专题01 圆柱和圆锥（专项训练）小升初数学暑假专项提升（北京版）

**基本信息** 圆柱和圆锥专项训练通过15类题型构建从概念到应用的完整方法体系，知识逻辑从点线面体联系逐步过渡到组合体及等积变形，注重空间观念与运算能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念认知|8题型|点线面体转化、图形特征辨析|从平面到立体的认知进阶| |公式应用|7题型|表面积/体积公式变式、等积变形|概念推导→公式应用→实际问题| |综合拓展|4题型|组合体割补法、切拼规律|单一图形→组合图形→动态变化|

专题01 圆柱和圆锥 目录概览 题型一、点、线、面、体之间的联系 1 题型二、圆柱的认识及特征 3 题型三、圆柱的展开图 5 题型四、圆柱的侧面积 8 题型五、圆柱的表面积 10 题型六、圆柱的体积 12 题型七、圆柱的容积 14 题型八、圆锥的认识及特征 16 题型九、圆柱与圆锥体积的关系 18 题型十、圆锥的体积 20 题型十一、圆锥的容积 22 题型十二、组合体的表面积（圆柱） 25 题型十三、组合体的体积（圆柱、圆锥） 27 题型十四、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 30 题型十五、立体图形的切拼 32 题型演练 题型一、点、线、面、体之间的联系 知识积累 1.基本关系：点动成 线，线动成 面，面动成 体。 2.实例理解： (1)流星划过天空留下一道痕迹，体现了 点动成线。 (2)汽车雨刷器摆动扫过一片区域，体现了 线动成面。 (3)长方形绕着它的一条边旋转一周，形成一个 圆柱；直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周，形成一个 圆锥。这体现了 面动成体。 例题讲解 【典例1】下图中，以直线a为轴旋转一周，形成的图形是圆锥的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆锥是由直角三角形绕一条直角边旋转一周得到的。所以要判断哪个图形以直线a为轴旋转一周能形成圆锥，需看图形是否为直角三角形且直角边与轴a重合。 【详解】A．图形不是直角三角形，旋转后不能形成圆锥。 B．图形是长方形，旋转后形成圆柱，不是圆锥。 C．图形是梯形，旋转后不能形成圆锥。 D．图形是直角三角形，且一条直角边与轴a重合，以直线a为轴旋转一周可形成圆锥。 故答案为：D 举一反三 【变式1-1】把一个长方形沿一条边快速旋转会得到一个( )；把一个直角三角形沿一条直角边快速旋转会得到一个( )。 【答案】 圆柱 圆锥 【分析】面动成体，长方形沿一条边旋转后，形成的是上下底为等圆、侧面为曲面的圆柱；直角三角形沿直角边旋转后，形成的是有一个圆形底面、一个顶点的圆锥。 【详解】把一个长方形沿一条边快速旋转会得到一个圆柱；把一个直角三角形沿一条直角边快速旋转会得到一个圆锥。 【变式1-2】以下面第一行的图形的一条边为轴旋转一周，可以得到第二行的哪个立体图形，连一连。 【答案】见详解 【分析】第一行第一个，是半圆，以直径为轴旋转一周，得到的是球； 第一行第二个，是直角三角形，绕一条直角边旋转，得到圆锥； 第一行第三个，是直角梯形，垂直于底的那条腰作为轴旋转，得到的是圆台； 第一行第四个，是长方形，绕一条边旋转，得到圆柱； 第一行第五个，轴在左边，图形是下方是矩形，上方接三角形，旋转之后就是下面圆柱上面圆锥的组合体。 【详解】 【变式1-3】考考你的想象力，如下三个图形，若沿着虚线旋转一周，则分别形成了什么物体？ 【答案】球；茶杯；葫芦 【分析】一个平面图形绕着一条直线（虚线）旋转一周，会形成对应的立体图形，需要结合图形的形状想象旋转后的立体结构。 【详解】第一个图形：半圆以直径（虚线）为轴旋转一周，半圆上的所有点绕轴旋转，会围成一个完整的球。 第二个图形：这个图形的杯身、杯柄、杯底部分绕轴旋转，会形成带杯柄的立体茶杯。 第三个图形：上下两个圆弧、中间收窄的图形绕轴旋转，会形成上下粗、中间细的葫芦。 题型二、圆柱的认识及特征 知识积累 1.圆柱的定义：圆柱是由两个底面和一个侧面围成的立体图形。 2.面的特征： (1)底面：圆柱有两个完全相同的 圆 形底面。 (2)侧面：圆柱有一个 曲 面，叫做侧面。 3.高的特征： (1)圆柱两个底面之间的距离叫做 高。 (2)圆柱有 无数 条高，且所有高的长度都 相等。 4.侧面展开：沿高剪开圆柱侧面，通常得到一个 长方形（或正方形）。 例题讲解 【典例2】奇奇发现家里面有一个圆柱形薯片盒，经测量发现这个圆柱形的薯片盒的高约是底面直径的3.14倍。将圆柱形薯片盒侧面沿高剪开后，侧面展开图是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形 【答案】B 【分析】分析题目，圆柱形沿着高剪开后会得到一个长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高的长方形，如果圆柱的底面周长和高相等时，展开后会得到一个正方形，可以用d表示圆柱的底面直径，根据“圆柱形的薯片盒的高约是底面直径的3.14倍”可知：圆柱的高是3.14×d，圆柱的底面周长＝πd，π在计算时一般取3.14，所以圆柱的底面周长和高都可以用3.14×d来表示，据此解答。 【详解】根据分析可知：圆柱形薯片的底面周长和高相等，所以它的侧面展开是一个正方形。 举一反三 【变式2-1】用一张长12.56厘米，宽9.42厘米的长方形纸卷成一个圆柱（接头处不计），这个圆柱的底面半径可能是（    ）厘米。 A．4 B．3 C．2或1.5 D．6 【答案】C 【分析】用长方形纸卷成圆柱时，长方形的长或宽都可以作为圆柱的底面周长，另一条边作为圆柱的高， 我们可以根据圆的周长公式，分别计算两种情况下的底面半径，其中π取3.14。 【详解】1．以长方形的长12.56厘米为底面周长 （厘米） 2．以长方形的宽9.42厘米为底面周长 （厘米） 所以这个圆柱的底面半径可能是2厘米或1.5厘米。 【变式2-2】圆柱有( )个底面和( )个侧面，底面是两个大小相等的圆。 【答案】 2 1 【分析】根据圆柱的认识，如下图，圆柱有2个底面，1个侧面，底面是两个大小相等的圆，侧面是一个曲面。 【详解】圆柱有2个底面，1个侧面，底面是两个大小相等的圆。 【变式2-3】一张长方形的纸，长是10cm，宽是6cm，如果以长为轴旋转一周形成一个圆柱体，这个圆柱体的高是( )cm，半径是( )cm。 【答案】 10 6 【分析】以长为轴旋转一周形成一个圆柱体，宽是圆柱底面圆的半径，长是圆柱的高，据此解答。 【详解】根据分析，这个圆柱体的高是10cm，半径是6cm。 题型三、圆柱的展开图 知识积累 1.展开图的组成：圆柱的侧面展开图是一个长方形，两个底面是两个 圆。 2.长方形的长与宽： (1)长方形的 长 等于圆柱底面的 周长 ( 或 )。 (2)长方形的 宽 等于圆柱的 高 ( )。 3.特殊情况： (1)当圆柱的底面周长和高 相等 时，侧面展开图是一个 正方形。 (2)若斜着剪开，侧面展开图可能是一个 平行四边形。 例题讲解 【典例3】下图中能围成一个圆柱的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆柱的侧面积展开后是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高。要判断哪个图形能围成圆柱，需要计算底面圆的周长，看它是否等于长方形的长。 【详解】A．圆的直径为3，底面周长为3.14×3＝9.42，长方形的长为18.84，因为9.42≠18.84，长方形的长不等于底面周长，所以不能围成圆柱。 B．圆的直径为5，底面周长为3.14×5＝15.7，长方形的长是21.98，因为15.7≠21.98，长方形的长不等于底面周长，所以不能围成圆柱。 C．长方形的长是12.56，图形左侧有两个圆上下排列，其总高度与长方形的宽8相等，说明两个圆的直径之和是8，所以一个圆的直径为8÷2＝4，底面周长为3.14×4＝12.56，因为计算出的底面周长等于长方形的长，所以能围成圆柱。 D．圆的直径为1，底面周长为3.14×1＝3.14，正方形的边长是6.28，因为3.14≠6.28，正方形的边长不等于底面周长，所以不能围成圆柱。 举一反三 【变式3-1】下面各展开图，能围成圆柱体且不浪费材料的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆柱的侧面展开是一个长方形，长方形的长等于底面圆的周长，根据圆的周长C＝πd，计算出底面周长，看是否和长方形的长相等，这样既能围成圆柱，也不浪费材料。 【详解】 A．，底面圆的直径是3，3.14×3＝9.42，长方形的长是3.14，与9.42不相等，不能围成圆柱。 B．底面圆的直径是3，3.14×3＝9.42，长方形的长是6.28，与9.42不相等，不能围成圆柱。 C．底面圆的直径是3，3.14×3＝9.42，长方形的长是9.42，与9.42相等，能围成圆柱。     D．底面圆的直径是3，3.14×3＝9.42，长方形的长是12，与9.42不相等，能围成圆柱。但是浪费材料。 【变式3-2】一个圆柱侧面展开图是一个正方形，这个圆柱高与底面半径的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，”可知圆柱的底面周长与圆柱的高相等；设圆柱的底面半径为r，根据圆的周长公式，C＝2πr，表示出圆的底面周长，即圆柱的高，进而写出圆柱的底面半径和高的比，再化简即可。 【详解】2πr∶r ＝（2πr÷r）∶（r÷r） ＝2π∶1 所以这个圆柱高与底面半径的比是2π∶1。 【变式3-3】张师傅要做一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供选择，他应选（    ）。 A．①和④ B．①和③ C．②和④ D．②和③ 【答案】B 【分析】根据圆柱的展开图是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长。当长方形的长和圆的周长相等时，能围成无盖圆柱。圆的周长C＝πd或C＝2πr。 【详解】③的周长：3.14×4＝12.56（dm） ④的周长：2×3.14×6＝37.68（dm） A．①的长是12.56dm，④的周长是37.68dm，长方形的长和圆的周长不相等。不能围成圆柱。 B．①的长是12.56dm，③的周长是12.56dm，长方形的长和圆的周长相等。能围成圆柱。 C．②的长是18.84dm，④的周长是37.68dm，长方形的长和圆的周长不相等。不能围成圆柱。 D．②的长是18.84dm，③的周长是12.56dm，长方形的长和圆的周长不相等。不能围成圆柱。 综上，张师傅选①和③能围成圆柱。 题型四、圆柱的侧面积 知识积累 1.计算公式： (1)圆柱的侧面积 = 底面周长 高。 (2)用字母表示： 。 2.注意事项： (1)计算侧面积时，不需要考虑 底面积。 (2)单位通常是平方单位（如 ）。 例题讲解 【典例4】一根圆柱形通风管的长为8dm，底面直径为6dm。做这根通风管至少需要( )的铁皮。 【答案】150.72 【分析】通风管是两端通透的圆柱形物体，求需要多少铁皮，就是求圆柱的侧面积。根据公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高（S侧＝Ch＝πdh），代入数据计算即可。 【详解】圆柱的底面直径是 6dm，高（长）是 8dm。 3.14×6×8 ＝18.84×8 ＝150.72（dm2） 举一反三 【变式4-1】压路机的滚筒是个圆柱，它的宽是2米，滚筒横截面半径是0.6米，如果滚筒每分钟滚动5周，那么1小时可压路( )平方米。 【答案】2260.8 【分析】压路机滚筒压路的面积就是圆柱的侧面积，根据圆柱侧面积公式S侧＝2πrh（其中r＝0.6米是滚筒半径，h＝2米是滚筒的宽）求出滚筒滚动1周的压路面积；再乘每分钟滚动的5周得到每分钟压路面积，最后乘60分钟（1小时），即可求出1小时的压路总面积。 【详解】1小时＝60分 2×3.14×0.6×2 ＝6.28×0.6×2 ＝3.768×2 ＝7.536（平方米） 7.536×5×60 ＝37.68×60 ＝2260.8（平方米） 压过的路面是2260.8平方米。 【变式4-2】小玲在观看民俗表演时，看见一个叔叔用力地敲击一面圆柱形的鼓，声音低沉却异常雄浑。这面圆柱形鼓的侧面是由铝皮制成的，已知它的底面半径是4分米，高是3分米，做一面这样的鼓至少需要多少平方分米的铝皮？ 【答案】75.36平方分米 【分析】根据题意可知，求铝皮的面积就是求圆柱的侧面积，根据，即可解答。（） 【详解】2×3.14×4×3＝75.36（平方分米） 答：做一面这样的鼓至少需要75.36平方分米的铝皮。 【变式4-3】学校门口有4根直立圆柱，每根圆柱的底面半径是0.3米，高4米。现要给这些柱子侧面贴上墙砖，如果每平方米墙砖45元，共需多少钱？ 【答案】1356.48元 【分析】给柱子侧面贴墙砖，只需计算圆柱的侧面积，根据圆柱侧面积公式“底面周长×高”，先求出一根柱子的侧面积，再乘柱子的根数得到贴砖总面积，最后用总面积乘每平方米墙砖的单价即可求出总费用。 【详解】一根立柱侧面积： 2×3.14×0.3×4 ＝6.28×0.3×4 ＝1.884×4 ＝7.536（平方米） 总价： 7.536×4×45 ＝30.144×45 ＝1356.48（元） 答：共需1356.48元。 题型五、圆柱的表面积 知识积累 1.定义：圆柱的表面积是指圆柱所有面的面积之和，即 侧面积 加上 两个底面积。 2.计算公式： (1) (2) 3.实际应用中的变式： (1)无盖水桶/鱼缸：表面积 = 侧面积 + 1 个底面积。 (2)通风管/烟囱：表面积 = 侧面积（没有底面）。 (3)油漆柱子：通常只计算 侧面积。 例题讲解 【典例5】计算下图的表面积。（单位：厘米）         【答案】353.25平方厘米 【分析】根据圆柱表面积＝两个圆柱底面积＋圆柱侧面积，圆柱底面积公式：，圆柱侧面积公式：，代入题干所给信息计算即可。 【详解】底面半径：5÷2＝2.5（厘米） 两个圆柱底面积： 2.52×3.14×2 ＝6.25×3.14×2 ＝39.25（平方厘米） 圆柱侧面积： 5×3.14×20＝314（平方厘米） 圆柱表面积： 39.25＋314＝353.25（平方厘米） 这个圆柱的表面积是353.25平方厘米。 举一反三 【变式5-1】求下面图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】345.4平方厘米 【分析】根据圆柱表面积公式S＝2πr2＋2πrh，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】2×3.14×52＋2×3.14×5×6 ＝2×3.14×25＋2×3.14×5×6 ＝157＋188.4 ＝345.4（平方厘米） 【变式5-2】有一种底面内直径是4分米，高5分米的圆柱形无盖铁桶，做5个这样的铁桶需用铁皮多少平方分米？ 【答案】376.8平方分米 【分析】无盖圆柱形铁桶的表面积由一个底面积和侧面积组成，根据圆柱的表面积公式可知：1个无盖铁桶需要的铁皮的面积＝πdh＋π（d÷2）2，据此列式求出做1个铁桶需要的铁皮，最后乘铁桶的数量即可。 【详解】4×3.14×5＋3.14×（4÷2）2 ＝12.56×5＋3.14×22 ＝62.8＋3.14×4 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（平方分米） 75.36×5＝376.8（平方分米） 答：做5个这样的铁桶需用铁皮376.8平方分米。 【变式5-3】南山湖公园准备挖一个圆柱形的观光鱼池，鱼池底面半径为10米，深2米。 (1)建这个鱼池需要挖出多少立方米的土？ (2)在鱼池的周围和底面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？ 【答案】(1)628 立方米 (2)439.6 平方米 【分析】（1）求挖出多少立方米的土，即求该圆柱形鱼池的体积。根据圆柱体积公式 ，取3.14，代入数据计算即可。 （2）求粉刷水泥的面积，即求圆柱的表面积。需注意鱼池上方开口，不需要粉刷，因此只需计算圆柱的侧面积加上一个底面的面积。侧面积公式为 ，底面积公式为 ，两者相加即为所求。 【详解】（1） （立方米） 答：建这个鱼池需要挖出628立方米的土。 （2） （平方米） 答：粉刷水泥的面积是439.6平方米。 题型六、圆柱的体积 知识积累 1.公式推导： (1)把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的 长方体。 (2)这个长方体的底面积等于圆柱的 底面积，高等于圆柱的 高。 (3)因为长方体体积 = 底面积 高，所以圆柱体积 = 底面积 高。 2.计算公式：。 3.已知不同条件求体积： (1)已知底面半径 和高 ： 。 (2)已知底面直径 和高 ： 。 (3)已知底面周长 和高 ：先求 ，再求 。 例题讲解 【典例6】计算体积。 【答案】785cm3 【分析】从图中可知，圆柱的底面半径是5cm，高是10cm，根据圆柱的体积公式V＝Sh＝r2h，列式计算，即可解答。（的取值是3.14） 【详解】3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝78.5×10 ＝785（cm3） 举一反三 【变式6-1】计算下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】113.04cm3 【分析】圆柱的体积V＝πr 2h，图中底面圆的直径是6cm，用6除以2算出半径，高是8cm，代入计算出圆柱的体积。再除以2，就是图形的体积。 【详解】6÷2＝3（cm） 3.14×3 2×8÷2 ＝3.14×9×8÷2 ＝28.26×8÷2 ＝226.08÷2 ＝113.04（cm3） 【变式6-2】王阿姨绣了一幅汴绣牡丹图准备送给朋友，她定制了一个圆柱形包装盒。这个圆柱形包装盒的底面直径为10厘米，高为45厘米。这个圆柱形包装盒的体积是多少立方厘米？ 【答案】3532.5立方厘米 【分析】根据圆柱的体积公式，已知圆柱的底面直径和高，需先利用直径求出底面半径，再代入公式进行计算。 【详解】 （立方厘米） 答：这个圆柱形包装盒的体积是3532.5立方厘米。 【变式6-3】一个圆柱形水池，底直径6米，深2米。 (1)在池底和四周抹水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ (2)这个水池最多可存水多少吨？（1立方米水重1吨） 【答案】(1)65.94平方米 (2)56.52吨 【分析】（1）水池抹水泥的部分包括圆柱的侧面积和一个底面积。根据圆柱侧面积公式“底面周长乘高”求出侧面积，根据圆面积公式“圆周率乘半径的平方”求出底面积，两者相加即为所求。 （2）求水池最多可存水多少吨，先根据圆柱体积公式“底面积乘高”求出容积，再根据“1立方米水重1吨”这一条件，用体积乘1计算水的重量。 【详解】（1）由题可知，直径6米，高为2米： ＝ ＝ ＝37.68＋28.26 ＝65.94（平方米） 答：抹水泥部分的面积是65.94平方米。 （2） ＝ ＝ ＝56.52（吨） 答：这个水池最多可存水56.52吨。 题型七、圆柱的容积 知识积累 1.概念区别： (1)体积：物体所占 空间 的大小。 (2)容积：容器所能容纳物体的 体积。 2.计算方法： (1)计算容积的方法与计算体积的方法 相同。 (2)注意：计算容积时，数据要从容器 里面 测量（内径、内高）。 3.单位换算： (1) (2) (3) 1000 例题讲解 【典例7】一个圆柱形牛奶桶，它的底面直径是30厘米，深40厘米。这个牛奶桶的容积是多少升？（桶的壁厚忽略不计） 【答案】28.26升 【分析】直径÷2＝半径，将半径代入圆柱体的体积公式：，求得的容积单位是立方厘米，将立方厘米除以进率1000转化为立方分米，1立方分米＝1升。 【详解】3.14×（30÷2）²×40 ＝3.14×15²×40 ＝3.14×225×40 ＝28260（立方厘米） 28260立方厘米＝28260÷1000＝28.26立方分米＝28.26升 答：这个牛奶桶的容积是28.26升。 举一反三 【变式7-1】如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有600mL的水，分别将瓶底朝下和朝上放置，瓶子的容积为( )毫升。 【答案】800 【分析】当瓶底朝下时，我们可以把水看作一个圆柱体，已知圆柱体的容积和高，可以求出瓶子的底面积，根据底面积＝容积÷高，根据图示，水的高度是15厘米； 当瓶底朝上放时，我们可以求出空瓶部分的容积，根据容积＝底面积×高进行计算，其中空瓶部分的高度是（30-25）厘米； 最后将空瓶的容积加上原来水的容积，就是瓶子的容积； 【详解】根据分析，解答如下： 600毫升＝600立方厘米 底面积＝600÷15＝40（平方厘米） 空瓶部分容积：40×（30－25）＝40×5＝200（立方厘米）＝200毫升 600＋200＝800（毫升） 即瓶子的容积为（   800   ）毫升。 【变式7-2】小欣发现平时常喝的一种饮料，它的外包装是用铁皮做成的圆柱形罐子（如下图）。商标纸上印着“净含量600毫升”。请问厂家有没有欺骗消费者？用你喜欢的方式说明理由。 【答案】欺骗消费者；理由见详解 【分析】根据圆柱的容积＝底面积×高，据此求出饮料的容积，再和净含量比较，大于或等于净含量，没有欺骗消费者；小于净含量，欺骗消费者，据此解答，注意单位换算。 【详解】3.14×（8÷2）2×11 ＝3.14×42×11 ＝3.14×16×11 ＝50.24×11 ＝552.64（立方厘米） 552.64立方厘米＝552.64毫升 552.64＜600，欺骗消费者。 答：厂家欺骗消费者。 【变式7-3】一个圆柱形粮囤，底面周长18.84米，高2米，如果每立方米小麦重750千克，这个粮囤能装多少吨小麦？（结果保留两位小数） 【答案】42.39吨 【分析】先根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14），求出圆柱底面半径，再根据圆柱体积公式V＝πr2h求出粮囤的容积，然后用容积乘每立方米小麦的质量得到总千克数，最后将千克换算成吨并按要求保留两位小数。 【详解】底面半径：18.84÷（2×3.14） ＝18.84÷6.28 ＝3（米） 粮囤容积：3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方米） 小麦总质量：56.52×750＝42390（千克） 42390千克＝42.39吨 答：这个粮囤能装42.39吨小麦。 题型八、圆锥的认识及特征 知识积累 1.圆锥的定义：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的立体图形。 2.面的特征： (1)底面：圆锥的底面是一个 圆。 (2)侧面：圆锥的侧面是一个 曲 面。 3.顶点与高： (1)圆锥只有 1 个顶点。 (2)从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的 高。 (3)圆锥只有 1 条高。 4.侧面展开：圆锥的侧面展开图是一个 扇形。 例题讲解 【典例8】如下图所示的是一个圆锥，这个圆锥的高是( )cm，底面半径是( )cm，底面周长是( )cm，底面积是( )。 【答案】 13 3 18.84 28.26 【分析】根据圆锥的特征，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，底面圆的半径、周长和面积的计算公式分别为（d为直径），，，据此求解。 【详解】高：13cm 底面半径：（cm） 底面周长：（cm） 底面积：（cm²） 所以，这个圆锥的高是13cm，底面半径是3cm，底面周长是18.84cm，底面积是28.26cm²。 举一反三 【变式8-1】以下面各图形的一条边为轴，旋转一周，能形成圆锥的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】想象将给出的每个图形按题意旋转得到的形状便可知道答案。 【详解】根据分析，只有将直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，才能得到圆锥。 旋转一周，能形成圆锥的图形是。 【变式8-2】乐乐想测量下面圆锥的高，下面四种测量方法中，方法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。是一条垂直于底面的线段。据此解答。 【详解】A．图中直尺紧贴圆锥的侧面进行测量，测量的是圆锥顶点到底面圆周上某一点的距离，根据直角三角形斜边大于直角边可知，线长大于圆锥的高，故该方法错误。 B．和方法A一样，测量的不是高，且测量时不是从0刻度对齐，故该方法错误。 C．图中竖直的直尺垂直于底面，水平的直尺紧贴圆锥顶点且与竖直直尺垂直。这种方法利用了“平移”的思想，将圆锥内部不可见的“顶点到底面圆心的距离”平移到了外部的竖直直尺上。读取竖直直尺上水平直尺所对应的刻度，即为圆锥的高。这是测量圆锥高的正确方法。 D．图中水平直尺是倾斜放置的，没有垂直于竖直直尺。测量高必须测量垂直距离，倾斜的直尺无法得到正确的垂直高度，故该方法错误。 测量圆锥的高的方法正确的是。 【变式8-3】如图，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个( )，得到的这个图形的高是( )cm，底面积是( )cm2。 【答案】 圆锥 3 50.24 【分析】根据题意，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的高等于AB，圆锥的底面半径等于BC。圆锥的底面是一个圆，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个（圆锥），得到的这个图形的高是（3）cm，底面积是（50.24）cm2。 题型九、圆柱与圆锥体积的关系 知识积累 1.等底等高关系： (1)如果圆柱和圆锥 等底等高，那么圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍，圆锥的体积是圆柱体积的 。 (2)即： ， 。 2.其他情况： (1)若体积相等、底面积相等，则圆锥的高是圆柱高的 3 倍。 (2)若体积相等、高相等，则圆锥的底面积是圆柱底面积的 3 倍。 例题讲解 【典例9】等底等高的圆柱与圆锥体积之和是60cm³，圆柱体积是( )cm³，圆锥是( )cm³。 【答案】 45 15 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的倍。因此圆柱与圆锥体积之和可以看作份，其中的一份就是圆锥的体积，其中的三份就是圆柱的体积，据此解答即可。 【详解】 （立方厘米） （立方厘米） 圆柱体积是45立方厘米，圆锥是15立方厘米。 举一反三 【变式9-1】一个圆锥和一个圆柱等底等高，它们的体积相差36立方分米，则圆柱的体积是( )立方分米，圆锥的体积是( )立方分米。 【答案】 54 18 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝ ×底面积×高； 一个圆锥和一个圆柱等底等高，则这个圆柱的体积是圆锥体积的3倍，将这个圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，它们的体积相差2份，用除法求出每份的体积，也就是圆锥的体积，再乘3求出圆柱的体积。 【详解】36÷（3－1） ＝36÷2 ＝18（立方分米） 18×3＝54（立方分米） 圆柱的体积是54立方分米，圆锥的体积是18立方分米。 【变式9-2】如图中，葡萄酒瓶内装酒的高度是27cm，已知酒瓶底面内直径是8cm，高脚酒杯上口内直径也是8cm，如果把酒瓶中的葡萄酒全部倒入这样的高脚酒杯中，可以倒满( )杯。 【答案】9 【分析】根据题意，酒瓶装酒部分和高脚酒杯是等底的。酒的高度除以酒杯高度，算出有这样的3个酒杯的高度。根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。用3乘3即可。 【详解】27÷9×3 ＝3×3 ＝9（杯） 所以，可以倒满9杯。 【变式9-3】把一个圆柱削成与它等底等高的圆锥，削去部分的体积是4，则圆锥的体积是( )，圆柱的体积是( )。 【答案】 2 6 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以削去部分的体积是圆锥体积的3－1＝2倍。 【详解】4÷（3－1） ＝4÷2 ＝2（） 2×3＝6（） 题型十、圆锥的体积 知识积累 1.实验推导：通过实验发现，用等底等高的圆锥装满水倒入圆柱中，需要倒 3 次才能倒满。 2.计算公式： (1)圆锥的体积 = 底面积 高。 (2)用字母表示： 。 3.易错点提醒： (1)计算圆锥体积时，千万不要忘记乘 。 (2)如果是已知直径或周长，需先求出半径 ，再代入公式。 例题讲解 【典例10】计算下面圆锥的体积。 【答案】2198dm3 【分析】根据“”求出圆锥的体积。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝700×3.14 ＝2198（dm3） 举一反三 【变式10-1】求圆锥的体积。（单位：dm） 【答案】1256 【分析】由图可知：底面圆的直径是20dm，则底面圆的半径：20÷2＝10（dm），圆锥的高是12dm，根据圆锥的体积＝底面积×高×，把数代入即可求解。 【详解】20÷2＝10（dm） 3.14××12× ＝3.14×100×12× ＝314×（12×） ＝314×4 ＝1256（） 【变式10-2】一个圆锥的体积是12立方分米，底面积是4平方分米，它的高是( )分米。 【答案】 9 【分析】圆锥的体积＝底面积高，所以根据公式反求高即可。 【详解】 （分米） 它的高是分米。 【变式10-3】一个圆锥形沙堆，底面半径是6分米，高是2.4分米，则它的底面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 113.04 90.432 【分析】圆锥的底面积，圆锥的体积，将题目中的数据代入公式解答。 【详解】 （平方分米） 这个圆锥形沙堆的底面积是113.04平方分米。 （立方分米） 这个圆锥形沙堆的体积是90.432立方分米。 题型十一、圆锥的容积 知识积累 1.计算原则： (1)圆锥形容器的容积计算方法与体积计算 相同。 (2)测量数据时需测量 内部 的底面半径和高。 2.应用实例：麦堆、沙堆通常近似看作圆锥体。计算其重量时，先求 体积，再乘以每立方米物质的 质量（密度）。 例题讲解 【典例11】一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是2.5米，每立方米沙重1.7吨，这堆沙重多少吨？ 【答案】40.035吨 【分析】先根据“”求出圆锥的底面半径，再根据“”求出这堆沙的体积，最后乘每立方米沙的重量求出这堆沙的总重量。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） ＝ ＝ ＝7.5×3.14 ＝23.55（立方米） 23.55×1.7＝40.035（吨） 答：这堆沙重40.035吨。 举一反三 【变式11-1】有一顶圆锥帐篷，底面直径约6米，高约4米。（π取3.14） (1)它的占地面积约是多少平方米？ (2)它内部的空间约是多少立方米？ 【答案】(1)28.26平方米 (2)37.68立方米 【分析】（1）求圆锥帐篷的占地面积，即是求其底面圆的面积，根据圆的面积公式（其中r是底面半径），代入数值计算即可； （2）求圆锥内部的空间约是多少立方米，即是求其体积是多少，根据圆锥体积（其中r为底面半径，h为圆锥的高），代入数值计算即可。 【详解】（1）（米 （平方米） 答：它的占地面积约是28.26平方米。 （2） （立方米） 答：它内部的空间约是37.68立方米。 【变式11-2】如图，一个立体图形从前面看到的是图形A，从上面看到的是图形B，这个图形的体积是多少？如果用一个长方体（或正方体）盒子包装它，这个盒子的容积至少是多少？ 【答案】56.52立方厘米；216立方厘米 【分析】根据视图可判断这个立体图形是圆锥，圆锥底面半径＝3厘米，高＝6厘米。 圆锥体积公式为：，代入计算即可。 求最小包装盒容积：圆锥底面直径是2×3＝6cm，包装盒的长、宽至少等于底面直径6cm，高至少等于圆锥的高6cm，因此最小盒子是棱长6cm的正方体，计算容积即可。 【详解】圆锥体积：（立方厘米） 圆锥底面直径：2×3＝6（厘米） 盒子容积：6×6×6＝216（立方厘米）。 答：这个立体图形的体积是56.52立方厘米，包装盒子的容积至少是216立方厘米。 【变式11-3】下图是一个圆锥形酒杯，杯口半径是3厘米，深是4厘米。如果把200毫升饮料倒入这样的杯子中，能倒满几杯？（得数保留整数） 【答案】5杯 【分析】根据“圆锥的体积＝（是底面半径，是圆锥的高）”求出酒杯的容积（注意将计算出的体积单位换算成容积单位）；饮料能倒满的杯数＝饮料总容积÷酒杯的容积，结果用“去尾法”保留整数。 【详解】 （立方厘米） 37.68立方厘米＝37.68毫升 200÷37.68≈5（杯） 答：能倒满5杯。 题型十二、组合体的表面积（圆柱） 知识积累 1.常见组合：一个圆柱上面叠放一个小圆柱，或者圆柱中间挖去一个小圆柱。 2.计算策略： (1)拼接问题：两个物体拼接，表面积会 减少，减少的部分是 2 个接触面的面积。 (2)切割/挖洞问题： (3)若在圆柱侧面挖孔，表面积通常会 增加 孔的内侧面积。 (4)若将圆柱切成两段，表面积增加 2 个底面积。 例题讲解 【典例12】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【答案】958.2cm2 【分析】根据图可知：图形的表面积等于棱长是12cm的正方体的表面积加上底面直径是5cm高是6cm的圆柱的侧面积，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，圆柱的侧面积＝πdh，据此列式计算。 【详解】12×12×6＋3.14×5×6 ＝144×6＋15.7×6 ＝864＋94.2 ＝958.2（cm2） 图形的表面积是958.2cm2。 举一反三 【变式12-1】求下面立体图形的表面积。（单位：cm） 【答案】550.72 【分析】圆柱和长方体接触的部分被遮挡，根据长方体的表面积公式计算出长方体的表面积，再根据圆柱的侧面积公式计算出圆柱的侧面积，最后将两者相加即可得出图形的总面积。 【详解】（15×10＋15×2＋10×2）×2 ＝（150＋30＋20）×2 ＝200×2 ＝400（） 3.14×6×8 ＝18.84×8 ＝150.72（） 400＋150.72＝550.72（） 【变式12-2】计算下面图形的表面积。 【答案】157cm2 【分析】由图可知，该图形的表面积由半径为4cm，高为1cm的圆柱的表面积和半径为1cm，高为5cm的圆柱的侧面积组成，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的表面积＝2个底面积＋侧面积，代入数据求解即可。 【详解】3.14×42×2＋2×3.14×4×1 ＝3.14×16×2＋2×3.14×4×1 ＝50.24×2＋2×3.14×4×1 ＝100.48＋2×3.14×4×1 ＝100.48＋6.28×4×1 ＝100.48＋25.12×1 ＝100.48＋25.12 ＝125.6（cm2） 2×3.14×1×5 ＝6.28×1×5 ＝6.28×5 ＝31.4（cm2） 125.6＋31.4＝157（cm2） 【变式12-3】一个零件的外形如下图，请计算出零件的表面积。（单位：cm） 【答案】168.84cm2 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出正方体的表面积；圆柱的侧面积＝底面周长×高＝πdh，求出圆柱的侧面积；最后将两部分面积相加即可求出该零件的表面积。 【详解】5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2） 3.14×2×3 ＝6.28×3 ＝18.84（cm2） 150＋18.84＝168.84（cm2） 题型十三、组合体的体积（圆柱、圆锥） 知识积累 1.计算原则： (1)组合体的体积等于各部分简单几何体体积的 和 或 差。 (2)体积具有 可加性，无论怎么拼接或切割，总体积不变（忽略损耗）。 2.解题步骤： (1)第一步：分解图形，识别出包含哪些基本立体图形（圆柱、圆锥等）。 (2)第二步：分别计算每个基本图形的 体积。 (3)第三步：根据组合方式（叠加或挖去）进行加减运算。 例题讲解 【典例13】计算下面图形的体积。（单位：厘米） 【答案】75.36立方厘米 【分析】组合体的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3， 【详解】3.14×（4÷2）2×5＋3.14×（4÷2）2×3÷3 ＝3.14×22×5＋3.14×22×3÷3 ＝3.14×4×5＋3.14×4×3÷3 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（立方厘米） 举一反三 【变式13-1】求下图的体积。（单位：cm） 【答案】3532.5立方厘米 【分析】用直径除以2，算出半径。圆柱的体积V＝πr2h，据此算出大圆柱的体积和里面小圆柱的体积。用大圆柱的体积减去小圆柱的体积，就是这个物体的体积。 【详解】20÷2＝10（cm） 10÷2＝5（cm） 3.14×102×15－3.14×52×15 ＝3.14×100×15－3.14×25×15 ＝3.14×（100－25）×15 ＝3.14×75×15 ＝235.5×15 ＝3532.5（立方厘米） 【变式13-2】计算下图的体积。（单位：厘米） 【答案】43.96立方厘米 【分析】这个组合图形是由1个圆柱＋2个等底圆锥组成，先算底面半径，再算中间圆柱的高：总长度18，减去两个圆锥的高，之后分别计算体积再求和：圆柱体积：，两个圆锥体积和：，最后求总体积即可。 【详解】底面半径：2÷2＝1（厘米） 中间圆柱的高：18－3－3＝12（厘米） 圆柱体积： ＝3.14×1×12 ＝37.68（立方厘米） 圆锥体积： （立方厘米） 总体积：37.68＋6.28＝43.96（立方厘米） 这个图形的体积是43.96立方厘米。 【变式13-3】从下面的圆柱上挖去一个底面直径是4dm、高是3dm的圆锥，求剩下部分的体积。 【答案】772.44dm3 【分析】剩下部分的体积＝原圆柱的体积－挖去的圆锥的体积，代入圆柱体积公式：，圆锥的体积公式：，计算即可。 【详解】10÷2＝5（dm） 3.14×52×10＝3.14×25×10＝785（dm3） 4÷2＝2（dm） （dm3） 785－12.56＝772.44（dm3） 题型十四、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 知识积累 1.核心概念： (1)形状改变，但 体积 保持不变。 (2)常见情境：橡皮泥捏制、熔铸金属、排水法测体积。 2.典型题型： (1)熔铸问题：将一个圆柱熔铸成圆锥，若底面积不变，圆锥的高是圆柱高的 3 倍；若高不变，圆锥的底面积是圆柱底面积的 3 倍。 (2)排水法：物体浸没在水中，水面上升部分的体积 = 物体 的体积。 (3)。 例题讲解 【典例14】把一块长为12厘米，宽为3.14厘米，高为2厘米的长方体的方钢，熔铸成底面直径是6厘米的圆锥形钢坯，这个圆锥形的钢坯的高是多少厘米？ 【答案】 8厘米 【分析】将长方体熔铸成圆锥形钢坯，体积不变。长方体的体积＝长×宽×高，算出长方体方钢的体积，即为圆锥的体积。 用底面直径除以2求出底面半径，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积；圆锥的体积＝×底面积×高，用圆锥的体积乘3除以底面积即可求出圆锥的高。 【详解】12×3.14×2 ＝37.68×2 ＝75.36（立方厘米） 6÷2＝3（厘米） 3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米） 75.36×3÷28.26 ＝226.08÷28.26 ＝8（厘米） 答：这个圆锥形的钢坯的高是8厘米。 举一反三 【变式14-1】一辆货车的车厢是一个长方体，它的长是3.14米，宽是1.5米，高是8分米，装满一车沙（近似看成长方体），卸在地上堆成一个底面周长是12.56米的圆锥形沙堆，沙堆的高是多少米？ 【答案】0.9米 【分析】先统一单位，接着根据长方体体积＝长×宽×高，求出货车车厢里沙子的体积，再根据圆锥底面周长公式C＝2πr（π取3.14），求出底面半径，根据圆的面积公式S＝πr2求出底面积，最后根据圆锥体积公式V＝Sh，反推出沙堆的高。 【详解】8分米＝0.8米 沙子的体积：3.14×1.5×0.8 ＝4.71×0.8 ＝3.768（立方米） 半径：12.56÷（2×3.14） ＝12.56÷6.28 ＝2（米） 底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 3.768×3÷12.56 ＝11.304÷12.56 ＝0.9（米） 答：沙堆的高是0.9米。 【变式14-2】在校园手工陶泥课上，乐乐用陶泥先制作了一个高为0.6分米的圆锥，后来又把它重新捏成高为1.5分米、底面直径为2厘米的圆柱形装饰柱。最开始做的圆锥的底面积是多少平方厘米？ 【答案】23.55平方厘米 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，据此求出圆柱形装饰柱的体积；圆柱的体积等于圆锥的体积；圆锥的体积＝底面积×高×，底面积＝体积÷高÷，据此解答，注意单位统一。 【详解】0.6分米＝6厘米；1.5分米＝15厘米 3.14×（2÷2）2×15 ＝3.14×12×15 ＝3.14×1×15 ＝3.14×15 ＝47.1（立方厘米） 47.1÷6÷ ＝7.85÷ ＝7.85×3 ＝23.55（平方厘米） 答：最开始做的圆锥的底面积是23.55平方厘米。 【变式14-3】蛋糕店用圆锥形模具制作了一款巧克力装饰件，其底面周长为12.56厘米，高为1.5厘米。现需将其融化后均匀注入到一个底面半径为2厘米的圆柱形蛋糕坯中。蛋糕坯中巧克力的平均厚度是多少厘米？（π取3.14） 【答案】0.5厘米 【分析】本题考查圆锥与圆柱体积的实际应用。解题关键在于理解巧克力融化前后体积不变，即圆锥形装饰件的体积等于注入圆柱形蛋糕坯后巧克力的体积。经审核，题干中圆锥底面周长“1256 厘米”不符合实际情境（约为 12.56 米，远超蛋糕尺寸），结合圆柱半径 2 厘米及常见试题数据规律，推测应为“12.56 厘米”的笔误。本解析按修正后的数据 12.56 厘米进行计算，以确保结论符合实际逻辑。解题思路：1. 根据圆锥底面周长求出圆锥底面半径。2. 利用圆锥体积公式求出巧克力的总体积。3. 根据圆柱底面半径求出圆柱底面积。4. 利用体积除以底面积求出巧克力在圆柱中的高度（厚度）。 【详解】1. 求圆锥形装饰件的底面半径：（厘米） 2. 求圆锥形装饰件的体积（即巧克力的总体积）：（立方厘米） 3. 求圆柱形蛋糕坯的底面积：（平方厘米） 4. 求蛋糕坯中巧克力的平均厚度：（厘米） 答：蛋糕坯中巧克力的平均厚度是 0.5 厘米。 题型十五、立体图形的切拼 知识积累 1.沿高纵切（过直径）： (1)将圆柱沿底面直径垂直切开，截面是两个完全相同的 长方形。 (2)长方形的长等于圆柱的 高，宽等于圆柱的 底面直径。 (3)表面积增加： 。 2.横切（平行于底面）： (1)将圆柱平行于底面切开，截面是 圆。 (2)切一刀，增加 2 个底面积。 (3)切成 段，需要切 刀，增加 个底面积。 3.圆锥的切拼： (1)沿高纵切圆锥，截面是两个完全相同的 等腰三角形。 (2)三角形的底等于圆锥的 底面直径，高等于圆锥的 高。 例题讲解 【典例15】把一根长5米的圆柱形木料截成相等的三段，表面积增加了10平方分米，这根木料原来的体积是( )立方分米。 【答案】125 【分析】将圆柱形木料截成相等的三段，增加了（2×2）个切面，计算出每个切面的面积，将这个圆柱木料横着放，这个木料的体积＝底面积×长，代入数据计算，注意单位换算即可。 【详解】10÷（2×2） ＝10÷4 ＝2.5（平方分米） 5米＝50分米 2.5×50＝125（立方分米） 所以这根木料原来的体积是125立方分米。 举一反三 【变式15-1】如图，把一个圆柱切成若干等份拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是12.56cm，表面积比原来增加了40cm2，原来这个圆柱的体积是( )cm3。 【答案】251.2 【分析】把圆柱切拼成近似长方体后，长方体的长是圆柱底面周长的一半， 已知长方体的长是12.56cm，根据长＝πr，可求出r＝长÷π，可以求出半径；切拼后，长方体的表面积比圆柱多了两个长方形的面积（这两个长方形的长是圆柱的高h，宽是圆柱的底面半径r）， 已知表面积增加了40，用40除以2再除以底面半径就可以得出高，再根据圆柱的体积＝π，代入数据即可求出体积。 【详解】半径：12.56÷3.14＝4（cm） 高：40÷2÷4＝20÷4＝5（cm） 体积：3.14××5＝3.14×16×5＝50.24×5＝251.2（） 即原来这个圆柱的体积是251.2。 【变式15-2】把一个底面周长是12.56厘米、高是8厘米的圆锥，从顶点沿高把它切成相等的两部分，表面积增加了( )平方厘米。 【答案】32 【分析】把圆锥从顶点沿高把它切成相等的两部分，表面积增加了2个等腰三角形，三角形的底＝底面直径，三角形的高＝圆锥的高，底面直径＝底面周长÷圆周率，三角形面积＝底×高÷2，计算出1个三角形的面积，乘2即可。 【详解】12.56÷3.14×8÷2×2 ＝4×8÷2×2 ＝32（平方厘米） 【变式15-3】在研究圆柱的切面图时，乐乐和奇奇分别用下图两种方法将圆柱切成两份。如果按乐乐的切法，切开后表面积比原来增加了( )dm2；如果按奇奇的切法，切开后表面积比原来增加了( )dm2。 【答案】 56.52 96 【分析】乐乐将圆柱平行于底面切开，切开后，圆柱被分成了上下两部分。此时，表面积增加的部分是2个圆柱的底面积，根据圆的面积公式S＝πr2，计算2个底面的面积即可； 奇奇将圆柱沿底面直径纵向切开，切开后，圆柱被分成了左右两部分。此时，表面积增加的部分是2个长方形，这两个长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱底面的直径。根据长方形的面积＝长×宽，计算2个切面的面积即可。 【详解】乐乐的切法： 3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（dm2） 奇奇的切法： 8×（3×2）×2 ＝8×6×2 ＝48×2 ＝96（dm2） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆柱和圆锥 目录概览 题型一、点、线、面、体之间的联系 1 题型二、圆柱的认识及特征 2 题型三、圆柱的展开图 3 题型四、圆柱的侧面积 4 题型五、圆柱的表面积 6 题型六、圆柱的体积 7 题型七、圆柱的容积 8 题型八、圆锥的认识及特征 10 题型九、圆柱与圆锥体积的关系 11 题型十、圆锥的体积 12 题型十一、圆锥的容积 12 题型十二、组合体的表面积（圆柱） 14 题型十三、组合体的体积（圆柱、圆锥） 15 题型十四、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 17 题型十五、立体图形的切拼 18 题型演练 题型一、点、线、面、体之间的联系 知识积累 1.基本关系：点动成 ，线动成 ，面动成 。 2.实例理解： (1)流星划过天空留下一道痕迹，体现了 。 (2)汽车雨刷器摆动扫过一片区域，体现了 。 (3)长方形绕着它的一条边旋转一周，形成一个 ；直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周，形成一个 。这体现了 。 例题讲解 【典例1】下图中，以直线a为轴旋转一周，形成的图形是圆锥的是（    ）。 A． B． C． D． 举一反三 【变式1-1】把一个长方形沿一条边快速旋转会得到一个( )；把一个直角三角形沿一条直角边快速旋转会得到一个( )。 【变式1-2】以下面第一行的图形的一条边为轴旋转一周，可以得到第二行的哪个立体图形，连一连。 【变式1-3】考考你的想象力，如下三个图形，若沿着虚线旋转一周，则分别形成了什么物体？ 题型二、圆柱的认识及特征 知识积累 1.圆柱的定义：圆柱是由两个底面和一个侧面围成的立体图形。 2.面的特征： (1)底面：圆柱有两个完全相同的 形底面。 (2)侧面：圆柱有一个 面，叫做侧面。 3.高的特征： (1)圆柱两个底面之间的距离叫做 。 (2)圆柱有 条高，且所有高的长度都 。 4.侧面展开：沿高剪开圆柱侧面，通常得到一个 （或正方形）。 例题讲解 【典例2】奇奇发现家里面有一个圆柱形薯片盒，经测量发现这个圆柱形的薯片盒的高约是底面直径的3.14倍。将圆柱形薯片盒侧面沿高剪开后，侧面展开图是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形 举一反三 【变式2-1】用一张长12.56厘米，宽9.42厘米的长方形纸卷成一个圆柱（接头处不计），这个圆柱的底面半径可能是（    ）厘米。 A．4 B．3 C．2或1.5 D．6 【变式2-2】圆柱有( )个底面和( )个侧面，底面是两个大小相等的圆。 【变式2-3】一张长方形的纸，长是10cm，宽是6cm，如果以长为轴旋转一周形成一个圆柱体，这个圆柱体的高是( )cm，半径是( )cm。 题型三、圆柱的展开图 知识积累 1.展开图的组成：圆柱的侧面展开图是一个长方形，两个底面是两个 。 2.长方形的长与宽： (1)长方形的 等于圆柱底面的 ( 或 )。 (2)长方形的 等于圆柱的 ( )。 3.特殊情况： (1)当圆柱的底面周长和高 时，侧面展开图是一个 。 (2)若斜着剪开，侧面展开图可能是一个 。 例题讲解 【典例3】下图中能围成一个圆柱的是（    ）。 A． B． C． D． 举一反三 【变式3-1】下面各展开图，能围成圆柱体且不浪费材料的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式3-2】一个圆柱侧面展开图是一个正方形，这个圆柱高与底面半径的比是（    ）。 A． B． C． D． 【变式3-3】张师傅要做一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供选择，他应选（    ）。 A．①和④ B．①和③ C．②和④ D．②和③ 题型四、圆柱的侧面积 知识积累 1.计算公式： (1)圆柱的侧面积 = 底面周长 。 (2)用字母表示： 。 2.注意事项： (1)计算侧面积时，不需要考虑 。 (2)单位通常是平方单位（如 ）。 例题讲解 【典例4】一根圆柱形通风管的长为8dm，底面直径为6dm。做这根通风管至少需要( )的铁皮。 举一反三 【变式4-1】压路机的滚筒是个圆柱，它的宽是2米，滚筒横截面半径是0.6米，如果滚筒每分钟滚动5周，那么1小时可压路( )平方米。 【变式4-2】小玲在观看民俗表演时，看见一个叔叔用力地敲击一面圆柱形的鼓，声音低沉却异常雄浑。这面圆柱形鼓的侧面是由铝皮制成的，已知它的底面半径是4分米，高是3分米，做一面这样的鼓至少需要多少平方分米的铝皮？ 【变式4-3】学校门口有4根直立圆柱，每根圆柱的底面半径是0.3米，高4米。现要给这些柱子侧面贴上墙砖，如果每平方米墙砖45元，共需多少钱？ 题型五、圆柱的表面积 知识积累 1.定义：圆柱的表面积是指圆柱所有面的面积之和，即 加上 。 2.计算公式： (1) (2) 3.实际应用中的变式： (1)无盖水桶/鱼缸：表面积 = 侧面积 + 个底面积。 (2)通风管/烟囱：表面积 = （没有底面）。 (3)油漆柱子：通常只计算 。 例题讲解 【典例5】计算下图的表面积。（单位：厘米）         举一反三 【变式5-1】求下面图形的表面积。（单位：厘米） 【变式5-2】有一种底面内直径是4分米，高5分米的圆柱形无盖铁桶，做5个这样的铁桶需用铁皮多少平方分米？ 【变式5-3】南山湖公园准备挖一个圆柱形的观光鱼池，鱼池底面半径为10米，深2米。 (1)建这个鱼池需要挖出多少立方米的土？ (2)在鱼池的周围和底面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？ 题型六、圆柱的体积 知识积累 1.公式推导： (1)把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的 。 (2)这个长方体的底面积等于圆柱的 ，高等于圆柱的 。 (3)因为长方体体积 = 底面积 高，所以圆柱体积 = 。 2.计算公式：。 3.已知不同条件求体积： (1)已知底面半径 和高 ： 。 (2)已知底面直径 和高 ： 。 (3)已知底面周长 和高 ：先求 ，再求 。 例题讲解 【典例6】计算体积。 举一反三 【变式6-1】计算下面图形的体积。（单位：cm） 【变式6-2】王阿姨绣了一幅汴绣牡丹图准备送给朋友，她定制了一个圆柱形包装盒。这个圆柱形包装盒的底面直径为10厘米，高为45厘米。这个圆柱形包装盒的体积是多少立方厘米？ 【变式6-3】一个圆柱形水池，底直径6米，深2米。 (1)在池底和四周抹水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ (2)这个水池最多可存水多少吨？（1立方米水重1吨） 题型七、圆柱的容积 知识积累 1.概念区别： (1)体积：物体所占 的大小。 (2)容积：容器所能容纳物体的 。 2.计算方法： (1)计算容积的方法与计算体积的方法 。 (2)注意：计算容积时，数据要从容器 测量（内径、内高）。 3.单位换算： (1) (2) (3) 例题讲解 【典例7】一个圆柱形牛奶桶，它的底面直径是30厘米，深40厘米。这个牛奶桶的容积是多少升？（桶的壁厚忽略不计） 举一反三 【变式7-1】如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有600mL的水，分别将瓶底朝下和朝上放置，瓶子的容积为( )毫升。 【变式7-2】小欣发现平时常喝的一种饮料，它的外包装是用铁皮做成的圆柱形罐子（如下图）。商标纸上印着“净含量600毫升”。请问厂家有没有欺骗消费者？用你喜欢的方式说明理由。 【变式7-3】一个圆柱形粮囤，底面周长18.84米，高2米，如果每立方米小麦重750千克，这个粮囤能装多少吨小麦？（结果保留两位小数） 题型八、圆锥的认识及特征 知识积累 1.圆锥的定义：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的立体图形。 2.面的特征： (1)底面：圆锥的底面是一个 。 (2)侧面：圆锥的侧面是一个 面。 3.顶点与高： (1)圆锥只有 个顶点。 (2)从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的 。 (3)圆锥只有 条高。 4.侧面展开：圆锥的侧面展开图是一个 。 例题讲解 【典例8】如下图所示的是一个圆锥，这个圆锥的高是( )cm，底面半径是( )cm，底面周长是( )cm，底面积是( )。 举一反三 【变式8-1】以下面各图形的一条边为轴，旋转一周，能形成圆锥的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【变式8-2】乐乐想测量下面圆锥的高，下面四种测量方法中，方法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式8-3】如图，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周得到一个( )，得到的这个图形的高是( )cm，底面积是( )cm2。 题型九、圆柱与圆锥体积的关系 知识积累 1.等底等高关系： (1)如果圆柱和圆锥 ，那么圆柱的体积是圆锥体积的 倍，圆锥的体积是圆柱体积的 。 (2)即： ， 。 2.其他情况： (1)若体积相等、底面积相等，则圆锥的高是圆柱高的 倍。 (2)若体积相等、高相等，则圆锥的底面积是圆柱底面积的 倍。 例题讲解 【典例9】等底等高的圆柱与圆锥体积之和是60cm³，圆柱体积是( )cm³，圆锥是( )cm³。 举一反三 【变式9-1】一个圆锥和一个圆柱等底等高，它们的体积相差36立方分米，则圆柱的体积是( )立方分米，圆锥的体积是( )立方分米。 【变式9-2】如图中，葡萄酒瓶内装酒的高度是27cm，已知酒瓶底面内直径是8cm，高脚酒杯上口内直径也是8cm，如果把酒瓶中的葡萄酒全部倒入这样的高脚酒杯中，可以倒满( )杯。 【变式9-3】把一个圆柱削成与它等底等高的圆锥，削去部分的体积是4，则圆锥的体积是( )，圆柱的体积是( )。 题型十、圆锥的体积 知识积累 1.实验推导：通过实验发现，用等底等高的圆锥装满水倒入圆柱中，需要倒 次才能倒满。 2.计算公式： (1)圆锥的体积 = 。 (2)用字母表示： 。 3.易错点提醒： (1)计算圆锥体积时，千万不要忘记乘 。 (2)如果是已知直径或周长，需先求出半径 ，再代入公式。 例题讲解 【典例10】计算下面圆锥的体积。 举一反三 【变式10-1】求圆锥的体积。（单位：dm） 【变式10-2】一个圆锥的体积是12立方分米，底面积是4平方分米，它的高是( )分米。 【变式10-3】一个圆锥形沙堆，底面半径是6分米，高是2.4分米，则它的底面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 题型十一、圆锥的容积 知识积累 1.计算原则： (1)圆锥形容器的容积计算方法与体积计算 。 (2)测量数据时需测量 的底面半径和高。 2.应用实例：麦堆、沙堆通常近似看作圆锥体。计算其重量时，先求 ，再乘以每立方米物质的 。 例题讲解 【典例11】一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是2.5米，每立方米沙重1.7吨，这堆沙重多少吨？ 举一反三 【变式11-1】有一顶圆锥帐篷，底面直径约6米，高约4米。（π取3.14） (1)它的占地面积约是多少平方米？ (2)它内部的空间约是多少立方米？ 【变式11-2】如图，一个立体图形从前面看到的是图形A，从上面看到的是图形B，这个图形的体积是多少？如果用一个长方体（或正方体）盒子包装它，这个盒子的容积至少是多少？ 【变式11-3】下图是一个圆锥形酒杯，杯口半径是3厘米，深是4厘米。如果把200毫升饮料倒入这样的杯子中，能倒满几杯？（得数保留整数） 题型十二、组合体的表面积（圆柱） 知识积累 1.常见组合：一个圆柱上面叠放一个小圆柱，或者圆柱中间挖去一个小圆柱。 2.计算策略： (1)拼接问题：两个物体拼接，表面积会 ，减少的部分是 个接触面的面积。 (2)切割/挖洞问题： (3)若在圆柱侧面挖孔，表面积通常会 孔的内侧面积。 (4)若将圆柱切成两段，表面积增加 个底面积。 例题讲解 【典例12】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 举一反三 【变式12-1】求下面立体图形的表面积。（单位：cm） 【变式12-2】计算下面图形的表面积。 【变式12-3】一个零件的外形如下图，请计算出零件的表面积。（单位：cm） 题型十三、组合体的体积（圆柱、圆锥） 知识积累 1.计算原则： (1)组合体的体积等于各部分简单几何体体积的 或 。 (2)体积具有 ，无论怎么拼接或切割，总体积不变（忽略损耗）。 2.解题步骤： (1)第一步：分解图形，识别出包含哪些基本立体图形（圆柱、圆锥等）。 (2)第二步：分别计算每个基本图形的 。 (3)第三步：根据组合方式（叠加或挖去）进行加减运算。 例题讲解 【典例13】计算下面图形的体积。（单位：厘米） 举一反三 【变式13-1】求下图的体积。（单位：cm） 【变式13-2】计算下图的体积。（单位：厘米） 【变式13-3】从下面的圆柱上挖去一个底面直径是4dm、高是3dm的圆锥，求剩下部分的体积。 题型十四、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 知识积累 1.核心概念： (1)形状改变，但 保持不变。 (2)常见情境：橡皮泥捏制、熔铸金属、排水法测体积。 2.典型题型： (1)熔铸问题：将一个圆柱熔铸成圆锥，若底面积不变，圆锥的高是圆柱高的 倍；若高不变，圆锥的底面积是圆柱底面积的 倍。 (2)排水法：物体浸没在水中，水面上升部分的体积 = 的体积。 (3)。 例题讲解 【典例14】把一块长为12厘米，宽为3.14厘米，高为2厘米的长方体的方钢，熔铸成底面直径是6厘米的圆锥形钢坯，这个圆锥形的钢坯的高是多少厘米？ 举一反三 【变式14-1】一辆货车的车厢是一个长方体，它的长是3.14米，宽是1.5米，高是8分米，装满一车沙（近似看成长方体），卸在地上堆成一个底面周长是12.56米的圆锥形沙堆，沙堆的高是多少米？ 【变式14-2】在校园手工陶泥课上，乐乐用陶泥先制作了一个高为0.6分米的圆锥，后来又把它重新捏成高为1.5分米、底面直径为2厘米的圆柱形装饰柱。最开始做的圆锥的底面积是多少平方厘米？ 【变式14-3】蛋糕店用圆锥形模具制作了一款巧克力装饰件，其底面周长为12.56厘米，高为1.5厘米。现需将其融化后均匀注入到一个底面半径为2厘米的圆柱形蛋糕坯中。蛋糕坯中巧克力的平均厚度是多少厘米？（π取3.14） 题型十五、立体图形的切拼 知识积累 1.沿高纵切（过直径）： (1)将圆柱沿底面直径垂直切开，截面是两个完全相同的 。 (2)长方形的长等于圆柱的 ，宽等于圆柱的 。 (3)表面积增加： 。 2.横切（平行于底面）： (1)将圆柱平行于底面切开，截面是 。 (2)切一刀，增加 个底面积。 (3)切成 段，需要切 刀，增加 个底面积。 3.圆锥的切拼： (1)沿高纵切圆锥，截面是两个完全相同的 。 (2)三角形的底等于圆锥的 ，高等于圆锥的 。 例题讲解 【典例15】把一根长5米的圆柱形木料截成相等的三段，表面积增加了10平方分米，这根木料原来的体积是( )立方分米。 举一反三 【变式15-1】如图，把一个圆柱切成若干等份拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是12.56cm，表面积比原来增加了40cm2，原来这个圆柱的体积是( )cm3。 【变式15-2】把一个底面周长是12.56厘米、高是8厘米的圆锥，从顶点沿高把它切成相等的两部分，表面积增加了( )平方厘米。 【变式15-3】在研究圆柱的切面图时，乐乐和奇奇分别用下图两种方法将圆柱切成两份。如果按乐乐的切法，切开后表面积比原来增加了( )dm2；如果按奇奇的切法，切开后表面积比原来增加了( )dm2。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $