专题03 导数与函数的极值（压轴题专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题03 导数与函数的极值 目录 典例详解 类型一、函数的极值及其与函数图象的关系 类型二、已知函数的极值求参数值或取值范围 类型三、函数极值的应用 压轴专练 类型一、函数的极值及其与函数图象的关系 1.函数极值与极值点的辨析 (1)函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称点为函数的极小值点，其函数值为函数的极小值． (2)函数的极大值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称点为函数的极大值点，其函数值为函数的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． (4)理解极值概念需注意的问题： ①函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某点的左右两侧附近的点而言的.极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷”； ②极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点； ③若在[a,b]内有极值，则在[a,b]内绝不是单调函数，即在定义区间上单调的函数没有极值点; ④极大值与极小值没有必然的大小关系.一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某点的极小值可能大于另一点的极大值，即极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大. ⑤若函数在[a,b]内有极值且函数图象连续，则它的极值点的分布是有规律的，即相邻两个极大值点之间必有一个极小值点.同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 2.可导函数极值的求法与步骤 (1)先确定函数的定义域； (2)求导数； (3)求方程的根； (4)检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. (5)求含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想解决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论. 3.函数极值与图象的关系 分析函数极值与函数、导函数的图象的关系时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正、在哪个区间上为负、在哪个点处与x轴相交、在交点附近导函数的值是怎样变化的；(2)对于函数的图象，重点考查函数在哪个区间上单调递增、在哪个区间上单调递减、哪个点是极大值点、哪个点是极小值点. 例1．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．为偶函数 B．为的导函数的极大值点 C．是函数的极值点 D．函数的零点个数为1 变式1-1．（多选）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．在和上单调递增 C．当时， D．有2个极小值点 变式1-2．已知函数恰有两个零点和一个极大值点 且成等比数列，则 ______.若的解集为，则的极大值为______. 变式1-3．已知函数，其导函数为. (1)讨论的单调性； (2)求的极值点个数； (3)求所有极值点的乘积. 类型二、已知函数的极值求参数值或取值范围 1.由函数极值(个数)求参数的值或范围 讨论极值点有无(个数)问题，可转化为讨论根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 已知函数极值(个数)，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点： (1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性． 注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 例2．若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（多选）已知是函数的极值点，则（   ） A．实数a的取值范围是 B．函数的图象关于点对称 C．存在实数a，使得是的极大值点 D．若，则 变式2-2．函数在区间上不存在极值点，则实数a的取值范围为___________． 变式2-3．已知函数，其导函数为． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个不同的极值点，，，求实数a的取值范围． 类型三、函数极值的应用 1.利用函数极值解决函数零点问题 （1）研究函数零点和方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题.一般地，方程的根就是函数的图象与轴交点的横坐标；方程的根就是函数的图象的交点的横坐标. （2）事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究函数的零点问题提供了方便. 例3．已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．函数的零点个数为______． 变式3-2．已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 变式3-3．已知函数． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若有2个极值点，求m的取值范围； (3)若有2个零点，求m的取值范围． 一、单选题 1．已知函数的图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D．1 2．已知函数，若函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．函数在区间上的极值点的个数为（    ） A．252 B．253 C．504 D．505 4．已知定义在上的函数满足，当时，，则当时，的极大值是（ ） A． B． C． D． 5．设，函数，函数的极值为，则（   ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．是等差数列 D．是等比数列 6．若函数的零点有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．是函数的极大值点 C． D． 8．已知，，a是参数，则下列结论正确的是（    ） A．若有两个极值点，则 B．至多2个零点 C．若，则的零点之和为0 D．无最大值和最小值 三、填空题 9．已知函数有两个极值点与，若，则实数的取值范围为________. 10．已知函数的极小值点为，若点在直线的上方，则的取值范围是__________. 四、解答题 11．已知． (1)求证：恒成立； (2)令，讨论在上的极值点个数． 12．已知函数. (1)证明：； (2)证明：存在唯一极值点； (3)记（2）中的极值点为，证明：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数与函数的极值 目录 典例详解 类型一、函数的极值及其与函数图象的关系 类型二、已知函数的极值求参数值或取值范围 类型三、函数极值的应用 压轴专练 类型一、函数的极值及其与函数图象的关系 1.函数极值与极值点的辨析 (1)函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称点为函数的极小值点，其函数值为函数的极小值． (2)函数的极大值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称点为函数的极大值点，其函数值为函数的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． (4)理解极值概念需注意的问题： ①函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某点的左右两侧附近的点而言的.极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷”； ②极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点； ③若在[a,b]内有极值，则在[a,b]内绝不是单调函数，即在定义区间上单调的函数没有极值点; ④极大值与极小值没有必然的大小关系.一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某点的极小值可能大于另一点的极大值，即极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大. ⑤若函数在[a,b]内有极值且函数图象连续，则它的极值点的分布是有规律的，即相邻两个极大值点之间必有一个极小值点.同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 2.可导函数极值的求法与步骤 (1)先确定函数的定义域； (2)求导数； (3)求方程的根； (4)检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. (5)求含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想解决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论. 3.函数极值与图象的关系 分析函数极值与函数、导函数的图象的关系时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正、在哪个区间上为负、在哪个点处与x轴相交、在交点附近导函数的值是怎样变化的；(2)对于函数的图象，重点考查函数在哪个区间上单调递增、在哪个区间上单调递减、哪个点是极大值点、哪个点是极小值点. 例1．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．为偶函数 B．为的导函数的极大值点 C．是函数的极值点 D．函数的零点个数为1 【答案】BD 【分析】利用函数奇偶性判断选项A，对函数求导得，令，对求导，利用函数单调性分析即可得出结论；通过函数在上单调性分析得出选项C；利用函数零点存在性定理以及函数单调性判断即可得出选项D. 【详解】由函数的定义域为关于原点对称， 且， 所以函数不是偶函数，故A选项不正确； 由，令， 则， 令，因为，所以， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以为的极大值点，即为的导函数的极大值点，故B选项正确； 由B选项可知当时，， 即当时，，所以函数在上单调递减， 所以不是函数的极值点，故C选项不正确； 由函数在上单调递减， 且，， 所以函数在上只有1个零点， 故D选项正确； 故选：BD. 变式1-1．（多选）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．在和上单调递增 C．当时， D．有2个极小值点 【答案】BD 【分析】由条件结合偶函数的性质求当时的函数解析式，由此判断C，求时，函数的导函数，代入可得，判断A，求函数在区间上的导函数，利用导数与单调性的关系求函数在上的单调区间，结合偶函数性质求函数的单调递增区间判断B，根据函数在区间上的极值情况，结合偶函数性质判断D. 【详解】是定义在上的偶函数，所以， 又当时，， 所以当时，， 当时，， 所以，C错误， 因为当，， 所以当，，故，A错误， 因为当时，， 令可得，或（舍去） 当时，，函数在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在和上单调递增，B正确， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以当时，是的极小值点，因为是偶函数，所以也是的极小值点，故有2个极小值点，D正确. 故选：BD. 变式1-2．已知函数恰有两个零点和一个极大值点 且成等比数列，则 ______.若的解集为，则的极大值为______. 【答案】 4 4 【分析】根据已知，结合三次函数的图象特征可得是的极小值点，借助导数及函数零点可得的关系即可求出；由不等式的解集求出，再验证即可求出极大值作答. 【详解】因三次函数有一个极大值点， 则该函数必有一个极小值点，且极小值点大于， 又恰有两个零点，且，因此是的极小值点， 求导得：，即是方程的二根， 有，即， 显然， 则，整理得， 两边平方得：，因成等比数列，即， 于是得，即，而， 有，所以；显然有， ， 因的解集为，则5是方程的根， 即有，整理得：，解得或， 当时，，， 不等式， 解得，符合题意，函数的极大值为， 当时，，， 不等式，解得，不符合题意，舍去， 所以函数的极大值为. 故答案为：4；4. 变式1-3．已知函数，其导函数为. (1)讨论的单调性； (2)求的极值点个数； (3)求所有极值点的乘积. 【答案】(1)在，上单调递增 (2)在其定义域上存在两个极值点 (3)1 【分析】（1）求出的定义域为，然后求导得，再令，再结合导数知识可求解； （2）由（1）可得，，从而，使，且，，从而所以，使，再结合导数极值知识即可求解； （3）由（2）知，是函数的零点，从而化简得到，即可求解. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，由， 所以可得， 当时，，则， 综上可得， 令，则恒成立， 所以在，上单调递增. （2）因为，， 所以，使， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以在（0，1）上有一个极小值点. 因为，， 所以，使， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以在上有一个极小值点， 所以在其定义域上存在两个极值点. （3）由（2）知，是函数的零点， 所以， 所以，所以. 因为，所以，且在，上各存在一个零点，， 所以，即， 所以所有极值点的乘积为. 类型二、已知函数的极值求参数值或取值范围 1.由函数极值(个数)求参数的值或范围 讨论极值点有无(个数)问题，可转化为讨论根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 已知函数极值(个数)，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点： (1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性． 注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 例2．若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数极小值点的范围，再利用导数求极小值的值域即可得解, 【详解】由题意，，其中，因为有极大值和极小值， 所以方程有两个不等正根，令，则由，得， 由为增函数可知，当时，，在单调递减, 当时，，在上单调递增，故，即， 设极小值点为，设取值范围的集合为, 又，即， 记，易知与单调性相反，在单调递增，在 时单调递减，且，满足， 所以，即，所求函数极小值为， ，即， 令，则，当时，，故在时单调递减，所以，即， 所以值域为，即极小值的取值范围是. 故选：B 变式2-1．（多选）已知是函数的极值点，则（   ） A．实数a的取值范围是 B．函数的图象关于点对称 C．存在实数a，使得是的极大值点 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据极值点可知导函数有两个零点，利用判别式求解可判断A，根据函数对称的性质取特殊点判断B即可，利用求出，检验即可判断C，根据A及韦达定理，化简，解不等式判断D. 【详解】因为，是函数的极值点， 所以是的两个不等的实数根， 所以，解得或，由，所以，故A正确； 在函数的图象上取点,则关于点的对称点为， 而，显然不恒等于， 故函数的图象关于点不对称，故B错误； 当是的极大值点时，，解得， 当时，， 所以当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，故C正确； 由A选项知，是的两个不等的实数根，所以， 所以 ， 由， 因为，所以，故D正确. 变式2-2．函数在区间上不存在极值点，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据题意函数在区间上不存在极值点，可建立不等式组，即可求出结果． 【详解】由函数得：． 令，解得或，令，解得． 所以函数在和上递增，在上递减． 函数在处有极大值，在处有极小值． 因为函数在区间上不存在极值点， 所以或或，解得或或 故答案为：. 变式2-3．已知函数，其导函数为． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个不同的极值点，，，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据导数的运算法则，结合导数的几何意义进行求解即可； （2）根据导数的运算法则，结合函数极值点的定义、构造函数法、数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，化为一般式为； （2），. ， 令，得，或， 令， 当时，单调递增，当时，单调递减， 且当时，，当时，， 函数图象如下图所示： 因为函数有三个不同的极值点，，， 所以函数与直线有两个不同的交点，且这两个交点的横坐标不能是， 所以由数形结合思想可得，故实数a的取值范围为. 类型三、函数极值的应用 1.利用函数极值解决函数零点问题 （1）研究函数零点和方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题.一般地，方程的根就是函数的图象与轴交点的横坐标；方程的根就是函数的图象的交点的横坐标. （2）事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究函数的零点问题提供了方便. 例3．已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得出，再根据的单调性以及极值即可得出. 【详解】由，得， 因为是的一个极值点，所以， 所以，，， 在上有得或，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因， 由函数在上有且仅有一个零点， 则，，解得， 所以实数b的取值范围为． 故选：A. 变式3-1．函数的零点个数为______． 【答案】2 【分析】方法一：利用导数，求出函数的单调区间及最值，根据函数的趋势，作出函数的图象，根据图象即可得答案； 方法二：令，得，作出函数的图象，根据图象即可得答案. 【详解】的定义域为，且， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 又当时，，当时，， 所以函数的零点个数为2． （方法二）的定义域为，令，得， 作出函数的图象，如图所示： 由图可知，的图象与的图象有2个公共点， 所以函数的零点个数为2． 故答案为：2. 变式3-2．已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值，极大值；(2) 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而求得其极值； （2）若函数有三个不同的零点，则方程有三个不等的实数根，即有三个不等的实数根，即直线 与函数的图象有三个不同的交点，分析函数的单调性，结合图象，求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数，定义域为，且. 令，则或；令，则. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值为. 综上，函数的极小值为，极大值为. （2）若函数有三个不同的零点，则方程有三个不等的实数根， 即有三个不等的实数根， 即直线 与函数的图象有三个不同的交点. 令，则. 令，则或；令，则. 所以函数在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. 且在处取得极小值；在处取得极大值.简图如下： 所以实数的取值范围是. 变式3-3．已知函数． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若有2个极值点，求m的取值范围； (3)若有2个零点，求m的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线的斜率，由点斜式即可求得切线方程； （2） 函数有2个极值点，所以函数有2个变号零点，从而将问题转化为与的图象有2个交点，结合导数求出的单调区间和最值即可求解； （3）令，从而将问题转化为直线与的图象有2个交点，结合导数求出的单调区间和最值即可求解， 【详解】（1）当时，，， ，所以.     所以的图象在处的切线方程为，即. （2）因为函数有2个极值点，所以函数有2个变号零点， 而，令，所以，     设，只需与的图象有2个交点. 因，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，又， 且当时，且，当时，且. 作出函数的图象如下： 由图知，当时，函数有2个极值点. （3）因，则1不是的零点， 令，则， 所以，令，欲使函数有2个零点， 只需直线与的图象有2个交点. 因，     当或时，，在和上单调递增； 当或时，，在和上单调递减，且， 的极大值为，的极小值为，     又当时，且，当且时，， 当且时，，当时，， 由图知，当或时，直线与的图象有2个交点， 即有2个零点时，的取值范围是. 一、单选题 1．已知函数的图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定函数及图象，求出解析式，利用导数求出其极值点即可. 【详解】由图象知，是函数的3个零点，则， 求导得，是函数的两个极值点，即为函数的两个变号零点， 而，所以. 故选：B 2．已知函数，若函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，根据的取值分成，和三类情况，讨论函数的单调性，根据极值情况分析判断即得. 【详解】因的定义域为， 求导得， 若，则，由可得，由，可得， 故函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在处取得极小值，符合题意； 若，则由可得或，由，可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，故函数在处取得极小值，符合题意； 若，则，函数在上单调递增，无极值点，不合题意； 若，则由可得或，由，可得， 即此时函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极大值，不合题意. 综上可得，实数的取值范围为. 故选：A. 3．函数在区间上的极值点的个数为（    ） A．252 B．253 C．504 D．505 【答案】B 【分析】通过求导转化极值点条件为正切函数与分式函数的交点问题，结合正切函数的周期性与区间范围，统计交点个数得到极值点数量. 【详解】依题意，，， 令，整理得， 画出与的图象如下图所示，的周期， 由图可知，在区间上， 两个函数图象分别有个交点，区间上没有交点， 且在每个交点的左侧，， 在每个交点的右侧，，所以每个交点的横坐标都是极值点， ，所以极值点共个. 故选：B 4．已知定义在上的函数满足，当时，，则当时，的极大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由对称条件，设，则，代入已知表达式得到，再根据反推出时的解析式，接着对该函数求导，找驻点并判断单调性，确定极大值点，最后代入计算极大值. 【详解】当时，，由及时， 可得：， 则，故， 对求导得：， 令，解得， 当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减， 故为极大值点，极大值为， 综上，极大值为. 故选：C 5．设，函数，函数的极值为，则（   ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．是等差数列 D．是等比数列 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则，结合极值的定义、等比数列的定义、单调数列的定义逐一判断即可. 【详解】， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极值为； ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的极值为； ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极值为， 归纳可得：， 因为，所以数列不是等差数列. 又因为，所以数列是等比数列， 因为数列是正负交替出现，故该数列不具有单调性. 故选：D 6．若函数的零点有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数有两个零点，即函数的图像与的图像有两个交点，由导数判断函数的单调性、极值、由函数图像的交点个数得的取值范围. 【详解】函数有两个零点，即函数的图像与的图像有两个交点， 函数的定义域为， ，令，解得：， 当时，，得在区间上单调递减； 当时，，得在区间上单调递增； 故当时，取得极小值，极小值为， 令，解得， 当时，；当时，， 当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于； 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 由此作出函数的大致图像： 由图像可得当时，交点为个； 当或时，交点为1个； 当时，交点为2个. 若函数的图像与的图像有两个交点， 则由图可知：实数的取值范围为. 故选：B 二、多选题 7．.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．是函数的极大值点 C． D． 【答案】BCD 【分析】令，利用导数求解其单调性，根据极值点的概念判断AB；根据单调性比较大小判断CD. 【详解】令，则， 令，得或，解得， 令，得或，解得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 所以在时，取得极大值，无极小值，故A错误，B正确； 因为在和上单调递减， 所以，所以，即， ，所以，即，故CD正确. 故选：BCD 8．已知，，a是参数，则下列结论正确的是（    ） A．若有两个极值点，则 B．至多2个零点 C．若，则的零点之和为0 D．无最大值和最小值 【答案】ACD 【分析】求导，把两个极值点问题转化为导数方程有两个解问题，分离参数数形结合即可求解a的范围，判断A，求导，判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，直接判断即可判断B；问题等价于直线y＝a与函数图象的交点的横坐标之和是否为0，由函数的奇偶性容易判断C，结合函数的单调性及图象变化趋势判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 若有两个极值点，则有两个不同的解， 分参得，有两个不同的解， 记，则，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，作出函数的图象，    要使有两个不同的解，则直线与函数有两个不同的交点， 由图知，，故A正确； 对于B，当时，，， 结合A选项知，存在，，使得， 又，所以， 又，x趋向负无穷大时，函数无限趋向于负无穷大， x趋向正无穷大时，函数无限趋向于正无穷大， 且， 由零点存在性可知，有三个零点，故选项B错误； 对于C，令，当时，； 当时，原方程的根即为的根，亦即直线y＝a与函数图象的交点的横坐标， 又函数为偶函数， 所以直线y＝a与函数图象的交点的横坐标之和为0，故选项C正确； 对于D，当时，由选项A知，，则， 函数在R上单调递增，且x趋向负无穷大时，函数无限趋向于负无穷大， x趋向正无穷大时，函数无限趋向于正无穷大，此时函数无最大值和最小值； 当时，由选项B知，函数在和上单调递增，在上单调递减， 且x趋向负无穷大时，函数无限趋向于负无穷大， x趋向正无穷大时，函数无限趋向于正无穷大，此时函数无最大值和最小值； 综上，函数无最大值和最小值，故选项D正确； 故选：ACD 三、填空题 9．已知函数有两个极值点与，若，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】求导可得两个根为与，令，分析可得为方程的两个不相等实根，根据韦达定理，可得，则，根据，代入化简，整理计算，即可得答案. 【详解】由题意的两个根为与，即，所以， 同理，即， 令，则为方程的两个不相等实根， ，则， 所以判别式，解得. 又 ，所以， 综上，实数的取值范围. 故答案为： 10．已知函数的极小值点为，若点在直线的上方，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】求导，当直线与曲线相切时，设切点为，求得切点坐标，分类讨论可得实数的取值范围. 【详解】由，可得，当直线与曲线相切时， 设切点为，则，解得，作出函数与的图象， ①当，如图所示，， 则，在上单调递增，无极小值， ②当时，设直线与曲线相交于点， 且当或时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 故的极小值为，且，即， 由题意可得，即，所以，整理得， 解得,又，故，当，当， 由图象可得当时， 综上所述：实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 11．已知． (1)求证：恒成立； (2)令，讨论在上的极值点个数． 【答案】(1)证明见解析；(2)在上有3个极值点. 【分析】（1）求得函数定义域，求出函数的导数，判断正负，确定函数单调性，即可证明结论； （2）求出函数的导数，对x的取值分段讨论，判断导函数的正负，从而判断导函数的变号零点个数，从而可判断函数的极值点个数. 【详解】（1）证明：由,得的定义域为 , , 当时， ，单调递增，当 时，，单调递减, ∴ ，即 恒成立. （2） ， , , ①当 , 单调递增，单调递减, 所以 在上单调递增， 又 ，, 所以在上有一个变号零点故在上有一个极值点； ②当 时， ， ，所以 ， 此时单调递增，在这一区间内无极值点； ③当 ，令 ， ， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，又 ，， 所以存在使得， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 又， ，所从在有1个变号零点，则有1个极值点； ④当时，，函数单调递增，所以这一区间内无极值点， 结合③④可知也是的一个极值点， 综上在上有3个极值点. 12．已知函数. (1)证明：； (2)证明：存在唯一极值点； (3)记（2）中的极值点为，证明：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）先通过得，令函数，求导判断单调性求出的最值即可得证； （2）先判断在和 时的单调性，再设，求导结合零点存在性定理即可分析求证； （3）利用极值点为得到，再证出，继而，最后利用（1）中的结论即可得证. 【详解】（1）易得，此时. 设函数，， 则时，，单调递减， 时，，单调递增. 于是，故原不等式成立. （2），定义域为R， 显然当时，； 当时，. 当时，设，则， 因为，所以， 故， 所以即在区间上单调递增，而， 所以存在使得， 所以当时，当时， 所以存在唯一极值点. （3）注意到， ， 又，故，故 在（1）中已证明，故，因此，故原不等式得证. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $