利用导数研究函数的极值与最值、利用导数图像研究函数的性质专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

利用导数研究函数的极值与最值、利用导数图像研究函数的性质专项训练 利用导数研究函数的极值与最值、利用导数图像研究函数的性质专项训练 考点目录 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 利用导数图像研究函数的性质 考点一 利用导数研究函数的极值 例1．（25-26高二下·天津南开·期中）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，令其为零，再通过分离变量得到，借助导数研究的单调性和极值即可求解最终结果． 【详解】，令，即， 移项整理得，设，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取得极小值， 而时，；时，，但此时， 因此，的大致图象为： 则直线与曲线有两个交点， 必有，解得． 例2．（25-26高二下·天津南开·期中）函数在区间上（    ） A．有极大值，且极大值为27 B．有极大值，且极大值为 C．有极小值，且极小值为 D．有极小值，且极小值为 【答案】A 【详解】， 当时，，单调递增；时，单调递减； 所以有极大值． 例3．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数在处取得极小值，则的极大值为___________． 【答案】 【分析】利用导数分析函数的单调性，根据函数的极小值点求出的值，进而可求得该函数的极大值. 【详解】因为函数在处取得极小值， 则， 由可得，由可得或， 所以函数的增区间为、，减区间为， 所以函数的极大值点为，极小值点为， 又因为函数在处取得极小值，则，解得， 此时，则函数的极大值点为， 函数的极大值为. 例4．（25-26高二下·福建宁德·期中）函数的极小值为__________. 【答案】 【分析】先求得，得到的单调区间，结合极小值的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得 令，即，解得或； 令，即，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为. 例5．（25-26高二下·广东·期中）已知函数， (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)函数的减区间为，，增区间为，极小值，极大值. 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间、减区间以及极大值、极小值. 【详解】（1）因为，则，所以， 因此，函数在点处的切线方程为，即. （2）由，可得，列表如下： 减 极小值 增 极大值 减 所以，函数的减区间为、，增区间为， 该函数的极小值为，极大值为. 例6．（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求得直线方程； （2）由导数确定单调性即可求得极值. 【详解】（1）由，得， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）由（1）知，令，得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以是的极小值，无极大值. 变式1．（25-26高二下·山东泰安·期中）已知函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设函数 ，其导数为 ， 函数 在区间 上存在极值点，等价于其导数 在该区间内存在变号零点， 即方程在区间 上有解， 由于函数 在区间 上单调递减，其值域为： ，即， 因此，当且仅当 时，方程 在区间 上有解，函数 存在极值点， 故实数 的取值范围为 ． 变式2．（25-26高二下·陕西宝鸡·期中）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】由得， 由得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极小值为. 变式3．（2026·重庆渝中·二模）已知是函数（）的极值点，则______． 【答案】2 【分析】对函数求导并结合求参数值，注意验证是否为极值点. 【详解】由题设，且，即， 此时且，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，满足题设，故. 变式4．（2026·河北沧州·二模）设，函数. 的极小值为，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】根据极小值为可得或为的极小值点，据此分类讨论后结合局部保号性可得的取值范围. 【详解】因为的极小值为，令，则或， 故或为的极小值点. 若，即为的极小值点. 由题设， 令，，则， 当时，，当时，， 故在上递减，上递增， 而且，故时，时， 而时，，时， 故时，，时， 此时不是的极小值点，与题设矛盾； 若, 若为的极小值点，故， 由题设， 因，故必有，故即，与矛盾； 若为的极小值点， 因为，且时，，时， 故在的附近总有， 由局部保号性可得即. 综上，. 变式5．（25-26高二下·河南商丘·期中）已知函数在处取得极大值． (1)求，的值； (2)求函数的极小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求导，结合已知条件求出，并通过极大值点进行验证； （2）用导数进行单调性分析，确定极小值点，进而求解． 【详解】（1）函数求导得，   故，且， 解得，， 此时，， 令，解得或， 当时，解得，函数单调递减； 当，解得或，函数单调递增， 在处取得极大值，极大值为，符合题意， ，． （2）由（1）知在上单调递减；在，上单调递增； 函数在处取得极小值，极小值为． 变式6．（25-26高二下·甘肃武威·月考）若，，求： (1)的单调递减区间； (2)在上的最小值和最大值、极值． 【答案】(1) (2)在上的最小值为，最大值为，极小值为. 【分析】（1）对函数求导，进而确定函数的单调递减区间. （2）先确定函数在的单调性和极值点，进而确定最值和极值. 【详解】（1）对函数求导得， 当时，；当或时，； 所以的单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，；当或时，； 因为，所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，无极大值. 又. 所以在上的最小值为，最大值为. 考点二 利用导数研究函数的最值 例1．（25-26高二下·河北石家庄·月考）若函数在区间存在最大值与最小值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 当或时；当时 则的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由，则函数在区间存在最大值与最小值时 有，，，，， 解得， 故实数m的取值范围为. 例2．（25-26高二下·福建龙岩·期中）若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性结合零点存在定理得出，再根据导数得出函数单调性得出，最后结合指对数运算得出参数值. 【详解】因为函数，所以，在上单调递增， 又因为，，所以，， 所以单调递减，单调递增， 所以，所以， 又因为在上单调递减，所以，所以， 则. 例3．（25-26高二下·天津静海·月考）函数在上的最大值是1，则在上的最小值是______． 【答案】 【分析】利用导数求函数单调区间，由最大值得值，结合单调性可求最小值. 【详解】，则， 令，得或. 当时，，则为增函数； 当时，，则为减函数. ∴当时，取得最大值为，得， 又，. ∴在上的最小值是. 例4．（2026·河北邢台·一模）若函数有最小值，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】讨论函数在区间内的值域，求最小值存在的条件. 【详解】当时，，， 时，函数单调递减，且； 时，函数单调递增， 可得函数在上最小值为，最大值为. 当时，， 若，函数在上单调递增，， 在上有最小值，有，即； 若，当时，在上有最小值； 若，函数在上单调递减，时， 在上没有最小值. 综上，的取值范围为. 例5．（25-26高二下·山东枣庄·期中）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值是4，最小值是. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）由得出函数的单调性，从而得极值，结合区间端点处函数值，比较得最值. 【详解】（1）因为，所以， 有，. 因此，曲线在处的切线方程为， 即 . （2）， 令，解得，或. 当变化时，，的变化情况如下表所示. 单调递增 单调递减 单调递增 在区间上，当时，有极小值. 又由于 ，， 所以，在上的最大值是4，最小值是. 例6．（25-26高二下·河北雄安·月考）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若，求的最大值与最小值. 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为. (2). 【详解】（1）因为. 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示. 0 2 + 0 - 0 + 单调递增 0 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）由（1）知当时，取得极小值. 当时，取得极大值0. 又由. 所以. 变式1．（25-26高二下·安徽六安·期中）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可求出、，再检验，即可求出的值. 【详解】因为的定义域为，又， 依题意可得，即，解得， 此时，则， 所以当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减， 则在处取得最大值，符合题意； 所以. 变式2．（25-26高二下·天津南开·期中）函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 得. 令，得或， 当或时，，在和上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以的极小值为， 又当时，且，当时，， 所以也是的最小值. 变式3．（25-26高二下·河北雄安·月考）已知函数在上有最大值，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】函数在开区间内有最大值，需要同时满足极大值点在区间内和区间端点处的函数值小于等于极大值两个条件，列出不等式组求解即可. 【详解】先对原函数求导得，令得或； 当，，当，，当，. 可得在和上单调递减，在上单调递增，有极大值． 因为函数在上有最大值，需要满足， 再由函数在开区间有最大值可得且. 根据已知函数的单调性，可得当时，恒成立. 故， 求解可得， 求解即，解得. 综上得到. 变式4．（2026·贵州贵阳·模拟预测）函数在区间上的最大值是________. 【答案】2 【详解】函数，定义域为R， ，在区间上， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又，，所以函数在区间上的最大值是2. 变式5．（25-26高二下·吉林·期中）设函数在处取得极大值1． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为17. 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的极值点及极值列式求出，再验证即可. （2）利用导数求出指定区间上的最值. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 由在处取得极大值1，得，解得， 此时，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值1， 所以，. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，， 则当或时，取得最小值；当时，取得最大值17， 所以在上的最小值为，最大值为17. 变式6．（25-26高二下·北京·期中）已知函数的图象过点，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间： (3)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的递减区间为，递增区间为， (3)最大值为、最小值为 【分析】（1）根据导数的运算法则，结合代入法进行求解即可； （2）根据导数的性质进行求解即可； （3）根据函数最值的性质，结合（2）的结论进行求解即可. 【详解】（1）， 所以由题意可得； （2）由上可知：， 令，解得，所以函数的递减区间为， 令，解得，或， 所以函数的递增区间为，； 综上所述：函数的递减区间为，递增区间为，； （3）由（2）可知：的递减区间为，递增区间为， 所以当时，在上递减，在，上递增， 因为， 所以， 因此函数在上的最大值为、最小值为. 考点三 利用导数图像研究函数的性质 例1．（25-26高二下·江苏扬州·月考·多选）如图为定义在上的函数的图象，则关于它的导函数的说法正确的是（    ） A．存在对称轴 B．存在极大值 C．在上单调递增 D．的单调递减区间为 【答案】ACD 【分析】由题意得是开口向上的抛物线，对选项进行一一验证，即可得答案 【详解】由题可知为二次函数，可知函数的极大值点为，极小值点为，可得简图，可得，且两根分别是和， 所以存在极小值，不存在极大值，对称轴，单调递减区间为，单调递增区间为， 所以选项A、C、D正确，选项B错误. 例2．（25-26高二下·湖北武汉·月考·多选）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．当时，函数有极大值 D．当时，函数有极大值 【答案】ABD 【详解】从图象可以看出过点的为的图象，过点的为导函数的图象， 若函数，则， 当时，，即，故， 所以在上单调递增，所以A正确； 当时，，即，故， 所以在上单调递减，所以B正确； 当时，，即， 故，所以在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，C错误； 当时，，故，在上单调递增， 所以当时，函数有极大值，D正确. 例3．（25-26高二下·广东珠海·月考·多选）函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（       ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点 【答案】BD 【分析】由导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可. 【详解】由图可得，当，，单调递减，当，，单调递增， 可知是函数的极值点，故A正确，不是函数的极值点，故B错误， 当，，故在区间上单调递增，故C正确，不是函数的极值点，故D错误. 变式1．（25-26高二下·贵州黔西南·月考·多选）已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 【答案】BC 【分析】根据导函数图象的正负判断函数的增减与极值、最值，依此判断各个选项即可． 【详解】对于A，由题图可知时，，则单调递减，故A错误； 对于B、C，由题图易知在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，故B、C正确； 对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误． 变式2．（25-26高二下·安徽安庆·月考·多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．在处，函数取得极值 D．在处，函数取得极值 【答案】BC 【分析】结合图象，根据导数与单调性、极值的关系依次判断求解. 【详解】对于A，由图象知，当时，， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，当时，， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，是导函数的一个变号零点， 故当时，函数取得极值，故C正确； 对于D，不是导函数的一个变号零点， 故当时，函数不能取得极值，故D错误. 变式3．（25-26高二下·黑龙江鸡西·月考·多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递增区间 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值 【答案】AC 【分析】根据时以及时，导函数图象即可判断A，B；利用导数的正负与函数极值之间的关系，即可判断C，D 【详解】对于A，B，当 时，，，，所以函数在单调递减，在单调递增，故A正确，B错误； 对于C，当时，，当时，，故是函数的极小值点，故C正确； 对于D，当时，，当时，，故是函数的极大值点，故D错误. 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用导数研究函数的极值与最值、利用导数图像研究函数的性质专项训练 利用导数研究函数的极值与最值、利用导数图像研究函数的性质专项训练 考点目录 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 利用导数图像研究函数的性质 考点一 利用导数研究函数的极值 例1．（25-26高二下·天津南开·期中）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·天津南开·期中）函数在区间上（    ） A．有极大值，且极大值为27 B．有极大值，且极大值为 C．有极小值，且极小值为 D．有极小值，且极小值为 例3．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数在处取得极小值，则的极大值为___________． 例4．（25-26高二下·福建宁德·期中）函数的极小值为__________. 例5．（25-26高二下·广东·期中）已知函数， (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 例6．（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 变式1．（25-26高二下·山东泰安·期中）已知函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·陕西宝鸡·期中）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．3 变式3．（2026·重庆渝中·二模）已知是函数（）的极值点，则______． 变式4．（2026·河北沧州·二模）设，函数. 的极小值为，则的取值范围是_______. 变式5．（25-26高二下·河南商丘·期中）已知函数在处取得极大值． (1)求，的值； (2)求函数的极小值． 变式6．（25-26高二下·甘肃武威·月考）若，，求： (1)的单调递减区间； (2)在上的最小值和最大值、极值． 考点二 利用导数研究函数的最值 例1．（25-26高二下·河北石家庄·月考）若函数在区间存在最大值与最小值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·福建龙岩·期中）若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·天津静海·月考）函数在上的最大值是1，则在上的最小值是______． 例4．（2026·河北邢台·一模）若函数有最小值，则k的取值范围是________． 例5．（25-26高二下·山东枣庄·期中）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的最大值与最小值. 例6．（25-26高二下·河北雄安·月考）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若，求的最大值与最小值. 变式1．（25-26高二下·安徽六安·期中）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 变式2．（25-26高二下·天津南开·期中）函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·河北雄安·月考）已知函数在上有最大值，则a的取值范围是______． 变式4．（2026·贵州贵阳·模拟预测）函数在区间上的最大值是________. 变式5．（25-26高二下·吉林·期中）设函数在处取得极大值1． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值． 变式6．（25-26高二下·北京·期中）已知函数的图象过点，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间： (3)求函数在上的最大值和最小值． 考点三 利用导数图像研究函数的性质 例1．（25-26高二下·江苏扬州·月考·多选）如图为定义在上的函数的图象，则关于它的导函数的说法正确的是（    ） A．存在对称轴 B．存在极大值 C．在上单调递增 D．的单调递减区间为 例2．（25-26高二下·湖北武汉·月考·多选）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．当时，函数有极大值 D．当时，函数有极大值 例3．（25-26高二下·广东珠海·月考·多选）函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（       ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点 变式1．（25-26高二下·贵州黔西南·月考·多选）已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递增 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 变式2．（25-26高二下·安徽安庆·月考·多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．在处，函数取得极值 D．在处，函数取得极值 变式3．（25-26高二下·黑龙江鸡西·月考·多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递增区间 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值 2 学科网（北京）股份有限公司 $