专题03 数学百花园（专项训练）小升初数学暑假专项提升（北京版）

**基本信息** 以黄金比为核心，通过“概念认知-图形判断-实际应用”三阶递进训练，系统培养数学抽象与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |黄金比的认识|1典例+3变式|定义记忆与数值应用|从黄金比定义出发，通过自然界、艺术实例巩固0.618数值认知| |黄金比的长方形|1典例+3变式|比值计算与图形判断|以黄金比为基础，推导黄金长方形宽长比特征，训练测量与比值验证能力| |黄金比的应用|1典例+3变式|比例关系与实际情境分析|结合人体、建筑等现实场景，运用比例计算解决长度调整问题，体现数学与生活的联系|

专题03 数学百花园 目录概览 题型一、黄金比的认识 1 题型二、黄金比的长方形 1 题型三、黄金比的应用 3 题型演练 题型一、黄金比的认识 知识积累 1.黄金比的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，这个比值被称为 （或黄金分割比）。 2.黄金比的数值：其近似值通常取 。 例题讲解 【典例1】你听说过“黄金比”吗？黄金比的比值约等于（    ）。 A．0.616 B．0.617 C．0.618 D．0.619 举一反三 【变式1-1】神奇的自然界处处蕴含着数学知识。动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比值约为0.618，这里蕴含着（    ）的知识。 A．平移 B．黄金比 C．旋转 D．轴对称 【变式1-2】世界名画《蒙娜丽莎》，她的头宽与肩宽的比符合黄金比，这个比的比值是（    ）。 A．0.382 B．0.618 C．6.18 D．1 【变式1-3】生活中，人们设计许多物品时都会用的黄金比是。( ) 题型二、黄金比的长方形 知识积累 1.黄金长方形的定义 (1)宽与长的比值等于 （约0.618）的长方形，称为黄金长方形。 (2)即： 。 2.判断方法：测量长方形的长和宽，计算 的值。如果结果接近 ，则该长方形可视作黄金长方形。 例题讲解 【典例2】公元前500年，古希腊学者发现了“黄金长方形”，即长方形的长和宽最佳之比为1.618∶1，这样的长方形看起来令人赏心悦目，这个比叫做黄金分割比。下面方格中的四个长方形，最接近“黄金长方形”的是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 举一反三 【变式2-1】宽∶长的长方形称为黄金矩形，下面是黄金矩形的是（    ）。 A．长10厘米，宽0.618厘米 B．长6.18厘米，宽0.1厘米 C．长6.18厘米，宽1厘米 D．长10厘米，宽6.18厘米 【变式2-2】宽与长的比值为0.618的长方形被称为“黄金长方形”。下面四个长方形中，最接近“黄金长方形”的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式2-3】符合黄金比的长方形被认为是最美长方形，莉莉画了一个“最美长方形”。如果长画了20厘米，则宽应该画（    ）厘米。 A．10 B．12 C．12.36 题型三、黄金比的应用 知识积累 1.人体中的黄金比 (1)肚脐高度：人的肚脐位置大致位于身高的黄金分割点处。即： 。 (2)其他部位：膝盖是腿长的黄金分割点；肘关节是手臂长的黄金分割点。 (3)美学应用：模特穿高跟鞋是为了增加下半身长度，使 的比值更接近 ，从而显得身材更修长优美。 例题讲解 【典例3】当人体的上半身和下半身的比约为0.618：1时，会给人一种优美的视觉感受，人们称它为“黄金比”。明明的妈妈上半身长61.8cm，下半身长94cm，按照“黄金比”，她应该选择( )cm高的高跟鞋。 举一反三 【变式3-1】武当山建筑群的设计运用了黄金分割原理。已知真武大帝坐像的基座宽度与坐像高度的比符合黄金比（约为0.618∶1）。如果基座宽约5米，那么坐像高约为( )米。（得数保留两位小数） 【变式3-2】人的肚脐是人身长的黄金分割点。一般来说，当肚脐到脚跟的长度与人身高的比为0.618∶1时，是比较好看的黄金身段。某名身高为180厘米的舞蹈演员是黄金身段，则他的肚脐到脚跟的长度为( )厘米。（结果保留整数） 【变式3-3】当单肩包的背带总长度与人身高的比为0.618∶1时，背起来最舒服。王阿姨臂展长160厘米，她的臂展长是身高的。王阿姨准备背一个单肩包上班，她把背带总长度调整到多少厘米最舒服？（得数保留整数） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数学百花园 目录概览 题型一、黄金比的认识 1 题型二、黄金比的长方形 2 题型三、黄金比的应用 5 题型演练 题型一、黄金比的认识 知识积累 1.黄金比的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，这个比值被称为 黄金比（或黄金分割比）。 2.黄金比的数值：其近似值通常取 0.618。 例题讲解 【典例1】你听说过“黄金比”吗？黄金比的比值约等于（    ）。 A．0.616 B．0.617 C．0.618 D．0.619 【答案】C 【详解】黄金分割比是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。从古希腊以来，一直有人认为把黄金比应用于造型艺术，可以使作品给人以最美的感觉，因此黄金比在日常生活中有着广泛的应用。 黄金比的比值约等于0.618。 故答案为：C 举一反三 【变式1-1】神奇的自然界处处蕴含着数学知识。动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比值约为0.618，这里蕴含着（    ）的知识。 A．平移 B．黄金比 C．旋转 D．轴对称 【答案】B 【分析】平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动。黄金比是把一条线段分割为两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值。旋转是指在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化。如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。 【详解】A．平移与比值无关。 B．黄金比的比值约为0.618，与题目中给出的比值一致。 C．旋转与比值无关。 D．轴对称与比值无关。 每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比值约为0.618，这里蕴含着黄金比的知识。 故答案为：B 【变式1-2】世界名画《蒙娜丽莎》，她的头宽与肩宽的比符合黄金比，这个比的比值是（    ）。 A．0.382 B．0.618 C．6.18 D．1 【答案】B 【分析】把一个物体分成两部分，当较长部分与整体的比是0.618∶1时，被称为“黄金比”，由此计算出比值即可。 【详解】黄金比是0.618∶1，所以这个比的比值是0.618。 故答案为：B 【变式1-3】生活中，人们设计许多物品时都会用的黄金比是。( ) 【答案】× 【分析】黄金比是指黄金分割比例，其标准值约为0.618∶1。题干中给出的比例是0.628∶1，与标准黄金比不符。 【详解】生活中常用的黄金比是0.618∶1，而不是0.628∶1。 题型二、黄金比的长方形 知识积累 1.黄金长方形的定义 (1)宽与长的比值等于 黄金比（约0.618）的长方形，称为黄金长方形。 (2)即： 0.618。 2.判断方法：测量长方形的长和宽，计算 的值。如果结果接近 0.618，则该长方形可视作黄金长方形。 例题讲解 【典例2】公元前500年，古希腊学者发现了“黄金长方形”，即长方形的长和宽最佳之比为1.618∶1，这样的长方形看起来令人赏心悦目，这个比叫做黄金分割比。下面方格中的四个长方形，最接近“黄金长方形”的是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】“黄金长方形”的长和宽之比为1.618∶1，求出比值为1.618÷1＝1.618；先确定每个长方形的长、宽（方格边长为1），再计算长与宽的比值，分别求出与1.618的差值，最后比较大小即可。 【详解】A．长方形长4、宽2，长与宽的比为4∶2，比值为4÷2＝2，2＞1.618，相差2－1.618＝0.382； B．长方形长5、宽3，长与宽的比为5∶3，比值为5÷3≈1.667，1.667＞1.618，相差1.667－1.618＝0.049； C．长方形长6、宽4，长与宽的比为6∶4，比值为6÷4＝1.5，1.5＜1.618，相差1.618－1.5＝0.118； D．长方形长8、宽5，长与宽的比为8∶5，比值为8÷5＝1.6，1.6＜1.618，相差1.618－1.6＝0.018。 0.382＞0.118＞0.049＞0.018，所以最接近“黄金长方形”的是长8、宽5的长方形。 故答案为：D 【点睛】分别写出每个长方形长与宽的比，各自求出比值，再求出与1.618的差值，差值越小，说明该长方形越接近“黄金长方形”。 举一反三 【变式2-1】宽∶长的长方形称为黄金矩形，下面是黄金矩形的是（    ）。 A．长10厘米，宽0.618厘米 B．长6.18厘米，宽0.1厘米 C．长6.18厘米，宽1厘米 D．长10厘米，宽6.18厘米 【答案】D 【分析】已知黄金矩形要求宽∶长＝0.618∶1，先用比的前项除以后项算出比值，再逐项计算宽÷长的结果，判断是否等于比值即可。 【详解】0.618÷1＝0.618 A．0.618÷10＝0.0618≠0.618，不符合； B．0.1÷6.18≈0.0162≠0.618，不符合； C．1÷6.18≈0.1618≠0.618，不符合； D．6.18÷10＝0.618，符合。 故答案为：D 【变式2-2】宽与长的比值为0.618的长方形被称为“黄金长方形”。下面四个长方形中，最接近“黄金长方形”的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别数出各长方形长和宽的格数，用宽∶长，求出比值，求比值的方法：用比的前项÷比的后项，之后再与0.618求差，差最小的最接近“黄金长方形”。 【详解】A．2÷4＝0.5，0.618－0.5＝0.118； B．3÷5＝0.6，0.618－0.6＝0.018； C．4÷60.667，0.667－0.618＝0.049； D．5÷8＝0.625，0.625－0.618＝0.007。 0.007＜0.018＜0.049＜0.118 故答案为：D 【变式2-3】符合黄金比的长方形被认为是最美长方形，莉莉画了一个“最美长方形”。如果长画了20厘米，则宽应该画（    ）厘米。 A．10 B．12 C．12.36 【答案】C 【分析】把一个物体分成两部分，当较长的部分与整体的比或较短部分与较长部分的比是0.618∶1时，给人的感觉是最美的，这个神奇的比被称为“黄金比”；宽与长的比值接近0.618时，这个长方形为最美长方形，则长方形的宽∶长方形的长＝长方形的宽÷20＝0.618，据此解答。 【详解】20×0.618＝12.36（厘米） 宽应该画12.36厘米。 故答案为：C 【点睛】掌握“黄金比”的意义是解答题目的关键。 题型三、黄金比的应用 知识积累 1.人体中的黄金比 (1)肚脐高度：人的肚脐位置大致位于身高的黄金分割点处。即： 0.618。 (2)其他部位：膝盖是腿长的黄金分割点；肘关节是手臂长的黄金分割点。 (3)美学应用：模特穿高跟鞋是为了增加下半身长度，使 的比值更接近 0.618，从而显得身材更修长优美。 例题讲解 【典例3】当人体的上半身和下半身的比约为0.618：1时，会给人一种优美的视觉感受，人们称它为“黄金比”。明明的妈妈上半身长61.8cm，下半身长94cm，按照“黄金比”，她应该选择( )cm高的高跟鞋。 【答案】6 【分析】设她应该选择xcm高的高跟鞋，根据“黄金分割比”，用妈妈上半身的身长∶（妈妈下半身的身长＋高跟鞋的高度）＝黄金分割比，列出方程解答即可。 【详解】解：设她应该选择xcm高的高跟鞋。 61.8∶（94＋x）＝0.618 61.8÷（94＋x）×（94＋x）＝0.618×（94＋x） 0.618×（94＋x）＝61.8 0.618×（94＋x）÷0.618＝61.8÷0.618 94＋x＝100 94＋x－94＝100－94 x＝6 举一反三 【变式3-1】武当山建筑群的设计运用了黄金分割原理。已知真武大帝坐像的基座宽度与坐像高度的比符合黄金比（约为0.618∶1）。如果基座宽约5米，那么坐像高约为( )米。（得数保留两位小数） 【答案】 8.09 【分析】根据题意，基座宽度与坐像高度的比是0.618∶1，即基座宽度除以坐像高度的商约为0.618。已知基座宽度为5米，求坐像高度，根据除法各部分间的关系，用基座宽度除以0.618即可。 【详解】0.618∶1 ＝0.618÷1 ＝0.618 5÷0.618≈8.09（米） 因此坐像高约为8.09米。 【变式3-2】人的肚脐是人身长的黄金分割点。一般来说，当肚脐到脚跟的长度与人身高的比为0.618∶1时，是比较好看的黄金身段。某名身高为180厘米的舞蹈演员是黄金身段，则他的肚脐到脚跟的长度为( )厘米。（结果保留整数） 【答案】111 【分析】根据题意，用身高180厘米乘0.618即可求出肚脐到脚跟的长度，再用“四舍五入”法把结果保留整数即可。 【详解】180×0.618≈111（厘米） 【变式3-3】当单肩包的背带总长度与人身高的比为0.618∶1时，背起来最舒服。王阿姨臂展长160厘米，她的臂展长是身高的。王阿姨准备背一个单肩包上班，她把背带总长度调整到多少厘米最舒服？（得数保留整数） 【答案】104厘米 【分析】臂展长是身高的，王阿姨臂展长160厘米，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，用160除以即可得出王阿姨的身高；背带总长度与身高的比为0.618∶1，即背带长度是身高的0.618倍。则背带长度＝身高×0.618，用王阿姨的身高乘0.618计算后根据“四舍五入”法保留整数。 【详解】160÷×0.618 ＝160××0.618 ＝168×0.618 ≈104（厘米） 答：她把背带总长度调整到104厘米最舒服。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $