式2-1】接着画一个长方形。 【答案】见详解 【分析】两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。长方形两组对边平行且相等，两条对角线相等且互相平分。因此，根据两条边画出对应的边，然后依次连接即可。 【详解】 【变式2-2】在下面的方格纸上画一个正方形、一个长方形，其中长方形的长和正方形的边长相等。 【答案】见详解 【分析】在长方形中，长比宽长；正方形的边长都相等。因为题干要求长方形的长和正方形的边长相等。所以可以画一个长4格，宽2格的长方形，画一个边长为4格的正方形。 【详解】画一个长4格，宽2格的长方形，画一个边长为4格的正方形。 （答案不唯一） 【变式2-3】在方格纸中画一个长5厘米宽3厘米的长方形，然后在其中画一个最大的正方形，涂上阴影。注意：每格代表1厘米。 【答案】见详解 【分析】（1）长方形的定义：对边相等，四个角都是直角的四边形叫做长方形，通常情况下，长的那一边为长，短的那一边为宽；根据长方形的特征画一个长5厘米宽3厘米的长方形。 （2）在一个长方形中画一个最大的正方形，正方形的边长为长方形的宽，正方形的四条边都相等、四个角都是直角；据此在其中画一个最大的正方形，涂上阴影即可。 【详解】根据分析画图如下： （正方形画法不唯一） 题型三、计算长方形的周长 知识积累 1.周长定义：封闭图形一周的长度，是它的周长。 2.计算公式： (1)方法一：长 + 宽 + 长 + 宽 (2)方法二：长 2 + 宽 2 (3)方法三（最常用）：(长 + 宽) 2 3.逆运算（已知周长求长或宽）： (1)长 = 周长 2 - 宽 (2)宽 = 周长 2 - 长 例题讲解 【典例3】计算下面图形的周长（单位：厘米）。 【答案】40厘米 【分析】长方形的长为12厘米，宽为8厘米，长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入计算即可解答。 【详解】（12＋8）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） 举一反三 【变式3-1】一个长方形的长是8米，宽是5米，它的周长是( )米。 【答案】26 【分析】根据长方形的周长公式，，根据长是8米，宽是5米，计算即可。 【详解】 （米） 则长方形的周长是26米。 【变式3-2】计算下面图形的周长。 【答案】62厘米 【分析】由图中数据可知，长方形的长为19厘米，宽为12厘米，代入长方形的周长公式即可得到答案。 【详解】 （厘米） 所以图形的周长为62厘米。 【变式3-3】填一填。 长方形 长 11厘米 10分米 宽 5厘米 周长 34分米 【答案】32厘米；7分米 【分析】（1）已知长方形的长是10分米、周长是34分米，要求长方形的宽，根据长方形的周长=（长+宽）×2，先用周长除以2，求出长加宽的和；再减去长方形的长，求出长方形的宽，据此解答； （2）已知长方形的长是11厘米、宽是5厘米，要求长方形的周长，根据长方形的周长=（长+宽）×2，代入数据计算，即可解答。 【详解】（1）（厘米） （2）长+宽：（分米） 宽：（分米） 填表如下： 长方形 长 11厘米 10分米 宽 5厘米 7分米 周长 32厘米 34分米 题型四、计算正方形的周长 知识积累 1.计算公式：正方形周长 = 边长 4 2.逆运算（已知周长求边长）：边长 = 周长 4 例题讲解 【典例4】计算下面图形的周长。 【答案】52米 【分析】根据正方形的周长公式：正方形周长边长，据此解答。 【详解】（米） 答：正方形周长是52米。 举一反三 【变式4-1】算一算，填一填。 正方形 边长 3米 6厘米 周长 32分米 【答案】12米；24厘米；8分米 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，正方形的周长÷4＝边长；据此即可解答。 【详解】（米） （厘米） （分米） 正方形 边长 3米 6厘米 8分米 周长 12米 24厘米 32分米 【变式4-2】一个长方形的周长是36厘米，宽是8厘米，长是( )厘米；如果在它内部截取一个最大的正方形，这个正方形的周长是( )厘米。 【答案】 10 32 【分析】长方形的周长公式：周长＝（长＋宽）×2，我们可以推导出求长的方法，长方形的长＝周长÷2−宽。要在长方形里截取一个最大的正方形，关键规则是：正方形的边长＝长方形的宽，正方形的周长公式：周长＝边长×4，据此计算出正方形的周长。 【详解】36÷2－8 ＝18－8 ＝10（厘米） 长方形的宽是8厘米，所以正方形的边长就是8厘米。 8×4＝32（厘米） 【变式4-3】计算下面正方形的周长。 【答案】48厘米 【分析】已知长正方形的边长是12厘米，根据正方形周长＝边长×4，即可计算出它的周长。 【详解】根据分析可知： 12×4＝48（厘米） 正方形的周长是48厘米。 题型五、长、正方形周长的应用 知识积累 1.靠墙围篱笆问题： (1)若长方形菜地长边靠墙，所需篱笆长度 = 长 + 2 宽。 (2)若长方形菜地宽边靠墙，所需篱笆长度 = 2 长 + 宽。 (3)结论：让较 长 的一边靠墙，更节省材料。 2.铁丝/绳子重组问题： (1)用同一根铁丝围成长方形和正方形，它们的 周长 相等。 (2)解题关键：先求出总长度（周长），再根据新图形的公式求边长或宽。 例题讲解 【典例5】刘爷爷要在围墙边围一块菜地，长18米，宽5米，有A、B两种围法。哪种围法更节省篱笆？ 【答案】A种 【分析】根据题意可知，A种围法将长方形菜地的长靠墙，则此时需要的篱笆长度是2条宽加上一条长，据此计算出需要篱笆的长度；B种围法将长方形菜地的宽靠墙，则此时需要的篱笆长度是2条长加上一条宽，据此计算出需要篱笆的长度，比较选出更节省篱笆的围法即可。 【详解】A种：18＋2×5 ＝18＋10 ＝28（米） B种：5＋18×2 ＝5＋36 ＝41（米） 28米＜41米 答：A种围法更节省篱笆。 举一反三 【变式5-1】一个正方形花坛，边长12米，沿着花坛边走一圈，一共走了多少米？ 【答案】48米 【分析】沿着正方形花坛边走一圈的长度为该正方形的周长。正方形的周长计算公式为边长乘4，已知边长是12米，利用乘法计算即可求出总路程。 【详解】（米） 答：一共走了48米。 【变式5-2】王妈妈用红丝带围一个边长是8厘米的正方形框架。如果用这些红丝带围一个长是10厘米的长方形框架，这个长方形的宽是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】正方形的周长＝边长×4，依此计算出红丝带的长度，然后用红丝带的长度减去2个10厘米后，再除以2即可，依此计算。 【详解】由分析可得出，红丝带的长度：8×4＝32（厘米） 长方形的宽：（32－10－10）÷2 ＝（22－10）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 答：这个长方形的宽是6厘米。 【变式5-3】李大爷买来一些栅栏围成一个鸡舍。 （1）李大爷用这些栅栏围成了一个长12米，宽4米的长方形鸡舍，围成的鸡舍周长是多少米？ （2）后来，李明建议李大爷靠着一道墙围（如图），围成的鸡舍也是一个长方形，宽是10米，你知道长是多少米吗？ 【答案】（1）32米；（2）12米 【分析】围成的鸡舍周长＝（长＋宽）×2，将题意中的长12米，宽4米代入；根据图形，靠着的这道墙可作为鸡舍的长，用栅栏的周长减去2个宽，可求出长。 【详解】（1）（4＋12）×2 ＝16×2 ＝32（米） 答：围成的鸡舍周长是32米。 （2）32－10×2 ＝32－20 ＝12（米） 答：长是12米。 题型六、利用平移法巧算周长 知识积累 1.不规则图形周长计算：对于呈阶梯状或凹进去的不规则图形，可以通过 平移 线段的方法，将其转化为规则的长方形或正方形。 2.原理：平移后，图形的周长 不变。 例题讲解 【典例6】求下面图形的周长。 【答案】46cm 【分析】计算这个图形的周长，可以通过平移法，将不规则的边平移后转化为长方形：观察图形，把水平方向的短边向上平移，竖直方向的短边向左和向右平移，最终会形成一个长为14cm、宽为9cm的长方形。然后根据，计算即可。 【详解】 （cm） 答：周长为46cm。 举一反三 【变式6-1】计算图形的周长。单位：厘米 【答案】40厘米 【分析】 如上图：把左下角两条边分别向下、向左平移，则原来图形的周长等于边长为10厘米的正方形的周长，用边长乘4，即可求解。 【详解】10×4＝40（厘米） 所以图形的周长是40厘米。 【变式6-2】看图计算下面图形的周长。 【答案】178厘米 【分析】 如图，按箭头指示进行移动，此时图形的周长就是长68厘米，宽21厘米的长方形的周长，长方形周长＝（长＋宽）×2，据此解题。 【详解】（68＋21）×2 ＝89×2 ＝178（厘米） 图形的周长是178厘米。 【变式6-3】如图是一个大花园，小明沿着它的四周刚好走了一圈，他共走了多少米？（单位：米）             【答案】126米 【分析】 如图所示，将大花园的边平移后，可知大花园的周长等于长40米、宽（15＋8）米的长方形的周长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出大花园的周长，也就是小明走的路程。 【详解】（40＋15＋8）×2 ＝63×2 ＝126（米） 答：他共走了126米。 题型七、计算长方形和正方形的面积 知识积累 1.面积定义：物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的 面积。 2.计算公式： (1)长方形面积 = 长 宽 (2)正方形面积 = 边长 边长 3.周长与面积的区别： (1)意义不同：周长是线的长度，面积是面的大小。 (2)单位不同：周长用长度单位（米、厘米），面积用 面积 单位（平方米、平方厘米）。 (3)计算方法不同：周长涉及加法或乘2/4，面积涉及 乘法。 例题讲解 【典例7】计算下面图形的面积。 【答案】96cm2；25m2 【分析】左边是一个长12cm、宽8cm的长方形，长方形的面积＝长×宽，将数据代入计算即可；右边是一个边长为5m的正方形，正方形的面积＝边长×边长，将数据代入计算即可。 【详解】12×8＝96（cm2） 5×5＝25（m2） 左边长方形面积是96cm2，右边正方形面积是25m2。 举一反三 【变式7-1】一个长方形的长是9米，宽是4米，它的面积是( )平方米，周长是( )米。 【答案】 36 26 【分析】长方形的面积＝长×宽，长方形的周长＝（长＋宽）×2。由题意得，一个长方形的长是9米，宽是4米，直接将数据代入即可算出长方形的面积和周长。 【详解】9×4＝36（平方米） （9＋4）×2 ＝13×2 ＝26（米） 一个长方形的长是9米，宽是4米，它的面积是36平方米，周长是26米。 【变式7-2】一个正方形的边长是5厘米，它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 20 25 【分析】正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长。由题意得，一个正方形的边长是5厘米，直接将数据代入即可算出正方形的周长和面积。 【详解】5×4＝20（厘米） 5×5＝25（平方厘米） 一个正方形的边长是5厘米，它的周长是20厘米，面积是25平方厘米。 【变式7-3】求下面图形的面积。（单位：分米） 【答案】60平方分米；64平方分米 【分析】长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长。 【详解】12×5＝60（平方分米） 8×8＝64（平方分米） 题型八、计算长方形和正方形组合的面积 知识积累 1.分割法（加法）：将组合图形分割成几个简单的长方形或正方形，分别计算面积后 相加。 2.填补法（减法）：将组合图形补成一个大的长方形，计算出大长方形面积，再减去 空白 部分的面积。 例题讲解 【典例8】计算下面图形的面积。 【答案】12平方米 【分析】 长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长；如图所示，将原图形分成一个长是4米，宽是2米的长方形和边长是2米的正方形，据此求出正方形和长方形的面积，然后再加一起即可解题。 【详解】4×2＋2×2 ＝8＋4 ＝12（平方米） 图形的面积是12平方米。 举一反三 【变式8-1】计算下面图形的面积。（单位：厘米） 【答案】82平方厘米 【分析】观察图可以发现，左边图形是边长为8厘米的正方形，右边为长是6厘米，宽为3厘米的长方形，分别根据正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽算出各自的面积，最后相加，即可求出图形的面积。 【详解】8×8＝64（平方厘米） 3×6＝18（平方厘米） 18＋64＝82（平方厘米） 所以图形的面积为82平方厘米。 【变式8-2】计算阴影部分的面积：（单位：米）。 【答案】144平方米 【分析】根据图示可知，阴影部分的面积＝长15米、宽12米的长方形的面积－边长6米的正方形的面积，长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，依此计算即可。 【详解】 15×12－6×6 ＝180－36 ＝144（平方米） 【变式8-3】幸福小区在边长9米的正方形花坛四周铺草坪（如下图）。草坪的面积是多少平方米？ 【答案】1376平方米 【分析】由题意可知：草坪的面积＝绿化地的面积－花坛的面积，分别利用正方形和长方形的面积公式即可求解，长方形面积＝长×宽；正方形面积＝边长×边长，代入相关数据即可解答。 【详解】47×31－9×9 ＝1457－81 ＝1376（平方米） 答：草坪的面积是1376平方米。 题型九、平方厘米、平方分米、平方米之间的进率与换算 知识积累 1.常用面积单位： (1)平方厘米 ( )：指甲盖的大小约为1平方厘米。 (2)平方分米 ( )：粉笔盒一个面的大小约为1平方分米。 (3)平方米 ( )：家中大方砖或餐桌桌面的大小约为1平方米。 2.进率关系： (1)1平方分米 = 100 平方厘米 (2)1平方米 = 100 平方分米 (3)1平方米 = 10000 平方厘米 3.换算方法： (1)大单位换小单位：乘以进率（添2个0或4个0）。 (2)例：6平方米 = 600 平方分米。 (3)小单位换大单位：除以进率（去2个0或4个0）。 (4)例：500平方厘米 = 5 平方分米。 例题讲解 【典例9】6平方米＝( )平方分米        500平方厘米＝( )平方分米 25平方分米＝( )平方厘米          200平方分米＝( )平方米 【答案】 600 5 2500 2 【分析】根据1平方米＝100平方分米，1平方分米＝100平方厘米，据此换算，即可解答。 【详解】6×100＝600，即6平方米＝600平方分米； 5个100平方厘米是5平方分米，即500平方厘米＝5平方分米； 25个100平方厘米就是2500平方厘米，即25平方分米＝2500平方厘米； 2个100平方分米是2平方米，即200平方分米＝2平方米。 举一反三 【变式9-1】在括号里填合适的数。 500平方厘米＝( )平方分米    60平方米＝( )平方分米 4分米＝( )厘米   2平方米＝( )平方厘米   1000平方分米＝( )平方米 【答案】 5 6000 40 20000 10 【分析】500平方厘米＝（）平方分米，因为1平方分米＝100平方厘米，500平方厘米里面有5个100平方厘米，即5平方分米； 60平方米＝（）平方分米，因为1平方米＝100平方分米，60平方米是60个100平方分米，即6000平方分米； 4分米＝（）厘米，因为1分米＝10厘米，把4分米换算成厘米要乘进率10； 2平方米＝（）平方厘米，因为1平方米＝10000平方厘米，2平方米是2个10000平方厘米，即20000平方厘米； 1000平方分米＝（）平方米，因为1平方米＝100平方分米，1000平方分米里面有10个100平方分米，即10平方米。 【详解】500平方厘米＝5平方分米； 60平方米＝6000平方分米； 4×10＝40（厘米），4分米＝40厘米； 2平方米＝20000平方厘米； 1000平方分米＝10平方米。 【变式9-2】教室地面长9米，宽5米，地面面积是多少平方米？合多少平方分米？ 【答案】 45平方米；4500平方分米 【分析】本题考查长方形面积的计算以及面积单位之间的换算。首先根据长方形面积公式长×宽求出地面的面积，单位是平方米；然后根据面积单位间的进率，1平方米＝100平方分米，将平方米换算成平方分米。 【详解】（平方米） 45平方米＝4500平方分米 答：地面面积是45平方米，合4500平方分米。 【变式9-3】卫生间地面铺边长3分米的正方形地砖，一共铺了100块，卫生间地面面积是多少平方分米？合多少平方米？ 【答案】 900平方分米；合9平方米 【分析】先根据正方形面积公式边长×边长求出一块地砖的面积，再乘地砖的总块数求出卫生间地面的总面积（平方分米），最后根据1平方米＝100平方分米的进率将单位换算成平方米。 【详解】 （平方分米） 900平方分米＝9平方米 答：卫生间地面面积是900平方分米，合9平方米。 题型十、铺地砖问题 知识积累 1.解题思路： (1)方法一（面积法）： ①　第一步：统一单位（将长、宽和地砖边长统一为相同单位，通常为分米或厘米）。 ②　第二步：计算地面总面积 = 长 宽。 ③　第三步：计算一块地砖面积 = 边长 边长。 ④　第四步：地砖块数 = 地面总面积 一块地砖面积。 (2)方法二（边长法，仅适用于正好铺满且无切割损耗的理想情况）：长边能铺的块数 宽边能铺的块数 = 总块数。 2.费用计算： (1)总费用 = 地砖块数 单价。 (2)比较哪种地砖便宜：分别计算两种方案的总费用，数值 小 的更便宜。 例题讲解 【典例10】李叔叔家的卫生间长3米，宽18分米，准备铺上地砖。李叔叔选中了下面两种质量相当的地砖，你能帮李叔叔算一算，买哪一种方砖便宜？需要多少元？ 【答案】买第一种方砖便宜，需要240元。 【分析】将长3米换单位成分米，1米＝10分米，根据“长方形的面积＝长×宽”先计算卫生间地面的面积，然后分别计算两种地砖所需的数量和总价，最后比较哪种地砖更划算。 【详解】3米＝30分米 30×18＝540（平方分米） 3×3＝9（平方分米） 540÷9＝60（块） 60×4＝240（元） 2×2＝4（平方分米） 540÷4＝135（块） 135×2＝270（元） 240元＜270元 答：买第一种方砖便宜，需要240元。 举一反三 【变式10-1】一间长方形卧室，长9米，宽6米，如果用边长3分米的正方形地砖铺地，一共需要多少块地砖？ 【答案】600块 【分析】根据1米＝10分米，将米换算成分米，根据“长方形面积＝长×宽”，求出卧室地面的面积，正方形面积＝边长×边长，求出每块地砖的面积；最后用卧室地面面积除以每块地砖的面积，即可求出需要的地砖块数。 【详解】9米＝90分米 6米＝60分米 90×60÷（3×3） ＝5400÷9 ＝600（块） 答：一共需要600块地砖。 【变式10-2】长方形大厅长12米，宽8米，先用边长4分米的正方形地砖铺一半面积，再用边长3分米的正方形地砖铺另一半，两种地砖各需要多少块？ 【答案】300块；534块 【分析】长方形的面积＝长×宽，先求出长方形大厅的面积是96平方米；用长方形大厅的面积除以2，求出大厅一半的面积是48平方米，再把48平方米换算成4800平方分米； 正方形的面积＝边长×边长，求出两种地砖的面积分别是16平方分米、9平方分米；根据300个16平方分米是4800平方分米，即可得出边长4分米地砖需要300块； 用大厅一半的面积除以边长3分米地砖的面积，即可求出边长3分米地砖需要多少块，如果有余数，那么地砖的块数还需要用商加上1。 【详解】12×8＝96（平方米） 96÷2＝48（平方米） 48平方米＝4800平方分米 4×4＝16（平方分米） 300×16＝4800（平方分米） 3×3＝9（平方分米） 4800÷9＝533（块）……3（平方分米） 533＋1＝534（块） 答：边长4分米地砖需要300块，边长3分米地砖需要534块。 【变式10-3】朵朵家的厨房要贴壁砖，现在有两种壁砖可供选择。      （1）选用第一种壁砖，需要600块。你知道朵朵家厨房墙壁的面积是多少平方分米？合多少平方米？ （2）选用哪种壁砖更便宜？ 【答案】（1）3600平方分米；36平方米；（2）第二种 【分析】（1）长方形面积公式：长×宽，据此2乘3即可求出一块壁砖的面积，再乘600即可求出600块壁砖的面积，即为厨房墙壁的面积，再根据1平方米＝100平方分米，将单位化为平方米即可。 （2）第一种壁砖要600块，一块5元，600乘5即可求出600块砖的总价。正方形面积公式：边长×边长，据此2乘2可以求出一块砖的面积是4平方分米，再用总面积3600除以4，即可求出若用第二种砖，需要900块，一块砖3元，900乘3即可求出900块砖的总价，最后把两种砖的总价比较即可。 【详解】（1）2×3＝6（平方分米） 600×6＝3600（平方分米） 3600平方分米＝36平方米 答：朵朵家厨房墙壁的面积是3600平方分米，合36平方米。 （2）2×2＝4（平方分米） 3600÷4＝900（块） 600×5＝3000（元） 900×3＝2700（元） 3000＞2700 答：第二种壁砖更便宜些。 题型十一、已知周长求面积问题 知识积累 1.周长一定，面积最大规律： (1)用同样长的篱笆围长方形或正方形，围成 正方形 时面积最大。 (2)对于长方形，长和宽越 接近，面积越大。 2.解题步骤： (1)第一步：求长与宽的和 = 周长 2。 (2)第二步：列举可能的长和宽（整数情况下），找出乘积最大的一组。 (3)第三步：计算最大面积 = 长 宽。 例题讲解 【典例11】用44米篱笆四边围长方形或正方形，最大面积是多少平方米？ 【答案】121平方米 【分析】用44米篱笆四边围长方形或正方形，即周长一定，要使围成的面积要最大，则当它们的长和宽最接近：是正方形时围成的面积最大；先根据周长公式算出边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，算出面积即可求解。 【详解】当周长一定时，围成正方形的面积最大。 正方形的边长：44÷4＝11（米） 正方形的面积：11×11＝121（平方米） 答：最大面积是121平方米。 举一反三 【变式11-1】用22米长的篱笆四边围长方形，长和宽都是整米数，面积最大是多少平方米？ 【答案】30平方米 【分析】根据长方形的周长公式：周长＝（长＋宽）×2先算出长与宽的和，列出所有可能的长和宽，周长一定时，长和宽越接近，长方形的面积越大。最后根据长方形的面积公式：面积＝长×宽计算面积。 【详解】 长6米、宽5米最接近， 答：面积最大30平方米。 【变式11-2】曹溪河月季园中的月季花争奇斗艳，是游客打卡拍照的好去处。月季园大门处靠墙用围栏围出的一块月季花圃，共用去150分米的木制围栏，花圃的面积是多少平方米？ 【答案】28平方米 【分析】根据图示，150分米的木制围栏围成花圃的两条宽和一条长，用150－40×2求出花圃的长，再根据长方形的面积＝长×宽求出花圃的面积，再根据1平方米＝100平方分米进行单位换算。 【详解】150－40×2 ＝150－80 ＝70（分米） 70×40＝2800（平方分米） 2800平方分米＝28平方米 答：花圃的面积是28平方米。 【变式11-3】陈大爷打算在自家院子里用28米的篱笆靠墙围出一块长方形小菜园（如图），长是12米。 （1）如果这样围，这块小菜园的宽是多少米？ （2）数学教师退休的王大爷发现这样围菜地利用率不高，于是帮忙将长调整为14米，使其靠墙围成的菜园面积变大，这时菜地面积是多少平方米？ 【答案】（1）8米；（2）98平方米 【分析】（1）长方形菜园三面围的篱笆，长是12米，用28减12即可求出2条宽的和是16米，接着用16除以2即可求出宽。 （2）同（1）一样的算法，先用28减14所得的差是14，这个14就是2条宽的和，再用14除以2即可求出宽是7米，长方形面积＝长×宽，代入数据，用14乘7即可求出菜地的面积。 【详解】（1）（28－12）÷2 ＝16÷2 ＝8（米） 答：这块小菜园的宽是8米。 （2）（28－14）÷2 ＝14÷2 ＝7（米） 14×7＝98（平方米） 答：这时菜地面积是98平方米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $