专题05 导数的单调性、极值与最值（11题型专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦导数应用核心，以11类基础题型递进训练构建知识逻辑，结合综合题提升解决复杂问题能力，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础题型专项突破|11题型（含选择、填空、解答题）|覆盖单调区间、极值最值、含参问题等核心题型，分类明确|从概念应用到含参讨论，形成“基础-变式-综合”递进链条| |综合能力提升|11道综合题|多知识点综合，涉及零点、不等式恒成立等复杂问题|整合导数几何意义、函数性质，考查知识迁移与综合应用能力|

专题05 导数的单调性、极值与最值（11题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求单调区间 1 题型二、求函数的极值（点）、最值 3 题型三、函数与导函数图象间的关系 6 题型四、已知含参函数的单调情况求参数范围 9 题型五、根据极值（点）求参数 12 题型六、根据最值求参数 15 题型七、利用函数单调性解不等式 18 题型八、利用导数解决实际问题 20 题型九、不等式恒成立与存在性问题 24 题型十、含参函数的单调性讨论 29 题型十一、求含参函数的最值 34 B 综合攻坚·能力跃升 1 题型一、求单调区间 1．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， 令，即，且， ，故的单调递增区间为． 2．已知函数，其中，则的单调增区间为________． 【答案】 【详解】由，即，可得函数定义域为. 易知， 即在定义域内恒成立， 综上，的单调增区间为. 3．已知函数，则函数的单调增区间为_____；单调减区间为_____； 【答案】 ， 【详解】易得，，， 由得；得且， 故函数的单调增区间为，单调减区间为， 4．已知函数，且直线是曲线的切线． (1)求的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间，单调递减区间． 【详解】（1），设直线与曲线相切于点，， 所以，解得． 将代入切线方程，可得，所以切点坐标为， 因为切点在曲线上，所以，解得． （2）的定义域为，， 令，解得；令，解得， 所以单调递增区间为，单调递减区间为． 5．已知函数，且． (1)求a的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为 【分析】 【详解】（1）由，可得， 因为，所以，解得； （2）由（1）得，函数的定义域为. ， 令，得，所以， 又，解得，所以函数在上单调递增. 令，得，所以， 又，解得，所以函数在上单调递减. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 题型二、求函数的极值（点）、最值 6．函数的极小值是______． 【答案】 【详解】， ， 令，则， 解得：， 随着的变化，和变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 由表可知，函数的极小值是． 7．已知函数. (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数的极值. 【答案】(1) (2)极小值，无极大值. 【分析】 【详解】（1） （2）定义域：，令，则， 的变化表格如下： 0 所以当时，函数有极小值，无极大值. 8．已知函数. (1)求的导数与极值； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1)，极大值，极小值 (2)最小值0，最大值4 【分析】 【详解】（1）由得. 由解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极大值，极大值为， 在处取得极小值，极小值为. （2）由（1）函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以最小值0，最大值4. 9．已知函数，且在处的瞬时变化率为0． (1)求的值； (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得． 因为在处的瞬时变化率为0，所以， 解得． （2）由（1）得． 当时，，则在上单调递增， 所以当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， 所以在上的值域为． 10．已知函数，曲线在点处切线方程为. (1)求实数，的值； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 【分析】 【详解】（1）由切点既在曲线上，又在切线上，得，即， ，，即， 综上：，. （2）由（1）得， ， 令，得，（舍）， 极大值 ， ，，， ，即， 故在上的最大值为，最小值为. 题型三、函数与导函数图象间的关系 11．设函数在上可导，其导函数为，且函数图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（   ） A．为的极小值 B．为函数的极大值 C．有一个极大值 D．为的极小值 【答案】C 【详解】，并结合其图象，可得到如下情况， 当时，，故，故在单调递减； 当时，，故，故在单调递增； 当时，，故，故在单调递增； 当时，，故，故在单调递减； ∴在取得极小值，在处取得极大值，只有两个极值点， 故函数的极小值为，极大值为， 故A、B、D错，C正确. 12．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．时，取得最大值 B．时，取得极大值 C． D． 【答案】BC 【详解】由导函数图象可知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 选项A：因为 在上单调递增，且，因此在 处取不到最大值，A错误， 选项B：左侧 ， 单调递增；右侧 ， 单调递减， 且，因此 时 取得极大值，B正确， 选项C：由 ，且 在 单调递增，可得 ，C正确， 选项D：在单调递增，因此 ，故不成立，D错误. 13．（多选）已知函数的图象如图所示，，则（） A．当时， B． C． D． 【答案】ABD 【详解】观察图象可知：当时，函数单调递增，则，A正确； 由图象知方程的根为且三次项系数为1. 所以可得， 因为，对照各项系数，可得，故C错误； 此时，所以，故B正确； 因为的两根为，所以，故D正确. 14．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示， ①； ②函数在处取得极小值，在处取得极大值； ③函数在处取得极大值，在处取得极小值； ④函数的最小值为. 以上正确的序号是__________. 【答案】③ 【详解】当时，，是单调递增函数； 当时，，是单调递减函数； 当时，，是单调递增函数； ，，故①错误； 因为当时，，是单调递增函数； 当时，，是单调递减函数； 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值； 故②错误，③正确； 当时，，是单调递减函数，且，， 所以，函数的最小值不是. 故④错误. 15．已知函数与的图像如下图所示，设函数.给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有两个零点. 其中，所有正确结论的序号是________.    【答案】②③ 【详解】由图像可知实线图像在区间函数值分别为正、负、正，而 虚线图像在区间分别单调递增、单调递减、单调递增，由导数与函数单调性的关系易知实线的是的图像，虚线是的图像.所以①错误，②正确； 因为，即，由图可知恰有三个零点，故④错误; 又因为， 由图像可知时，，即， 又在区间上，的图像在的图像的上方，即 在区间上，的图像在的图像的下方，即 在区间(0,3)上，的图像在的图像的上方，即 在区间上，的图像在的图像的下方，即 所以、0、3分别为极大值点、极小值点、极大值点，即函数有三个极值点 所以③正确 题型四、已知含参函数的单调情况求参数范围 16．函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 所以，在上恒成立， 又因为在上单调递增， 所以， 所以的取值不大于函数在区间上的下确界，即， 所以实数的取值范围为. 17．“”是“函数存在单调递减区间”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意得， 由函数存在单调递减区间，得在上有解， 只需，即在上有解， 整理得在上有解， 令，则， 所以当时，y有最小值，则， 所以， 当时，， 则单调递增，无单调减区间，故， 所以函数存在单调递减区间时，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“函数存在单调递减区间”的必要不充分条件. 18．若函数 不单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为, , 令，解得：，且恒成立， 因为函数 不单调，则在上有变号零点， 则两个根和至少有一个在， 由于，则必在区间内，故，解得： 19．已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】由题意，函数在上单调递增，所以在上恒成立， 因为，要使对任意恒成立，则对任意恒成立， 记，易知在上为减函数，所以，因此， 综上，实数的取值范围是． 20．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，函数在上单调递增，需同时满足以下三个条件： ①在上单调递增； ②在上单调递增； ③当时，，因此. 对于①，要使在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，； 对于③，，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故D正确. 21．已知函数是单调递增函数，则的取值范围是_____________． 【答案】 【详解】函数 的定义域为， 因为是单调递增函数，故对任意恒成立， 即，分离参数得对任意恒成立， 由基本不等式，当时，，当且仅当即时等号成立， 因此，即的最大值为，故，即的取值范围是. 22．若函数在上不单调，求满足的条件为_____. 【答案】 【详解】已知函数在上不单调， 则  有两不等实根 ， 即. 题型五、根据极值（点）求参数 23．若函数在处取得极值，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知函数的定义域为， 由可得， 函数在处取得极值，， ，此时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 经检验时函数在处取得极值. 24．函数在处取得极小值，则（ ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】B 【详解】因为，所以. 由或. 当时，. 由或；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意； 当时，. 由或；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值， 故不满足题意. 综上，. 25．已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则（    ） A．-1013 B．1014 C．-1014 D．1013 【答案】B 【详解】，求导可得， 和是的两个极值点，即和是的两个根， 根据韦达定理可得，， 因为是等比数列，所以， 因此． 26．若函数的极大值为1，则函数的极小值为________， 【答案】 【详解】因为，由得， 且当时，，当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处取得极大值，且，即， 函数在处取得极小值，且. 27．设，函数. 的极小值为，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】因为的极小值为，令，则或， 故或为的极小值点. 若，即为的极小值点. 由题设， 令，，则， 当时，，当时，， 故在上递减，上递增， 而且，故时，时， 而时，，时， 故时，，时， 此时不是的极小值点，与题设矛盾； 若, 若为的极小值点，故， 由题设， 因，故必有，故即，与矛盾； 若为的极小值点， 因为，且时，，时， 故在的附近总有， 由局部保号性可得即. 综上，. 28．已知函数，当时，有极小值0. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】 【详解】（1），， 当时，有极小值0，， ，，，， 的解为或，在上是单调递增函数； 的解为，在上是单调递减函数， 在处取得极小值，满足题意，故. （2）由（1），，， 又，在上的解为，在上是单调递增函数； 在上的解为，在上是单调递减函数； 在上的最小值为， 又，， 在上的最大值为， 综上可知，在上的最小值为，最大值为. 题型六、根据最值求参数 29．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，又， 令，，则的零点与的零点相同， 因为函数图象开口向下且，要使在区间上有最大值， 所以和，解得. 30．已知函数在处取得最小值1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在处取得最小值1， 所以在处取得极值，故. 又，所以， 解得. 将代入导数得， 令，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此是的最小值点，也是极小值点，符合题意，所以. 31．已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________ 【答案】 【详解】求导得， 当时，，，则在上单调递减， 则函数的最小值为与矛盾，舍去； 当时，令，得（负根舍去）. ①若，即时，在单调递减，则函数的最小值为，矛盾，舍去； ②若，即时，在单调递减，在单调递增， 函数的最小值在处取得，即， 解得，满足. 综上，可得实数的值为. 32．已知函数（其中）在处取得极小值. (1)求，的值； (2)若函数在区间上的最大值为，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对求导得，依题意有且， 即有，得. （2）由（1）有，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 在处取得极大值，在处取得极小值， 当时，在上的最大值为， 当时，在上的最大值为， 当时，在上的最大值为或， 令即，因式分解得 ， 即，由图像可知，当时，在上的最大值为， 当时，在上的最大值为， 综上所述，，所以的最大值为. 33．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，函数的定义域为， 所以， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，则在上单调递减， 所以，解得，不合题意，故舍去； 当时，若即，则在上单调递增， 所以，解得，符合题意； 若即，则在上单调递减， 所以，解得，不符合题意； 若即，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1时，. 题型七、利用函数单调性解不等式 34．定义在R上的函数满足，且对任意，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对任意，， 设，求导得：，即为增函数， ，故， 可化为，即， 因为增函数，所以，解得， 则不等式的解集为. 35．已知，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且等号仅在 时成立， 所以在上严格单调递增， 由可得，解得或， 所以不等式的解集为. 36．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数， 可得， 即，所以函数的图象关于直线对称， 又由， 令， 则，所以单调递增， 因为，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 由，可得，所以， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A． 37．已知函数，则不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】由，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以是定义在上的单调递增的奇函数， 因为，可得，则，解得， 所以不等式的解集为． 38．已知，，则的解集为________. 【答案】 【详解】由题意知，， 当时，，则，即为， 即， 令，设，则， 当且仅当时等号成立， 故在上单调递减，且， 故的解集为， 由，可得， 即此时的解集为； 当时，，则，即为， 而，则，， 故此时恒成立，此时解集为， 综合以上可知的解集为， 故答案为： 题型八、利用导数解决实际问题 39．圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（   ） A．64 B．128 C．144 D．256 【答案】D 【详解】如图，依题意，，，设此时的圆柱的半径为， 则，，所以， 所以该圆柱体积为，， ，令，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以，当，取得最大值，此时.    40．图1是一个边长为2的正三角形纸片，沿虚线剪掉三个角处的四边形，剩余部分沿的三条边折叠成一个正三棱柱（无盖），如图2，当正三棱柱的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为， 则，所以，其中，解得， 所以正三棱柱的体积为： ， 可得 令，即，解得或， 因为，所以， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，此时， 在直角中，可得， 连接，可得， 在正三棱柱中，可得， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成的角， 在中，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 41．社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：，其中p为每盒售价，为每日销量.若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（    ） A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元 【答案】B 【详解】由题意，每盒进货成本为10元，每盒售价为元，所以每盒利润为 元． 每日销量为，且 ． 因此每日销售利润为． 因为 ，所以 ． 令，则 ． 求导得．令 ，得 ． 两边同乘，得 ． 整理得 ，解得或． 因为 ，所以只取 ． 当时， ，利润函数递增；当 时， ，利润函数递减． 所以利润函数在 时取得最大值． 在选项中，17.9元和18.9元都小于19.18元，且利润函数在此区间递增， 所以18.9元优于17.9元；19.9元和20.9元都大于19.18元，且利润函数在此区间递减， 所以19.9元优于20.9元．再比较18.9元和19.9元，代入利润函数可得18.9元对应的利润更大，故每盒礼盒应定价为18.9元． 42．某乡村振兴项目计划建造一个圆柱形粮食储存仓的钢筋骨架，用于存储当地特色农产品.现有总长度为240米的钢筋，需截成10段制作骨架.其中两段分别围成圆形作为上下底面的钢筋圈，剩余8段作为粮食储存仓的竖向支撑筋.此粮食储存仓体积最大时，底面半径的值为（   ）（单位：米） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱的底面半径为米， 则底面周长，两个底面的总周长为. 钢筋总长为，所以用于做母线的钢筋总长度为：, 母线共有段，所以圆柱的高为:, 圆柱的体积, 对进行求导：,令 得(舍),, 当时，此时，圆柱体积最大. 43．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克. (1)求函数的解析式； (2)若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1)； (2)当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元. 【分析】 【详解】（1）由题意可知，当时，，即， 解得，所以. （2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则 ， ， 令，得（舍去）或， 所以当时，在为增函数； 当时，在为减函数， 故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点， 此时元. 所以当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元. 题型九、不等式恒成立与存在性问题 44．设；不等式对任意的恒成立，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，变形得：， 因为是增函数，可得：，即， 不等式对任意恒成立，整理得：， 因为，，两边除以得：对任意恒成立， 令，导数，在上是增函数， 因此的最小值为， 要使恒成立，只需，即，得， 因为，故是的充分不必要条件. 45．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）函数的导函数， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）． 由，得， 设，，则． ． 令，得，则在上单调递减； 令，得，则在上单调递增． 所以， 故的取值范围为． 46．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，其中， ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得，由可得， 由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 综上所述：当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为． （2）当时，恒成立，即恒成立， 令，则，其中，恒成立， 所以由可得，由可得， 故函数的减区间为，增区间为， 所以，即，故的取值范围是． 47．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若关于x的不等式在有解，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. (2) 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且， 当时，则，可知在单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 可知在单调递增，在单调递减； 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. （2）由（1）可知：当时，在单调递增，在单调递减， 则， 若关于x的不等式在有解，则0，解得， 所以实数a的取值范围为. 48．已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）函数，求导得：， 在上单调递增，等价于对任意恒成立， 即，. 由于在上单调递增，所以在上单调递减，所以， 最大值为，则，所以的取值范围为． （2）由有解，即， 化简可得有解． 令，则， 令，得，即； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值： ， 所以，故的取值范围为． 49．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 当时，曲线在点处的切线方程为， 即. （2）当时，由可得， 令，其中，则， 令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即， 故函数在上为增函数， 当时，， 故函数在上的值域为， 故实数的取值范围为. 题型十、含参函数的单调性讨论 50．已知函数． (1)若，证明：在上单调递增； (2)令，其中，若讨论函数的单调性； 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 【分析】 【详解】（1）当时，，则， 当时，，等号不能同时成立， 所以在上恒成立，则在上单调递增． （2）由题意得， 则， 记，则， 因为，所以 ， 则在上恒成立，所以在上递减， 又 当时， ， 所以在上恒成立，则在上单调递减； 当时， ，则存在唯一，使得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时， ， 所以在上恒成立，则在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 51．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）， 则． 因为， 所以，得． 又， 所以的方程为，即． （2）． 当时，，则在上单调递增． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 52．已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）已知 ，其定义域为 ， ，则， 因为函数 在点 处的切线斜率为 2 ，所以 ，   即 ，解得 . （2）由（1）可知 ， 令 ，其判别式 ， 当 ，即 时 在 上恒成立， 又因为 ，所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 ，即 或 时，由 ，即 ， 根据求根公式可得. 若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 若 ，则 ，且 ， 当 0 或 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 , 上单调递减. 53．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】 【详解】（1）当时，，所以，即切点坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为，即. （2）因为， 所以当时，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 54．已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)求的单调递增区间. 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间是和；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是和. 【分析】 【详解】（1）由 求导得， 依题意 ，解得. （2）定义域是， ①当时，令得且， 根据的情况列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间是和； ②当时，，则的单调递增区间是； ③当时，令得且， 根据的情况列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间是和. 55．已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若直线l是曲线的切线，且直线l与曲线仅有一个交点，求实数a的值. 【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减; (2)0 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为; 当时，，得； 令，得或，则： 0 1 0 0 当时，；当时，； 在和上单调递增，在上单调递减. （2），； 直线是曲线的切线，且直线与曲线仅有一个交点，直线与曲线的交点是切点，设切点的坐标为； ，； ，得； 令，， 在上单调递增，即在存在唯一的实数根，使得； 又，； ，解得； 实数a的值为0. 【点睛】要注意函数的定义域为，所有分析都要在该定义域内进行；处理切线问题时，要确保切点同时满足曲线方程和切线方程，以及导数与斜率的关系；分析函数零点个数时，要结合函数的单调性和极值情况，注意极值点处的函数值与0的关系. 题型十一、求含参函数的最值 56．已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】 【详解】（1）因为时，， 所以， 令，解得， 所以时，；时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2），令，解得， ①当，即时， 在上单调递增；所以； ②当，即时， 对于，，故在上单调递增， 所以； ③当，即时， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增， 若，即，则在上单调递减，所以； 若，即，则在上单调递减，上单调递增， 所以； 综上：当时，； 当时，； 当时，． 57．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 令，解得：；令，解得：； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）由得：， 令，解得对恒成立， 在递减，. 58．已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值； (2)若有最小值，且的最小值大于的最小值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），，， 由题可知：，所以 （2）函数的定义域均为， 由（1）可知：， 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有最值； 当时，令，则；令令，则， 所以函数在单调递减，在单调递增，有最小值. 因为有最小值，所以， 所以， ， 则 59．已知函数， (1)若是奇函数，求实数的值，并求在此条件下满足的实数的取值范围； (2)若的定义域是. （i）求的单调递增区间； （ii）记在定义域上的最小值是，求的解析式. 【答案】(1) (2)（i）和； （ii） 【分析】 【详解】（1）由题意得，定义域为，关于原点对称. 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以，解得， 所以， 由得，或，由得，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为. （2）（i）由题意得，， 由得或. 因为，所以由得，或，由得，， 所以的单调递增区间为和. （ii）由（i）得，在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的极小值为，且. 当，即时，，， 当，即时，，， 1．过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为，，切线斜率. 切线方程：，即. 切线过，代入得：， 整理得：. 由分离参数，得. 令，原题等价于与的图象有两个交点. 求导：，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故， 当时，，当时，， 作出的大致图象： 由此可知要使得与的图象有两个交点.，需满足 综上所述时，原方程有两个零点. 2．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数有两个不同的零点， 即有两个不同的实数根，即有两个不同的实数根， 即与的图象有两个不同的交点， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，取得最大值，最大值为， 又因为当时，；当时，， 作出函数的图象，如图所示， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 3．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．时，的最小值是0 D．在内有且只有4个极值点 【答案】ACD 【详解】A选项：定义域为， ，是奇函数，选项正确； B选项：，，， 故在上单调递增，选项错误； C选项：当，，， 故在单调递增，所以的最小值是，选项正确； D选项：，，解得：或， 当时，，当，， 当时，， 即在，单调递增，在单调递减， ∴在内有且只有2个极值点， 结合奇函数的对称性，在内有且只有4个极值点，选项正确. 4．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．时， B．是的最大值 C．是的最小值 D．时，有三个零点 【答案】AC 【详解】由题设， 当或，则，当，则， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 当时，时，，， 所以，在区间上值域为，在区间上值域为，在区间上值域为， 所以有最小值，无最大值，B错，C对， 当，则，则，A对， 当时，区间上，即该区间上无零点， 且，则在、各有一个零点， 所以此时共有2个零点，D错. 故选：AC 5．（多选）已知三次函数，则（   ） A． B．若有三个不同的实数根，则 C．若，则 D．若有三个不同的正实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A中，由函数 可，所以A正确. 对于B中，由，可得是的一个解， 要使得有三个不同的实数根， 则有两个实数根，则， 即，即，解得或，所以B错误； 对于C中，由， 则，所以C正确； 对于D中，要使得有三个不同的正实数根，其中是的一个解， 则满足，解得， 令，其中，可得， 所以在上单调递减，且时，， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 6．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 【答案】 【详解】由，即，所以，即， 设，所以与有两个交点， 则， 由，解得，此时函数单调递增， 由，解得，此时函数单调递减， 所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值， 所以当时，，当时，， 作出函数的函数图像：    由图像可知：， 故答案为：． 7．已知函数（），，若，，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； ， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又恒成立， 所以，即， 由，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 8．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 函数有两个零点，当且仅当， 则，解得，所以实数a的取值范围是. 9．已知函数． (1)若的最大值为1，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）的定义域为， 令，得， 令，得；令，得， 在上单调递增，在上单调递减． 因为 ． （2）若恒成立， 即恒成立，即 即恒成立， 设， 则， 令， 则在上单调递增，易知， 即存在，使得， 即，则，两边取对数有，即， 即时，，此时单调递减， 时，，此时单调递增， 则， 所以，即的取值范围为． 10．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 11．已知函数． (1)讨论函数的零点个数； (2)若，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）函数定义域为， 时，，函数无零点； 时，令，则， 令，， 则的解为或， 当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 又时，，时，， 所以当，即时，无解， 当，即时，有3个解， 当，即时，有2个解， 当，即时，有1个解， 综上，当时，函数的零点个数为0； 当时，函数的零点个数为1； 当时，函数的零点个数为2； 当时，函数的零点个数为3； （2），则， 即，令，， 当时，，在上单调递增， 时，，无最小值，不成立； 当时，，则，此时， 当时，，解得， 则时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， ， 则，令， ， 则的解为（舍去），， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ， 即，当且仅当时取等， 综上，的最大值为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数的单调性、极值与最值（11题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求单调区间 1 题型二、求函数的极值（点）、最值 2 题型三、函数与导函数图象间的关系 3 题型四、已知含参函数的单调情况求参数范围 4 题型五、根据极值（点）求参数 5 题型六、根据最值求参数 6 题型七、利用函数单调性解不等式 6 题型八、利用导数解决实际问题 7 题型九、不等式恒成立与存在性问题 8 题型十、含参函数的单调性讨论 9 题型十一、求含参函数的最值 11 B 综合攻坚·能力跃升 11 题型一、求单调区间 1．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，其中，则的单调增区间为________． 3．已知函数，则函数的单调增区间为_____；单调减区间为_____； 4．已知函数，且直线是曲线的切线． (1)求的值； (2)求的单调区间． 5．已知函数，且． (1)求a的值； (2)求的单调区间． 题型二、求函数的极值（点）、最值 6．函数的极小值是______． 7．已知函数. (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数的极值. 8．已知函数. (1)求的导数与极值； (2)求在区间上的最值. 9．已知函数，且在处的瞬时变化率为0． (1)求的值； (2)求在上的值域． 10．已知函数，曲线在点处切线方程为. (1)求实数，的值； (2)求在上的最大值和最小值. 题型三、函数与导函数图象间的关系 11．设函数在上可导，其导函数为，且函数图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（   ） A．为的极小值 B．为函数的极大值 C．有一个极大值 D．为的极小值 12．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．时，取得最大值 B．时，取得极大值 C． D． 13．（多选）已知函数的图象如图所示，，则（） A．当时， B． C． D． 14．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示， ①； ②函数在处取得极小值，在处取得极大值； ③函数在处取得极大值，在处取得极小值； ④函数的最小值为. 以上正确的序号是__________. 15．已知函数与的图像如下图所示，设函数.给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有两个零点. 其中，所有正确结论的序号是________.    题型四、已知含参函数的单调情况求参数范围 16．函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．“”是“函数存在单调递减区间”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．若函数 不单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_________． 20．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知函数是单调递增函数，则的取值范围是_____________． 22．若函数在上不单调，求满足的条件为_____. 题型五、根据极值（点）求参数 23．若函数在处取得极值，则实数（    ） A． B． C． D． 24．函数在处取得极小值，则（ ） A． B．1 C．或 D．1或3 25．已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则（    ） A．-1013 B．1014 C．-1014 D．1013 26．若函数的极大值为1，则函数的极小值为________， 27．设，函数. 的极小值为，则的取值范围是_______. 28．已知函数，当时，有极小值0. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最值. 题型六、根据最值求参数 29．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．已知函数在处取得最小值1，则（    ） A． B． C． D． 31．已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________ 32．已知函数（其中）在处取得极小值. (1)求，的值； (2)若函数在区间上的最大值为，求实数的最大值. 33．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 题型七、利用函数单调性解不等式 34．定义在R上的函数满足，且对任意，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 35．已知，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 36．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 37．已知函数，则不等式的解集为_____． 38．已知，，则的解集为________. 题型八、利用导数解决实际问题 39．圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（   ） A．64 B．128 C．144 D．256 40．图1是一个边长为2的正三角形纸片，沿虚线剪掉三个角处的四边形，剩余部分沿的三条边折叠成一个正三棱柱（无盖），如图2，当正三棱柱的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 41．社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：，其中p为每盒售价，为每日销量.若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（    ） A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元 42．某乡村振兴项目计划建造一个圆柱形粮食储存仓的钢筋骨架，用于存储当地特色农产品.现有总长度为240米的钢筋，需截成10段制作骨架.其中两段分别围成圆形作为上下底面的钢筋圈，剩余8段作为粮食储存仓的竖向支撑筋.此粮食储存仓体积最大时，底面半径的值为（   ）（单位：米） A． B． C． D． 43．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克. (1)求函数的解析式； (2)若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润. 题型九、不等式恒成立与存在性问题 44．设；不等式对任意的恒成立，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 45．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式对恒成立，求的取值范围． 46．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 47．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，若关于x的不等式在有解，求a的取值范围． 48．已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 49．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程在上有解，求的取值范围． 题型十、含参函数的单调性讨论 50．已知函数． (1)若，证明：在上单调递增； (2)令，其中，若讨论函数的单调性； 51．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)讨论的单调性． 52．已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 53．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 54．已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)求的单调递增区间. 55．已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若直线l是曲线的切线，且直线l与曲线仅有一个交点，求实数a的值. 题型十一、求含参函数的最值 56．已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)求在区间上的最小值． 57．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最大值. 58．已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值； (2)若有最小值，且的最小值大于的最小值，求的取值范围． 59．已知函数， (1)若是奇函数，求实数的值，并求在此条件下满足的实数的取值范围； (2)若的定义域是. （i）求的单调递增区间； （ii）记在定义域上的最小值是，求的解析式. 1．过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递减 C．时，的最小值是0 D．在内有且只有4个极值点 4．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．时， B．是的最大值 C．是的最小值 D．时，有三个零点 5．（多选）已知三次函数，则（   ） A． B．若有三个不同的实数根，则 C．若，则 D．若有三个不同的正实数根，则的取值范围是 6．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 7．已知函数（），，若，，恒成立，则实数的取值范围是______. 8．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 9．已知函数． (1)若的最大值为1，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围． 10．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 11．已知函数． (1)讨论函数的零点个数； (2)若，求的最大值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $