专题02 比和比例（专项训练）小升初数学暑假专项提升（北京版）

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑主线，通过16类题型系统构建比和比例知识网络，融合抽象能力与模型意识，实现从基础到综合应用的阶梯式突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比的基础|5题型|比的意义→性质→化简求比值→按比分配四步法|从量的关系抽象比的概念，通过性质实现比的转化与应用| |比例的基础|4题型|比例意义判断→基本性质应用→解比例三步骤|以比为基础构建比例概念，通过内项积等于外项积实现比例运算| |比例的应用|7题型|正反比例辨识法→比例尺换算→图形放缩操作|将比例与实际问题结合，培养用数学语言表达现实世界的能力|

专题02 比和比例 目录概览 题型一、比的意义 1 题型二、比的读法、写法及各部分的名称 2 题型三、比的基本性质 3 题型四、化简比和求比值 3 题型五、比的应用 5 题型六、比例的意义 6 题型七、比例的基本性质 7 题型八、解比例 7 题型九、比例的应用 9 题型十、比例尺的意义及应用 10 题型十一、应用比例尺画图 11 题型十二、正比例和反比例的意义及辨识 13 题型十三、正比例图象的认识 14 题型十四、正比例的应用 17 题型十五、反比例的应用 19 题型十六、图形的放大与缩小 20 题型演练 题型一、比的意义 知识积累 1.定义：两个数 又叫做两个数的比。 2.本质：比表示两个量之间的 关系或 关系。 3.实例：长3米，宽2米，长和宽的比是 ，表示长是宽的 倍。 例题讲解 【典例1】“84消毒液”用于室内喷洒消毒除菌时，通常浓度不宜过高，否则会危及身体健康，建议取1份“84消毒液”与100份水进行配制，这样不仅可达到较好的消毒效果，还能避免健康隐患。“84消毒液”与配制成的药水的比是( )。 举一反三 【变式1-1】8÷9可以写成（    ）∶（    ），还可以写成。 【变式1-2】一份试卷，小明已经完成了，那么剩下的与已完成的数量比是( )。 【变式1-3】把5克盐放入100克水中，盐与盐水的比为( )，水与盐水的比为( )。 题型二、比的读法、写法及各部分的名称 知识积累 1.写法：比号写作“:”。例如 3比2 写作 。 2.各部分名称： (1)在 中， 叫做比的 ， 叫做比的 。 (2)前项除以后项所得的商，叫做 。 3.比值的形式：比值通常用 表示，也可以用 或 表示。 4.注意：比的后项不能为 ，因为除法中除数不能为0，分数中分母不能为0。 5.比与除法、分数的关系： (1)比的前项相当于除法中的 ，相当于分数中的 。 (2)比号相当于除法中的 ，相当于分数中的 。 (3)比的后项相当于除法中的 ，相当于分数中的 。 (4)比值相当于除法中的 ，相当于分数中的 。 (5)区别：比是一种 ，除法是一种 ，分数是一种 。 例题讲解 【典例2】一个比的前项是26，后项是7，这个比记作( )，也可以记作( )，读作( )。 举一反三 【变式2-1】一个比的前项是8，比值是，后项是（    ）。 A． B．20 C． D． 【变式2-2】可以读作“4比7”。( ) 【变式2-3】在比“3∶29”中，它的前项是( )，它的后项是( )。 题型三、比的基本性质 知识积累 1.内容：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值 。 2.应用：利用比的基本性质可以把比化成 。 3.最简整数比：前项和后项都是 ，且它们的最大公因数是 （即互质）。 例题讲解 【典例3】。 举一反三 【变式3-1】已知比的前项是0.4，如果比的前项加到0.8，要使比值不变，比的后项应（    ）。 A．加0.8 B．减0.8 C．乘2 D．乘3 【变式3-2】把8∶9的前项加上16，要使比值不变，后项应加上( )。 【变式3-3】0.25＝( )∶8＝6÷( )＝( )%＝( )（分数）。 题型四、化简比和求比值 知识积累 1.化简比： (1)目的：把比化成 。 (2)结果形式：仍然是一个 （如 3:2）。 (3)方法： ①　整数比：前项和后项同时除以它们的 。 ②　小数比：先同时扩大相同的倍数变成 比，再化简。 ③　分数比：前项和后项同时乘分母的 ，变成整数比，再化简；或者用前项 后项求出比值，再写成比的形式。 2.求比值： (1)目的：求出前项除以后项的 。 (2)结果形式：是一个 （整数、小数或分数）。 (3)方法：用 。 3.区别：化简比的结果是一个 ，求比值的结果是一个 。 例题讲解 【典例4】先化简下面各比，再求出比值。 42∶63     40%∶0.8     举一反三 【变式4-1】∶0.375化成最简单的整数比是( )，2吨∶250千克的比值是( )。 【变式4-2】两个圆的直径分别是3dm和4dm，它们的周长比是( )，面积比是( )。 【变式4-3】先把下面各比化成最简单的整数比，再求出比值。 21∶30        0.35∶2.5                48分钟∶小时 题型五、比的应用 知识积累 1.按比例分配： (1)意义：把一个数量按照一定的 来进行分配。 (2)解题步骤： ①　求出总份数：各部分比的数值之 。 ②　求出每份是多少：总量 。 ③　求出各部分量：每份量 。 (3)或者：直接用总量 。 (4)实例：配制混凝土，水泥、沙子、石子的比是 2:3:5。若要配制 100 吨混凝土，需要水泥 吨。 例题讲解 【典例5】一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3∶5，问黑色、白色皮块各有多少个？ 举一反三 【变式5-1】研究发现，8岁以上的儿童按7∶5安排一天的活动时间与睡眠时间是最合理的。一天最合理的睡眠时间是（    ）小时。 A．15 B．10 C．9 D．8 【变式5-2】《周髀算经》中记载：勾广三，股修四，径隅五。意思是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。一个直角三角形三条边的长度是3∶4∶5，斜边长是25厘米，这个三角形的面积则是( )平方厘米。 【变式5-3】今年3月份，学校领回150棵小树苗，其中的40%分给六年级，其余的按1∶5分给四、五年级，四、五年级各分到多少棵小树苗？ 题型六、比例的意义 知识积累 1.定义：表示两个比 的式子叫做比例。 2.组成：比例由 个数组成，这4个数叫做比例的 。 (1)两端的两项叫做比例的 。 (2)中间的两项叫做比例的 。 3.判断方法：看两个比的 是否相等。若相等，则能组成比例；否则不能。 例题讲解 【典例6】下列各组比中，能组成比例的是（    ）。 A．2∶3和4∶5 B．0.8∶0.4和1∶2 C．和4∶3 D．3∶5和5∶3 举一反三 【变式6-1】在3∶5＝1.2∶2中，3和2叫比例的( )，5和1.2叫比例的( )。 【变式6-2】12的因数有( )，从中选出4个组成一个比例是( )。 【变式6-3】下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 ①6∶4和     ②和     ③0.8∶0.4和3.2∶1.6 题型七、比例的基本性质 知识积累 1.内容：在比例里，两个 的积等于两个 的积。 2.字母表示：如果 （ ），那么 = 。 3.应用： (1)用于判断两个比能否组成比例。 (2)用于解比例。 例题讲解 【典例7】如果（a、b都不为0），那么( )，如果（A、B都不为0），那么( )。 举一反三 【变式7-1】在一个比例中，两个内项的积是8，一个外项是2，另一个外项是（    ）。 A．4 B．16 C． D． 【变式7-2】根据3×40＝8×15写两个比例是( )、( )。 【变式7-3】在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是最小的质数，则另一个外项是( )。 题型八、解比例 知识积累 1.定义：求比例中的 ，叫做解比例。 2.依据：比例的 。 3.步骤： (1)根据比例的基本性质，将比例改写成 （外项积=内项积）。 (2)解这个 ，求出未知数 。 例题讲解 【典例8】解比例。                       举一反三 【变式8-1】解比例。            【变式8-2】解比例。 ∶y＝4∶15               ＝       8∶x＝∶0.3 【变式8-3】解比例。                  ＝ ∶＝x∶                2∶2.4＝ 题型九、比例的应用 知识积累 1.正比例应用： (1)特征：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的 （也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。 (2)关系式： （一定）。 (3)解题：设未知数，列出比例式 ，求解。 2.反比例应用： (1)特征：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的 一定，这两种量就叫做成反比例的量。 (2)关系式： （一定）。 (3)解题：设未知数，列出方程 ，求解。 例题讲解 【典例9】小明骑车从甲地到乙地，15分钟行了900米，照这样的速度，行完全程一共用了20分钟，返回时每分钟行100米，返回时用了多少分钟？（用比例解答） 举一反三 【变式9-1】淘气模仿“曹冲称象”来称体重。淘气站在船上，船下沉2厘米；爸爸站在船上，船下沉4厘米。淘气的体重是35.7千克，爸爸的体重是多少千克？ 【变式9-2】小红在校园同一时间、同一地点，测得一根高3米的竹竿影子长1.2米，一棵大树影子长4.8米，这棵大树高多少米？（用比例解） 【变式9-3】某校大课间活动时，活动区上满是同学们欢乐的身影，其中玩陀螺的人数与踢毽子的人数之比是7∶5，已知玩陀螺的有105人，踢毽子的有多少人？（用比例知识解答） 题型十、比例尺的意义及应用 知识积累 1.定义：一幅图的 和 的比，叫做这幅图的比例尺。 2.公式： (1)比例尺 = : (2)图上距离 = 比例尺 (3)实际距离 = 比例尺 3.分类： (1)数值比例尺：如 1:1000000，表示图上 1 厘米代表实际 厘米（即 10 千米）。 (2)线段比例尺：图上画一段线段，注明表示的实际距离。 4.注意：计算时单位要 。通常将实际距离的单位换算成与图上距离一致（厘米），最后再根据需要换算成千米或米。 例题讲解 【典例10】一幅地图上标有，把它改成数值比例尺是( )，在这幅地图上量得A地到B地的距离为6cm，那么这两地的实际距离是( )km。 举一反三 【变式10-1】图上4厘米表示实际距离160千米，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶4000 B．1∶40000 C．1∶400000 D．1∶4000000 【变式10-2】一幅地图的比例尺是。在这幅地图上量得甲、乙两地间的铁路长7.2厘米，求甲、乙两地间的实际距离。 【变式10-3】“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”是李白在公元759年行至白帝城时，收到了赦免的信息，随即乘舟东下江陵所作。阳阳找了一幅比例尺是1∶2000000的地图，量得白帝城到江陵的距离是21厘米。如果小舟的速度是21千米/时，那么从白帝城到江陵需要多少小时？ 题型十一、应用比例尺画图 知识积累 1.步骤： (1)确定 。 (2)根据实际距离和比例尺，计算出 。 图上距离 = 实际距离 比例尺。 (3)根据计算出的图上距离，画出 。 (4)标注 和 。 例题讲解 【典例11】学校篮球场的长是80m，宽是50m。画在比例尺为1∶2000的平面图上。 (1)求出篮球场长和宽的图上距离。 (2)在图中画出篮球场的平面图。 举一反三 【变式11-1】小丽家正南方向400米是电影院，电影院正东方向600米是图书馆，图书馆北偏东30°方向300米是学校。先选择一个合适的比例尺填在括号里，再在图中分别标出电影院、图书馆和学校的位置。 【变式11-2】一个长方形操场长100米，宽50米，把它画在比例尺是的图纸上，长和宽各应画多少厘米？请画出这个长方形。 【变式11-3】量一量、填一填、画一画。 下图是以书店为中心的平面图。 (1)博物馆到书店的实际距离是600米，量一量博物馆到书店的图上距离是（    ）cm，（取整厘米数）把比例尺补充完整。 (2)书店到购物商场的实际距离是( )m。 (3)实验小学在书店东偏北60°方向1200m处，在图上用A点表示出实验小学所在的位置。 题型十二、正比例和反比例的意义及辨识 知识积累 1.正比例： (1)关键点：比值（商） 。 (2)图像：是一条经过 的直线。 (3)常见例子：速度一定，路程和时间；单价一定，总价和数量；工作效率一定，工作总量和工作时间。 2.反比例： (1)关键点：积 。 (2)图像：是一条曲线（双曲线的一支）。 (3)常见例子：路程一定，速度和时间；总价一定，单价和数量；长方形面积一定，长和宽。 3.不成比例： (1)如果两种量的比值和积都 ，则不成比例。 (2)例子：人的身高和年龄；正方形的边长和面积（比值 不一定，积 也不一定，实际上面积与边长的平方成正比，但与边长本身不成正比例）。 例题讲解 【典例12】下面说法中，错误的是（    ）。 A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．一件商品的总价一定，单价和数量成反比例 C．长方形的周长一定，长和宽成正比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 举一反三 【变式12-1】下面各题中的两种量，成正比例的是（    ）。 A．华华的年龄与他的体重 B．看一本书，已经看的页数和未看的页数 C．平行四边形的底一定，平行四边形的高与面积 D．打一份稿件，平均每分钟打的字数和完成稿件需要的时间 【变式12-2】若6x＝5y（x、y均不为0），则x∶y＝( )，x和y成( )比例；若x×y30，则x和y成( )比例。 【变式12-3】下表中，如果x与y成正比例，那么a＝( )；如果x与y成反比例，那么a＝( )。 x 15 10 y 6 a 题型十三、正比例图象的认识 知识积累 1.特点：正比例关系的图象是一条经过 的 （在第一象限）。 2.作用： (1)可以根据一个量的值，在图象上直接找到另一个量的对应值，无需计算。 (2)直观地看出两种量的变化趋势：一个量增加，另一个量也 。 例题讲解 【典例13】做一做。 长度/米 1 2 3 4 5 总价/元 5 (1)一种绳子每米售价5元，请完成上表。 (2)根据上表，在图中描出对应点，并将它们按顺序连起来。 (3)购买绳子的长度和需要的钱数成( )比例，买3.5米绳子需要( )元。 长度/米 1 2 3 4 5 总价/元 5 10 15 20 25 举一反三 【变式13-1】某一时间点在太阳的照射下，物体高度和其影长的关系如下表： 物体高度/m 2 3 4 5 6 … 影长/m 1.8 2.7 3.6 … (1)请你根据规律将上表补充完整。 (2)根据表中的数据在图中描出物体高度与对应影长的点，然后把它们连起来并向两边延长。 (3)影长和物体高度成什么关系？说明理由。 【变式13-2】水是生命之源。某小学对同学们进行了节约用水教育。丁丁测试了一个打开的水龙头的出水量。 时间/秒 0 10 20 30 40 … 出水量/升 0 2 4 6 8 … (1)判断这个水龙头的出水量与时间是否成正比例？并说明理由。 (2)把上表中这个水龙头的出水量与时间所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 (3)看图估计，这个水龙头45秒的出水量是( )升，这个水龙头出水16.5升需要( )秒。 【变式13-3】一辆汽车行驶的路程和时间的关系如下表所示。 路程/千米 160 240 320 400 480 · 时间/时 2 3 4 5 6 · (1)路程和时间成什么关系？( )为什么？( ) (2)将路程和时间所对应的点描在方格纸上，再顺次连接各点。 (3)根据表中的数据写出一个比例：( )。 (4)如果用表示路程，用表示时间，那么( )。 题型十四、正比例的应用 知识积累 1.解题思路： (1)判断两种量是否成 （看比值是否一定）。 (2)设未知数 。 (3)列出比例式： 。 (4)解比例。 2.实例：一辆汽车2小时行160千米，照这样计算，5小时行多少千米？ (1)解：设5小时行 千米。 (2) (3) (4) 例题讲解 【典例14】某工厂组装餐桌时，4条桌腿配1张桌面，按照这样的组装方式，144条桌腿能配多少张桌面？（用比例方程解答） 举一反三 【变式14-1】再生纸是一种以废纸为原料，经过十几道工序生产出来的纸张。下面是利用废纸生产再生纸的情况。 废纸/千克 1 2 3 4 废纸/千克 再生纸/千克 0.75 1.5 2.25 3 再生纸/千克 与2.25千克再生纸对应的废纸的千克数是( )，废纸的质量和再生纸的质量成( )比例，生产12千克再生纸需要( )千克废纸。 【变式14-2】身高1.8米的小李在公园里观赏一尊雕像时，想知道雕像的高度，他灵机一动，站到雕像旁边拍了一张合影，然后量得照片上的他的高度是3厘米，雕像的高度是8厘米。因此很快算出了雕像的高度。你知道雕像的实际高度是多少米吗？请你算一算。（列比例解答） 【变式14-3】妙想喜欢喝蜂蜜水，她把10克蜂蜜放入180克水中，甜度刚刚好。如果要配制同样甜的蜂蜜水用25克蜂蜜，需要多少克水？（用比例知识解答） 题型十五、反比例的应用 知识积累 1.解题思路： (1)判断两种量是否成 （看积是否一定）。 (2)设未知数 。 (3)列出方程： 。 (4)解方程。 2.实例：一批书，每包20本，要捆18包。如果每包30本，要捆多少包？ (1)解：设要捆 包。 (2) (3) (4) 例题讲解 【典例15】李师傅用面积为64平方分米的方砖给教室铺地，需要用125块，如果改用边长为10分米的方砖铺地，那么需要用多少块？（用比例解） 举一反三 【变式15-1】“铜碗声声街里唤，一瓯冰水和梅汤”描写的是消暑纳凉佳品酸梅汤。某饮品店熬制一批酸梅汤，平均分成若干杯，分的杯数和每杯的容积如下表所示。 分的杯数/杯 100 200 250 400 每杯的容积/L 2 1 0.8 0.5 (1)分的杯数与每杯的容积成( )比例关系。 (2)如果平均分成160杯，那么每杯有( )L。 【变式15-2】李叔叔从甲地到乙地送货，去时每小时行驶45千米，用了180分，回来时比去时每小时多走15千米。回来时用了多长时间？（用比例解） 【变式15-3】一本故事书，小华原计划每天看20页，36天看完，实际她每天看了24页，实际多少天能看完这本书？ 题型十六、图形的放大与缩小 知识积累 1.意义：把图形的各边按一定的 放大或缩小。 2.特点： (1)图形放大或缩小后， 不变， 改变。 (2)对应边的长度之比等于 。 (3)对应角的度数 。 3.表示方法： (1)放大：比的前项 > 后项，如 2:1，表示图上距离是实际距离的2倍（或新图形边长是原图形的2倍）。 (2)缩小：比的前项 < 后项，如 1:3，表示图上距离是实际距离的（或新图形边长是原图形的）。 4.操作： (1)先确定放大或缩小的 比。 (2)计算新图形各边的 长度（原边长 比的前项/后项）。 (3)画出新图形。 例题讲解 【典例16】先将下图中的三角形按3∶1放大，得到图形A，再将图形A按1∶2缩小，得到图形B，请在方格图中分别画出图形A和图形B。 举一反三 【变式16-1】按画出下面三角形缩小后的图形。 【变式16-2】把图中的长方形按1∶2缩小，画出缩小后的图形；把图中的梯形按3∶1放大，画出放大后的图形。 【变式16-3】根据要求完成任务。 (1)画出平行四边形按1∶2缩小后的图形。 (2)把三角形按2∶1的比放大，画出放大后的图形，放大后的图形与原图形周长比是（        ），面积比是（        ）。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 比和比例 目录概览 题型一、比的意义 1 题型二、比的读法、写法及各部分的名称 3 题型三、比的基本性质 5 题型四、化简比和求比值 7 题型五、比的应用 11 题型六、比例的意义 13 题型七、比例的基本性质 16 题型八、解比例 18 题型九、比例的应用 23 题型十、比例尺的意义及应用 26 题型十一、应用比例尺画图 28 题型十二、正比例和反比例的意义及辨识 32 题型十三、正比例图象的认识 35 题型十四、正比例的应用 41 题型十五、反比例的应用 43 题型十六、图形的放大与缩小 46 题型演练 题型一、比的意义 知识积累 1.定义：两个数 相除 又叫做两个数的比。 2.本质：比表示两个量之间的 倍数 关系或 份数 关系。 3.实例：长3米，宽2米，长和宽的比是 3:2，表示长是宽的 1.5 倍。 例题讲解 【典例1】“84消毒液”用于室内喷洒消毒除菌时，通常浓度不宜过高，否则会危及身体健康，建议取1份“84消毒液”与100份水进行配制，这样不仅可达到较好的消毒效果，还能避免健康隐患。“84消毒液”与配制成的药水的比是( )。 【答案】1∶101 【分析】配成的药水总份数＝84消毒液份数＋水的份数，84消毒液与配制成的药水的比＝84消毒液的份数∶药水的份数，最后需要化简比的要进行化简。 【详解】84消毒液∶药水＝1∶（1＋100）＝1∶101 举一反三 【变式1-1】8÷9可以写成（    ）∶（    ），还可以写成。 【答案】8∶9； 【分析】两数相除也叫两个数的比，比也可以写成分数形式。 【详解】8÷9可以写成8∶9，还可以写成。 【点睛】本题考查了比的意义，比的前项相当于分子，后项相当于分母。 【变式1-2】一份试卷，小明已经完成了，那么剩下的与已完成的数量比是( )。 【答案】3∶2 【分析】根据“小明已经完成了”可知将试卷平均分成5份，小明已经完成了2份，还剩下（5－2）份没有完成，据此写出比即可。 【详解】5－2＝3（份） 剩下的与已完成的数量比是：3∶2 【变式1-3】把5克盐放入100克水中，盐与盐水的比为( )，水与盐水的比为( )。 【答案】 1∶21 20∶21 【分析】盐水的质量等于盐的质量加上水的质量。据此先求出盐水的质量，再根据比的意义分别写出盐与盐水、水与盐水的质量比，并根据比的基本性质化成最简整数比。 【详解】盐水的质量：5＋100＝105（克） 盐与盐水的比为：5∶105＝（5÷5）∶（105÷5）＝1∶21 水与盐水的比为：100∶105＝（100÷5）∶（105÷5）＝20∶21 题型二、比的读法、写法及各部分的名称 知识积累 1.写法：比号写作“:”。例如 3比2 写作 3:2。 2.各部分名称： (1)在 中， 叫做比的 前项， 叫做比的 后项。 (2)前项除以后项所得的商，叫做 比值。 3.比值的形式：比值通常用 分数 表示，也可以用 小数 或 整数 表示。 4.注意：比的后项不能为 0，因为除法中除数不能为0，分数中分母不能为0。 5.比与除法、分数的关系： (1)比的前项相当于除法中的 被除数，相当于分数中的 分子。 (2)比号相当于除法中的 除号，相当于分数中的 分数线。 (3)比的后项相当于除法中的 除数，相当于分数中的 分母。 (4)比值相当于除法中的 商，相当于分数中的 分数值。 (5)区别：比是一种 关系，除法是一种 运算，分数是一种 数。 例题讲解 【典例2】一个比的前项是26，后项是7，这个比记作( )，也可以记作( )，读作( )。 【答案】 26∶7 26比7 【分析】（1）两个数相除又叫两个数的比，比用“∶”或者 “分数形式”来表示，比的写法，先写前项再写“∶”，最后写后项，也可以写成分数形式：。 （2）比的读法，先读前项，比号读作比，然后读后项。 【详解】根据分析： 一个比的前项是26，后项是7，这个比记作26∶7，也可以记作，读作26比7。 举一反三 【变式2-1】一个比的前项是8，比值是，后项是（    ）。 A． B．20 C． D． 【答案】B 【分析】由比的前项÷比的后项＝比值，则比的后项＝比的前项÷比值，把题目中的数据代入计算，即可求得比的后项。 【详解】8÷ ＝8× ＝20 所以，后项是20。 故答案为：B 【变式2-2】可以读作“4比7”。( ) 【答案】√ 【分析】根据分数与比的关系，分子对应比的前项，分母对应比的后项，判断是否能读成“比” 【详解】根据比的意义，两个数相除又叫做两个数的比，比可以写成分数形式。可以表示为4∶7，此时读作“4比7”。该说法正确。 故答案为：√ 【变式2-3】在比“3∶29”中，它的前项是( )，它的后项是( )。 【答案】 3 29 【分析】一个比由三部分组成，前项，比号（∶），后项，比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项。 【详解】3∶29中，比号前面是3，所以前项是3，比号后面是29，所以比的后项是29 题型三、比的基本性质 知识积累 1.内容：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值 不变。 2.应用：利用比的基本性质可以把比化成 最简整数比。 3.最简整数比：前项和后项都是 整数，且它们的最大公因数是 1（即互质）。 例题讲解 【典例3】。 【答案】 9；24；8 【分析】先将小数0.75化成分母是100的分数，化简后可得 根据分数与除法、分数与比的关系，可得：＝3÷4＝3∶4。 最后根据比的基本性质、商不变的性质以及分数的基本性质求出未知的数。 【详解】0.75＝＝ ＝3÷4＝3∶4 3÷4＝（3×3）÷（4×3）＝9÷12 3∶4＝（3×6）∶（4×6）＝18∶24 ＝＝ 所以，9÷12＝18∶24＝＝0.75 举一反三 【变式3-1】已知比的前项是0.4，如果比的前项加到0.8，要使比值不变，比的后项应（    ）。 A．加0.8 B．减0.8 C．乘2 D．乘3 【答案】C 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。前项由0.4变为0.8，是扩大到原来的2倍，因此后项也应扩大到原来的2倍，即乘2。 【详解】已知比的前项原来是0.4，现在前项变成了0.8。 计算前项变化的倍数：，即前项扩大到原来的2倍，也就是前项乘2。 根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 要使比值不变，比的后项也应该扩大到原来的2倍，即比的后项应乘2。 【变式3-2】把8∶9的前项加上16，要使比值不变，后项应加上( )。 【答案】 18 【分析】先求出增加后的前项，再求出前项扩大到原来的倍数；根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，把比的后项9也扩大到相同的倍数，最后用扩大后的后项减原来的后项9，即可解答。 【详解】8＋16＝24 24÷8＝3 9×3＝27 27－9＝18 所以，后项应加上18。 【变式3-3】0.25＝( )∶8＝6÷( )＝( )%＝( )（分数）。 【答案】 2 24 25 【分析】把小数化成百分数，把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 小数化成分数，有两位小数，化成分母是100的分数，再进行化简，根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 分数与除法的关系，分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。根据商不变的性质，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 比与分数的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比号相当于分数线，根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 【详解】0.25＝25%； 0.25＝＝＝； ＝1÷4＝（1×6）÷（4×6）＝6÷24； ＝1∶4＝（1×2）∶（4×2）＝2∶8； 0.25＝2∶8＝6÷24＝25%＝。 题型四、化简比和求比值 知识积累 1.化简比： (1)目的：把比化成 最简整数比。 (2)结果形式：仍然是一个 比（如 3:2）。 (3)方法： ①　整数比：前项和后项同时除以它们的 最大公因数。 ②　小数比：先同时扩大相同的倍数变成 整数 比，再化简。 ③　分数比：前项和后项同时乘分母的 最小公倍数，变成整数比，再化简；或者用前项 除以 后项求出比值，再写成比的形式。 2.求比值： (1)目的：求出前项除以后项的 商。 (2)结果形式：是一个 数（整数、小数或分数）。 (3)方法：用 前项 后项。 3.区别：化简比的结果是一个 比，求比值的结果是一个 数。 例题讲解 【典例4】先化简下面各比，再求出比值。 42∶63     40%∶0.8     【答案】，；，；， 【分析】根据比的基本性质化简，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 比的前项除以后项所得的商叫做比值。 【详解】42∶63   ＝（42÷21）∶（63÷21） ＝2∶3 ＝2÷3 ＝ 40%∶0.8    ＝（0.4×10）∶（0.8×10） ＝4∶8 ＝（4÷4）∶（8÷4） ＝1∶2 ＝1÷2 ＝ ＝ ＝5∶6 ＝5÷6 ＝ 举一反三 【变式4-1】∶0.375化成最简单的整数比是( )，2吨∶250千克的比值是( )。 【答案】 16∶27 8 【分析】将“∶0.375”的前项和后项同时乘72，求出最简整数比； 1吨＝1000千克，那么2吨＝2000千克，将比的前项2000千克除以后项250千克，求出比值。 【详解】∶0.375＝（×72）∶（0.375×72）＝16∶27 2吨＝2000千克 2000÷250＝8 所以，∶0.375化成最简单的整数比是16∶27，2吨∶250千克的比值是8。 【变式4-2】两个圆的直径分别是3dm和4dm，它们的周长比是( )，面积比是( )。 【答案】 3∶4 9∶16 【分析】根据圆的周长公式C＝πd可知圆周长的比等于直径的比；根据圆的面积公式可知两个圆的面积比等于半径平方的比。 【详解】两个圆的直径比是3∶4，所以它们的周长比是3∶4； 3÷2＝1.5（dm） 4÷2＝2（dm） 1.5∶2＝（1.5×2）∶（2×2）＝3∶4 两个圆的半径比是3∶4，所以它们的面积比是32∶42＝9∶16。 【变式4-3】先把下面各比化成最简单的整数比，再求出比值。 21∶30        0.35∶2.5                48分钟∶小时 【答案】，；，；，；， 【分析】比的前项、后项同时除以3，化为最简单的整数比，再把最简比化为分数，比的前项作分子，比的后项作分母，求得比值； 比的前项、后项同时乘100，化为整数比，再同时除以5，化为最简单的整数比，最后化为分数，求得比值； 比的前项、后项同时乘6，化为最简单的整数比，再化为分数，求得比值； 先统一单位，分钟和小时的进率是60，小时化为分钟，用乘进率60，比的前项、后项再同时除以12，化为最简单的整数比，最后化为分数，求得比值。 【详解】21∶30 ＝（21÷3）∶（30÷3） ＝7∶10 0.35∶2.5 ＝（0.35×100）∶（2.5×100） ＝35∶250 ＝（35÷5）∶（250÷5） ＝7∶50 48分钟∶小时 ＝48分钟∶36分钟 题型五、比的应用 知识积累 1.按比例分配： (1)意义：把一个数量按照一定的 比 来进行分配。 (2)解题步骤： ①　求出总份数：各部分比的数值之 和。 ②　求出每份是多少：总量 总份数。 ③　求出各部分量：每份量 各部分的份数。 (3)或者：直接用总量 各部分占总量的几分之几。 (4)实例：配制混凝土，水泥、沙子、石子的比是 2:3:5。若要配制 100 吨混凝土，需要水泥 20 吨。 例题讲解 【典例5】一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3∶5，问黑色、白色皮块各有多少个？ 【答案】黑色皮块12个；白色皮块20个 【分析】比例关系：题中告知黑、白皮块数目之比为3∶5 ，这表明黑色皮块数量和白色皮块数量存在特定的比例关联。我们可以把足球皮块总数按照这个比例进行拆分。确定计算方法：为求出黑、白皮块各自数量，先算出总份数，再依据皮块总数求出每份的数量，最后根据黑、白皮块各自所占份数，分别计算出它们的数量。这是按比例分配问题的常规解题思路，通过这种方式能将已知的比例关系和皮块总数相结合，从而得出答案。 【详解】3＋5＝8（份） 32÷8＝4（个） 黑色皮块占3份：4×3＝12（个） 白色皮块占5份：4×5＝20个 答：黑色皮块12个，白色皮块20个。 举一反三 【变式5-1】研究发现，8岁以上的儿童按7∶5安排一天的活动时间与睡眠时间是最合理的。一天最合理的睡眠时间是（    ）小时。 A．15 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】一天有24小时，由题意知，一天的活动时间为7份，睡眠时间为5份，先求出一份的时间=总时间÷总份数，然后用一份时间×睡眠时间份数即可。 【详解】总份数：7+5=12（份） 一份时间：24÷12=2（小时/份） 睡眠时间：2×5=10（小时） 故答案为：B 【变式5-2】《周髀算经》中记载：勾广三，股修四，径隅五。意思是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。一个直角三角形三条边的长度是3∶4∶5，斜边长是25厘米，这个三角形的面积则是( )平方厘米。 【答案】150 【分析】直角三角形两直角边可以看作底和高，根据比的意义，斜边长÷对应份数，求出一份数，一份数分别乘两直角边的对应份数，求出两直角边，根据三角形面积＝底×高÷2，列式计算即可。 【详解】25÷5＝5（厘米） 5×3＝15（厘米） 5×4＝20（厘米） 15×20÷2＝150（平方厘米） 这个三角形的面积是150平方厘米。 【变式5-3】今年3月份，学校领回150棵小树苗，其中的40%分给六年级，其余的按1∶5分给四、五年级，四、五年级各分到多少棵小树苗？ 【答案】15棵；75棵 【分析】先利用求一个数的百分之几是多少，用乘法，求出分给六年级的树苗数量；用小树苗的总数量减去分给六年级的树苗数量，得出剩下的树苗数量，把分给四年级的树苗数量看作1份，分给五年级的树苗数量看作5份，所以剩下的树苗数量的总份数看作（1＋5）份，然后求出分给四年级的树苗数量和分给五年级的树苗数量各自占剩下的树苗数量的几分之几，最后按照求一个数的几分之几是多少的方法，分别求出四、五年级各分到多少棵小树苗即可。 【详解】150－150×40% ＝150－60 ＝90（棵） 90× ＝90× ＝15（棵） 90× ＝90× ＝75（棵） 答：四年级分到15棵小树苗，五年级分到75棵小树苗。 【点睛】此题主要考查按比例分配的应用题的解答方法，解题关键是把比转化为分数，用分数方法解答。 题型六、比例的意义 知识积累 1.定义：表示两个比 相等 的式子叫做比例。 2.组成：比例由 4 个数组成，这4个数叫做比例的 项。 (1)两端的两项叫做比例的 外项。 (2)中间的两项叫做比例的 内项。 3.判断方法：看两个比的 比值 是否相等。若相等，则能组成比例；否则不能。 例题讲解 【典例6】下列各组比中，能组成比例的是（    ）。 A．2∶3和4∶5 B．0.8∶0.4和1∶2 C．和4∶3 D．3∶5和5∶3 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，先求出各比的比值，再找出比值相等的选项。 【详解】A．2∶3＝2÷3＝ 4∶5＝4÷5＝ 因为≠，所以2∶3和4∶5不能组成比例。 B．0.8∶0.4＝0.8÷0.4＝2 1∶2＝1÷2＝0.5 因为2≠0.5，所以0.8∶0.4和1∶2不能组成比例。 C． ＝ ＝ ＝ 4∶3＝4÷3＝ 因为＝，所以和4∶3能组成比例。 D．3∶5＝3÷5＝ 5∶3＝5÷3＝ 因为≠，所以3∶5和5∶3不能组成比例。 能组成比例的是和4∶3。 举一反三 【变式6-1】在3∶5＝1.2∶2中，3和2叫比例的( )，5和1.2叫比例的( )。 【答案】 外项 内项 【分析】组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 【详解】在3∶5＝1.2∶2中，3和2在两端，叫比例的外项，5和1.2在中间，叫比例的内项。 【变式6-2】12的因数有( )，从中选出4个组成一个比例是( )。 【答案】 1，2，3，4，6，12 1∶2＝6∶12 【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，比例的基本性质：两个内项之积等于两个外项之积；先用乘法求出12的因数，再找出两组乘积是12的数，把其中的一组作为比例的内项，则另外一组作为比例的外项，据此解答。 【详解】12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有1，2，3，4，6，12，从中选出4个组成一个比例是1∶2＝6∶12。 （组成的比例不唯一） 【变式6-3】下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 ①6∶4和     ②和     ③0.8∶0.4和3.2∶1.6 【答案】 第①组和第③组；；0.8∶0.4＝3.2∶1.6 【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，所以，判断两个比能否组成比例，关键是看它们的比值是否相等；先分别计算出每组中两个比的比值（即用前项除以后项），即可解答。 【详解】① 能组成比例； ② 不能组成比例； ③0.8÷0.4＝2 3.2÷1.6＝2 能组成比例； 所以，能组成比例的是第①组和第③组；组成的比例是：；0.8∶0.4＝3.2∶1.6。 题型七、比例的基本性质 知识积累 1.内容：在比例里，两个 外项 的积等于两个 内项 的积。 2.字母表示：如果 （ ），那么 ad = bc。 3.应用： (1)用于 判断 两个比能否组成比例。 (2)用于 解比例。 例题讲解 【典例7】如果（a、b都不为0），那么( )，如果（A、B都不为0），那么( )。 【答案】 7∶2 15∶49 【分析】根据比例的基本性质，内项积＝外项积，把2a＝7b和转化为比例形式，化简比。 【详解】如果（a、b都不为0），那么a∶b＝7∶2。 B∶A＝ ＝ ＝15∶49 举一反三 【变式7-1】在一个比例中，两个内项的积是8，一个外项是2，另一个外项是（    ）。 A．4 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的基本性质：在任何比例中，两个内项的积等于两个外项的积。用内项积除以已知的一个外项求出另一个外项。 【详解】8÷2＝4 【变式7-2】根据3×40＝8×15写两个比例是( )、( )。 【答案】 3∶8＝15∶40 8∶3＝40∶15 【分析】因为3×40＝8×15，根据“两个外项的积等于两个内项的积”的基本性质，可以把等式两边的乘积项分别作为外项和内项，组成不同的比例。 【详解】把3和40当作外项，8和15当作内项，可得3∶8＝15∶40 把3和40当作内项，8和15当作外项，可得8∶3＝40∶15 （答案不唯一） 【变式7-3】在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是最小的质数，则另一个外项是( )。 【答案】 【分析】根据比例的基本性质，在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。互为倒数的两个数乘积是1，因此两个外项的积也是1。已知最小的质数是2，即其中一个外项是2，用积除以已知外项即可求出另一个外项。 【详解】因为两个内项互为倒数，所以两个内项的积是1。 则两个外项的积也是1。 因为最小的质数是2，所以其中一个外项是2。 另一个外项为： 题型八、解比例 知识积累 1.定义：求比例中的 未知项，叫做解比例。 2.依据：比例的 基本性质。 3.步骤： (1)根据比例的基本性质，将比例改写成 方程（外项积=内项积）。 (2)解这个 方程，求出未知数 。 例题讲解 【典例8】解比例。                       【答案】；；； 【分析】将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质，两边同时除以2求解； 将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质，两边同时除以2求解； 将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质，两边同时除以1.6求解； 将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质，两边同时除以9求解。 【详解】 解： 解： 解： 解： 举一反三 【变式8-1】解比例。            【答案】x＝4.05；x＝；x＝ 【分析】（1）先根据比例的基本性质把方程写成8x＝0.6×54，再根据等式的性质2给方程两边同时除以8； （2）先根据比例的基本性质把方程写成x＝5×，再根据等式的性质2给方程两边同时除以； （3）先根据比例的基本性质把方程写成15x＝4×6，再根据等式的性质2给方程两边同时除以15。 【详解】8∶0.6＝54∶x 解：8x＝0.6×54 8x＝32.4 8x÷8＝32.4÷8 x＝4.05 5∶x＝∶ 解：x＝5× x＝3 x÷＝3÷ x＝3× x＝ ＝ 解：15x＝4×6 15x＝24 15x÷15＝24÷15 x＝ 【变式8-2】解比例。 ∶y＝4∶15               ＝       8∶x＝∶0.3 【答案】y＝；x＝16；x＝7.2 【分析】（1）先根据比例的基本性质把方程写成4y＝×15，再根据等式的性质2给方程两边同时除以4； （2）先根据比例的基本性质把方程写成9x＝36×4，再根据等式的性质2给方程两边同时除以9； （3）先根据比例的基本性质把方程写成x＝8×0.3，再根据等式的性质2给方程两边同时除以。 【详解】∶y＝4∶15 解：4y＝×15 4y＝6 4y÷4＝6÷4 y＝ ＝ 解：9x＝36×4 9x＝144 9x÷9＝144÷9 x＝16 8∶x＝∶0.3 解：x＝8×0.3 x＝2.4 x÷＝2.4÷ x＝2.4×3 x＝7.2 【变式8-3】解比例。                  ＝ ∶＝x∶                2∶2.4＝ 【答案】x＝9.6；x＝36； x＝；x＝0.6 【分析】先利用比例的基本性质“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”将比例转化成方程的形式，再解方程。 （1）解方程时，利用等式性质2，在方程两边同时除以0.3； （2）解方程时，利用等式性质2，在方程两边同时除以2； （3）解方程时，利用等式性质2，在方程两边同时除以； （4）解方程时，利用等式性质2，在方程两边同时除以2。 【详解】（1） 解：0.3x＝1.2×2.4 0.3x＝2.88 0.3x÷0.3＝2.88÷0.3 x＝9.6 （2）＝ 解：2x＝8×9 2x＝72 2x÷2＝72÷2 x＝36 （3） 解： （4）2∶2.4＝ 解：2x＝2.4×0.5 2x＝1.2 2x÷2＝1.2÷2 x＝0.6 题型九、比例的应用 知识积累 1.正比例应用： (1)特征：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的 比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。 (2)关系式： （一定）。 (3)解题：设未知数，列出比例式 ，求解。 2.反比例应用： (1)特征：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的 积 一定，这两种量就叫做成反比例的量。 (2)关系式： （一定）。 (3)解题：设未知数，列出方程 ，求解。 例题讲解 【典例9】小明骑车从甲地到乙地，15分钟行了900米，照这样的速度，行完全程一共用了20分钟，返回时每分钟行100米，返回时用了多少分钟？（用比例解答） 【答案】12分钟 【分析】先利用除法将小明从甲地到乙地的骑车速度计算出来，再根据从甲到乙和返回时的路程是相等的，列出比例，再解比例即可。 【详解】解：设返回时用了分钟。 100x＝900÷15×20 100x＝1200 x＝12 答：返回时用了12分钟。 【点睛】本题考查了比例的应用，能够根据题意列出比例是解题的关键。 举一反三 【变式9-1】淘气模仿“曹冲称象”来称体重。淘气站在船上，船下沉2厘米；爸爸站在船上，船下沉4厘米。淘气的体重是35.7千克，爸爸的体重是多少千克？ 【答案】71.4千克 【分析】由题意可知，设爸爸的体重是x千克，根据体重与船下沉的高度的比值一定，可确定体重与下沉的高度成正比例，据此可列比例解答即可。 【详解】解：设爸爸的体重是x千克。 35.7∶2＝x∶4 2x＝35.7×4 2x＝142.8 2x÷2＝142.8÷2 x＝71.4 答：爸爸的体重是71.4千克。 【变式9-2】小红在校园同一时间、同一地点，测得一根高3米的竹竿影子长1.2米，一棵大树影子长4.8米，这棵大树高多少米？（用比例解） 【答案】12米 【分析】根据题意，在同一时间、同一地点，物体的高度与影长的比值是一定的，设这棵大树高x米，根据大树的影子长度∶大树的实际高度＝竹竿的影长∶竹竿的实际高度列出方程，最后解出方程即可。 【详解】解：设这棵大树高x米。 4.8∶x＝1.2∶3 1.2x＝4.8×3 1.2x＝14.4 1.2x÷1.2＝14.4÷1.2 x＝12 答：这棵大树高12米。 【变式9-3】某校大课间活动时，活动区上满是同学们欢乐的身影，其中玩陀螺的人数与踢毽子的人数之比是7∶5，已知玩陀螺的有105人，踢毽子的有多少人？（用比例知识解答） 【答案】75人 【分析】由题意可知，玩陀螺的人数∶踢毽子的人数＝7∶5，设踢毽子的人数为人，根据等量关系列方程再求解即可。 【详解】解：设踢毽子的有人。 105∶＝ 7∶5 7＝105×5 7＝525 ＝525÷7 ＝75 答：踢毽子的有75人。 题型十、比例尺的意义及应用 知识积累 1.定义：一幅图的 图上距离 和 实际距离 的比，叫做这幅图的比例尺。 2.公式： (1)比例尺 = 图上距离 : 实际距离 (2)图上距离 = 实际距离 比例尺 (3)实际距离 = 图上距离 比例尺 3.分类： (1)数值比例尺：如 1:1000000，表示图上 1 厘米代表实际 1000000 厘米（即 10 千米）。 (2)线段比例尺：图上画一段线段，注明表示的实际距离。 4.注意：计算时单位要 统一。通常将实际距离的单位换算成与图上距离一致（厘米），最后再根据需要换算成千米或米。 例题讲解 【典例10】一幅地图上标有，把它改成数值比例尺是( )，在这幅地图上量得A地到B地的距离为6cm，那么这两地的实际距离是( )km。 【答案】 1∶1000000 60 【分析】 线段比例尺表示图上1cm对应实际10km，把10km换算成厘米后用图上距离比上实际距离即可得到数值比例尺。 求实际距离时，用图上距离乘每厘米代表的实际距离即可。 【详解】因为10km＝10×100000＝1000000cm，所以数值比例尺为1∶1000000。 6×10＝60（km） 举一反三 【变式10-1】图上4厘米表示实际距离160千米，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶4000 B．1∶40000 C．1∶400000 D．1∶4000000 【答案】D 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出这幅图的比例尺。 【详解】160千米＝16000000厘米 4∶16000000＝1∶4000000 所以，这幅图的比例尺是1∶4000000。 故答案为：D 【点睛】本题考查了比例尺，掌握比例尺的意义是解题的关键。 【变式10-2】一幅地图的比例尺是。在这幅地图上量得甲、乙两地间的铁路长7.2厘米，求甲、乙两地间的实际距离。 【答案】180千米 【分析】题中的线段比例尺表示地图上1厘米的距离相当于地面上25千米的实际距离。先将线段比例尺改写成数值比例尺，再根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”计算，要将计算后的结果换算成以“千米”为单位。 【详解】1厘米∶25千米 ＝1厘米∶2500000厘米 ＝1∶2500000 7.2÷＝7.2×2500000＝18000000（厘米） 18000000厘米＝180千米 答：甲、乙两地间的实际距离是180千米。 【变式10-3】“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”是李白在公元759年行至白帝城时，收到了赦免的信息，随即乘舟东下江陵所作。阳阳找了一幅比例尺是1∶2000000的地图，量得白帝城到江陵的距离是21厘米。如果小舟的速度是21千米/时，那么从白帝城到江陵需要多少小时？ 【答案】20小时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两地间的实际距离，根据时间＝路程÷速度，求出行驶时间。 【详解】21÷ ＝21×2000000 ＝42000000（厘米） 厘米千米 （小时） 答：从白帝城到江陵需要小时。 题型十一、应用比例尺画图 知识积累 1.步骤： (1)确定 比例尺。 (2)根据实际距离和比例尺，计算出 图上距离。 图上距离 = 实际距离 比例尺。 (3)根据计算出的图上距离，画出 平面图。 (4)标注 比例尺 和 名称。 例题讲解 【典例11】学校篮球场的长是80m，宽是50m。画在比例尺为1∶2000的平面图上。 (1)求出篮球场长和宽的图上距离。 (2)在图中画出篮球场的平面图。 【答案】(1)4cm；2.5cm (2)见详解 【分析】（1）1m＝100cm，图上距离＝实际距离×比例尺； （2）画出图上长，再在长的两端画出长度等于图上宽的两条垂直线段，最后将两条垂直线段的另外两个端点连接即可。 【详解】（1）80m＝8000cm 50m＝5000cm 图上长：8000×＝4（cm） 图上宽：5000×＝2.5（cm） （2） 举一反三 【变式11-1】小丽家正南方向400米是电影院，电影院正东方向600米是图书馆，图书馆北偏东30°方向300米是学校。先选择一个合适的比例尺填在括号里，再在图中分别标出电影院、图书馆和学校的位置。 【答案】见详解 【分析】选择比例尺，即图上1厘米代表实际100米。那么电影院就是（厘米），图书馆就是（厘米），学校则是（厘米）。根据上北下南左西右东作图。画电影院时应该以小丽家为起点，画图书馆就要以电影院为起点，然后要从图书馆为起点在北偏东30°方向画学校。 【详解】 【变式11-2】一个长方形操场长100米，宽50米，把它画在比例尺是的图纸上，长和宽各应画多少厘米？请画出这个长方形。 【答案】长5厘米；宽2.5厘米 图见详解 【分析】图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据计算，再根据1米＝100厘米换算单位即可。 【详解】（米） （米） 0.05米＝5厘米，0.025米＝2.5厘米 作图如下： 比例尺1∶2000 答：长应画5厘米，宽应画2.5厘米。 【变式11-3】量一量、填一填、画一画。 下图是以书店为中心的平面图。 (1)博物馆到书店的实际距离是600米，量一量博物馆到书店的图上距离是（    ）cm，（取整厘米数）把比例尺补充完整。 (2)书店到购物商场的实际距离是( )m。 (3)实验小学在书店东偏北60°方向1200m处，在图上用A点表示出实验小学所在的位置。 【答案】(1)见详解 (2)1200米 (3)见详解 【分析】（1）测量出图上距离，比例尺＝； （2）根据实际距离＝图上距离÷比例尺即可求出书店到购物商场的实际距离； （3）根据地图上的方向，上北下南，左西右东，以书店为观察点，即可确定实验小学位置的方向，测量角度东偏北60°，再根据图上距离＝实际距离×比例尺进行计算并画图 【详解】（1）根据分析，量的博物馆到书店的图上距离是（1）cm， 比例尺＝＝1∶60000 （2）根据分析，量得书店到购物商场的图上距离为2cm； 实际距离＝2÷＝2×60000＝120000（cm） 120000cm＝1200m 即书店到购物商场的实际距离是1200m。 （3）根据分析，解答如下： 1200m＝120000cm 图上距离＝120000×＝2（cm） 题型十二、正比例和反比例的意义及辨识 知识积累 1.正比例： (1)关键点：比值（商）一定。 (2)图像：是一条经过 原点 的直线。 (3)常见例子：速度一定，路程和时间；单价一定，总价和数量；工作效率一定，工作总量和工作时间。 2.反比例： (1)关键点：积 一定。 (2)图像：是一条 曲线（双曲线的一支）。 (3)常见例子：路程一定，速度和时间；总价一定，单价和数量；长方形面积一定，长和宽。 3.不成比例： (1)如果两种量的比值和积都 不一定，则不成比例。 (2)例子：人的身高和年龄；正方形的边长和面积（比值 不一定，积 也不一定，实际上面积与边长的平方成正比，但与边长本身不成正比例）。 例题讲解 【典例12】下面说法中，错误的是（    ）。 A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．一件商品的总价一定，单价和数量成反比例 C．长方形的周长一定，长和宽成正比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 【答案】C 【分析】两个相关联的量，这两种量对应的两个数比值一定，这两种量叫做成正比例的量；两种量对应的两个数乘积一定，则这两种量叫做成反比例的量。据此可依次判断各个选项。 【详解】A．平行四边形的面积（一定）＝底×高，是乘积一定，所以底和高成反比例，此选项说法正确，不符合题意； B．一件商品的总价（一定）＝单价×数量，是乘积一定，所以单价和数量成反比例，此选项说法正确，不符合题意； C．长方形的周长＝（长＋宽）×2，即：长＋宽＝长方形的周长÷2（一定），可以看出，当长方形的周长一定时，长和宽只是和一定，它们的比值和乘积都不是一定的，所以长方形的长和宽不成任何比例关系，所以此选项说法错误，符合题意； D．正方形的周长÷边长＝4（一定），是对应的比值一定，所以正方形的周长和边长成正比例，此选项说法正确，不符合题意。 举一反三 【变式12-1】下面各题中的两种量，成正比例的是（    ）。 A．华华的年龄与他的体重 B．看一本书，已经看的页数和未看的页数 C．平行四边形的底一定，平行四边形的高与面积 D．打一份稿件，平均每分钟打的字数和完成稿件需要的时间 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】A．华华的年龄与他的体重不是相关联的量，所以华华的年龄与他的体重不成比例； B．已经看的页数＋未看的页数＝这本书的总页数（一定），和一定，所以已经看的页数和未看的页数不成比例； C．平行四边形的面积÷高＝底（一定），商一定，所以平行四边形的高与面积成正比例； D．平均每分钟打的字数×完成稿件需要的时间＝稿件的总字数（一定），乘积一定，所以平均每分钟打的字数和完成稿件需要的时间成反比例。 故答案为：C 【变式12-2】若6x＝5y（x、y均不为0），则x∶y＝( )，x和y成( )比例；若x×y30，则x和y成( )比例。 【答案】 5∶6 正 反 【分析】两种相关联的量，有相除的关系，且比值（也就是商）一定，这两种量就成正比例关系；两种相关联的量，有相乘的关系，且乘积一定，这两种量就成反比例关系。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。已知6x＝5y，求x比y等于几比几，说明x是外项，则6x就是两个外项的积，即6是另一个外项，同时5y就是内项的积，即5和y都是内项。x∶y＝5∶6，则（一定），符合正比例关系的特征。x×y30（一定）符合反比例关系的特征。结果是数字时，表示结果是一定的。 【详解】由6x＝5y可得： x∶y＝5∶6。 即（一定） 所以x和y成正比例。 x×y30（一定） 所以x和y成反比例。 【变式12-3】下表中，如果x与y成正比例，那么a＝( )；如果x与y成反比例，那么a＝( )。 x 15 10 y 6 a 【答案】 4 9 【分析】正比例是指两种量中相对应的两个数的比值一定，反比例是指两种量中相对应的两个数的乘积一定； 根据题意，我们可以通过列方程解答，正比例方程式：x∶y＝10∶a； 反比例方程式：xy＝10a，将具体数值代入解答。 【详解】根据分析，解答如下： 15∶6＝10∶a 解：15a＝60 15a÷15＝60÷15 a＝4 15×6＝10a 解：10a＝90 10a÷10＝90÷10 a＝9 如果x与y成正比例，那么a＝（  4    ）；如果x与y成反比例，那么a＝（   9   ） 题型十三、正比例图象的认识 知识积累 1.特点：正比例关系的图象是一条经过 原点(0,0) 的 射线（在第一象限）。 2.作用： (1)可以根据一个量的值，在图象上直接找到另一个量的 对应值，无需计算。 (2)直观地看出两种量的变化趋势：一个量增加，另一个量也 增加。 例题讲解 【典例13】做一做。 长度/米 1 2 3 4 5 总价/元 5 (1)一种绳子每米售价5元，请完成上表。 (2)根据上表，在图中描出对应点，并将它们按顺序连起来。 (3)购买绳子的长度和需要的钱数成( )比例，买3.5米绳子需要( )元。 长度/米 1 2 3 4 5 总价/元 5 10 15 20 25 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 正 17.5 【分析】（1）根据“总价＝单价×长度”，用每米5元分别乘2、3、4、5米，算出对应总价。 （2）根据表格数据，在坐标图中找到对应点，再用直线顺次连接。 （3）利用图像的形状来判断比例的类型；用单价乘3.5米算出总价。 【详解】（1）见下表 5×2＝10（元） 5×3＝15（元） 5×4＝20（元） 5×5＝25（元） 长度/米 1 2 3 4 5 总价/元 5 10 15 20 25 （2）见下图 在坐标图中依次描出点（1，5）、（2，10）、（3，15）、（4，20）、（5，25），再用直线将这些点按顺序连接起来。 （3）因为将直线延长后图像是经过0的倾斜直线，所以购买绳子的长度和需要的钱数成正比例。 5×3.5＝17.5（元） 举一反三 【变式13-1】某一时间点在太阳的照射下，物体高度和其影长的关系如下表： 物体高度/m 2 3 4 5 6 … 影长/m 1.8 2.7 3.6 … (1)请你根据规律将上表补充完整。 (2)根据表中的数据在图中描出物体高度与对应影长的点，然后把它们连起来并向两边延长。 (3)影长和物体高度成什么关系？说明理由。 【答案】(1)4.5；5.4 (2)见详解 (3)正比例关系；因为物体的高度和影长的比值一定 【分析】（1）计算发现影长÷物体高度＝0.9，影长＝0.9×物体高度； （2）见详解 （3）影长÷物体高度＝0.9，比值一定，影长和物体高度成正比例关系。 【详解】（1）1.8÷2＝0.9；2.7÷3＝0.9；3.6÷4＝0.9；5×0.9＝4.5；6×0.9＝5.4。 如表： 物体高度/m 2 3 4 5 6 … 影长/m 1.8 2.7 3.6 4.5 5.4 … （2）如图： （3）影长÷物体高度＝0.9 答：成正比例关系，因为物体的高度和影长的比值一定。 【变式13-2】水是生命之源。某小学对同学们进行了节约用水教育。丁丁测试了一个打开的水龙头的出水量。 时间/秒 0 10 20 30 40 … 出水量/升 0 2 4 6 8 … (1)判断这个水龙头的出水量与时间是否成正比例？并说明理由。 (2)把上表中这个水龙头的出水量与时间所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 (3)看图估计，这个水龙头45秒的出水量是( )升，这个水龙头出水16.5升需要( )秒。 【答案】(1)成正比例，因为出水量和出水时间是两个相关联的量并且它们的比值一定 (2)见详解 (3) 9 82.5 【分析】（1）两个相关联的量，如果比值一定，则成正比例关系，根据每秒出水量＝出水总量÷出水时间，据此判断； （2）依次描出每一个时间和对应的出数量的点，再顺次用直线连接即可； （3）先算出每秒出水量，用每秒出水量×时间＝45秒出水量；出水量16.5升÷每秒的出水量＝出水时间。 【详解】（1）2÷10＝4÷20＝6÷30＝8÷40＝0.2，即出水量和出水时间的比值相等，所以这个水龙头的出水量与时间成正比例，因为出水量和出水时间是两个相关联的量并且它们的比值一定（都是0.2）。 （2）依次描出点（0，0）、（10，2）、（20，4）、（30，6）、（40，8），如图： （3）每秒出水量：2÷10＝0.2（升） 45秒出水量：45×0.2＝9（升） 出水16.5升需要的时间：16.5÷0.2＝82.5（秒） 【变式13-3】一辆汽车行驶的路程和时间的关系如下表所示。 路程/千米 160 240 320 400 480 · 时间/时 2 3 4 5 6 · (1)路程和时间成什么关系？( )为什么？( ) (2)将路程和时间所对应的点描在方格纸上，再顺次连接各点。 (3)根据表中的数据写出一个比例：( )。 (4)如果用表示路程，用表示时间，那么( )。 【答案】(1) 成正比例 路程÷时间＝速度（一定），比值一定。 (2)见详解。 (3)（答案不唯一） (4) 【分析】（1）两个相关联的量，它们的比值一定，那么这两个量成正比例，依此解答即可。 （2）根据表格数据先描点再连线； （3）比值相等的两个比能组成比例，依此解答即可； （4）由路程＝时间×速度的关系式解答。 【详解】（1）路程与时间的比值都为80，比值一定，所以路程与时间成正比例。 （2） （3）表中路程与对应时间的比值都相同，任意选出两组数据都能写成比例，例如： （4）路程＝速度×时间，题中速度为80千米时，。 题型十四、正比例的应用 知识积累 1.解题思路： (1)判断两种量是否成 正比例（看比值是否一定）。 (2)设未知数 。 (3)列出比例式： 。 (4)解比例。 2.实例：一辆汽车2小时行160千米，照这样计算，5小时行多少千米？ (1)解：设5小时行 千米。 (2) (3) (4) 400 例题讲解 【典例14】某工厂组装餐桌时，4条桌腿配1张桌面，按照这样的组装方式，144条桌腿能配多少张桌面？（用比例方程解答） 【答案】36张 【分析】根据题意，每张桌面配4条桌腿，即桌腿数量与桌面数量的比值一定，二者成正比例关系。设144条桌腿能配张桌面，根据比例关系列出比例方程，利用比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积）进行求解。 【详解】解：设 144 条桌腿能配张桌面。 答：144条桌腿能配36张桌面。 举一反三 【变式14-1】再生纸是一种以废纸为原料，经过十几道工序生产出来的纸张。下面是利用废纸生产再生纸的情况。 废纸/千克 1 2 3 4 废纸/千克 再生纸/千克 0.75 1.5 2.25 3 再生纸/千克 与2.25千克再生纸对应的废纸的千克数是( )，废纸的质量和再生纸的质量成( )比例，生产12千克再生纸需要( )千克废纸。 【答案】 3 正 16 【分析】观察表格：上边一行是废纸质量，下边一行是对应的再生纸质量，找2.25千克再生纸对应的上边一行的数值即可；两种相关联的量乘积一定成反比例，比值一定成正比例；根据表格可知1千克废纸生产0.75千克再生纸，12千克里面有几个0.75千克，就需要多少千克废纸。 【详解】再生纸为2.25千克时，对应的废纸质量就是3千克； 0.75÷1＝1.5÷2＝2.25÷3＝3÷4＝0.75，即再生纸的质量和废纸的质量的比值一定，所以成正比例； 12÷0.75＝16（千克）, 生产12千克再生纸需要16千克废纸。 【变式14-2】身高1.8米的小李在公园里观赏一尊雕像时，想知道雕像的高度，他灵机一动，站到雕像旁边拍了一张合影，然后量得照片上的他的高度是3厘米，雕像的高度是8厘米。因此很快算出了雕像的高度。你知道雕像的实际高度是多少米吗？请你算一算。（列比例解答） 【答案】4.8米 【分析】在同一张照片中，物体的实际高度与照片上的高度的比值是一定的，即物体的实际高度和照片上的高度成正比例关系。需先统一长度单位，将1.8米换算成180厘米。将雕像的实际高度设为厘米，根据“雕像实际高度∶照片中雕像的高度＝小李的实际高度∶照片中小李的高度”列出比例求解，求出雕像的实际高度后需把结果的单位“厘米”换算为“米”。 【详解】1.8米＝1.8×100＝180厘米 解：设雕像的实际高度是厘米。 480厘米＝480÷100＝4.8米 答：雕像的实际高度是4.8米。 【变式14-3】妙想喜欢喝蜂蜜水，她把10克蜂蜜放入180克水中，甜度刚刚好。如果要配制同样甜的蜂蜜水用25克蜂蜜，需要多少克水？（用比例知识解答） 【答案】450克 【分析】蜂蜜水的甜度相同，说明蜂蜜和水的质量比值一定，蜂蜜和水成正比例关系。设需要x克水，根据蜂蜜与水的比值相等列出比例式，再根据比例的基本性质求解。 【详解】解：设需要x克水。 10∶180＝25∶x 10x＝180×25 10x＝4500 x＝4500÷10 x＝450 答：需要450克水。 题型十五、反比例的应用 知识积累 1.解题思路： (1)判断两种量是否成 反比例（看积是否一定）。 (2)设未知数 。 (3)列出方程： 。 (4)解方程。 2.实例：一批书，每包20本，要捆18包。如果每包30本，要捆多少包？ (1)解：设要捆 包。 (2) (3) (4) 12 例题讲解 【典例15】李师傅用面积为64平方分米的方砖给教室铺地，需要用125块，如果改用边长为10分米的方砖铺地，那么需要用多少块？（用比例解） 【答案】80块 【分析】设如果改用边长为10分米的方砖铺地，需要x块，根据“方砖的面积×方砖的块数＝教室地面的总面积（一定）”，乘积一定，可知方砖的面积与方砖的块数成反比例关系， 据此列比例为10×10x＝64×125，解比例方程即可解答。 【详解】解：设需要用x块。 10×10x＝64×125 100x＝8000 x＝8000÷100 x＝80 答：需要用80块。 举一反三 【变式15-1】“铜碗声声街里唤，一瓯冰水和梅汤”描写的是消暑纳凉佳品酸梅汤。某饮品店熬制一批酸梅汤，平均分成若干杯，分的杯数和每杯的容积如下表所示。 分的杯数/杯 100 200 250 400 每杯的容积/L 2 1 0.8 0.5 (1)分的杯数与每杯的容积成( )比例关系。 (2)如果平均分成160杯，那么每杯有( )L。 【答案】(1)反 (2)1.25 【分析】（1）判断两种相关联的量成什么比例，就看它们是商一定还是乘积一定。如果商一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例。 （2）用酸梅汤的总量除以杯数即可求出每杯的量。 【详解】（1），，，，分的杯数×每杯的容积＝酸梅汤总量，因为酸梅汤的总量不变，即乘积一定，所以分的杯数与每杯的容积成反比例关系。 （2）100×2＝200（L） 200÷160＝1.25（L/杯） 如果平均分成160杯，那么每杯有1.25L。 【变式15-2】李叔叔从甲地到乙地送货，去时每小时行驶45千米，用了180分，回来时比去时每小时多走15千米。回来时用了多长时间？（用比例解） 【答案】2.25小时 【分析】李叔叔从甲地到乙地再返回，路程是不变的。根据“路程＝速度×时间”，当路程一定时，速度和时间成反比例关系。先根据“去时的速度＋返回比去时多的速度＝返回时的速度”求出返回时的速度，去时的速度乘去时的时间等于回来时的速度乘回来的时间，据此列出方程求解，题中时间单位不统一，先将180分除以进率60转化为小时再进行解答。 【详解】180分＝180÷60＝3小时 解：设回来时用了小时。 45×3＝（45＋15）× 135＝ ＝135÷60 ＝2.25 答：回来时用了2.25小时。 【变式15-3】一本故事书，小华原计划每天看20页，36天看完，实际她每天看了24页，实际多少天能看完这本书？ 【答案】30天 【分析】分析题目，设实际x天能看完这本书，这本故事书的总页数不变，根据等量关系：原计划每天看的页数×原计划看的天数＝实际每天看的页数×实际看的天数列出方程，最后解出方程即可。 【详解】解：设实际x天能看完这本书。 24x＝20×36 24x＝720 24x÷24＝720÷24 x＝30 答：实际30天能看完这本书。 题型十六、图形的放大与缩小 知识积累 1.意义：把图形的各边按一定的 比 放大或缩小。 2.特点： (1)图形放大或缩小后，形状 不变，大小 改变。 (2)对应边的长度之比等于 放大或缩小的比。 (3)对应角的度数 不变。 3.表示方法： (1)放大：比的前项 > 后项，如 2:1，表示图上距离是实际距离的2倍（或新图形边长是原图形的2倍）。 (2)缩小：比的前项 < 后项，如 1:3，表示图上距离是实际距离的（或新图形边长是原图形的）。 4.操作： (1)先确定放大或缩小的 比。 (2)计算新图形各边的 长度（原边长 比的前项/后项）。 (3)画出新图形。 例题讲解 【典例16】先将下图中的三角形按3∶1放大，得到图形A，再将图形A按1∶2缩小，得到图形B，请在方格图中分别画出图形A和图形B。 【答案】见详解 【分析】观察原图，原三角形为等腰三角形，底为4格，高为2格。 根据题意，按3∶1放大，则各边长都扩大为原来的3倍，可以得到放大后的底和高，根据放大后的底和高画出图形A。 将图形A按1∶2缩小，则各边长都缩小为图形A的，可以得到缩小后的底和高，根据缩小后的底和高画出图形B。 【详解】三角形按3∶1放大后， 底：4×3＝12（格），高：2×3＝6（格）； 画底为12格、高为6格的等腰三角形，就是A； 将图形A按1：2缩小后， 底：12÷2＝6（格），高：6÷2＝3（格）； 画底为6格、高为3格的等腰三角形就是图形B。 如下图： 举一反三 【变式16-1】按画出下面三角形缩小后的图形。 【答案】见详解 【分析】根据题意，原来三角形的底是10格，缩小后的三角形的底是原来的一半，也就是5格；原来三角形的高是8格，缩小后的三角形的高是原来的一半，也就是4格。 【详解】缩小后三角形的底：10÷2＝5（格） 缩小后三角形的高：8÷2＝4（格） 画一个底是5格，高是4格的三角形。 【变式16-2】把图中的长方形按1∶2缩小，画出缩小后的图形；把图中的梯形按3∶1放大，画出放大后的图形。 【答案】见详解 【分析】把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1； 把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n 【详解】长方形缩小后的长：8×＝4（格），缩小后的宽：4×＝2（格） 梯形放大后的上底：2×3＝6（格），放大后的下底：4×3＝12（格） 放大后的高：2×3＝6（格） 【变式16-3】根据要求完成任务。 (1)画出平行四边形按1∶2缩小后的图形。 (2)把三角形按2∶1的比放大，画出放大后的图形，放大后的图形与原图形周长比是（        ），面积比是（        ）。 【答案】(1)见详解 (2)画图见详解； 2∶1；4∶1 【分析】（1）平行四边形按1∶2缩小，那么原来平行四边形的底和高都要除以2，由图可知，原来平行四边形的底和高都是4，先计算出缩小后的平行四边形的底和高，再据此画了平行四边形即可； （2）把三角形按2∶1的比放大，那么原来三角形的边都乘2是放大后三角形的边长，三角形的周长等于三边之和，所以放大后的周长＝原来周长×2，据此求出三角形原来和放大后的周长比即可；原来三角形的底和高都乘2即是放大后的三角形的底和高，由图可知，原来三角形的底和高都是2，三角形的面积＝底×高÷2，求出放大前和放大后的三角形的面积，再求出比即可。 【详解】（1）4÷2＝2 所以缩小后的平行四边形的底和高都是2。 （2）原来三角形的底和高都是2，2×2＝4，所以放大后三角形的底和高都是4； 三角形的周长等于三边之和，把三角形按2∶1的比放大，那么放大后三角形的周长＝原来三角形的周长×2，所以放大后三角形的周长∶原来三角形的周长＝2∶1； 原来三角形的面积＝2×2÷2 ＝4÷2 ＝2 放大后的三角形的面积＝4×4÷2 ＝16÷2 ＝8 则放大后的三角形的面积∶原来三角形的面积＝8∶2＝4∶1； 所以把三角形按2∶1的比放大，画出放大后的图形，放大后的图形与原图形周长比是2∶1，面积比是4∶1。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $